上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
2020-2021学年初一(上)期中考试数学试卷(含答案)
2020-2021学年初一（上）期中考试数 学（考试时间90分钟 满分100分）18分）1．如图是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（ ）A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．44.98D ．Φ45.012．下列运算中正确的是（ ）A ．2(2)4-=- B ．224-= C ．3(3)27-=- D ．236= 3．若37x =是关于x 的方程70x m +=的解，则m 的值为（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．134．若单项式12m a b -与212n a b 是同类项，则mn 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．95．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A ．852020x y -=B ．26x -C ．212191y y =+D ．582x x +=6．下列计算正确的是（ ）A ．8(42)8482÷+=÷+÷B ．1(1)(2)(1)(1)12-÷-⨯=-÷-= C ．3311311636624433434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．[](2)(2)40--+÷= 7．下列方程的解法，其中正确的个数是（ ） ①14136x x ---=，去分母得2(1)46x x ---= ②24132x x ---=，去分母得2(2)3(4)1x x ---= ③2(1)3(2)5x x ---=，去括号得22635x x ---=④32x =-，系数化为1得32x =- A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A ．821.9410⨯元B ．82.19410⨯元C ．100.219410⨯元D ．92.19410⨯元9．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题（本题共有9小题，每小题3分，共27分）10．如果数轴上A 点表示3-，那么与点A 距离2个单位的点所表示的数是 ．11．比较大小：78- 89-（填“>”“<”或“=”） 12．历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示，例如多项式2()25f x x x =+-，则(1)f -= ．13．用四舍五入法将3.694精确到0.01，所得到的近似值为 ．14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如()2222153x x x x --+=-+-，则所捂住的多项式为 ．15．“☆”是新规定的某种运算符号，设a ☆b =ab a b +-，若2 ☆8n =-，则n = ．16．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知2m n +=-，4mn =-，则2(3)3(2)mn m n mn ---的值为 ．17．某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用12 000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x 元，可列方程为 ．18．观察下列一组算式：2231881-==⨯，22531682-==⨯，22752483-==⨯，22973284-==⨯……根据你所发现的规律，猜想22201920178-=⨯ ．三、按要求解答（第19小题8分，第20小题5分，第21小题10分，共23分）19．计算题（每小题4分，共8分） ①3511114662⎛⎫---- ⎪⎝⎭ ②[]31452(3)5211⎛⎫-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭20．（本题5分）化简并求值：222212(2)()2x xy y xy x y ⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中x 、y 的取值如图所示．21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --= ②243146x x --=-四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．（本题4分）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x a =的形式．下面是解方程20.30.410.50.3x x -+-=的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号填入相应的括号中．解：原方程可化为4153x +-=（ ） 去分母，得3(203)5(104)15x x --+=（ ）去括号，得609502015x x ---=（ ）移项，得605015920x x -=++（ ）合并同类项，得1044x =（合并同类项法则） 系数化为1，得 4.4x =（等式的基本性质2）23．（本题4分）阅读材料，回答问题．计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式的倒数为211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2112(30)31065⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭＝203512-+-+＝10-故原式＝110- 根据材料中的方法计算113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 24．（本题5分）在某地住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）． （1）用含m ，n 的代数式表示该广场的面积S ；（2）若m ，n 满足2(6)50m n -+-=，求出该广场的面积．五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．（本题6分）列代数式或一元一次方程解应用题请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打8折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．26．（本题6分）下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为62x y +，第2格的“特征多项式”为94x y +，回答下列问题．（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 ；（n 为正整数）（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．27．（本题7分）在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的13倍，我们就把点C叫做【A，B】的理想点．例如：图中，点A表示的数为-1，点B表示的数为3．表示数0的点C到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点C是【A，B】的理想点；又如，表示数2的点D到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点D 就不是【A，B】的理想点，但点D是【B，A】的理想点．（1）当点A表示的数为-1，点B表示的数为7时，①若点C表示的数为1，则点C（填“是”或“不是”）【A，B】的理想点；②若点D是【B，A】的理想点，则点D表示的数是；（2）若A，B在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C到达点A时停止．请直接写出点C运动多少秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的理想点？参考答案一、选择题（每小题2分，共18分）二、填空题（每小题3分，共27分）19．计算题（每小题4分，共8分）①原式=3511114662--+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =5131116642--++ =1224-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 =14┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ②原式=14582211⎛⎫-⨯-÷ ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =24--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分=6-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分20．解：原式=22221242x xy y xy x y ⎛⎫---+- ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =22221242x xy y xy x y --+-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =272x xy -┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 当2x =，1y =-时┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分原式=2722(1)112-⨯⨯-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --=解：60610y y -+=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分61060y y +=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分770y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分10y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 ②243146x x --=- 解：3(2)122(43)x x -=--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分310x -=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分103x =-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．③；②；④；①┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分23．解：原式的倒数为132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 1322(42)61437⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭792812=-+-+14=-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分故原式=114-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 24．解：（1）S 7220.52m n n m mn =⋅-⋅=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 （2）由题意得6050m n -=⎧⎨-=⎩，解得65m n =⎧⎨=⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分当6m =，5n =时 S 7651052=⨯⨯=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．解：（1）设一个水瓶x 元，则一个水杯是(48)x -元┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分34(48)152x x +-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分40x =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分∴4848408x -=-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分答：一个水瓶40元，一个水杯8元．（2）甲商场需付款：80%(540208)288⨯⨯+⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 乙商场需付款：5408(2052)280⨯+⨯-⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 ∴选择乙商场更划算．26．解：（1）126x y +；158x y +；3(1)2n x ny ++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）(2112)(1810)x y x y +-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分32x y =+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分27．（1）①是┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②5或11┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）设运动时间为t 秒，则BC t =，6AC t =-依题意，得C 是【A ，B 】的理想点时有16=3t t -，∴92t = C 是【B ，A 】的理想点时有1(6)3t t =-，∴32t = A 是【C ，B 】的理想点时有16=63t -⨯，∴4t =B 是【C ，A 】的理想点时有1=6=23t ⨯ 答：点C 运动92秒、32秒、4秒、2秒时，C ，A ，B 中恰有一个点为其余两点的理想点．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分。
上海市行知中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷Word版含答案
2021-20211学年行知中学高二上数学10月月考卷一. 填空题〔本大题共10题，1-6每题4分，7-10每题5分，共44分〕 1. 设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，那么{}n a 的通项公式为 2. 数列{}n a 满足12a =，1(1)n n n n a a a +=+-〔*n ∈N 〕，那么42a a 的值为 3. 向量，，，假设∥，那么λ=4. 22351lim()12n n n an an →∞++=+-，那么常数a = 5. 等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足11()2n n S a -=-，那么常数a = 6. 设函数()arctan f x x =，那么(1)f -的值为7. 如果1131lim 33n n n n n a a ++→∞+=+，那么实数a 的取值范围是 8. 数列112⨯，123⨯，134⨯，⋅⋅⋅，1(1)n n +，⋅⋅⋅，那么数列的所有项和为9. 数列{}n a 满足212112n a a a n n n++⋅⋅⋅+=+〔*n ∈N 〕，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，假设1n nT n λ<+〔*n ∈N 〕恒成立，那么λ的取值范围是 10. 无穷等比数列{}n a ，公比q 满足0||1q <<，123()n n n n a k a a a +++=+++⋅⋅⋅，求实数k 的取值范围 二. 选择题〔本大题共4题，每题4分，共16分〕11. 数列{}n a 的极限为A ，如果数列{}n b 满足662103310nn na nb a n ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，那么数列{}n b 的极限是〔 〕A.AB. 23A C.3A D. 不存在12. 某个命题与自然数n 有关，假设n k =〔*k ∈N 〕时命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现5n =时，该命题不成立，那么可以推得〔 〕A.6n =时该命题不成立B. 6n =时该命题成立C.4n =时该命题不成立D. 4n =时该命题成立13. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作〞，设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作〞后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作〞后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和〔如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和〕，n S 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，那么lim n n S →∞=〔 〕3B. 33D. 1214. 假设数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，那么称{}n b 是{}n a 的子数列，两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，那么满足条件的数列{}n b 的个数为〔 〕A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无穷多个 三. 解答题〔本大题共5题，共8+8+8+18+18=60分〕 15.设、满足，，且与的夹角为23π，求：〔1〕；〔2〕；〔3〕.16.21()3sin cos cos 2f x x x x =-+. 〔1〕求()4f π；〔2〕假设[0,]2x π∈，求()f x 的取值范围；〔3〕设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，周长为1，假设1()2f B =-，求△ABC 面积的最大值. 17.各项均不为零的数列{}n a 满足11a =，前n 项和为n S ，且22212n n nS S n a --=，*n ∈N ，2n ≥，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，*n ∈N .〔1〕求2a ，3a ；〔2〕求2019S .18.如果数列{}n a 、{}n b 满足1||n n n a a b +-=〔*n ∈N 〕，那么就称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列〞. 〔1〕假设{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列〞，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由； 〔2〕假设无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列〞，求1231111lim()n nb b b b →∞+++⋅⋅⋅+的值； 〔3〕设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列〞，11a =，221n n a a -≤且221n n a a +≤，假设||n a M ≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数M 的最小值.19.对于数列{}n a ，假设存在正数p ，使得1n n a pa +≤对任意*n ∈N 都成立，那么称数列{}n a 为“拟等比数列〞. 〔1〕0a >，0b >且a b >，假设数列{}n a 和{}n b 满足：12a ba +=，1b ab =且12n n n a b a ++=，1n n n b a b +=〔*n ∈N 〕；① 假设11a =，求1b 的取值范围；② 求证：数列{}n n a b -〔*n ∈N 〕是“拟等比数列〞；〔2〕等差数列{}n c 的首项为1c ，公差为d ，前n 项和为n S ，假设10c >，40350S >，40360S <，且{}n c 是 “拟等比数列〞，求p 的取值范围〔请用1c 、d 表示〕.2021-20211学年行知中学高一上数学10月月考卷参考答案一. 填空题 1.63n a n =- 2.433.124. 35.26. 4π-7. (3,3]- 8. 19. 3(,)8+∞ 10.(,2)(0,)-∞-+∞ 二. 选择题 11. C12. C13. A14. C 三. 解答题15.〔1〕4-；〔2〕12；〔3〕419. 16.〔1〕32；〔2〕1[,1]2-；〔3〕334-. 17.〔1〕26a =，34a =；〔2〕20194078379S =.18.〔1〕不一定，比方(1)n n a =-，2n b =，{}n a 不是等差数列；〔2〕34或23〔13n n a -=，123n n b -=⨯或132n n a -=⨯，132n n b -=⨯；〔3〕296.解：(1) 如(1)nn a =-，那么2n b =为常数列，但{}n a 不是等差数列，…………………4分(2) 设数列{}n a 的公比为q ，那么由题意，1a 、q 均为正整数， 因为326a a -=，所以1(1)3126a q q -=⨯⨯=， 解得113a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩，故13n n a -= 或132n n a -⨯=(n ∈N *)，………8分①当13n n a -=时，123n n b -⨯=，1111()23n n b -=，43)111(lim 21=+⋯++∞→n n b b b ，② 当132n n a -⨯=时，132n n b -⨯=，1111()32n n b -=，32)111(lim 21=+⋯++∞→n n b b b综上，1231111lim n n b b b b →∞⎛⎫++++⎪⎝⎭的值为34或23；……………10分 (3) 由n a 2≤12-n a 且n a 2≤12+n a 得，])21(6[)1(11++--=-n n n n a a =1)21()1(6+-+-⋅n n 故有：n n n n a a )21()1(611-+-⋅=---，1221)21()1(6-----+-⋅=-n n n n a a ，……2112)21()1(6-+-⋅=-a a ，累加得：])21()21()21[(])1()1()1[(6321211n n n a a -+⋯+-+-+-+⋯+-+-=--=211])21(1[412])1(1[1611+--+---⨯--n n =6)21(1])1(1[311----+---n n ，又11=a ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=---∈-=--=--*1*1,2)21(61629,12)21(6167N m m n N m m n a n n n………………14分当n 为奇数时，{}n a 单调递增，0>n a ，67lim =∞→n n a ， 当n 为偶数时，{}n a 单调递减，0<n a ，629lim -=∞→n n a ，从而||n a ≤629，所以M ≥629，即M 的最小值为629．…………18分 19.解：〔1〕①∵0 0a b >>，，且a b >，112a ba +==，∴11b =<，∴1(0 1)b ∈，，……4分②依题意得：112a b a b +=>=所以，当* 2n n ∈≥N ，时，1102n n n n a ba b --+-=>，…6分 所以对任意*n ∈N，都有111()222n n n n n n n n a b a b a b a b ++++-=<=-， ……8分即存在12p =，使得11()n n n n a b p a b ++-<-，∴数列*{}(N )n n a b n -∈是“拟等比数列〞．……10分〔2〕()201840351403640364035004036002c S c c S ⋅>⎧>⎧⎪⇒⎨⎨+⋅<<⎩⎪⎩……12分201820181201820192019100201700020180c c c d c c c c d >>+>⎧⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨⎨+<<+<⎩⎩⎩ 由10c >可知0d <，从而解得120182017c d-<<-， …14分 又{}n c 是“拟等比数列〞，故存在0p >，使得1n n c pc +≤1︒当2018n ≤时，0n c >，()()+11111111111n n c c n d dp c c c n d c n dn d +⋅≥==+=++-⋅+-⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭由1120182017201812019c cd d-<<-⇒<-<， 由图像可知1111c n d +⎛⎫-- ⎪⎝⎭在2018n ≤时递减，故211201620171,20172018c d p c c ⎛⎫≥=+∈ ⎪⎝⎭；……16分 2︒当2019n ≥时，0n c <，()()+11111111111n n c c n d dp c c c n d c n dn d +⋅≤==+=++-⋅+-⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭由1120182017201812019c cd d-<<-⇒<-<，由图像可知1111c n d +⎛⎫-- ⎪⎝⎭在2019n ≥时递减，故1p ≤；由12︒︒可得，此时p 的取值范围是111d c ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…18分。
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）A ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±2. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）A ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==3. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( ) A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．15. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）A ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<6. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A B ． C ．12 D ．7. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=8. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ） A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=10. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --=11. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ） A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=12. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）A ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．14. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．15. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．16. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程．18. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）点(,)P x y 在轨迹C 上，求2yx -的最小值．19. （12分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．20. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．21. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF与平面PCD所成角的正弦值等于15；②DA与平面PDF所成角的正弦值等于34；③P A与平面PDF所成角的正弦值等于3．问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线:l x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 23. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）CA ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±24. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）DA ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==25. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )CA ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴26. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( )B A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．127. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）DA ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<28. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）AA B ． C ．12 D ．29. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=30. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）BA ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 31. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ）ABD A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=32. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）CDA ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过点2)且与直线l 40y --=33. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ）BC A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=34. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）ACDA ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当2m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF【解析】设椭圆的左焦点为F '，则||||AF BF '=，所以||||||||AF BF AF AF '+=+为定值6，A 正确；ABF ∆的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，易知||AB 的范围是(0,6)，所以ABF ∆的周长的范围是(6,12)，B 错误；将y 与椭圆方程联立，可解得(A ，B ，又易知F ，所以2(60AF BF =+=，所以ABF ∆为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得(A ，B ，所以112ABF S ∆=⨯=D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．35. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．336. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．21537. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．34(,0,)55--38. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．【解析】直线()()21340m x m y m +-+--=化为 (3)240m x y x y --+--=，令30{ 240x y x y --=--=，解得1{2x y -＝．＝∴直线()()21340m x m y m +-+--=过定点12Q -（，）． ∴点M 在以PQ 为直径的圆上，圆心为线段PQ 的中点11C --（，）线段MN 长度的最大值5CN r =+==线段MN 长度的最大值5CN r =-==故答案为5⎡+⎣.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 39. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程． 解：(1)设线段BC 的中点为D ． 因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 的中点D(3,−5)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y−0−5−0=x−43−4， 即5x −y −20=0．(2)因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 边所在直线的斜率k BC =−3−(−7)0−6=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在直线的方程为y =32(x −4)， 即3x −2y −12=0．40. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）求2yx -的最小值． 解：(1)设动点M(x,y)， 根据题意得，√(x+1)2+y 2√(x−2)2+y 2=12，化简得，(x +2)2+y 2=4，所以动点M 的轨迹方程为(x +2)2+y 2=4． (2)设过点(2,0)的直线方程为y =k(x −2)， 圆心到直线的距离d =√k 2+1≤2，解得−√33≤k ≤√33， 所以yx−2的最小值为−√33．41. （12分）如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小． （1）证明：∵F,G 分别为PB,EB 中点，∴FG PE ∥，,FG PED PE PED ⊄⊂平面平面，FG PED ∴平面∥. （2）解：EA ABCD EA PD ⊥平面，∥，PD ABCD ∴⊥平面. 又ABCD 四边形为矩形，,,DA DC DP ∴两两垂直.故以D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，所以可取(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ， 则||2cos ||||m n m n θ⋅==⋅，又[0,]2πθ∈，∴平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.42. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值． 解：(1)把圆x 2+y 2−8x −12y +36=0， 化为标准方程得(x −4)2+(y −6)2=16， 所以圆心坐标为(4,6)，半径为R =4，则两圆心间的距离d =√(42+(6−2)2=5， 因为两圆的位置关系是外切，所以d =R +r ，即4+√5−m =5，解得m =4， 故m 的值为4；(2)因为圆心C 的坐标为(1,2)， 所以圆心C 到直线l 的距离d =√5=√55， 所以(√5−m)2=(12|MN|)2+d 2=(2√55)2+(√55)2，即5−m =1，解得m =4， 故m 的值为4．43. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题 处，若问题中的四棱锥存在，求AB 的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于15； ②DA 与平面PDF 所成角的正弦值等于34； ③P A 与平面PDF 所成角的正弦值等于3． 问题：若点F 是AB 的中点，是否存在这样的四棱锥，满足 ？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）证明：=90PAB ∠，AB PA ∴⊥， ∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥， 又,PA AD PAD ⊂平面，且PAAD A =，AB PAD ∴⊥平面，又AB ABCD ⊂平面，故平面PAD ⊥平面ABCD.（2）解：取AD 中点为O ，∵4PA PD AD ===，∴OA ⊥OP ，以O 为原点，OA,OP 所在直线分别为x,z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>， 则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)A D P B a C a F a --， 选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CF a DC a DP =-==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030ay x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,0,1)n =-，设CF 与平面PCD 所成角为θ，则2||315sin 5||||4CF n CF n aθ⋅===⋅+，解得1a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时22AB a ==. 选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)DA DP DF a ===，，设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z x ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,)n a a =--，设DA 与平面PDF 所成角为θ， 则||3sin 4||||2DA n DA n θ⋅===⋅，解得3a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时26AB a ==. 选③：易知P A 与平面PDF 所成角小于APD ∠，设P A 与平面PDF 所成角为θ，则sin sin sin32APD πθ<∠==，故不存在符合题意的四棱锥.44. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的 右顶点C ，求m 的值．解：(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2， 所以2a +2c =6+4√2，又椭圆的离心率为2√23， 即c a =2√23， 所以c =2√23a ， 所以a =3，c =2√2．所以b =1， 椭圆M 的方程为x 29+y 2=1;(Ⅱ)由{x =ky +m x 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2km k +9，y 1y 2=m 2−9k +9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)， 得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式， 得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0． 将①代入上式，解得m =125或m =3．。
上海市宝山区行知中学2020-2021高二上学期期中考试数学(含答案)
上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 1和3的等比中项等于_________.2.行列式123456789中，6的代数余子式的值是_________.3.已知向量(1,0)AB =，(0,2)BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________.4.过点(4,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）5.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=_________. 6.已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为_________.7.已知直线:l y =，过点(0,3)A 的直线m 与直线l 夹角为6π，则直线m 的直线方程是_________.8.不等式2x y +≤表示的平面区域面积是_________.9.已知点(2,3)A -，点(3,1)B ，直线：10ax y ++=与线段AB 有一个公共点，则实数a 的取值范围是_________.10.已知点(3,1)A -，点M 、N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.11.如图，等边ABC ∆是半径为2的圆O 的内接三角形，M 是边BC 的中点，P 是圆外一点，且4OP =，当ABC ∆绕圆心O 旋转时，则OB PM ⋅的取值范围为_________. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d+++-=-+（0d >,*n ∈N ）．且{}2n a 、{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分） 13.用数学归纳法证明：*111113(2,)12324n n N n n n n n ++++>≥∈++++的过程，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为………………………（ ） A.121k + B. 122k + C. 112122k k +++ D. 112122k k -++14.已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π15.已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（ ）A. 必有一项为零B. 可能有无穷多项为零C. 至多一项为零D. 任何一项均不为零 16. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中A P A B A E λμ=+，下列判断正确．．的是……………………………………………（ ） （A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知(2,1)a =，(1,1)b =-，(5,6)c =，且满足()//a kb c +. （1）求实数k 的值；P （第16题图）（2）求与a垂直的单位向量的坐标.18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线2l a a x ay-+--=.:(24)30A，试写出直线l的一个方向向量；（1）若直线l过点(1,0)a≠，求直线的倾斜角α的取值范围.（2）若实数019. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，a为第1年至n此后第n(n N*∈)年的累计利润(注:含第n年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位:千万元)，且当a为正值时，认为该项目赢利.n（1）试求a;n（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列{}n a ，*111,21,n n a a a n N +==+∈，数列{}n b 前n 项和为. n S ，9n b n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n bn t a =（a 为非零实数），求121lim2nn n t t t t →∞+++++；（3）若对任意的n N *∈，都存在m N *∈，使得32nn m a S t -+-≥成立，求实数t 的最大值.21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设q 为不等于1的正常数，{}n a 各项均为正，首项为1，且{}n a 前n 项和为n S ，已知对任意的正整数,n m ，当时n m >，mn m n m S S q S --=恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，存在一列数12,,,,n k k k ：恰好使得1212,,,,n k k k n t a t a t a ===且121,2k k ==，求数列{}n k 的通项公式；（3）当3q =时，设n nnb a =，问数列{}n b 中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 1和3的等比中项等于_________.【答案】2.行列式123456789中，6的代数余子式的值是_________. 【解析】6的代数余子式为23(1)(1827)6+-⨯-⨯=.3.已知向量(1,0)AB =，(0,2)BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________. 【答案】(1,2)4.过点(4,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.（用一般式表示） 【解析】所求直线方程为(1)2(3)0x y -++=，即250x y ++=.5.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=_________. 【答案】236.已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+_________.【解析】作出可行域，如图，最优解为(1,2)A -， max 1223z =-+⨯=.7.已知直线:l y =，过点(0,3)A 的直线m 与直线l 夹角为6π，则直线m 的直线方程是_________.【答案】0x =或3y =+. 8.不等式2x y +≤表示的平面区域面积是_________.【解析】不等式||||2x y +≤表示的平面区域为图中的菱形区域， 14482S =⨯⨯=.9.已知点(2,3)A -，点(3,1)B ，直线：10ax y ++=与线段AB 有一个公共点，则实数a 的取值范围是_________.【解析】(2,1),(3,1)A B -代入得(231(311)0a a -++⋅++≤）即23a ≤-或2a ≥ 10.已知点(3,1)A -，点M 、N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.【解析】作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--， 则||||||||AM MN A M MN '+=+，最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，d ==，所以||||AM MN +的最小值为5.11.如图，等边ABC ∆是半径为2的圆O 的内接三角形，M 是边BC 的中点，P 是圆外一点，且4OP =，当ABC ∆绕圆心O 旋转时，则OB PM ⋅的取值范围为_________.【解析】法一：不妨以O 为原点，OA 方向为y 轴正方形建系， 因为2OA OB OC ===，所以(0,1),1)M B --， 因为4OP =，设(4cos ,4sin )P θθ，所以•(3,1)(4cos ,14sin )OB PM θθ=----[]8s 4i si n(n )17,931πθθθ=-+∈-=-+.法二：向量分解，观察到60,1BOM OM ∠==，()1OB PM OB OM OP OB OM OB OP OB OP ⋅=⋅-=⋅+⋅=+⋅，又因为[]8,8OB OP ⋅∈-，所以[]7,9.OB PM ⋅∈-12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d+++-=-+（0d >,*n ∈N ）．且{}2n a 、{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.【解析】因为211n n n n a a a a d +++-=-+，2111a a a a -=-=-，所以11(1)n n a a a n d +-=-+-①，因为{}{}221,n n a a -分别构成等差数列， 所以221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥①， 212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥①， 2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥①，由①+①，得2121[1(21)][1(22)]n n a a a n d a n d +--=±-+-±-+-， 而{}21n a -是等差数列，所以2121n n a a +--必为常数，所以2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥， 或2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥， 由①得321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+， 因为2a a =，所以3(1)a a d a =±-++， 因为11a =，所以311(1)a a a a d -=-±-+， 即31a a d -=-或312(1)a a a d-=-+（舍去），PC所以2121n n a a d +--=-，所以211(1)n a n d -=--，同理，由①+①得，222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥， 所以222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，因为321a a a d -=-+-，而43(12)a a a d -=±-+， 所以421(12)a a a d a d -=-+-±-+， 即42a a d -=或42223a a a d -=-+-（舍去），所以222n n a a d +-=，所以2(1)n a a n d =+-，所以21221221k k k k a a a a a -+++=+=+，所以2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分） 13.用数学归纳法证明：*111113(2,)12324n n N n n n n n ++++>≥∈++++的过程，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为………………………（ D ） A.121k + B. 122k + C. 112122k k +++ D. 112122k k -++【解析】增加的代数式是11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D. 14.已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（ C ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π【答案】C15.已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（ B ）A. 必有一项为零B. 可能有无穷多项为零C. 至多一项为零D. 任何一项均不为零 【解析】当公比1q =-时，20n S =，即存在无穷多项为0，故选B.16. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中A P A B A E λμ=+，下列判断正确．．的是……………………………………………（ C ） （A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.【解析】如图建系，设正方形的边长为1，则(1,0),(1,1),(1,0),(1,1)B E AB AE -==-， 所以(,)AP λAB μAE λμμ=+=-，当1λμ==时，(0,1)AP =，此时点P 和D 重合，不是BC 的中点，故A 错误； 当1,0λμ==时，(1,0)AP =，此时点P 和B 重合，满足1λμ+=， 当11,22λμ==时，10,2AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时点P 为AD 中点，满足1λμ+=，故点P 不 唯一，故B 错误；当P AB ∈时，01,0λμμ≤-≤=，所以01λμ≤+≤， 当P BC ∈时，1,01λμμ-=≤≤，所以13λμ≤+≤， 当P CD ∈时，01,1λμμ≤-≤=，所以23λμ≤+≤， 当P AD ∈时，0,01λμμ-=≤≤，所以02λμ≤+≤， 综上，03λμ≤+≤，故C 正确，D 错误，故选C.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知(2,1)a =，(1,1)b =-，(5,6)c =，且满足()//a kb c +. （1）求实数k 的值；（2）求与a 垂直的单位向量的坐标. 【解析】（1）(2,1)a kb k k +=-+，(5,6)c =，因为()a kbc +∥，所以6(2)5(1)k k -=+，解得711k =； （2）与a 垂直的向量为(1,2)-和(1,2)-，故所求单位向量为55⎛-⎝⎭和55⎛ ⎝⎭. 18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量； （2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.【解析】（1）把(1,0)A 代入直线l 的方程，得2210a a -+=，解得1a =， 此时直线l 的方程为330x y --=， 故直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）因为0a ≠，所以直线l 的斜率22442(,6][ 2,)a a a k a a-+=+--=∈-∞+∞所以倾斜角arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 19. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，n a 为第1年至此后第n (n N *∈)年的累计利润(注:含第n 年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位:千万元)，且当n a 为正值时，认为该项目赢利. （1）试求n a ;（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，【解析】（1）由题意得第1年至此后第n 年的累计投入为82(1)26n n +-=+（千万元），第1年至此后第n 年的累计净收入为2111313133122222222n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（千万元）， 所以331(26)2722nnn a n n ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（千万元）；（2）令113()422nn n f n a a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当*3,n n ≤∈N 时，()0f n <，所以4n ≤时，n a 单调递减， 当*4,n n ≥∈N 时，()0g n >，所以4n ≥时，n a 单调递增，又7817815330,210,230222a a a ⎛⎫⎛⎫=-<=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该项目从第8年起开始并持续盈利.20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列{}n a ，*111,21,n n a a a n N +==+∈，数列{}n b 前n 项和为. n S ，9n b n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n bn t a =（a 为非零实数），求121lim2nn n t t t t →∞+++++；（3）若对任意的n N *∈，都存在m N *∈，使得32nn m a S t -+-≥成立，求实数t 的最大值.【解析】（1）因为121n n a a +=+，所以12(1)1n n a a +=++，又112a +=，所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，所以21n n a =-；（2）9n n b n t a a -==，记1212nn n t t t T t ++++=+，当1a =时，3n nT =，此时lim n n T →∞不存在，当1a ≠时，()()88888112(1)2n n n n n a a a a a T a a a --------==+-+， 当(1,0)(0,1)a ∈-时，82(1)lim n n a T a -→∞=-，当(,1)(1,)a ∈-∞-+∞时，888111211(1)1lim lim n n n n n a a a a a a T ---→∞→∞--==--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=， 当1a =-时，lim n n T →∞不存在；（3）由题意得3221nn m t S -+--≥对*m N ∈有解，因为9n b n =-，所以当9n ≤时，0n b ≤，当9n ≥时，0n b ≥， 所以()89min (80)9362m S S S -+⨯====-， 所以322613n n t -+---≥对*n N ∈恒成立， 即25832n n t ≤++对*n N ∈恒成立， 因为*n N ∈，所以min2628n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以63541t ≤+=， 所以实数t 的最大值是41.21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设q 为不等于1的正常数，{}n a 各项均为正，首项为1，且{}n a 前n 项和为n S ，已知对任意的正整数,n m ，当时n m >，mn m n m S S q S --=恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，存在一列数12,,,,n k k k ：恰好使得1212,,,,n k k k n t a t a t a ===且121,2k k ==，求数列{}n k 的通项公式；（3）当3q =时，设n nnb a =，问数列{}n b 中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由【解析】（1）因为当n m >时，mn m n m S S q S --=⋅恒成立，所以当2n ≥时，令1m n =-， 得1111n n n n S S q S q ----==，即1n n a q -=， 又11a =，适合，所以1n n a q -=；（2）因为数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，所以13(1)32n t n n =+-=-，所以132n n k n t k q-=⋅-=，所以123n n q k -+=，因为22k =，所以223q +=，解得4q =，所以1423n n k -+=；（3）当3q =时，13n n n n n b a -==，因为11203n n n nb b +--=<， 所以数列{}n b 是递减数列，假设数列{}n b 中存在三项,,p q r b b b 成等差数列，其中p q r <<， 则2p r p b b b +=，即1112333p q r p r q---+=⋅， 当2n ≥时，132(1)333n n n n n n -+=≥， 若2p ≥，则112(1)2333pp q p p q--+≥≥（数列{}n b 是递减数列），矛盾， 所以1p =，所以112133r q r q --+=， 因为数列{}n b 是递减数列，232111,3232b b ==＞＜，而1121133q r q r--=+＞， 故只能1233q q -=，解得2q =，此时3r =，故存在123,,b b b 成等差数列. 【注】填空12选自2020届闵行一模21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 满足11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d +++-=-+（0d >）*n ∈N ．（1）当2d a ==时，写出4a 所有可能的值；（2）当1d =时，若221n n a a ->且221n n a a +>对任意*n ∈N 恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}2n a 、{}21n a -分别构成等差数列，求2n S ．【解析】（1）当2d a ==时，2112n n n n a a a a +++-=-+，即{}1n n a a +-是以1为首项、2为公差的等差数列， 所以1=21n n a a n +--……2分可得：32=3a a -±，43=5a a -±，所以3=5,1a -，43=5a a ±，所以410a =或40a =或4=4a 或4=6a -. ……………………………4分 （2）当1d =时，2111n n n n a a a a +++-=-+，即{}1n n a a +-是首项为1a -、公差为1的等差数列. 所以1||=112n n a a a n a n +--+-=-+，所以212||22n n a a a n +-=-+，221||32n n a a a n --=-+, 因为221n n a a ->且221n n a a +>，所以22122n n a a a n +-=-+，22132n n a a a n --=-+ …………………6分 所以21211n n a a +--=-,所以212n a n -=-,22132+1n n a a n a a n -=-+=-+………8分所以3,2=1,2n nn a n a n -⎧⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数. ………10分 （3）由已知得1||=1(1)n n a a a n d +--+-()*n ∈N…………………………………①若{}2n a 、{}21n a -分别构成等差数列， 则[]221=1(22)n n a a a n d--±-+-()2n ≥…①[]212=1(21)n n a a a n d +-±-+-()1n ≥， ……………………………①2221=(12)n n a a a nd ++-±-+()1n ≥， ……………………………①由①+①得：[][]2121=1(21)1(22)n n a a a n d a n d +--±-+-±-+-()2n ≥因为{}21n a -是等差数列，2121n n a a +--必为定值所以[][]2121=1(21)1(22)n n a a a n d a n d +---+---+-或[][]2121=1(21)+1(22)n n a a a n d a n d +----+--+-即2121n n a a d +--=()2n ≥或2121n n a a d +--=-()2n ≥ ………………12分 而由①知321a a a d -=-+，即()321a a a d -=±-+，所以()3111a a a a d -=-±-+，即31a a d -=-或()3121a a a d -=-+（舍） 故2121()n n a a d n *+--=-∈N …………………………………………14分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧=-+-=-=k n a k k n k a n 2,112,2或写成所以()*211(1)n a n d n -=--∈N . 同理，由①+①得：[][]222=121(21)n n a a a nd a n d +-±-+±-+-()1n ≥，所以222=n n a a d +-或222n n a a d +-=-，由上面的分析知321a a a d -=-+-， 而()4312a a a d -=±-+，故()42112a a a d a d -=-+-±-+， 即42a a d -=或42222a a a d -=-+-（舍） 所以222=n n a a d +- ………………16分所以2(1)n a a n d =+-， 从而21221221k k k k a a a a a -+++=+=+（*k ∈N ）所以21221(1)(1)(1)(1)n n n aS a a a a a a n a +=+++=++++⋅⋅⋅++=+个…18分。
高二上学期期中考试 数学 Word版含答案
2020—2021学年度第一学期10月联合考试试卷高二数学本卷考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.sin 20cos10cos160sin10-= （ ）A ．32-B ．32C ．12- D.122.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知355,2, ,10a c cos B ===则b =（） A.√2B.√3C.2D.33.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为( )A. 62B. 5,0)2C. 2(,0)2D.3,0) 4. 已知两条直线,m n ，两平面,αβ，给出下面四个命题，其中正确的命题是（ ） A.//,////m n m n αα⇒ B. //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C.//,m n m n αα⊥⇒⊥D. ,//,m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥5.直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=︒,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( ) A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且以线段12F F 为直径的圆与直线20bx cy bc -=相切，则C 的离心率为（）3 B.312 27.已知圆22:680C x y x y +--=,则:22x y +的最大值与最小值的和为( )A.5B.10C.25D.1008. 点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最小值为( )A.212C.21 二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12F F ，在y 轴上，短轴长等于2 过焦点1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P Q 、两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的方程为2213y x +=B ．椭圆C 的方程为2213x y +=C ．||PQ =．2PF Q 的周长为10.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点()()(),0,,00A m B m m ->.若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则实数m 的取值可以为( )A.4B.5C.6D.711.,A B 是不在平面α内的任意两点，则（ ）A ．在α内存在直线与直线AB 异面 B.在α内存在直线与直线AB 相交 C.存在过直线AB 的平面与α垂直 D. 在α内存在直线与直线AB 平行 12. 在ABC 中，角所对的边分别为,,a b c ，给出下列四个命题中，其中正确的命题为( )A. 若::1:2:3A B C =，则::1:2:3a b c =；B. 若cos cos A B <，则sin sin A B >；C. 若30,3,4A a b ===，则这个三角形有两解；D. 当ABC ∆是钝角三角形．则tan tan 1A C ⋅<.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.长方体的长、宽、高分别为4,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 .14.如果方程22216x y a a +=-表示双曲线，则实数a 的取值范围是_______.15.已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.16.在∆ABC 中,3,1AC AB ==,点D 为BC 边上的点,AD 是∠BAC 的角平分线,则AD 的取值范围是________________.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题共10分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥平面ABCD ,//CD,.AB CD AC ⊥(1)求证:AB PAC ⊥平面；(2)设平面PAB ⋂平面PCD l =,求证://AB l .18．（本小题共12分）在△ABC中，,3A b π==，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（1） B 的大小；（2） ABC ∆的面积 ．条件①：222b ac +=+； 条件②： cos sin a B b A =． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
2020-2021学年上海市中考数学二模试卷及答案解析A
上海市中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．8．用科学记数法表示：3402000= ．9．化简分式：= ．10．不等式组的解集是．11．方程x+=0的解是．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= ．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．解方程组：．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．上海市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．【专题】计算题．【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．5．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】众数；中位数．【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．化简分式：= ．【考点】约分．【专题】计算题．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．不等式组的解集是x≥3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．方程x+=0的解是0 ．【考点】无理方程．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【考点】反比例函数的性质．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】概率公式．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9 万元．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3 ．【考点】*平面向量．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【考点】方差．【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，＞S2黄，∵S2红∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27 ．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△=×6×9=27，ABC当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，=×6×1=3，S△ABC故答案为：3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】勾股定理．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE 中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD 即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x ；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x ；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，=2.5x．∴yA故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，＞y B，∴yA∴选择B运输队．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式．23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．【点评】本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三角形的对应边与对应角，以防弄错．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD 为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P 与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD=2S△ADE解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，直角梯形的判定，直线与二次函数的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD 的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG的长更是解决本题的关键．。
浙江省9 1高中联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3y =+的倾斜角为（ ）A ． 30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2. 已知直线1:10l mx y +-=，()2:2310l m x my ++-=，m R ∈，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.椭圆2241x y +=的离心率为 （ ）A ．34 B C ． 23D ．4. 在空间直角坐标系中，已知()()1,0,2,3,2,4M N --，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是（ ）A ．()1,1,1-B ．()1,1,1--C . ()1,1,1--D ．()1,1,1 5. 已知m 为空间的一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C . 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥6. 方程2x =所表示的曲线大致形状为（ ）A ．B ．C .D ．7. 已知点F 为椭圆221:+184x y C =的右焦点，点P 为椭圆1C 与圆()222:218C x y ++=的一个交点，则PF =（ ）A ． 1BC . 2D ．8. 设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点 其中正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C .①②④D ．①③④9. 若三棱锥P ABC -满足，,,PA BC PB AC PC AB ===，则该三棱锥可能是（ ） A ．2,3,4AB BC CA === B ．3,4,5AB BC CA === C . 4,5,6AB BC CA === D ．以上选项都不可能10. 如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，若点,M N 分别为线段1BD ，1CB 上的动点，点P 为底面ABCD 上的动点，则MN MP +的最小值为（ ）A ．23B ．CD ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.13.已知(),P m n 是椭圆2214x y +=上的动点，则23m n +的最大值是 ，点P 到直线:20l x y -+=的最小距离是___________.14.如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，垂足为D ，DE PC ⊥，垂足为E ，若2PA AC ==，则PEEC= ，三棱锥P ADE -体积的最大值是__________.15.经过点()2,1M -作圆22:5O x y +=的切线，则切线的方程为 ．16.已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线AB 与1A C 所成角的余弦值为 ．17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知m R ∈，命题:p 方程22119x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 函数()2f x x x m =-+在[]2,2-上有零点.（1）若命题p 是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题,p q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ； （2）求二面角111F AC B --的大小.20. 如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD∆为正三角形.（1）证明：CM AD ⊥；（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.21.如图，已知圆()()221:112C x y -++=，圆()()222:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .（1）若2OQ OP =，求直线l 的方程；（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.22.如图，已知椭圆22:143x y Γ+=，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作AB 的垂线交y 轴于点C .（1）设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若1k =，直线l 经过椭圆Γ的左焦点，求1211k k +的值； （2）若AB =23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OMC ∆面积的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CABDD 6-10:DBCCA 二、填空题11. ()()1,1,1,3- 12. 26π+，)144π+13. 5，5 14. 3，3415. 250x y -+=16. 4 17. 13三、解答题18.解：（1）命题:91014p m m m ->+>⇒-<<， 即实数m 的取值范围为()1,4-；（2）命题p 真：[]2,2x ∈-时，216,4m x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，p 真q 假时1,44m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，p 假q 真时[]6,1m ∈--，∴[]16,1,44m ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭. 19.证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ， 于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ， 所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ， 所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG A C ⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG ==14FGB π∠=，∴二面角11F A C B --的大小为4π. 20.解：（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，由条件CP AD ⊥， 又由,//2BAD MP AB π∠=得MP AD ⊥，∴AD ⊥面CMP ，又∵CM ⊂面MPC ，∴CM AD ⊥；（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，AD MH ⊥，∴MH ⊥面ACD ， ∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角， 不妨设1CD =，则CM MP CP ===，∴cos MCP ∠==∴sin 3MCP ∠=所以直线CM 与平面ACD21.解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .由条件=221243d d -=，所以2243⨯-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =， 所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；（2）设:l y kx =；则由()()22215y kx x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩消去y ，得()()221240k x k x +++=， 解得122240,1k x x k+==-+.其中2k ≠-， 所以()222424,11k k k Q k k +⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭， 由()()22112y kx x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩消去y ，得()()221220k x k x ++-=， 解得342220,1kx x k -==+，其中1k ≠，所以()222222,11k k k P k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +⎧=-⎪+⎪⎨+⎪=-⎪+⎩消去k ，得：2220x y x y +++=，（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭）. 22.解：（1）由已知可得直线l 的方程为：1y x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27880x x +-=，且121288,77x x x x +=-=-，所以12121212121212121221181113x x x x x x x x k k y y x x x x x x +++=+=+==+++++；（2）设直线l 的方程为：y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理可知21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++， 所以2443M kmx k =-+， 线段AB 的中垂线方程为：221434343km m y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，整理得2143my x k m =--+， 所以243C my k =-+.又由()222221212228412414234343km m AB x x x x k k k -⎛⎫=+-=+--= ⎪++⎝⎭， 整理可得：2224343k k +-=+，即()222224314341k m k k +=+-+①， 所以()22222411222434343OMD M km m k S OC x m k k k ∆===+++将①代入整理可得：2211112231432124OMC kk S k k k k k k∆=-=-++++， 因为23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2k ⎤∈⎥⎣⎦，而我们知道，1112,3124y y k k kk==-++都是关于k 在2⎤⎥⎣⎦上的单调递减函数，所以当1k =时，OMC S ∆有最小值128，当k =时，OMC S ∆所以1,2842OMC S ∆⎡∈⎢⎣⎦.。