第十五章工具变量估计和TSLS4
工具变量(IV)详细解说
IV
The 2SLS name notwithstanding, we don‘t usually construct 2SLS estimates in two-steps. For one thing, the resulting standard errors are wrong, as we discuss later. （） Where si is the residual from a regression cov( si , si ) V ( si ) of si on X i .This follows from the multivariate regression anatomy formula and the fact that cov( si , si ) V ( si ) . It is also easy to show that, in a model with a single endogenous variable and a single instrument, the 2SLS estimator is the same as the corresponding ILS（ Indirect Least Squares ） estimator.（Q3） 由2SLS，
Zi 0 1si i cov( Zi ,i ) 0 cov(Yi , Zi ) cov(Yi , Zi ) / v( Zi ) (4.1.3) cov( si , Zi ) cov( si , Zi ) / v( Zi )
Zi
（IV）
IV
• Q1：The second equality in (4.1.3) is useful because its usually easier to think in terms of regression coefficients than in terms of covariance. 2.
第15章-工具变量
Cov( z, y) 1Cov( z, x) Cov( z, u)
现在，在式 (15.4) 中 Cov(z，u)=0 与式(15.5) 中 Cov(z,x)≠0 的假定下 ,我们可以解出 1 为：
Cov( z, y ) 1 Cov( z, x)
(15.9)
[注意到，若 z 与 x 不相关，即 Cov(z,x)=0，这 个简单的代数关系便不成立。]方程 (15.9)表 明， 1 是 z 和 y 之间的总体协方差除以 z 和 x 之间的总体协方差，这说明 1 被识别了。 给定一个随机样本，我们用对应样本量来估 计总体量。
score 0 1skipped u
(15.8)
其中，score 是期末考试成绩, skipped 是该 学期逃课的总次数。
当然，我们可能担心 skipped 与 u 中其他因素 相关：越有能力而又积极的学生可能逃课也越 少。因而 score 对 skipped 的简单回归，可能 不会给出逃课之因果效应的可靠估计。
这样一来 , 我们便把 abil 放人误差项中，而 只留下简单回归模型： Log（wage） =β 0+β 1educ+u （15.1 ） 其中，u 包含 abil。当然，如果用 OLS 估计 方程 (15.1) ，若 educ 与 abil 相关，则得到 的结果将是 1 的有偏而又不一致估计量。
即使能获得，如果我们的兴趣在于变量的影响， 而该变量又不随时间而变化，它对于我们也几 无用处：一阶差分或固定效应估计排除了不随 时间而变化的变量。 此外,迄今为止我们所研 究的面板数据方法，还不能解决与解释变量相 关的时变（即随着时间而不断变化的）遗漏变 量问题。
在本章，我们对内生性问题采用了一种不同的 方法。你将看到如何用工具变量法 (IV)来解决 一个或多个解释变量的内生性问题。就应用计 量经济学中线性方程的估计而言，两阶段最小 二乘法 (2SLS 或 TSLS)的受欢迎程度仅次于普 通最小二乘。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
Eu 0, Ez1u 0,L , E zk1u 0, E zku 0
15.3 两阶段最小二乘法
如果一个内生解释变量有多个工具变量，如 何有效运用多个工具变量？以下面结构模 型为例： y1 0 1y2 2z1 u1
则称z是x的工具变量（IV）。工具变量可得 能够用于一致估计回归方程的参数。
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
借助于工具变量，回归方程的参数是可识别 （identification），即参数可用总体矩表示， 而总体矩可用样本矩来估计。用工具变量z 对回归方程两边协方差：
cov z, y 1 cov z, x cov z,u
对此也没有合理的解释。
15.2 多元回归模型中的IV估计
简单回归模型IV估计很容易延伸到多元回归
y1 0 1 y2 2 z1 L k zk1 u1
借用联立方程模型的形式和术语，此方程称 为结构方程（structural equation）。 z1, z2 ,L , zk1是外生变量，y2 被怀疑是内生的， 即可能与u相关。需要找到其工具变量
有效的工具变量 zk 需满足：（1）是未包含的 外生变量，即它不在结构方程中且与u不相 关。
15.2 多元回归模型中的IV估计
（2）zk 与 y2 存在某种偏相关，即约简型方程
y2 0 1z1 L k1zk1 k zk v
的系数满足： k 0
同样要求（1）不能检验，只能寄希望于经济 逻辑和反思。要求（2）可对约简型方程估 计后直接检验。
第十五章 工具变量估计与两阶段 最小二乘法
本章研究多元回归模型中的内生解释变 量问题。解释变量的内生性常来自遗漏 变量问题，这使OLS估计不一致。尽管 代理变量法和面板数据的固定效应法可 在某些情况下解决内生性问题，但远未 完善。本章讨论另一解决解释变量内生 性问题的方法：工具变量法（IV）。其 受欢迎程度仅次于OLS。
工具变量(IV)：估计与检验_图文_图文
• 3。Wright考虑了几个可能的工具变量； 其中一个是天气。例如，某牧场的降雨量低 于平均值会使牧草减少从而减少给定价格时 黄油的产量(会使供给曲线向左移动而使均 衡价格上升)，因此牧场地区降雨量满足工 具变量相关性的条件。但牧场地区降雨量对 黄油的需求没有直接影响，因此牧场地区降 雨量与ui的相关系数为零；也就是牧场地区 降雨量满足工具变量外生性条件。
• 例如具休考虑黄油的需求弹性估计问题 ：
根据11个均衡样本点估计的方程究竟是需求函数还是 供给函数？两者都不是。由于这些点是由需求和供给 两者的变化确定的，因此用OLS拟合这些点的直线既 不是需求曲线也不是供给曲线的估计。
利用这些样本点估计出来的OLS拟合线是需求曲 线还是供给曲线，都不是！两个极端的情况如图 ：
• 工具变量的外生性：若销售税是外生的，则必 须与需求方程中的误差无关；即销售税必然只 是通过价格间接影响香烟的需求。这看上去是 合理的：主要是因为不同州选择了不同的销售 额、收入、财产和其他公共财政事业的混合税 收，所以不同州的一般销售税是不同的。其中 关于公共财政的选择受到政治考量的驱使而不 是受香烟需求有关的因素影响。
工具变量(IV)：估计与检验_图文_图文.ppt
• 由来
• 估计
– 矩估计（不好）
– 2SLS （最常用） – GMM（异方差自相关）；LIML（若IV）
• 工具变量有效imum eigenvalue statistic，最小特征值统计量，用于多内 生解释变量
• 相关性条件：
• 1. 当包含一个内生变量但有多个工具变量时，工具 变量相关性的条件为给定W时至少有一个Z对预测X 是有用的（相关的）。
• 2. 当包含多个内生变量时，不但要排除完全多重共 线性问题，而且工具变量必须提供关于这些变量外生 性变动的足够信息，以分离出它们各自对Y的效应。
第15章-工具变量讲解
这样一来 , 我们便把 abil 放人误差项中，而 只留下简单回归模型： Log（wage） =β 0+β 1educ+u （15.1 ） 其中，u 包含 abil。当然，如果用 OLS 估计 方程 (15.1) ，若 educ 与 abil 相关，则得到 的结果将是 1 的有偏而又不一致估计量。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
在本章中，我们进一步研究多元回归模型中的 内生解释变量 (endogenous explanatory Variables） 问题。在第 3 章中，我们推导出遗漏一个重要变 量时 OLS 估计量的偏误，在第 5 章中，我们说明 了在遗漏变量(omitted variables)的情况下，OLS 通 常是不一致的。
举例来说，考虑成年劳动者的工资方程中存 在无法观测之能力因素的问题。一个简单的 模型为： log（wage）=β 0+β 1educ+β 2abil+e 其中，e 是误差项。
在第 9 章中，我们证明了在某些假定下，如 何用诸如 IQ 的代理变量代替能力，从而通过 以下回归可得到一致估计量 log(wage)对 educ，IQ 回归 然而假定不能得到适当的代理变量（或它不 具备足以获取 1 一致估计量所需的性质）。
我们一开始先说明，在存在遗漏变量的情况 下，如何用 IV 法获得一致估计量。此外， IV 至少能在某些假定下用于解决变量误差 (errors-in-variables)问题。下一章将证明运 用 IV 法如何估计联立方程模型。
我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在 第 1 篇中对普通最小二乘的推导，其中假定 我们有一个来自潜在总体的随机样本。这个 起点很合人意，因为除了简化符号之外，它 还强调用潜在总体来表述对 IV 估计所做的重 要假定 (正如用 OLS 时一样)。
c15 工具变量估计与两阶段最小二乘法
第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法摘要: 本章继续讨论如何解决模型中的内生解释变量(endogenous explanatory variables )问题。
遗漏变量(omitted variables )是导致内生性问题的一个原因。
本章采用工具变量法(method of instrumental variables,IV )来解决模型中的一个或多个解释变量的内生性问题。
所采用的估计方法被称为两阶段最小二乘估计(method of two stage least squares ,2SLS or TSLS),其受欢迎程度仅次于OLS. IV 也能在某些特定的情形下解决变量带误差(errorsin-variables )的问题.15.1 动机: 简单回归中的遗漏变量如何处理可能发生的变量遗漏带来的偏误，已有三种选择: 1)直接忽略，讨论偏误的方向；2）寻找一个合适的代理变量；3）如果该遗漏变量不随时间变化时，采用FE 或FD 方法。
工具变量法的思路：不是考虑如何处理遗漏变量(此时遗漏变量在误差项中)，而是寻找被遗漏的解释变量的替代变量，使得替代变量和误差项不再存在相关性。
y =β0+β1x +u ,此时该模型不满足MLR.4,从而不能保证Cov (x,u )=0,特别地，假定Cov (x,u )≠0. 如果x 的替代变量z 同时满足下面两个条件:1) 工具外生性(instrument exogeneity )条件:Cov (z,u )=0,2) 工具相关性(instrument relevance )条件:Cov (z,x )≠0,则称z 为x 的工具变量(instrumental variable )，或简称工具(instrumental ). 几点说明:1) 工具变量的外生性意味着z 对y 没有偏效应(当x 和u 中遗漏变量被控制时)，同时也和其它被遗漏变量不相关；2) 工具外生性检验在多数情况下只能通过经济行为或反思来判断；3) 工具相关性检验借助t 和F 检验就行；外生性和相关性假设足以帮助我们识别(Identification )出β1=COv(z,y)Cov(z,x),那么β1的工具变量估计(instrumental variables (IV) estimator )为：β̂1=∑(z i −z ̅)(y i −y ̅)n i=1∑(z i −z ̅)(x i −x ̅)n i=1, 其是β1的一致但有偏的估计；4)β̂1显然当z=x,该估计就是OLS 估计，但这要以x 和u 无关为条件，也即工具变量法适于u 和x 无关的情形。
证明工具变量估计法的渐进方程
一、概述工具变量估计法是一种在计量经济学中常用的方法，用于解决内生性问题。
内生性问题是指自变量与误差项之间存在相关性，这会导致普通最小二乘法（OLS）估计出现偏误，从而影响结果的准确性。
为了解决这一问题，研究者引入了工具变量估计法，其基本思想是利用外生的工具变量来代替内生的自变量，从而消除内生性。
二、工具变量估计法的基本模型1. 基本假设在介绍工具变量估计法的基本模型之前，我们首先来说明其基本假设。
工具变量估计法的基本假设包括两部分：（1）内生性假设：自变量与误差项之间存在相关性，即自变量不满足外生性假设。
（2）工具变量假设：工具变量与自变量相关，但与误差项不相关，即工具变量满足外生性假设。
2. 简单的工具变量模型工具变量估计法的基本模型可以表示为：Y = β1X + u （1）其中，Y 表示因变量，X 表示内生的自变量，β1 表示自变量 X 对因变量 Y 的影响。
由于 X 存在内生性问题，因此我们引入工具变量 Z 来代替 X，得到以下两个方程：X = γ1Z + v （2）Y = β2Z + e （3）其中，Z 表示外生的工具变量，γ1 和β2 分别表示 Z 对 X 和 Y 的影响，v 和 e 分别表示方程（2）和方程（3）的误差项。
根据方程（2）和方程（3），我们可以得到工具变量估计法的渐进方程。
三、工具变量估计法的渐进方程1. 渐进方程的基本形式工具变量估计法的渐进方程可以表示为：β2slim = [(∑zi*zi)^(-1) * (∑zi*yi)] / [(∑zi*zi)^(-1) * (∑zi*xi)] （4）其中，β2slim 表示工具变量估计法的渐进系数估计值，zi 表示工具变量，yi 和 xi 分别表示因变量和内生自变量的观测值。
2. 渐进方程的意义通过渐进方程（4）可以得到工具变量估计法的渐进系数估计值。
工具变量估计法的渐进方程引入了工具变量 Z，并利用 Z 来代替内生自变量 X，从而消除内生性问题。
工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS
YY12
b12Y2 b23Y3
c11 X1 c12 X 2 c23 X 3 u2
u1
Y3 b31Y1 b32Y2 c33 X 3 u3
其中：Y1,Y2 ,Y3 为内生变量， X1, X 2 , X 3为外生变量。
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2）方程组系统估计法 包括：三阶段最小二乘法（3SLS）、完全信息最
大似然估计法（FIML）等。这些方法是对模型中所有 结构方程的参数同时进行估计，从而获得模型全部参 数的估计值。它利用了模型的全部方程信息，称为完 全信息方法。
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/ ˆ23 bˆ12ˆ21
cˆ12 ˆ12 bˆ12ˆ22
若已知πij，即可解出惟一的cij，第一个结构方程得以 估计。这样，结构方程的参数估计值用传统的OLS就 得到了。
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ILS的步骤
一、先对模型作识别判断，找出恰好识别的方程； 二、利用简约式和结构式参数的关系式 B
Y1 11 X1 12 X 2 13 X 3 v1 Y2 21 X1 22 X 2 23 X 3 v2 Y3 31 X1 32 X 2 33 X 3 v3
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第一阶段是对结构方程右端所包含的所有内生变量（作为解 释变量）所对应的简化式方程进行OLS估计,得到内生变量的估计 （回归)值；
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将残差û对所有外生变量（包括结构方程中外生 变量）回归，得到可决系数R2
计算统计量nR2
nR2 ~ 2(q)
大于临界值，拒绝原假设，有工具变量不是外生的 小于临界值，可SLS中的异方差和自相关问题
û对z1, z2, z3, z4回归 得到可决系数R2，计算统计量nR2
nR2~ 2(1)
为什么自由度是1，而不是4？ 外生变量虽然有4个，但对于y2情况：
若结构方程中有m个内生变量，备选IV有m+q 个，即有m+q个可能的外生差检验：
同方差假定：
Var(u|z)=E(u2|z)=2
z包含所有外生变量，但不包含内生变量 异方差检验：
û2对所有外生变量回归，检验系数的联合显 著性 不能用Ev关检验
时间序列和截面数据，TSLS估计没有区别
自相关检验
假定y2是内生的，模型（1）的估计化模型的残差 vˆ2代替v2
y1=b0+b1y2+b2z1+b2z2+d1 vˆ+2 e
模型中b系数的估计结果等同于TSLS估计
检验H0:d1=0
等同方法：引入简化模型中y2的拟合值ŷ2 ：
过度识别检验目的就是思路：
若z3 和z4都是有效工具变量，分别以其作为IV， TSLS估计量都具有一致性，估计值差异不大
若估计值差异很大，必有一个不是外生的 问题：
不知道哪个不是外生的 两个工具变量都不是外生的时=b0+b1y2+b2z1+b3z2+u
假定有两个备选变量z3 和z4：
若Cov(z3, u)=0；Cov(z4, u) =0，同时利用z3 和 z4作为工具变量，估计结果更有效！
工具外生性不能检验，工具变量中可能有些不 是外生的，会导致估计量不一致！
对于模型：
yt=b0+b1x1t+…+bkxkt+ut
利用工具变量对模型进行TSLS估计，得到残差ût 同样利用工具变量对下面模型进行TSLS估计：
yt=b0+b1x1t+…+bkxkt+ût -1+残差
（1）
检验H0:=0，拒绝则存在AR(1)自相关
AR(q)自相关检验，模型（1）中引入ût 的q阶滞后。
性，两个不一致的估计可能刚好差别不大 般的思路：
y1=b0+b1y2+b3z1+b4z2+u
外生变量z1, z2, z3, z4 若u已知，估计模型：
u对z1, z2, z3, z4回归
u未知，用TSLS回归的残差û代替：
检验H0:d1=d2=0【爱】核心用户 By微0渺 上传过度识别约束检验
考虑模型：
y1=b0+b1y2+b2z1+b3z2+u
若y2有一个有效的工具变量，称模型恰好识别 若y2有效工具变量多于一个，称模型过度识别
一般情形：
若被排除掉的外生变量个数多于作为解释变量的内 生变量个数，且IV相关性满足，则过度识别
y1=b0+b1y2+b2z1+b2z2+d1(y2-ŷ2)+e
=b0+g1y2+b2z1+b2z2-d1ŷ2+e
g1=b1+d1
若可能存在异内生变量的内生性检验
考虑模型：
y1=b0+b1y2+b2y3+b3z1+b4z2+u
一种简单的实施方法（内生性检验）
考虑第一步回归的简化模型：
y2=p0+p1z1+p2z2+p3z3+p4z4+v2
z1, z2,验Cov(v2, u) 0等同于检验：H0:d1=0 u=d1v2+e
或者：
y1=b0+b1y2+b2z1+b2z2+d1v2+e （1）
检验y2和y3内生性，外生变量z1, z2, z3, z4
估计简化模型：
y2 pˆ0 + pˆ1z1 + pˆ2 z2 + pˆ3z3 + pˆ4 z4 + vˆ2
y2 ˆ0 + ˆ1z1 + ˆ2 z2 + ˆ3z3 + ˆ4 z4 + vˆ3
估计模型：
y1=b0+b1y2+b2y3+b3z1+b4z2+d1 vˆ+2 d2 v+ˆ3u