伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解-第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法【圣

第15章
工具变量估计与两阶段最小二乘法15.1复习笔记
一、动机：简单回归模型中的遗漏变量
1．面对可能发生的遗漏变量偏误（或无法观测异质性）的四种选择
（1）忽略遗漏变量问题，承受有偏而又不一致估计量，若能把估计值与关键参数的偏误方向一同给出，则该方法便令人满意。

（2）试图为无法观测变量寻找并使用一个适宜的代理变量，该方法试图通过用代理变量取代无法观测变量来解决遗漏变量的问题，但并不是总可以找到一个好的代理。

（3）假定遗漏变量不随时间变化，运用固定效应或一阶差分方法。

（4）将无法观测变量留在误差项中，但不是用OLS 估计模型，而是运用一种承认存在遗漏变量的估计方法，工具变量法。

2．工具变量法
简单回归模型
01y x u
ββ=++其中x 与u 相关：
()Cov 0
，x u ≠（1）为了在x 和u 相关时得到0β和1β的一致估计量，需要有一个可观测到的变量z，z 满足两个假定：
①z 与u 不相关，即Cov（z，u）＝0；
②z 与x 相关，即Cov（z，x）≠0。

满足这两个条件，则z 称为x 的工具变量，简称为x 的工具。

z 满足①式称为工具外生性条件，工具外生性意味着，z 应当对y 无偏效应（一旦x 和u 中的遗漏变量被控制），也不应当与其他影响y 的无法观测因素相关。

z 满足②式意味着z 必然与内生解释变量x 有着或正或负的关系。

这个条件被称为工具相关性。

（2）工具变量的两个要求之间的差别
①Cov（z，u）是z 与无法观测误差u 的协方差，通常无法对它进行检验：在绝大多数情形中，必须借助于经济行为或反思来维持这一假定。

②给定一个来自总体的随机样本，z 与x（在总体中）相关的条件则可加以检验。

最容易的方法是估计一个x 与z 之间的简单回归。

在总体中，有
01x z v
ππ=++从而，由于
()()
1Cov /ar V ，x z z π=所以式Cov（z，x）≠0中的假定当且仅当10π≠时成立。

因而就能够在充分小的显著水平上，相对双侧对立假设110H π≠：而拒绝虚拟假设010H π=：。

就能相当有把握地肯定工具z 与x 是相关的。

3．工具变量估计量
（1）参数的工具变量（IV）估计量
参数的识别意味着可以根据总体矩写出1β，而总体矩可用样本数据进行估计。

为了根据总体协方差写出1β，利用简单回归方程可得z 与y 之间的协方差为：
()()()
1Cov Cov Cov ，，，z y z x z u β=+在Cov（z，u）＝0与Cov（z，x）≠0的假定下，可以解出1β为：
()()
1Cov Cov ，，z y z x β=1β是z 和y 之间的总体协方差除以z 和x 之间的总体协方差，说明1β被识别了。

给定一个随机样本，用对应样本量来估计总体量。

在分子和分母中约去样本容量后，得到1β的工具变量（IV）估计量：()()()()111ˆn i i i n
i
i i z z y y z z x x β==--=--∑∑0β的IV 估计量就为：
01
ˆˆy x ββ=-（2）工具变量估计量的一致性和无偏性
大数定律表明，若满足工具变量的两个假定，1β的IV 估计量便具有一致性：
()
11
ˆplim ββ=若任一假定不成立，IV 估计量都将不是一致性的
IV 估计量的一个特点是：当x 与u 相关时，它绝不是无偏的。

在小样本中，这意味着IV 估计量可能有相当大的偏误。

因此在使用工具变量法时，需要大的样本容量。

4．用IV 估计量做统计推断
（1）1β的渐进方差
在大样本容量的情况下，IV 估计量近似服从正态分布。

为了对1β进行推断，需要一个可用于计算t 统计量和置信区间的标准误，通常的方法是增加一个同方差性假定但同方差的假定是以工具变量z 为条件的，即
()()
22|Var E u z u σ==则1
ˆβ的渐近方差为：2
22,x x z
n σ
σρ其中，2x σ是x 的总体方差，2σ是u 的总体方差，2,x z ρ是x 与z 之总体相关系数的平方，它反映了总体中z 与x 的相关性有多大。

（2）渐进方差的意义
①提供了一种求IV 估计量标准误的方法。

渐进误差中的所有量都可以在给定的随机样本下一致估计，为估计2x σ，简单地计算出
x i 的样本方差；为估计2,x z ρ，可以做x i 对z i 的回归来获得R 2，即2
,x z R 。

最后，为估计2σ，可以运用IV 残差，
01ˆˆˆ 1 2 i i i u y x i n ββ=--=，，
，…，其中，0ˆβ与1
ˆβ是IV 估计量。

2σ的一致估计量为：2
211ˆˆ2n i i u n σ==-∑1
ˆβ的渐近标准误是所估计的渐进方差的平方根，这个方差为：
22,ˆSST x x z
R σ
⋅其中，SST x 是x i 的总平方和。

（x i 的样本方差是SST x /n）所得到的标准误可用于构造t 统计量，以检验关于1β的假设，或者是得到1β的置信区间。

②比较IV 和OLS 估计量（当x 与u 不相关时）的渐近方差。

在高斯—马尔可夫假定下，OLS 估计量的方差为2SST x σ/，而IV 估计量的计算式为()22,/SST x x z R σ⋅；两者的区别仅在于IV 方差的分母中出现了2,x z R 。

由于R 2总是小于1，所以这个IV 的方差总是大于OLS 方差。

若x 与z 只是轻度相关，则2
,x z R 便很小，而这将转化为IV 估计量的一个非常大的抽样方差。

z 与x 越高度相关，2,x z R 便越接近于1，IV 估计量的方差就越小。

在z＝x 的情况下，2,1x z R =，得到OLS 的方差。

当x 与u 不相关时进行IV 估计的一个重要代价：IV 估计量的渐近方差总是大于（有时远大于）OLS 估计量的渐近方差。

5．低劣工具变量条件下IV 的性质
当z 和u 不相关，而z 与x 存在着或正或负的相关时，IV 估计量是一致的，但当z 与x 只是弱相关时，IV 估计值的标准误可能很大。

z 与x 之间的弱相关可能产生更加严重的后果：即使z 与u 只是适度相关，IV 估计量的渐近偏误也可能很大。

（1）IV 估计量的概率极限
当z 与u 可能相关时，利用总体相关和标准差，可以推出：
()()1 IV 1Corr ˆplim Corr u x
z u z x σββσ=+⋅，，，其中，u σ和x σ分别代表总体中u 和x 的标准差。

它表明，即使Corr（z，x）很小，如果Corr（z，u）也很小，那么IV 估计量的不一致性也可能非常大。

即使只考虑一致性，若z 与u 之间的相关系数小于x 与u 之间的相关系数，则使用IV 也不一定比OLS 更好。

（2）OLS 估计量的概率极限
由于
()()()
Cov Corr / ，，x u x u x u σσ=可以将OLS 估计量的概率极限（ 1 OLS ，β）写为()1OLS 1ˆplim Corr u x
x u σββσ=+⋅，，
（3）IV 估计量与OLS 估计量的渐近偏误比较渐近偏误的方向对IV 和OLS 估计量而言可能是不同的。

假设当Corr（x，u）﹥0，Corr（z，x）﹥0，而Corr（z，u）﹤0。

IV 估计量便存在一个向下的偏误，而OLS 估计量具有向上的（渐近）偏误。

假设z 与x 都与u 正相关，而且Corr（z，x）﹥0。

那么，只有在Corr（z，u）/Corr （z，x）﹤Corr（x，u）时，IV 估计量才比OLS 估计量的渐近偏误更小。

如果Corr（z，x）很小，那么z 与u 之间看似很小的相关性就可能被放大，就算仅考虑偏误，IV 也不如OLS 好。

（4）弱工具问题
当工具相关条件Corr（z，x）≠0不成立时，就出现了弱工具问题。

弱工具问题大致定义为z 和x 之间的相关度“很低”（但不为零）的问题。

出现弱工具问题时，基于通常的t。