平行四边形单元专题复习
教师辅导教案
授课日期： 2016 年月日授课课时：课时
2001）如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A 、B 田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；
下列几组几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是（．正方形、菱形、矩形、平行四边形
求证：四边形D B BD ''是菱形
中，E是边CD的中点，将△
课后作业：
1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为多少?。
【三套打包】莆田市中山人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元试题含答案
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形单元同步练习卷教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习测试题一、填空题1.如图，AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是__________．2.如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．3.如图，已知Y ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为__________．4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．二、选择题5．在Y ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则Y ABCD的面A．6 B．9 C．12 D．18 6．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A．6 B．8 C．12 D．247．如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的3 16，那么BC的长是A．6 B．8 C．10 D．16 8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．3 9．已知Y ABCD的对角线AC，BD的长分别为10，6，则AB长的范围是A．AB>2 B．AB<8 C．2<AB<8 D．2≤AB≤8 10．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm，8 cm，则下列结论不正确的是A．斜边长为10 cm B．周长为25 cmC．面积为24 cm2 D．斜边上的中线长为5 cm 11．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC–∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④12．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为13．如图在Y ABCD 中，已知AC =4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则Y ABCD 的周长为A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm14．如图，在菱形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、AC 的中点，如果PQ =3，那么菱形ABCD 的周长是A ．30B ．24C ．18D ．615．下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A ．AD BC ∥，AB CD ∥ B ．AB CD ∥，AB CD =C ．AD BC ∥，AB DC =D ．AB DC =，AD BC =16.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE ∶EC =2∶1，则线段CH 的长是A ．3B ．4C ．5D ．6二、解答题17.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若AB =2118.已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD 的面积和BE的长．19.如图，在Y ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在Y ABCD的外面），且DE=12OD，BF=12OB，连接AE，CE，CF，AF．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．（2）若DE=13OD，BF=13OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？（3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AECF的周长．20.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB∶AD=__________时，四边形MENF是正方形，并说明理由．21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；参考答案1.【答案】△ADC和△BDC；△ADO和△BCO；△DAB和△CAB2.【答案】23.【答案】144.【答案】3.55-16：CACBC BDBDB CB17.【解析】∵AB=23BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，∴DG=12人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元测试题（有答案）一、选择题：（每小题3 分，共30 分）1 、下列对正方形的描述错误的是（）A.正方形的四个角都是直角B.正方形的对角线互相垂直C.邻边相等的矩形是正方形D.对角线相等的平行四边形是正方形2 、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角线互相平分且相等3 、平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以C .8cm 和10cmD .10cm 和12cm4 、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（）A 、AO ＝OC ，OB ＝OD B 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥ BDC 、AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥ BD D 、AO ＝OC ＝OB ＝OD5 、给出下列四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。
人教版四年级数学上册课件第5单元《平行四边形和梯形》知识梳理 整理与复习课件
园的上底长6米，下底长14米，两腰各长7米，但李大
伯只用了20米长的篱笆，你知道李大伯是怎么围的吗
？
下底靠墙，14米不需篱笆，总
共只需6＋7×2＝20(米)。
过关检测
1.填空题。 （1）过直线外一点，可以画（ 一 ）条已知直线的平行线，
可以画（ 一 ）条已知直线的垂线。 （2）从直线外一点到这条直线的所有线段中，（ 垂直线段 ）
图①a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。
要点牢记
（二）
深化知识
1.平行与垂直
a
②
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交 点叫做垂足。 图 ② 中a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。
深化知识
【对应训练】
下面各组直线中,哪组互相平行?哪组互相垂直?
间画一条垂线段，这条垂线段的长是（ 6 ）厘米。
人教版四年级上册数学：平行四边形 和梯形 整理和复习
过关检测
2.判断题。
（1）不相交的两条直线叫做平行线。
（ ×）
（2）一条直线，可以画出无数条它的平行线。 （ √ ）
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 （ √ ）
（4）两条直线相交，只要有一个角是直角，其他的
伸缩门 伸缩门里有平行四边形，利用它容易变形的 特征伸缩的。
知识梳理 核心要点
平行与垂直的概念
同一平面内不相交的两条直线叫做平 行线
a b
直线a是直线b的平等线，直线a与直 线b互相平行
知识梳理 核心要点
平行与垂直的概念
两条直线相交成直角，就说这两条
a
直线互相垂直
b
直线a叫做直线b的垂线，交点叫做
第08讲特殊平行四边形单元整体分类总复习(原卷版)
第08讲特殊平行四边形章节分类总复习考点一矩形的判定与性质【知识点睛】❖矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②有三个角是直角的四边形是矩形;③四个角都相等的四边形是矩形; ④对角线相等的平行四边形是矩形;⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形.❖矩形的性质①矩形的对边平行且相等; ②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等且互相平分; ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
【类题训练】1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE 的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．30°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（）A．B．3C．4D．53．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．2﹣2B．﹣1C．﹣1D．24．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2 C．S1＜S2D．3S1＝2S25．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．47．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．268．如图，在▱ABCD中，下列条件①AC＝BD；②∠1+∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断▱ABCD是矩形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3）B．（3，）或（3，3）C．（3，）或（3，1）D．（3，）或（3，1）或（3，3）11．如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为．12．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是．13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝°．14．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是．17．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝．18．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．19．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．问：（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．考点二菱形的判定与性质【知识点睛】❖菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
第十八章 平行四边形 单元复习专题折纸中的数学课件-2023-2024学年人教版 数学八年级下册
第十八章 平行四边形单元复习专题
折纸中的数学
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
1.你们小时候折过纸吗？都折过些什么？ 2.不用任何作图工具，利用矩形纸，怎么折出45°角？
3.用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
现有一张矩形的彩纸ABCD，已知AD上有一点E，请你通过 折纸的方法，做等边△EMN，使得点M、N在BC上.
用 一 用
A
E
D
用
一
用
P
1
2
B
M
F
N
C
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
六、知识运用
例1：如图，将正方形纸片对折，折痕为EF，展开后继 续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，求∠AGB的度数。
追问：120°，150°角呢？你还能得到哪些度数的角？
一 想
展 一 展
证 一 证 延一延一 延延
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
在矩形纸片中剪出等边三角形，怎样剪出的等边三角形才是最大的？
用
A
M
D
一 用
用
一
E
G
N
F
用
1
2
B
H
C
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
一
延
创设情境 探究活动 学以致用 中考链接 折纸科学 归纳总结
问题4：哪些同学能代表小组上台展示方案？
A
法一：
E
△ABN B
A
D
H
《第18章 平行四边形》单元测试(2)
《第18章平行四边形》单元测试（2）一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点D在AB上，点E在AC上，分别过B、E作AC、BC的平行线，两平行线交于点H，已知CD＝4，则BE长度是（）A．4B．4C．4D．52．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第2011个正方形（正方形ABCD看作第1个）的面积为（）A．5（）2010B．5（）2010C．5（）2011D．5（）2011 3．我们给出如下定义，顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝45°，AE⊥BC，则这个菱形的面积是（）A．4B．8C．D．5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE与AD相交于点F，则下列结论不一定成立的是（）A．△BFD是等腰三角形B．△ABF≌△EDFC．BE平分∠ABDD．折叠后的图形是轴对称图形6．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB于点E，交CD于点F，连接CE，若AD＝3，CD＝4，则△BCE的周长为（）A．7B．6C．5D．37．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，若AB＝4，EF＝1，则BC长为（）A．7B．8C．9D．108．下列四边形中，对角线互相垂直的是（）A．B．C．D．9．Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（）A．5cm B．15cm C．10cm D．2.5cm10．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△FEC是等腰三角形，∠FEC＝90°，则AE 的长是（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共8小题）11．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC＝S，则PB+PC的最小值为．菱形ABCD12．若菱形的周长为16，高为2，则该菱形两邻角的度数分别是．13．如图，直线m过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线m的距离分别是1和3，则正方形的边长是．14．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AD是△ABC的一条角平分线，E为AB的中点，连接DE，若CD＝，则△AED的面积为．16．如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1＝40°，则∠D′EF＝．17．如图，在▱ABCD中，AC＝BC，∠CAD＝30°，则∠D的度数为．18．已知直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（2，0），则点D的坐标是三．解答题（共9小题）19．如图所示，把四个相同的直角三角形拼成正方形，直角三角形两直角边长分别为24和7，通过面积计算该直角三角形的斜边长．20．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD的三等分点，CE，CF的延长线分别平分AB，AD，交点分别为点G，H．（1）求证：CE＝2EG；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．21．2022年新版的《义务教育数学课程标准》、重新将梯形的概念作为需要理解的内容，如图所示：四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E为AD的中点、解答下列问题：（1）作图：过点E作EF∥AB、交BC于点F；（2）EF和CD的位置关系如何？请写出简单的推理过程（推理的依据要写出来）；（3）用刻变尺量一下BF和CF的长度，请你大胆猜想，直接写出BF和CF的数量关系；（4）用刻度尺量一下CD、EF、AB的长度，请你大胆猜想，直接写出CD、EF、AB这三条线段的数量关系．22．如图，将边长为6的正三角形ABC沿着MN折叠，使点A落在BC边上的D点处．（1）当折痕MN为△ABC的中位线时，求BD的长；（2）试说明△BDM与△CND是否相似；（3）若AM：AN＝2：3时，求S△ABD：S△ADC．23．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连结BE，DF．（1）求证：BE＝DF．（2）若BD＝2AB＝8，BC＝6，求AC的长．24．矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，△ABC沿着AC翻折得到△AB'C，B'C交AD于点E，连接B'D．（1）求证：B'D∥AC；（2）求线段AE的长，直接写出线段B'D的长．25．图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画一个周长为8的菱形ABCD（非正方形）；（2）在图2中画出一个面积为9，且∠MNP＝45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．26．下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在Rt△ABC中，ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①分别以点A，C为圆心、大于AC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，交AC于点P；③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；④连接AD，CD．则四边形ABCD是矩形．根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF，∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AP＝．又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）．27．[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形”．[问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是；（填写名称）（2）四边形ABCD是“美妙四边形”，AB＝2，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求美妙四边形ABCD的面积．（请画出图形，并写出解答过程）。
人教版四年级上册数学 第五单元 平行四边形和梯形 整理复习
C A B
D
人教版四年级上册数学
第五单元 平行四边形和梯形 整理复习
一、填空。
1、任意一个四边形的四个内角的度数和都是（ ）°。
2、
在下面的平行四边形中，A=130°，那么∠B=（ ）°，∠C=（ ）°， ∠D=（ ）°
3 ）。
4、两条平行线间可以画（ ）条垂直线段，这些线段的长度都（ ）。
5、平行四边形的相邻两条边分别为3厘米、7厘米，这个平行四边形的周长是（ ）。
6、过直线外一点，可以画（ ）条这条直线的平行线，可以画（ ）条这条直线的垂线。
7、如果一个平行四边形的四个角都变成直角，那么这个平行四边形就成了（ ）或（ ）。
8、用两个（ ）的梯形可以拼成一个平行四边形，如果平行四边形的底是25厘米，高是15厘米，那么梯形的上底和下底的和是（ ）厘米。
二、按要求画一画。
1、过点A 画已知直线的垂线。
2、分别画出每个图形的一条高。
3、画出一个长为5厘米、宽2厘米的长方形。
4、分别过点B 画对边的垂线段。
三、解决问题。
1、已知平行四边形的周长是48厘米，其中一条边长是9厘米，另一条边长是多少厘米？
2、如下图，等腰梯形的腰长为15厘米，上底比腰短8厘米，求梯形的周长是多少？
3、琪琪家有一块等腰梯形的菜地，它的周长是24米，它的一条腰长多少米？。
北师大新版九年级数学上册：第1章《特殊的平行四边形》单元复习试题 (含答案)
第1章特殊的平行四边形一．选择题（共15小题）1．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 2．菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1 cm C．cm D．2cm3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4 D．54．菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，245．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠ABD的度数为（）A．20°B．35°C．40°D．50°6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．247．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（）A．50°B．40°C．30°D．15°9．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，添加一个条件不正确的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD 10．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（6，0）D．（5，0）11．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（）A．①或②B．②或③C．③或④D．①或④12．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形13．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则矩形的面积为（）A．4B．2 C．4 D．214．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为（）A．2 B．3 C．2D．215．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6 B．5 C．3D．4二．填空题（共9小题）16．工人师博常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师博此种检验方法依据的道理是．17．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．18．如图，平行四边形ABCD，添加一个条件使它成为一个矩形，你会加上．19．如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝．20．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为cm2．21．已知正方形的对角线长为2，则它的面积．22．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为．23．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，请你添加一个条件，使四边形BECF是正方形．24．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．三．解答题（共5小题）25．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连结AC．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．28．如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH，求证：四边形EFGH是正方形．29．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，试判定四边形EFGH的形状，并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．2．【解答】解：如图，设AC＝2cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1cm，BO＝DO，AC⊥BD，∵BO＝＝＝cm，∴BD＝2cm，故选：D．3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴CO＝AC＝6，BO＝BD＝8，AO⊥BO，∴BC＝＝10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝96，∴AH＝＝故选：B．4．【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝＝5，∴此菱形的周长是：5×4＝20，面积是：×6×8＝24．故菱形的周长是20，面积是24，故选：D．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠BCD，AB＝AD，∵∠1＝50°，∠2＝20°，∴∠BCD＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∴∠A＝110°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝＝35°，故选：B．6．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，∴AD＝2OE＝6．C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．故选：D．7．【解答】解：连接AC，∵AE垂直平分边BC，∴AB＝AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣120°＝60°．故选：B．8．【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°∴∠ABF＝∠BAF＝50°∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°∴∠CDF＝30°．故选：C．9．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；B、邻边相等的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；C、由对角线相等不能证明平行四边形ABCD是菱形，此选项符合题意；D、对角线平分对角的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，∵四边形AOBC是菱形，∴AD⊥OC，OD＝CD，∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），∴OD＝3，∴OC＝6，∴C（6，0），故选：C．11．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故①④能判定．故选：D．12．【解答】解：如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．13．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°，且∠ACB＝30°∴BC＝AB＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×2＝4故选：A．14．【解答】解：∵∠AOD＝120°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2，∴△COD是等边三角形，∴CD＝DO＝2，故选：A．15．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5，故选：B．二．填空题（共9小题）16．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．17．【解答】解：添加EB＝DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BC，又∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB＝DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB＝DC．18．【解答】解：答案不唯一，∵四边形ABCD是平行四边形，∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．故答案为：∠A＝90°．19．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠CBA＝90°，∵PB＝PC，∠PBC＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB＝∠PBA＝60°，PA＝PB＝AB，∴∠DAP＝∠CBP＝30°，∵PA＝PD，∴∠PDA＝＝75°．∴∠PAD＝15°，故答案为：15°．20．【解答】解：如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm 向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2故答案为：2021．【解答】解：∵正方形的一条对角线的长2，∴这个正方形的面积＝＝4，故答案为422．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，且∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝3，∵四边形ACEF是正方形，∴AC＝EF＝3故答案为：323．【解答】解：添加条件：AC＝BC．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故答案为AC＝BC．24．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．故答案为∠BAD＝90°．三．解答题（共5小题）25．【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．证明：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．（2）∵四边形AEBO是矩形∴EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝DC．∴EO＝DC．26．【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠D＝90°，∴四边形AECD是矩形．（2）∵AC平分∠DAB．∴∠BAC＝∠DAC．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∴∠BAC＝∠ACB．∴BA＝BC＝5．∵EC＝2，∴BE＝3．∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．27．【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．28．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH，EG⊥FH，∴四边形EFGH是正方形．29．【解答】答：四边形EFGH的形状是正方形，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAB，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠AEH＝∠EFB，∵∠B＝90°，∴∠EFB+∠FEB＝90°，∴∠AEH+∠FEB＝90°，∴∠HEF＝90°，∵EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH的形状是正方形．。
第五单元 平行四边形和梯形(期末复习讲义)四年级数学上册(人教版)
人教版四年级数学上册期末复习重难点知识点第五单元平行四边形和梯形同学们，经过一个学期的学习，你一定进步了吧！今天，让我们共同回顾一下本学期的知识吧，并且通过完成这些练习，看看自己在哪些方面做得还真不错，以便继续发扬；哪些方面存在不足，需要在今后的学习中注意赶上。
每个人的成功都要经历无数次历练，无论成功还是失败对我们都十分重要。
加油！知识点一：平行与垂直1.在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
3.ɑ与b互相平行，记作ɑ∥b，读作ɑ平行于b。
4.两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；其中一条直线是另一条直线的垂线；这两条直线的交点叫垂足。
5.直线ɑ与b互相垂直，记作ɑ⊥b，读作ɑ垂直于b。
知识点二：画垂线一靠，二移，三画，四标。
知识点三：点到直线的距离1.点到直线的距离是垂直线段最短。
2.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
3.与两条平行线相互垂直的线段的长度都相等。
知识点四：画垂线的实际应用1.先画长；2.再用画垂线的方法画出两条宽(等长的边)；3.最后连接两条宽(边)。
知识点五：认识平行四边形1.平行四边形的对边互相平行，且相等。
2.平行四边形的对角相等。
3.两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
4.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
知识点六：平行四边形的特性1.平行四边形容易变形，具有不稳定性。
2.平行四边形在实际生活中的一些应用。
知识点七：认识梯形、平行四边形的关系1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
特殊梯形：两个腰相等的等腰梯形；有一个角是直角的直角梯形。
2.长方形、正方形、平行四边形和梯形这几种四边形之间的关系：重点：1.掌握平行和垂直的特点并能描述平行与垂直两种位置关系；2.掌握画垂线的步骤并能画出一条已知直线的垂线；3.理解点到直线的距离，并理解两条平行线之间的垂直线段都相等；4.掌握长方形的画法，按照题目的要求正确画出长方形，应用垂直于平行知识解决实际问题。
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题(含答案) (131)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题一（含答案）（1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．证明：分别过点A和D，作AF∥BC于F．DE∥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=12×BC×AF，S△BCD=12×BC×DE ．所以S△ABC=S△BCD由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B 作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD（3）应用拓展：如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是cm2．【答案】（1）同底等高的两三角形面积相等；（2）证明见解析（3）40 【解析】试题分析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等（2）利用（1）的结论△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，从而S▱ABCD=S△APD。
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，阴影部分面积是S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF，分别计算.试题解析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；故答案为：同底等高的两三角形面积相等.（2）△AB△CE，BE△AC，△四边形ABEC为平行四边形，△△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，△S△ABC=S△AEC，△S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，△S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=12×b×（a﹣b）+b×b+12×a×a﹣12×b×（b+a）=12ab﹣12b2+b2+12a2﹣12b2﹣12ab=12a2，△S△ACF=12S正方形ABCD=12×80cm2=40cm2.故答案为：40．102．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF 于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．【答案】（1）△ECF的周长为20；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）想办法证明EB＝EH，FD＝FH，即可解决问题；（2）通过计算求出CF、DF即可解决问题；（3）想办法证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解决问题. 【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH，∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．（2）∵E是BC中点，∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，解得x=103，即DF=103，则CF=10﹣103=203，∴CF=2DF；（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ，∴BPAP=EPQP，即BPEP =AP QP，∵∠APB=∠QPE，∴△APB∽△QPE，∴∠QEP=∠ABP=45°，∵∠EAF=45°，∴∠QEA=∠QAE=45°，∴AQ=EQ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．103．△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.（1）如图1，点E在BC上，则线段AE和BD有怎样的关系？请直接写出结论（不需证明）；（2）若将△DCE绕点C旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当△DCE旋转到使∠ADC=90°时，若AC=5，CD=3，求BE的长.【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD ；（2）见解析；（3）【解析】分析：（1）延长AE交BD于F,由△AEC≌△BDC,可得AE=BD,再利用同角的余角相等，可得出AE⊥BD ；（2）不发生变化，只要证明△AEC≌△BDC，推出AE=BD，∠EAC=∠DBC,由∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG,可得∠BGF=90°，从而得证；（3）过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°，在RT△ACD 中利用勾股定理可得AD=4,再利用△BCM≌△ACD，得出CM=CD=3,BM=AD=4，在△BME中利用勾股定理即可求出结果.本题解析：(1)AE=BD，AE⊥BD ；(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：∵△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=△ECD=90°∴AC=BC, △ACE=△BCD，EC=DC∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, △EAC=△DBC∵△EAC+△AFC =90°，△AFC=△BFG∴△DBC+△BFG=90°, ∴△BGF=90°,∴AE△BD(3) 过B作BM△EC于M，则∠M=90°∵△ADC=90°，AC=5，CD=3，∴AD=4=∵△ACB=△ECD=90°, ∴△CBE+△ACD=180°∵△CBE+△BCM=180°, ∴△BCM=△ACD∵△M=△ADC=90°, AC=BC∴△BCM≌△ACD(AAS), ∴CM=CD=3, BM=AD=4∵CE=CD=3，∴EM=6，∴B E=104．在正方形ABCD中，点E是直线CD上一动点，以BE为斜边向上方作等腰直角△BEF ，连接AF ，试求线段AF 与DE 的数量关系．（1）小可同学进行探索：△将点E 的位置特殊化，发现DE= ___ AF ； △点E 运动过程中，△BAF= ___ ；(填度数)（2）如图1，当点E 在线段CD 上时，证明AF 与DE 的数量关系；（3）如图2，当边EF 被对角线BD 平分时，求DEM AFB S S 值． 【答案】（1）△DE =；△45°或135°；（2）DE =；（3）34DMEABF S S = 【解析】【分析】（1）△当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，可证得AF ，△BAF=45°；△当点E 在CD 延长线上时，利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得△BAF=△BDE=135°；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF △△DBE ，即可求得答案；（3）利用（2）的结论证得22EDB AFB S DE S AF==()，BF 2a =，则FE=2a ，BE=，求得BM =，证得△MBE ∽△EBD ，得到BE BM BD BE=，即可求得BD和MD 的长，从而求得答案．【详解】（1）△△四边形ABCD 是正方形，△OB=OC=12AC=12BD ，△BOC=90°， 当点E 与点C 重合、点F 与点O 重合时，如图：△BEF 等腰直角三角形，△AF ，△△BAF=45°；当点E 在CD 延长线上时，如图：连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 45BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△EBA =△DBE+△EBA =45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△△BAF=△BDE=△ADB+△ADE =45°+90°=135°， 故答案为：△AF ，△△BAF=45°或135°；（2）连接BD ，△四边形ABCD 是正方形△△ABD=45°，△cos 452AB BD =︒=， △△BEF 是等腰直角三角形，△BFE=90°， △BF=FE ，△FBE=45°，△cos 452BF BE =︒=， △AB BF BD BE =，即AB BD BF BE=， △△ABF+△DBF =△DBE+△DBF=45°， △△ABF=△DBE ，△△ABF △△DBE ，△DE BD AF AB==，△DE =；（3）△△ABF △△EBD ， △22EDB AFB S DE S AF==()，又△△MEB=△BDE=45°，△MBE=△EBD ， △△MBE △△EBD ，△BE BM BD BE=， 令BF 2a =，△FE=2a ，BE=， △M 是FE 的中点，△FM=12FE a =， △==，=， △，△，△3588DME DBE SMD S BD ===， △34DMEABFSS =． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．105．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，DE 的延长线与AB 的延长线相交于点F.（1）求证：△CDE ≌△BFE ；（2）试连接BD 、CF ，判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论【答案】(1)证明见解析；（2）四边形CDBF 是平行四边形，证明见解析.【解析】【分析】（1）用AAS 证明△CDE ≌△BFE ；（2）根据全等三角形的对应边相等，得DE=FE ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形证得四边形DBFC为平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD即AF∥CD．∴∠F=∠CDE∵BE=CE，∠BEF=∠CED∴△CDE≌△BFE；（2）由（1）知：△CDE≌△BFE∴DE=FE又BE=CE，∴四边形DBFC为平行四边形．106．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE的度数是多少．【答案】（1）证明见解析；（2）18°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理求出∠AOB，从而可得到∠CDO，最后，依据∠BDE=90°-∠DOC求解即可．【详解】解：（1）∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）∵∠ADC=90°，∠ADB ：∠CDB=2：3，∴∠ADB=36°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD ，∴∠OAD=∠ADB=36°，∴∠DOC=72°，∵DE ⊥AC ，∴∠BDE=90°-∠DOC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．107．如图所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CE 是AB 边上的高，AF 平分CAB ∠交CE 于点F ，过点F 作//FD CB 交AB 于点D ．求证：AC AD =．【答案】见解析.【解析】【分析】由平行线的性质和直角三角形的性质可证明∠ADF＝∠B＝∠ACF，结合角平分线的定义可证明△ACF≌△ADF，可得AC＝AD．【详解】证明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵AC⊥BC，CE⊥AB，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＋∠ECB＝∠ECB＋∠B＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠ADF，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAF，在△ACF和△ADF中，CAF DAFACF ADF AF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ADF（AAS），∴AC＝AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．108．已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB 的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A—D—C运动，同时点P 从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6t =，9t =;（2）见解析;（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；（2）分当0＜t ≤3时，当3＜t ≤6时，当6＜t ≤9时，当9＜t ≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；（3）分交点都在BC 左侧，顶角为120°，交点都在BC 右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC 两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可.【详解】解：（1）当等边△PQF 的边PQ 恰好经过点D 时，如图1,AQ=AD=6，∴t=6÷1=6（秒）；当等边△PQF 的边QF 恰好经过点E 时，如图2,由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，∴QE∥AD，∵点E是AB的中点，∴此时点Q是CD的中点，可求：AD+DQ=6+3=9，所以t=9÷1=9（秒）；（2）如图3,当0＜t≤3时，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，可求：∠PAG=30°，∵∠APQ=60°，∴∠AGP=90°，由AP=t ，可求：PG=12t ，，∴S=12PG ×AG=8t 2； 当3＜t ≤6时，如图4,,AE=3，AP=t ，∴PE=t-3，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，由菱形ABCD 的边长为6，∠DAB=60°，可求：BH=3，EH=6，tan ∠KEB=2， 过点K 作KM ⊥AB ，作CN ∥PK 交AB 的延长线于N ， ∵△EKP ∽△ECN ，可得EM CH =EB EN，可求，∴S △PEK 可求∠QAG=30°，又∠AQG=60°，AQ=t ，可求∠AGQ=90°，DG=12t ，，∴S △AGQ 2，等边三角形APD 的面积为：24，∴S=24-8t 2-2t-36）=−2t 24t −2， 当6＜t ≤9时，如图5，，与前同理可求：S△FQPS △GQN =28），S △KEP ，∴=2， 当9＜t ≤12时，如图6，求出：S△PQFS △QGH =28），S △NEP =2t-36），S △KEF∴S=S △PQF -S △QGH -S △NEP +S △KEFt 2− （3）逆时针旋转：①α=150°，如图7，此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°， 可证△ACD ∽△APM ， ∴AD AM ＝AC AP， 易求AP=12，，AD=6，解得：，所以，②α=105°，如图8,此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，∴AM=AP=12，在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，可求AC=6所以，；③α=60°，如图9,此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，∴BC∥PM，由AB=BP=6可得，CM=AC=6,所以：④α=15°，如图10,此时，易求∠APM=∠M=15°，∴AM=AP=12，所以：CM=AM+AC ， ．【点睛】此题主要考察四边形动点综合问题，会分析运动情况，用定点研究动点问题，会用变量表示图形面积，会针对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键.109．如图①，在半径为6的扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD AC ⊥、OE BC ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）△当4BC =时，线段OE = ；△当BC 的度数= °时，四边形OACB 成为菱形；（2）试说明：四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上；（3）如图②，过点O 作OF DE ⊥，垂足为F ，连接AF ，随着点C 的运动，在△AOF 中是否存在保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求出它的度数；如果不存在，请说明理由；（4）在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为 ．【答案】（1）①；②60；（2）证明见详解；（3）存在，60AOF ∠=︒；（4）3【解析】【分析】（1）△根据勾股定理即可求得线段OE ；△点C 为AC 中点，即BC =60°时，得△OBC ，△OAC 为等边三角形，可得四边形OACB 成为菱形；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD ，根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半，证得EM CM OM DM ===，问题得证；（3）先求得∠EOD =60°，根据（2）的结论，进行角的转化，证明∠EOF =∠AOD ，进而求得60AOF EOD ∠=∠=︒；（4）根据60AOF ∠=︒不变，确定F 的运动轨迹是一条线段，当点C 与A 、B 重合时，OF 最小，当C 位于BC 的中点时，OF 最长，分别求出OF 长，计算可得．【详解】解：（1）△∵OB=OC , OE BC ⊥，∴BE =122BC =，∴在R t △OBE 中，OE ==故答案为：②当∠BOC=60°时，∠AOC =60°，△OBC ，△OAC 为等边三角形， ∴OA=AC=OC=BC=OB ，∴四边形OACB 成为菱形；故答案为：60；（2）取OC 中点M ，连接ME ，MD∵OD AC ⊥，OE BC ⊥∴EM CM OM ==，DM CM OM ==∴EM CM OM DM ===∴以M 为圆心，ME 为半径的圆过,,C D O 三点即四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上（3）答：AOF ∠不变，60AOF ∠=︒；证明：∵OB=OC=OA , OD AC ⊥、OE BC ⊥，∴∠COE =∠BOE =12BOC ∠,∠COD =∠AOD =12AOC ∠， ∴∠EOD =∠COE +∠COD =()111206022AOC BOC ∠+∠=⨯︒=︒， ∵四边形ODCE 的四个顶点在同一个圆上，∴=OD OD ，∴∠OED =∠OCD ，∵OF ⊥DE ，OD ⊥OC ，∴∠OEF +∠EOF =90°， ∠OCD +∠COD =90°，∴∠EOF=∠COD ，∵∠COD =∠AOD ，∴∠EOF =∠AOD ，∴60AOF AOD DOF EOF DOF EOD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（4）由（3）得，60AOF ∠=︒，∴点F 的运动轨迹在∠AOB 的平分线上， 如图1，当点C 与A 重合时，F 与E 重合，∠OAB =30°，OF ⊥AB ， ∴OF =132OA =；如图2，当点C 运动到AB 中点时，∠AOD =∠DOC =30°，OD=OA ·cos ∠AOD =6= OF= OD ·cos ∠FOD =392； ∴933=22-； 当点C 从点B 运动到AB 中点时，也运动了32， ∴在（3）条件下，若点C 从点B 运动到点A ，则点F 的运动路径长为3．【点睛】本题考查了圆，直角三角形，菱形，圆内接四边形等数学知识，综合性较强，为几何题中压轴题，解题时要注意，每一步为后续解题提供了条件或方法上的帮助，这是解题关键．110．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=△DEF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF△AB，DE△AC，再根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角线相等可得△DEF=△BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得△DAH=△DHA，△FAH=△FHA，然后求出△DHF=△BAC，等量代换即可得到△DHF=△DEF．试题解析：证明：（1）△点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，△DE、EF都是△ABC的中位线.△EF△AB，DE△AC，△四边形ADEF是平行四边形.（2）△四边形ADEF是平行四边形，△△DEF=△BAC.△D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，△DH=AD，FH=AF.△△DAH=△DHA，△FAH=△FHA.△△DAH+△FAH=△BAC，△DHA+△FHA=△DHF，△△DHF=△BAC.△△DHF=△DEF．考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．。
第一单元《平行四边形》知识点
第一单元《平行四边形》知识点
本文档旨在介绍第一单元《平行四边形》的知识点。
1. 平行四边形的定义
平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
四个角均为直角的平行四边形称为矩形。
2. 平行四边形的性质
- 平行四边形的对边相等。
- 平行四边形的对角线相交于一点，并且该点到四个顶点的距离相等。
- 平行四边形的邻边互补，即相邻两边之和等于180度。
- 平行四边形的对角线等分对角线角。
3. 平行四边形的分类
根据边长和角度的不同，平行四边形可以分为以下几类：
- 矩形：具有四个内角均为直角的平行四边形。
- 正方形：具有四条边长相等且四个内角均为直角的平行四边形。
- 长方形：具有两组对边相等且四个内角均为直角的平行四边形。
- 平行四边形：为一般性的平行四边形，具有两组对边平行但
不一定角度相等或边长相等。
4. 平行四边形的应用
平行四边形的概念在几何学和实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平行四边形常被用作地板砖、窗户和门的形状。
在
数学中，平行四边形的性质也与向量、矩阵和平面几何等领域密切
相关。
以上是第一单元《平行四边形》的知识点概述。
对于每个具体
的内容，我们将在课堂上进行深入讲解和练。
- 完 -。