2013到2019高考解析几何压轴题精选
2013年高考数学压轴题训练详细及解析
2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，特别精选了其中有代表性的题目。
非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。
1．（本小题满分14分）已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)， 方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0). 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－01x ， 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=21x 2 由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=1|21|21x x -+1|21|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；2 2④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）； （II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n n n n n +-==-=+证明 （III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围. 本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得 （II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由 都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n （III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令 .,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kk b k k n ≤≥=k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+ 故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn 5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分. 解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得12x =+. 综上，所求解集为{}0112+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-.因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，， 则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-.②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-.22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数，由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数； 当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-； 当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时． 6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，其中A B ，为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)证明：不等式51mn m n a a a ->对任何正整数m n ，都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=.由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，， 解得 20A =-，8B =-.（Ⅱ）方法1由（Ⅰ），得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ① 所以 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 所以 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-， 所以 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠，所以 32120n n n a a a +++-+=， 即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 所以数列{}n a 为等差数列.方法2由已知，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠， 所以数列{}n S 是唯一确定的，因而数列{}n a 是唯一确定的. 设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--， 由唯一性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-. 要证 51mn m n a a a ->， 只要证 512mn m n m n a a a a a >++. 因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++， 故只要证 5(54)12520()162m n mn mn m n a a ->+-+++， 即只要证 2020372m n m n a a +->. 因为 2558m n m n a a a a m n ≤+=+- 558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.。
高考数学解析几何专题汇编及详细答案
解析几何专题汇编1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：选C.由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32， ∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33 解析：选D.如图，由题意知s in 30°＝|PF 2||PF 1|＝12， m∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)解析：选C.设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ， ∴13|BF |＋1|BF |＝1， ∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2psin 2，∴163＝4sin 2θ， ∴s in 2θ＝34，∴s in θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.故选C.6．(2013·高考大纲全国卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]解析：选B.由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P在椭圆上得点P (2619，2419)，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P (27，127)，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．7．(2013·高考大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：选C.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，32)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8．(2013·高考大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选D.抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 9．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04解析：选A.设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．10．(2013·高考山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233 D.433解析：选D.∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′(0，p2)．设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.11．(2013·高考浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D.由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.12．(2013·高考北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623 解析：选C.∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83. 13．(2013·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2p x (p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选C.由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p·p 2＝3，可得p ＝2.14．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12 B ．m ≥1C ．m>1D ．m>2解析：选C.∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e>2，∴1＋m>2，∴m>1.15．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25 B.45 C .255 D.455解析：选C.双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝|±2±0|5＝255.16．(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线a x －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D.12解析：选C.由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线a x －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P(2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a|1＋a 2＝5，解得a ＝2.17．(2013·高考福建卷)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A .12 B.22 C ．1 D. 2解析：选B.双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.18．(2013·高考湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C .83 D.43 解析：选D.分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB ＝AC ＝4，故B(4,0)，C(0,4)．设P(t,0)为线段AB 上的点，点P 关于AC 的对称点P ′(－t,0)．点P 关于直线BC 的对称点为M(4,4－t)．由光的反射定理知，点P ′，M 一定在直线RQ 上．又△ABC 的重心坐标为G(43，43)，由题意知点G 在线段RQ 上，即P ′，G ，M 三点共线．∵P ′G →＝(43＋t ，43)，MP ′→＝(－4－t ，t －4)，P ′G →∥MP ′→，∴(43＋t)(－4＋t)－43(－4－t)＝0，解得t ＝43， 即|AP →|＝43.19．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a)＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0解析：选C.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a＝－1， 所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 20．(2013·高考陕西卷)已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线a x ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交．21．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B.由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·s in ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33.22．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D.双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝co s θ，b ＝s in θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝s in θ，b ＝s in θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ.故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等．23．(2013·高考江西卷)已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C . 1∶ 5D ．1∶3 解析：选C.如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12，则|MH|∶|MN|＝1∶5， 即|MF|∶|MN|＝1∶ 5.24．(2013·高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 解析：选D.双曲线C 1和C 2的实半轴长分别是s in θ和co s θ，虚半轴长分别是co s θ和s in θ，则半焦距c 都等于1，故选D.25．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C . 3 D ．1解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2,0)，则d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.故选D. 26．(2013·高考四川卷)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A .24 B.12 C .22 D.32解析：选C.设P(－c ，y 0)，代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝ca可得离心率e.由题意设P(－c ，y 0)，将P(－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a2＝b 4a2. ∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac.∵A(a,0)，B(0，b)，∴k AB ＝b －00－a ＝－ba .又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c.∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c 2＝22.故选C.27．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A .12 B.32 C ．1 D. 3解析：选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32 或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 28．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A.设P(x ,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3， ∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 29．(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 解析：选B.如图，圆心M(3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.30．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.31．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B.右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，故选B. 32．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A .x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C .x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D.33．(2013·高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6 解析：选C.圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP|＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4. 34．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r ＝2，当弦过点A(3,1)且与CA 垂直时为最短弦．|CA|＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA|2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2. 答案：2 2 35．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：设C(x ，x 2)，由题意可取A(－a ，a)，B(a ，a)， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a)x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a)y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )>0，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)36．(2013·高考江苏卷)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .答案：y ＝±34x37．(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca.由已知可得b 2c ＝6·bca，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：3338．(2013·高考浙江卷) 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x－y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 5 39．(2013·高考北京卷)若抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．解析：∵ 抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(p2，0)，∴准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：2；x ＝－1 40．(2013·高考浙江卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P(－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案：±141．(2013·高考天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y23＝142．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－143．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，co s ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF|＝|BF 1|＝6，|BO|＝|AO|.在△ABF中，设|BF|＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF|＝8.所以∠BFA＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO|＝|AO|，所以|OF|＝12|AB|＝5，即c ＝5.所以e ＝57.答案：5744．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：x 216－y2m ＝1中，a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m.而e ＝54，∴16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：945．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－146．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a ，|QF|－|QA|＝2a ，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a ，则|PF|＋|QF|＝4a ＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：4447．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．解析：由题意a 2＝16⇒a ＝4.又b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25⇒c ＝5，故e ＝c a ＝54.答案：5449．(2013·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a. 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a.∵在双曲线中c>a ，∴在△PF 1F 2中|PF 2|所对的角最小且为30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|co s 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，即3a 2＋c 2－23ac ＝0.∴(3a －c)2＝0，∴c ＝3a ，即ca＝ 3.∴e ＝ 3.答案： 350．(2013·高考江西卷)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由于x 2＝2py(p>0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 答案：651．(2013·高考江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．解：(1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c.代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：法一：因为B(2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D(0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，x 0≠±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0，联立，得⎩⎨⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝y0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值)．52．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M(2,4)． 答案：(2,4) 53．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.解： 由已知得圆M 的圆心为M(－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1,0)，半径r 2＝4.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝Rr 1，可求得Q(－4,0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627，所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.54．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.55．(2013·高考大纲全国卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，将其代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 21＝(x 1＋3)2＋8x 21－8 ＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23，故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 21＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16， 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．56．(2013·高考山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|(32x 0＋2)2＝|m －3|(32x 0－2)2.因为－3<m<3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0.因此－32<m<32.法二：设P(x 0，y 0)，当0≤x 0<2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P(3，－12)．若P(3，12)，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0.由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m<3，所以m ＝334.若P(3，－12)，同理可得m ＝334.②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22，所以(m ＋3)2(m －3)2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1，且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝4(x 0＋3)2＋4－x 204(x 0－3)2＋4－x 20＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝(3x 0＋4)2(3x 0－4)2， 即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|. 因为－3<m<3，0≤x 0<2且x 0≠3，所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0，整理得m ＝3x 04，故0≤m<32且m ≠334. 综合①②可得0≤m<32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0.综上所述，m 的取值范围是(－32，32)．(3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2k x 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k (1k 1＋1k 2)＝(－4y 0x 0)·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.57．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m. 由题意得－2<m<0或0<m< 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y|＝ 2－m 22.所以 S △AOB ＝|m|·2－m 22＝64.解得m 2＝32或m 2＝12.①因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(2m,0)＝(mt,0)，又P 为椭圆C 上一点，所以(mt )22＝1.②由①②，得t 2＝4或t 2＝43，又t>0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝k x ＋h.将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kh x ＋2h 2－2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，此时x 1＋x 2＝－4kh1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k 2，所以|AB|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k 2，所以S △AOB ＝12|AB|d ＝12×22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|1＋k 2 ＝2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|.又S △AOB ＝64，所以2×1＋2k 2－h 21＋2k2×|h|＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0.解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2)， 又P 为椭圆C 上一点，所以t 2[12(－2kh 1＋2k 2)2＋(h 1＋2k 2)2]＝1， 即h 2t 21＋2k 2＝1.⑤ 将④代入⑤，得t 2＝4或t 2＝43.又t>0，故t ＝2或t ＝233.经检验，适合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)，得t ＝2或t ＝233.58.(2013·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系x Oy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝k x ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．59．(2013·高考浙江卷)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求|MN |的最小值.解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2|＝82|x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝2 2 (5t ＋35)2＋1625≥852.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.60．(2013·高考安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明：设出点P 的坐标，并求出其横、纵坐标的关系式． 注意点在直线上时，点的坐标满足直线方程．设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －y 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)．因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2， 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．61．(2013·高考北京卷)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 解：(1)因为四边形OABC 为菱形， 所以AC 与OB 互相垂直平分．所以可设A (t ，12)，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， 所以AC 的中点为M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)．因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·(－14k)≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．62．(2013·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解：(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线C D 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2。
2013年高考数学压轴题训练及详细的解析
2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，精选其中有代表性的题目。
非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。
1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x ac a P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x ac a xab bc x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 .||1x ac a P F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a由椭圆第二定义得ac cax P F =+||||21，即.||||||21x ac a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a yx =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20cby ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当cba 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，③ ④22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cby ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=cba cba cb a x于是，当cba 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记cx y k k cx y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan212121=+-=∠k k k k MF F (14)分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.③ ④0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y=相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='ax x a x 得φ当30-<<ax 时;0)(<'x φ当3->ax 时，0)(>'x φ，所以，当3-=ax 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)nn n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦① 当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nnn nn n nn C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线A B 恒过定点，并求出该定点的坐标.yA xoB,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭MN2p x =-解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x pp==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①（1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y k x P k =+，即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk kk 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----6．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得 121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+（1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立， 令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a an n n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n nn n n b a b 即。
2013年高考数学压轴大题训练：解析几何中的交汇性问题
一、解答题（共8小题，满分100分）1．（14分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．解答：解：（1）由题意，可设抛物线的标准方程为y2=2px，因为点A（2，2），在抛物线上，所以p=1，抛物线的标准方程为y2=2x（2）由（1）可得焦点F坐标是（，0），又直线AO斜率为=1，故与直线OA垂直的直线的斜率为﹣1，因此所求直线的方程为x+y﹣=0（3）设点D和E的坐标分别是（x1，y1）和（x2，y2直线DE的方程是y=k（x﹣m）．k≠0，将x=+m代入抛物线方程有ky2﹣2y﹣2km=0，解得y1，2=由ME=2DM知1+=2（﹣1），化简得k2=，∴DE2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（m2+4m）所以f（m）=（m＞0）点评：本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．2．（12分）（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．解答：（1）解：设P（x0，y0），∴①∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）∴，∵直线AP与BP的斜率之积为，∴代入①并整理得∵y0≠0，∴a2=2b2∴∴∴椭圆的离心率为；（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴∵a＞b＞0，kx0≠0，∴∴②∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），∴∴∴代入②得∴k2＞3∴直线OP的斜率k满足|k|＞．3．（在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2，1）到两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且=3．求过O、A、B三点的圆的方程．解答：解：（1）由题意，设椭圆C：（a＞b＞0），则2a=4，a=2．∵点（2，1）在椭圆上，∴，解得b=，∴所求椭圆的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＜0，y2＞0），点的坐标为F（3，0），由=3，得3﹣x1=3（x2﹣3），﹣y1=3y2，即x1=﹣3x2+12，y1=﹣3y2①．又A、B在椭圆C上，∴=1，，解得x2=，y2=，∴B（），代入①得A（2，﹣）．设过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则将O、A、B三点的坐标代入得F=0，6+2D﹣E+F=0，+D，解得D=，E=，F=0，故过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2﹣x﹣y=04．（12分）如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．解答：（1）证明：∵椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，∴，∴抛物线P：x2=4cy．设过F2的直线l的方程为y+c=kx，与抛物线联立，可得x2﹣4kcx+4c2=0，∵过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，∴△=16k2c2﹣16c2=0，k＞0∴k=1，即切线l的斜率为定值；（2）解：由（1），可得直线l的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程可得（a2+b2）x2﹣2b2cx+b2c2﹣a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②∵∴x2=﹣λx1③由①②③可得=∵f（λ）=，当λ∈[2，4]时，单调递增，∴f（λ）∈∴∵0＜e＜1∴椭圆的离心率e的取值范围是[]．5．（12分）（2012•东莞一模）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．解答：解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．~6．（12分）（2010•赤峰模拟）设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；（2）求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．解答：解：（1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线的方程为y=k（x﹣1）+3，代入椭圆3x2+y2=λ，整理得（k2+3 ）x2﹣2k（k﹣x+（k﹣3）2﹣λ=0 ①设 A （x1，y1），B （x2，y2），则x1，x2是方程①的两个不同的根，∴△=4k2（k﹣3）2﹣4 （k2+3 ）[（k﹣3）2﹣λ]＞0且x1+x2=．由N（1，3）是线段AB的中点，得=1，∴k﹣3）=k2+3，∴k=﹣1．代和②得λ＞12，即λ的取值范围是（12，+∞），于是直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．（2）∵CD垂直平分线段AB，∴直线CD的方程为y﹣﹣1，即x﹣y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4﹣λ=0 ③．设C（x3，y3），D （x4，y4），CD的中点为M（y0），则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4=﹣1，∴x0==﹣，y0=x0+1=，即M（﹣，）．又M（﹣，）到直线AB的距离d==，故所求圆的方程为．7．（14分）如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．（1）已知椭圆和判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；（2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆C b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．解答：解：（1）椭圆C2与C1相似．因为C2的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1．根据题中两个椭圆相似的定义可得：椭圆C2与C1相似．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）∵椭圆C b与椭圆C1相似∴椭圆C b的长轴是短轴的2倍∵椭圆C b的半短轴长为b∴椭圆C b的方程为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由（1）可得两个相似椭圆之间的性质有：①两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；②分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；③两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合，过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比．﹣﹣﹣﹣（10分）（3）假定存在满足条件的两点M、N，则设M、N所在直线为y=﹣x+t，MN中点为（x0，y0）．则⇒5x2﹣8tx+4（t2﹣b2）=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）设M（x1，y1），N（x2，y2），可得∴结合中点在直线y=x+1上，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）∵∴所求函数的解析式为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（18分）8．（12分）（2009•深圳一模）如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，已知线段PQ的长度为2，且点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动．（Ⅰ）求动点M（x1，x2）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由已知得直线l1⊥l2，l1：，l2：∵P（x1，y1）在直线l1上运动，Q（x2，y2）直线l2上运动，∴，，由|PQ|=2得（x12+y12）+（x22+y22）=4，即，⇒，∴动点M（x1，x2）的轨迹C的方程为．（Ⅱ）直线l方程为y=kx+2，将其代入，化简得（1+3k2）x2+12kx+9=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2）∴△=（12k）2﹣36×（1+3k2）＞0，⇒k2＞1，且，∵∠AOB为锐角，∴，即x1x2+y1y2＞0，⇒x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0．将代入上式，化简得，．由k2＞1且，得．。
高考解析几何压轴题精选(含答案)
1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。
（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。
（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
高中数学解析几何最难压轴题
高中数学解析几何最难压轴题
高中数学解析几何最难压轴题，也就是最难的题目，是一种考察学生数学知识和技能的综合考查。
这类题目通常包括运用数学知识，解决复杂几何概念、计算、求解几何图形及其相关几何关系等多项内容，以及考查学生对几何图形的解析和抽象思维能力。
高中数学解析几何最难压轴题的一个典型题目如下：已知正方形ABCD中，AB=
3，M为CD边上的点，点P在正方形ABCD的对角线
AC上，且AP=
2，求点M到点P的距离。
解：由正方形ABCD的对角线AC等于根号2AB，可以
得到AC=根号2*3=3√2；因为AP=
2，则PM=AC-AP=3√2-2；由勾股定理得到PM的距离，
答案是1√
2。
从这个典型题目可以看出，高中数学解析几何最难压轴题的解题方法是：首先要搞清楚几何概念，了解几何图形的特性，
并正确运用数学知识，如勾股定理、直角三角形的性质等，结合题目中给出的数据进行计算，最后得出最终答案。
总之，高中数学解析几何最难压轴题，就是一种考查学生综合运用数学知识和抽象思维能力的复杂题目，解题过程中，学生要正确运用数学知识，灵活运用抽象思维能力，以达到最终的正确答案。
压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。
高考2013-2019理数立体几何真题(解答题)
立体几何（解答题）【2019 全国1】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N 的正弦值．【2019 全国2】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1 上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1 的正弦值．【2019 全国3】图1 是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠ FBC=60°，将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2 中的二面角B−CG−A的大小.【2019 北京卷】如图，在四棱锥P–ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF=1．PC 3 （1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P 的余弦值；（3）设点G 在PB 上，且PG=2．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．PB 3【2019 天津卷】如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE, AD ∥B C ，AD ⊥AB, AB =AD = 1, AE =BC = 2 ．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；1（3）若二面角E -BD -F 的余弦值为3，求线段CF 的长．【2019 江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．POM【 2019 浙 江 卷 】 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ABC - A 1B 1C 1 ， 平 面 A 1 ACC 1 ⊥ 平 面 ABC , ∠ABC = 90︒ ，∠BAC = 30︒, A 1A = A 1C = AC , E , F （1） 证明： EF ⊥ BC ；分别是 AC ，A 1B 1 的中点.（2） 求直线 EF 与平面 A 1BC 所成角的余弦值.【2018 全国 1】如图，四边形 ABCD 为正方形， E , F 分别为 AD , BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起， 使点C 到达点 P 的位置，且 PF ⊥ BF .（1） 证明：平面 PEF ⊥ 平面 ABFD ； （2） 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.【2018 全国 2】如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB = BC = 2（1） 证明： PO ⊥ 平面 ABC ；， PA = PB = PC = AC = 4 ， O 为 AC 的中点．（2） 若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M - PA - C 为30︒ ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．AC2【2018 全国 3】如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是C D 上异于C ，D 的点．（1） 证明：平面 AMD ⊥平面 BMC ；（2） 当三棱锥 M - ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值．【2018 江苏卷（选做题）】如图，在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，AB =AA 1=2，点 P ，Q 分别为 A 1B 1，BC 的中点．（1） 求异面直线 BP 与 AC 1 所成角的余弦值；（2） 求直线 CC 1 与平面 AQC 1 所成角的正弦值．【2018 江苏卷】在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB , AB 1 ⊥ B 1C 1 ．求证：（1） AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面 ABB 1 A 1 ⊥ 平面 A 1 BC ．【2018 浙江卷】如图，已知多面体 ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面 ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1） 证明：AB 1⊥平面 A 1B 1C 1；（2） 求直线 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角的正弦值．【2018 北京卷】如图，在三棱柱 ABC − A 1 B 1C 1 中， CC 1 ⊥ 平面 ABC ，D ，E ，F ，G 分别为 AA 1 ，AC ， A 1C 1 ， BB 1的中点，AB=BC = ，AC = AA 1 =2．（1） 求证：AC ⊥平面 BEF ； （2） 求二面角 B−CD −C 1 的余弦值；（3） 证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．【2018 天津卷】如图， AD ∥BC 且 AD =2BC ， AD ⊥ CD , EG ∥AD 且 EG =AD ， CD ∥FG 且 CD =2FG ，DG ⊥ 平面ABCD ，DA =DC =DG =2.（1） 若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证： MN ∥平面CDE ；（2） 求二面角 E - BC - F 的正弦值；（3） 若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，求线段 DP 的长.5【2017 全国1】如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD，且∠BAP =∠CDP = 90 .（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD = 90 ，求二面角A−PB−C 的余弦值. .【2017 全国2】如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB =BC=1AD, ∠BAD =∠ABC = 90o ,2E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值．【2017 全国3】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.【2017 江苏卷】如图，在三棱锥A -BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E 与A，D 不重合)分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．3PE【2017 江苏卷（选做题）】如图，在平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AA 1⊥平面 ABCD ，且 AB =AD =2，AA 1= ，∠BAD = 120︒ ．（1） 求异面直线 A 1B 与 AC 1 所成角的余弦值；（2） 求二面角 B-A 1D-A 的正弦值．【2017 山东卷】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒ 得到的， G 是 D F 的中点.（1） 设 P 是C E 上的一点，且AP ⊥ BE ，求∠CBP 的大小； （2） 当 AB = 3 ， AD = 2 时，求二面角 E - AG - C 的大小.【2017 浙江卷】如图，已知四棱锥 P –ABCD ，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为 PD 的中点．ADBC（1） 证明： CE ∥平面 PAB ； （2） 求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．6 【2017 北京卷】如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，点 M 在线段 PB上，PD//平面 MAC ，PA =PD = ，AB =4．（1） 求证：M 为 PB 的中点；（2） 求二面角 B −PD −A 的大小；（3） 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．【2017 天津卷】如图，在三棱锥 P -ABC 中，PA ⊥底面 ABC ， ∠BAC = 90︒．点 D ，E ，N 分别为棱 PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA =AC =4，AB =2．（1） 求证：MN ∥平面 BDE ；（2） 求二面角 C -EM -N 的正弦值；（3） 已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为7，求线段 AH 的长．21【2016 全国 1】如图，在以 A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°， 且二面角 D ﹣AF ﹣E 与二面角 C ﹣BE ﹣F 都是 60°． （Ⅰ）证明平面 ABEF ⊥平面 EFDC ；（Ⅱ）求二面角 E ﹣BC ﹣A 的余弦值．【2016 全国2】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，AB=5，AC=6，点E，F 分别在AD，CD 上，AE=CF= ，EF 交于BD 于点H，将△DEF 沿EF 折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C 的正弦值．【2016 全国3】如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【2015 全国1】如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF 丄平面ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【2015 全国2】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【2014 全国1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，侧面BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1 的余弦值．【2014 全国2】如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C 为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD 的体积．【2014 大纲版】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1 与平面BCC1B1 的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小．【2013 全国1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．【2013 全国2】如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB1 的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E 的正弦值．【2013 大纲版】如图，四棱锥P﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C 的大小．⎪⎩参考答案【2019 全国 1】【答案】（1）见解析；（2） 10.5【解析】（1）连结 B 1C ，ME ． 因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，1 所以ME ∥B 1C ，且ME = 2B 1C ．又因为N 为A 1D 的中点，1 所以ND = 2A 1D ．由题设知A 1B 1 =DC ，可得B 1C = A 1D ，故ME = ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄ 平面EDC 1， 所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点， DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则A (2, 0, 0) ，A 1(2，0，4)，M (1, 3, 2) ，N (1, 0, 2) ，A 1 A = (0, 0, -4) ，A 1M = (-1, 3, -2) ，A 1 N = (-1, 0, -2) ，MN = (0, - 3, 0) ．⎧⎪m ⋅ 设 m = (x , y , z ) 为平面A 1MA 的法向量，则⎨ A 1M = 0，⎧⎪-x + 3y - 2z = 0，⎪⎩m ⋅ A 1 A = 0 所以⎨-4z = 0． 可取 m = ( 3,1, 0) ．2 3 2 ⨯ 5 15 10 ⎧⎪n ⋅ MN = 0， ⎩⎩设 n = ( p , q , r ) 为平面A 1MN 的法向量，则⎨ ⎪⎩n ⋅ A 1N = 0． ⎧⎪- 3q = 0， 所以可取 n = (2, 0, -1) ． ⎨⎪- p - 2r = 0．m ⋅ n于是cos 〈m , n 〉 == = ，| m ‖n | 5所以二面角A - MA 1 - N 的正弦值为 ． 5【2019 全国 2】【答案】（1）证明见解析；（2） 3 .2【解析】（1）由已知得， B 1C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， BE ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ， 故 B 1C 1 ⊥ BE ．又 BE ⊥ EC 1 ，所以 BE ⊥ 平面 EB 1C 1 ．（2）由（1）知∠BEB 1 = 90︒ ．由题设知Rt △ABE ≌ Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB = 45︒ ， 故 AE = AB ， AA 1 = 2 AB ．以 D 为坐标原点， DA 的方向为x 轴正方向，| DA | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），C 1（0，1，2），E （1，0，1），CB = (1, 0, 0)，CE = (1, -1,1) ，CC 1 = (0, 0, 2) ．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则⎧ ⎪CB ⋅ n = 0, ⎨⎪⎩CE ⋅ n = 0, ⎧x = 0,即⎨x - y + z = 0,所以可取n = (0, -1, -1) .33⎩设平面ECC1 的法向量为m=（x，y，z），则⎧⎪CC1 ⋅m = 0,⎨⎪⎩CE⋅m=0,⎧2z = 0,即⎨x -y +z = 0.所以可取m=（1，1，0）．于是cos <n, m >=n ⋅m=-1．| n || m | 2所以，二面角B -EC -C1 的正弦值为．2【2019 全国3】【答案】（1）见解析；（2）30 .【解析】（1）由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG 确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB ⊥BE，AB ⊥BC，故AB ⊥平面BCGE．又因为AB ⊂平面ABC，所以平面ABC ⊥平面BCGE．（2）作EH ⊥BC，垂足为H．因为EH ⊂平面BCGE，平面BCGE ⊥平面ABC，所以EH ⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH= ．以H为坐标原点，HC 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），CG =（1，0，），AC =（2，–1，0）．设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则⎪CG ⋅n = 0, ⎧⎪x+ 3z = 0,⎨⋅= 0,即⎨2x -y = 0.⎪⎩AC n⎪⎩33⎧所以可取n=（3，6，–）．3又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），3 3 n ⋅ m所以cos 〈n , m 〉 == ．| n || m | 2因此二面角B –CG –A 的大小为30°．【2019 北京卷】【答案】（1）见解析；（2） 3 ；（3）见解析.3【解析】（1）因为 PA ⊥平面 ABCD ，所以 PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ．（2） 过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，- 1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0， 0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以 AE = (0,1,1), PC = (2, 2, -2), AP = (0, 0, 2) ．1 ⎛2 2 2 ⎫⎛ 2 2 4 ⎫所以PF = 3PC = , , - ⎪ , AF = AP + PF = , , ⎪ . ⎝ 3 3 3 ⎭ ⎝ 3 3 3 ⎭设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则⎧n ⋅⎧y + z = 0, ⎪ AE = 0, ⎪ ⎨n ⋅ 即⎨ 2 x + 2 y + 4 z = 0. ⎩⎪ AF = 0, ⎪⎩ 3 3 3令z =1，则y = -1, x = -1．于是 n =( -1, -1,1) ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），n ⋅ p所以cos 〈n , p 〉 == - .| n ‖p | 3由题知，二面角F −AE −P 为锐角，所以其余弦值为 3．3AB ，A D ，A E CE n⎨（3） 直线AG 在平面AEF 内． 因为点G 在PB 上，且PG = 2 ,PB = (2, -1, -2) ， PB 32 ⎛ 4 2 4 ⎫⎛ 4 2 2 ⎫所以 PG = 3 PB = 3 , - 3 , - 3 ⎪ , AG = AP + PG = 3 , - , ⎪ .⎝ ⎭ ⎝由（2）知，平面AEF 的法向量 n =( -1, -1,1) .3 3 ⎭4 2 2 所以AG ⋅ n = - + + = 0 . 3 3 3所以直线AG 在平面AEF 内.4 【2019 天津卷】【答案】（1）见解析；（2） 98；（3） ．7【解析】依题意，可以建立以 A 为原点，分别以的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得 A (0, 0, 0),则 F (1, 2, h ) ．B (1, 0, 0),C (1, 2, 0),D (0,1, 0) ，E (0, 0, 2) ．设CF = h(h >>0) ， （1）依题意，AB = (1, 0, 0) 是平面 ADE 的法向量，又 BF = (0, 2, h ) ，可得 BF ⋅ AB = 0 ，又因为直线 BF ⊄平面 ADE ，所以 BF ∥平面 ADE ．（2）依题意， BD = (-1,1, 0), BE = (-1, 0, 2), CE = (-1, -2, 2) ．⎧⎪n ⋅ = 0, ⎧-x + y = 0, 设 n = (x , y , z ) 为平面 BDE 的法向量，则⎨ ⎪⎩BDn ⋅ BE = 0, 即 ⎩-x + 2z = 0, 不妨令 z = 1，可得 n = (2, 2,1) ．因此有cos CE , n⋅ 4 == - ． | CE || n |9 4所以，直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 9．⎧m ⋅（3）设 m = (x , y , z ) 为平面 BDF 的法向量，则⎪ BD = 0, ⎧-x + y = 0,即 ⎨⎨2 y + hz = 0,不妨令 y = 1，可得 m = ⎛1,1, - 2 ⎫ ．⎪⎩m ⋅ BF = 0, ⎩h ⎪ ⎝ ⎭由题意，有 cos 〈m , n 〉 =| m ⋅ n | ，解得 h = 8．经检验，符合题意． | m || n | 3 78所以，线段CF 的长为．7【2019江苏卷】【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E 分别为BC，AC 的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1 中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 ⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E 为AC 的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC−A1B1C1 是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.3【2019 浙江卷】【答案】（1）见解析；（2）．5【解析】方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E ⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．3 3, , 2 3)（2） 取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =2 ，EG = .由于O 为A 1G 的中点，故 EO = OG =A 1G =15 ，22EO 2 + OG 2 - EG 23所以cos ∠EOG == ． 2EO ⋅OG53因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是 ．5方法二：（1） 连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂ 平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，2），B （ ，1，0）， B 1 ( 3, 3, 2 3) ， F ( 3 3，C (0，2，0)．2 23 33⎧3因此，EF = ( , , 2 3) ，BC = (-2 23,1, 0) ．由EF ⋅BC = 0 得EF ⊥BC ．（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．由（1）可得BC=(- 3 ，1，0) ，A1C=(0 ，2 ，- 2 3) ．设平面A1BC的法向量为n=(x，y，z)，⎪BC ⋅n = 0⎧⎪- 3x +y = 0由⎨AC ⋅n = 0，得⎨，⎩⎪1⎪⎩y- 3z = 0| EF ⋅n| 4 取n= (1， 3 ，1) ，故sinθ=|cos EF，n| = =，| EF | ⋅ | n | 53因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为．5【2018 全国1】【答案】（1）见解析；（2）3.4【解析】方法一：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF ⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）在平面DEF 中，过P 作PH⊥EF 于点H，连接DH，如图，由于EF 为平面ABCD 和平面PEF 的交线，PH⊥EF，则PH⊥平面ABFD，故PH⊥DH.则DP 与平面ABFD 所成的角为∠PDH .在三棱锥P-DEF 中，可以利用等体积法求PH.因为DE∥BF 且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，故V =1PF ⋅S ，F -P DE 3△PDE因为BF∥DA 且BF⊥平面PEF，所以DA⊥平面PEF，所以DE⊥EP.设正方形的边长为2a，则PD=2a，DE=a，在△PDE 中，PE = 3a ，所以S△PDE =3a2 ，2故VF -PDE =3a3 ，6又S△DEF =1a ⋅ 2a =a2 ，2所以PH =3VF -PDE =a23a ，2所以在△PHD 中，sin∠PDH =PH=3，PD 4故DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为3. 4方法二：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF ⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，| BF | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.3 3 33 3 3 3 HP DP 由（1）可得，DE ⊥PE .又 DP =2，DE =1，所以 PE = .又 PF =1，EF =2，故 PE ⊥PF .可得 PH = 3 , EH = 3 .2 23 3则 H (0, 0, 0), P (0, 0, ), D (-1, - , 0), DP = (1, , ), HP = (0, 0, ) 为平面ABFD 的法向量. 2 2 2 2 23 设 DP 与平面 ABFD 所成角为θ，则 ⋅ sin θ=| | HP || DP ||= 4 = . 4 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3.4【2018 全国 2】【答案】（1）见解析；（2） 3．4【解析】（1）因为 AP = CP = AC = 4 ， O 为 AC 的中点，所以OP ⊥ AC ，且OP = 2 ．连结OB ．因为 AB = BC = 2AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，2 且OB ⊥ AC ， OB = 1AC = 2 ． 2由OP 2 + OB 2 = PB 2 知 PO ⊥ OB ．由OP ⊥ OB , OP ⊥ AC 知 PO ⊥ 平面 ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系O - xyz ．由已知得 O (0, 0, 0), B (2, 0, 0), A (0, -2, 0), C (0, 2, 0), P (0, 0, 2 3), AP = (0, 2, 2 3), 取平面 PAC 的法向量OB = (2, 0, 0) ．设 M (a , 2 - a , 0)(0 < a ≤ 2) ，则 AM = (a , 4 - a ,0) ． 设平面 PAM 的法向量为 n = (x , y , z ) ．332 55⎩⎧⎪2y+23z=0由AP ⋅n = 0, AM ⋅n = 0 得⎨⎪ax+(4-a)y=0，可取n = ( 3(a - 4), 3a, -a) ，u u r所以cos OB, n =2 3(a - 4)．2 3(a - 4)2 + 3a2 +a2u u r由已知可得| cos OB, n |=．2所以23|a-4|=3．解得a =-4 （舍去），a=4．2 3(a - 4)2 + 3a2 +a2所以n = (-8 3,4 3, -4) ．3 3 32 3uuur又PC = (0, 2, -2 3) ，所以cos PC, n =．4所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3．4【2018 全国3】【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC ⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为C D上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC C M=C,所以DM⊥平面BMC.而DM ⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D 为坐标原点, DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.2 5 2 5 5= 当三棱锥 M −ABC 体积最大时，M 为C D 的中点.由题设得 D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 2, 0), M (0,1,1) ，AM = (-2,1,1), AB = (0, 2, 0), DA = (2, 0, 0)设 n = (x , y , z ) 是平面 MAB 的法向量,则⎧n ⋅ ⎪ AM = 0, ⎧-2x + y + z = 0, ⎨ n ⋅ 即⎨2 y = 0. ⎪⎩ AB = 0. ⎩可取 n = (1, 0, 2) .DA 是平面 MCD 的法向量,因此n ⋅ cos n , DADA 5 ， | n || DA | 5 sin n , DA = ， 5所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 . 【2018 江苏卷（选做题）】【答案】（1） 3 10 ；（2） 5 ．20 5【解析】如图，在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，设 AC ，A 1C 1 的中点分别为 O ，O 1，则 OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以{OB ,OC ,OO 1} 为基底，建立空间直角坐标系 O −xyz ．因为 AB =AA 1=2，所以 A (0, -1, 0), B ( 3, 0, 0),C (0,1, 0),A 1(0, -1, 2) ,B 1( 3, 0, 2),C 1 (0,1, 2) ．=3 , 1, 2) ，2 2（1）因为P 为A1B1 的中点，所以P(5 ⨯ 2 2 3 5 ⨯ 2⎧ ⎪ 从而 = (- 3 , - 1 = (0, 2, 2) ，BP 2 2 , 2), AC 1 | BP ⋅ AC 1 | | -1 + 4 | 3 10 故| cos BP , AC 1 |= = = ． | BP | ⋅ | AC 1 |20 因此，异面直线 BP 与 AC 1 所成角的余弦值为 3 10 ．20（2） 因为 Q 为 BC 的中点，所以Q ( 1 , , 0) ， 2 2因此 AQ = ( 3 , , 0) 2 2， AC 1 = (0, 2, 2),CC 1 = (0, 0, 2) ． 设 n =（x ，y ，z ）为平面 AQC 1 的一个法向量，⎪ AQ ⋅ n = 0, ⎧ x + 3 y = 0,则⎨ ⎪⎩ AC 1 ⋅ n = 0, 即⎨ 2 2 ⎪⎩2 y + 2z = 0. 不妨取 n = ( 3, -1,1) ，设直线 CC 1 与平面 AQC 1 所成角为θ，| CC 1 ⋅ n | 2 5 则sin θ=| cos CC 1 , n |= = = ， | CC 1 | ⋅ | n | 5 所以直线 CC 1 与平面 AQC 1 所成角的正弦值为 5 ．5【2018 江苏卷】【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）在平行六面体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，AB ∥A 1B 1． 因为 AB ⊄ 平面 A 1B 1C ，A 1B 1 ⊂ 平面 A 1B 1C ，所以 AB ∥平面 A 1B 1C ．（2）在平行六面体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，四边形 ABB 1A 1 为平行四边形． 又因为 AA 1=AB ，所以四边形 ABB 1A 1 为菱形，因此 AB 1⊥A 1B ．又因为 AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以 AB 1⊥BC ．又因为 A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂ 平面 A 1BC ，BC ⊂ 平面 A 1BC ，所以 AB 1⊥平面A 1BC ． 因为 AB 1 ⊂ 平面ABB 1A 1，3 3所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．2 53 13 21 7 339 1 1 1 1 1 1 1 【2018 浙江卷】【答案】（1）见解析；（2） 39.13【解析】方法一：（1）由 AB = 2, AA 1 = 4, BB 1 = 2, AA 1 ⊥ AB , BB 1 ⊥ AB 得 AB 1 = A 1B 1 = 2 ，所以 A B 2 + AB 2 = AA 2 .故 AB 1 ⊥ A 1B 1 .由 BC = 2 ， BB 1 = 2,CC 1 = 1, BB 1 ⊥ BC ,CC 1 ⊥ BC 得 B 1C 1 = ，由 AB = BC = 2, ∠ABC = 120︒ 得 AC = 2 ，由CC ⊥ AC ，得 AC =，所以 AB 2 + B C 2 = AC 2，故 AB ⊥ B C . 11 1 1 1 1 1 1 1 因此 AB 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1 .（2）如图，过点C 1 作C 1D ⊥ A 1B 1 ，交直线 A 1B 1 于点 D ，连结 AD .由 AB 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1 得平面 A 1B 1C 1 ⊥ 平面 ABB 1 ，由C 1D ⊥ A 1B 1 得C 1D ⊥ 平面 ABB 1 ，所以∠C 1 AD 是 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角.由 B 1C 1 = 5, A 1B 1 = 2 2, A 1C 1 = 得cos ∠C 1 A 1B 1 =, s in ∠C 1 A 1B 1 = ，所以C 1D = ，故sin ∠C AD =C 1D = 39 .AC 1 13 因此，直线 AC 与平面 ABB 所成的角的正弦值是 . 13方法二：（1）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB ，OC 为 x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标 6 7 139 11 1 系 O -xyz .由题意知各点坐标如下：A (0, - 3, 0),B (1, 0, 0), A 1 (0, - 3, 4), B 1 (1, 0, 2),C 1 (0, 3,1),因此 AB 1 = (1, 3, 2), A 1B 1 = (1, 3, -2), A 1C 1 = (0, 2 3, -3),由 AB 1 ⋅ A 1B 1 = 0 得AB 1 ⊥ A 1B 1 . 由 AB 1 ⋅ A 1C 1 = 0 得 AB 1 ⊥ A 1C 1 .所以 AB 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1 .（2）设直线 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角为θ.由（1）可知 AC 1 = (0, 2 3,1), AB = (1, 3, 0), BB 1 = (0, 0, 2),设平面 ABB 1 的法向量 n = (x , y , z ) .⎧n ⋅ u u r = 0, ⎧⎪ AB 由⎨ u u u r ⎪x + 即⎨3y = 0, 可取 n = (- 3,1, 0) . ⎪⎩n ⋅ BB 1 = 0, ⎪⎩2z = 0, uuur uuur 所以sin θ= |cos AC 1 , n | AC ⋅ n | |= uuur = | AC 1| ⋅ | n | 39 13 .因此，直线 AC 与平面 ABB 所成的角的正弦值是 . 13【2018 北京卷】【答案】（1）见解析；（2） -【解析】（1）在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中， ∵CC 1⊥平面 ABC ，∴四边形 A 1ACC 1 为矩形．又 E ，F 分别为 AC ，A 1C 1 的中点， 21 ；（3）见解析. 2121 ∴AC ⊥EF ．∵AB =BC ．∴AC ⊥BE ，∴AC ⊥平面 BEF ．（2）由（1）知 AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又 CC 1⊥平面 ABC ，∴EF ⊥平面 ABC ．∵BE ⊂ 平面 ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐标系 E -xyz ．由题意得 B （0，2，0），C （-1，0，0），D （1，0，1），F （0，0，2），G （0，2，1）．∴ CD =(2 ，0 ，1) ，CB =(1，2 ，0) ，设平面 BCD 的法向量为n = (a ，b ，c ) ， ⎧n ⋅ uuur ⎪ CD = 0 ∴ ⎨ uur⎧2a + c = 0 ，∴ ⎨a + 2b = 0 ， ⎪⎩n ⋅ CB = 0⎩令 a =2，则 b =-1，c =-4，∴平面 BCD 的法向量 n = (2 ，- 1，- 4) ， 又∵平面 CDC 1 的法向量为 EB =(0 ，2 ，0) ， uur ∴cos < n ⋅ EB >= n ⋅ EB uur = - ． | n || E B | 21由图可得二面角 B -CD -C 1 为钝角，所以二面角 B -CD -C 1 的余弦值为-（3）由（2）知平面 BCD 的法向量为 n = (2 ，- 1，- 4) ， ∵G （0，2，1），F （0，0，2），∴ GF =(0 ，- 2 ，1) ，∴ n ⋅ GF = -2 ，∴ n 与GF 不垂直，21．21⎩ ∴GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，∴GF 与平面 BCD 相交．【2018 天津卷】【答案】（1）见解析；（2）10 ；（3）3 .103【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分 13 分．依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 DA ， DC ， DG 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1， 2），G （0，0，2），M （0， 3，1），N （1，0，2）．2⎧n ⋅ ⎪ 0 DC = 0，（1）依题意 DC =（0，2，0）， DE =（2，0，2）．设 n 0=(x ，y ，z )为平面 CDE 的法向量，则⎨即⎧2 y = 0 ，不妨令 z=–1，可得 n =（1，0，–1）．又 =（1， - 3，1），可得 ⋅ n⎪⎩n 0 ⋅ DE = 0，= 0 ，又因为直线⎨2x + 2z = 0 ，0 MN 2MN 0 MN ⊄ 平面 CDE ，所以 MN ∥平面 CDE ．（2）依题意，可得 BC =（–1，0，0）， BE = (1，- 2 ，2) ， CF =（0，–1，2）．⎧n ⋅⎪ BC = 0， ⎧-x = 0，设 n =（x ，y ，z ）为平面 BCE 的法向量，则⎨n ⋅即⎨x - 2 y + 2z = 0，不妨令 z =1，可得 n =（0，1，1）． ⎩⎪ BE = 0， ⎩ ⎧m ⋅ ⎪ BC = 0， ⎧-x = 0，设 m =（x ，y ，z ）为平面 BCF 的法向量，则⎨m ⋅ 即⎨- y + 2z = 0，不妨令 z =1，可得 m =（0，2，1）． ⎩⎪ CF = 0， ⎩ 因此有 cos<m ，n >=m ⋅ n = 3 10 ，于是 sin<m ，n >= 10．| m || n| 10 10所以，二面角E–BC–F 的正弦值为10．10（3）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得BP=(-1，-2，h)．h 2 + 52 FA⎩易知， DC =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故cos < BP ⋅ DC > = BP ⋅ DCBP DC = 2 ，h 2 + 5 2 3 3 由题意，可得=sin60°=，解得 h =∈［0，2］．23所以线段 DP 的长为3 .3【2017 全国 1】【答案】（1）见解析；（2） -3 .3【解析】（1）由已知∠BAP = ∠CDP = 90︒ ，得 AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于 AB//CD ，故 AB ⊥PD ，从而 AB ⊥平面 PAD . 又 AB ⊂ 平面 PAB ，所以平面 PAB ⊥平面 PAD . （2）在平面 PAD 内作 PF ⊥ AD ，垂足为 F ，由（1）可知， AB ⊥ 平面 PAD ，故 AB ⊥ PF ，可得 PF ⊥ 平面 ABCD . 以 F 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向， | AB | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 F - xyz .由（1）及已知可得 A (2 , 0, 0) ， P (0, 0,22 ) ， B ( 22 ,1, 0) ， C (- 2 2,1, 0) . 2所以 PC = (- ,1, - 2 2 ) ， CB = ( 2, 0, 0) ， PA = ( , 0, - 2 2) ， AB = (0,1, 0) .设 n = (x , y , z ) 是平面 PCB 的法向量，则⎧n ⋅ ⎧ ⎪PC = 0, ⎪- ⎨ 即⎨ x + y - 22 z = 0, 可取 n = (0, -1, - 2) . ⎪⎩n ⋅ CB = 0, ⎪ 2x = 0,2 2 2 22设m (x, y, z) 是平面PAB 的法向量，则32⎧⎪m ⋅ ⎧ 2 x - 2 z = 0, PA = 0, ⎪ ⎨ 即 可取 m = (1, 0,1) . ⎨ 2 2⎪⎩m ⋅ AB = 0, ⎪⎩ y = 0.n ⋅ m则cos <n , m > == - ，| n || m | 3所以二面角 A - PB - C 的余弦值为-3 .3【2017 全国Ⅱ】【答案】（1）见解析；（2） 10．5【解析】（1）取 PA 的中点 F ，连结 EF ， BF ．因为 E 是 PD 的中点，所以 EF ∥ AD ， EF = 1AD ，2由∠BAD = ∠ABC = 90︒ 得 BC ∥ AD ， 又 BC = 1AD ，2所以 EF ∥BC ，四边形 BCEF 是平行四边形， CE ∥BF ． 又 BF ⊂ 平面 PAB ， CE ⊄ 平面 PAB ，故CE ∥平面 PAB ．（2）由已知得 BA ⊥ AD ，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，则 A (0, 0, 0) ， B (1, 0, 0) ， C (1,1, 0) ， P (0,1, 3 )， PC = (1, 0, -3) ，AB = (1, 0, 0) ， 设 M ( x , y , z )(0 < x < 1) ，则 BM = (x -1, y , z ), PM = (x , y -1, z - 3) ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45°，而 n = (0, 0,1) 是底面 ABCD 的法向量，= 2 2 2所以 cos BM , n = sin 45︒2 ，即( x -1) + y - z = 0 ． ①z( x -1)2 + y 2 + z 23 ⎨ AM又 M 在棱 PC 上，设 PM = λPC ，则x = λ, y = 1, z = -3λ． ②⎧ x = 1+ ⎧x = 1- 2⎪ ⎪ 由①②解得⎨ ⎪ 2 y = 1 ⎪(舍去)， ⎪⎪2 y = 1 ．⎪ z = - ⎩2 ⎪ z = ⎩ 2所以 M (1-,1,6) ，从而=(1-2 2,1, 6 ) ．2 2⎧m ⋅ ⎧m = ( x , y , z ⎪ AM = 0, ⎪(2 - 2)x 0 + 2 y 0 + 6z 0 = 0, 设)是平面 ABM 的法向量，则⎨ 即⎨ ⎪⎩ m ⋅ AB = 0, ⎪⎩x 0 = 0,所以可取 m = (0, -6, 2) ．于是cos m , n =m ⋅ n = 10 ，m n 5因此二面角 M - AB - D 的余弦值为10．5【2017 全国Ⅲ】【答案】（1）见解析；（2） 7 .7【解析】（1）由题设可得， △ABD ≌△CBD ，从而 AD = DC . 又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC =90︒ . 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于△ABC 是正三角形，故 BO ⊥ AC . 所以∠DOB 为二面角 D - AC - B 的平面角. 在Rt △AOB 中， BO 2 + AO 2 = AB 2 .又 AB = BD ，所以 BO 2 + DO 2 = BO 2 + AO 2 = AB 2 = BD 2 ， 故∠DOB = 90 . 所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知， OA , OB , OD 两两垂直，以O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴正方向， OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz .则 A (1, 0, 0), B (0, 3, 0 ), C (-1, 0, 0 ), D (0, 0,1) .2 66 2 2 ⎪3 3 ⎧⎪m ⋅ 1 由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 2，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的1 距离的 ⎛ 1 ⎫ ，即E 为 DB 的中点，得 E 0, , ⎪ . 2⎝ 2 2 ⎭⎛ 1 ⎫ 故AD = (-1, 0,1), AC = (-2, 0, 0), AE = -1, , ⎪ . ⎝2 2 ⎭ ⎧⎪n ⋅ ⎧ -x + z = 0, 设 n = (x , y, z ) 是平面 DAE 的法向量，则⎨ AD = 0， ⎪ ⎪n ⋅ = 0即⎨-x + 3 y + 1 z = 0.可取 n = ⎛1, 3 ,1⎫.⎩ AE ， ⎪⎩ 2 23 ⎪ ⎝ ⎭AC = 0， 设 m 是平面 AEC 的法向量，则⎨同理可取 m = (0, -1, 3 ).则cosn , m=n ⋅ m = 7 .n m 7⎪⎩m ⋅ AE = 0，所以二面角 D -AE -C 的余弦值为7 .7【2017 江苏卷】【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）在平面 ABD 内，因为 AB ⊥AD ， EF ⊥ AD ， 所以 EF ∥AB ．又因为 EF ⊄ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ， 所以 EF ∥平面 ABC ．（2）因为平面 ABD ⊥平面 BCD ，平面 ABD 平面 BCD =BD ， BC ⊂平面 BCD ， BC ⊥ BD ， 所以 BC ⊥ 平面 ABD ． 因为 AD ⊂ 平面 ABD ， 所以 BC ⊥ AD ．又 AB ⊥AD ， BC AB = B ， AB ⊂ 平面 ABC ， BC ⊂平面 ABC ， 所以 AD ⊥平面 ABC ， 又因为 AC ⊂ 平面 ABC ， 所以 AD ⊥AC ．34( 3, 0, 0) ⋅ (3, 3, 2) 3 ⨯ 4 ⎧⎪m ⋅ AE m 1【2017 江苏卷（选做题）】【答案】（1） 1；（2）7 ．74【解析】在平面 ABCD 内，过点 A 作 AE ⊥ AD ，交 BC 于点 E ． 因为 AA 1 ⊥ 平面 ABCD ，所以 AA 1 ⊥ AE ，AA 1 ⊥ AD ．如图，以{AE , AD , AA 1} 为正交基底，建立空间直角坐标系 A -xyz ．因为 AB =AD =2，AA 1= ， ∠BAD = 120︒ ．则 A (0, 0, 0), B ( 3, -1, 0), D (0, 2, 0), E ( 3, 0, 0), A 1 (0, 0, 3), C 1 ( 3,1, 3) ．（1） A 1B = ( 3, -1, - 3), AC 1 = ( 3,1, 3) ，A 1B ⋅ AC 1 ( 3, -1, - 3) ⋅ ( 3,1, 3) 1则cos A 1B , AC 1 == | A 1B || AC 1 |7 1= - ． 7 因此异面直线 A 1B 与 AC 1 所成角的余弦值为 ．7（2）平面 A 1DA 的一个法向量为 AE = ( 3, 0, 0) ．设m = (x , y , z ) 为平面 BA 1D 的一个法向量，A 1B = 0,⎪⎧ 3x - y -3z = 0,又 A 1B = ( 3, -1, - 3), BD = (- 3, 3, 0) ，则⎨即⎨ ⎪⎩m ⋅ BD = 0, ⎪⎩- 3x + 3y = 0.不妨取 x =3，则 y =3, z = 2 ，所以 m = (3, 3, 2) 为平面 BA 1D 的一个法向量，从而cos AE , m ⋅ 3 == = ， | AE || m |4 设二面角 B -A D -A 的大小为θ，则| cos θ|= 3．因为θ∈[0, π] ，所以sin θ=41- c os 2 θ = 7 ．4因此二面角 B -A 1D -A 的正弦值为7 ．34353 2 + 22 13 13 -1 3 3 【2017 山东卷】【答案】（1）30°；（2）60°.【解析】（1）因为 AP ⊥ BE ， AB ⊥ BE ， AB ， AP ⊂ 平面 ABP ， AB AP = A ， 所以 BE ⊥ 平面 ABP ， 又 BP ⊂ 平面 ABP ， 所以 BE ⊥ BP ， 又∠EBC = 120︒ ， 因此∠CBP = 30︒ .（2）解法一：取 E C 的中点H ，连接 EH ， GH ， CH . 因为∠EBC = 120︒ ， 所以四边形 BEHC 为菱形，所以 AE = GE = AC = GC = = .取 AG 中点 M ，连接 EM ， CM ， EC . 则 EM ⊥ AG ， CM ⊥ AG ， 所以∠EMC 为所求二面角的平面角.又 AM = 1 ，所以 EM = CM = = 2 .在△BEC 中，由于∠EBC = 120︒ ，由余弦定理得 EC 2 = 22 + 22 - 2 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ cos120︒ = 12 ，所以 EC = 2 ，因此△EMC 为等边三角形，故所求的角为 60︒.解法二：以 B 为坐标原点，分别以 BE ， BP ， BA 所在的直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得 A (0, 0, 3) E (2, 0, 0) ， G (1, 3, 3) ， C (-1, 3, 0) ，故 AE = (2, 0, -3) ， AG = (1, 3, 0) ，CG = (2, 0, 3) ，设m = (x1, y1, z1) 是平面AEG 的一个法向量.⎧m ⋅ ⎧2x - 3z= 0,⎪AE = 0 ⎪ 1 1由⎨可得⎨ x + 3y = 0,⎪⎩m⋅AG=0⎩⎪ 1 1取z1= 2 ，可得平面AEG 的一个法向量m = (3, -设n = (x2 , y2, z2) 是平面ACG 的一个法向量.3, 2) .⎧n ⋅⎧⎪AG = 0 ⎪x2 + 3y2 = 0,由⎨可得⎨ 2x+3z = 0,⎪⎩n⋅C G=0⎩⎪ 2 2取z2 =-2 ，可得平面ACG 的一个法向量n = (3, - 3, -2) .所以cos m, n =m ⋅n=1. | m | ⋅ | n | 2因此所求的角为60︒.【2017 浙江卷】【答案】（1）见解析；（2）2．8【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15 分.（1）如图，设PA 中点为F，连接EF，FB．因为E，F 分别为PD，PA 中点，所以又因为BC∥AD ，BC =1AD ，所以2EF∥AD 且EF =1AD ，2EF∥BC 且EF =BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE∥BF ，因此CE∥ 平面PAB．2 2 2 （2） 分别取 BC ，AD 的中点为 M ，N ．连接 PN 交 EF 于点 Q ，连接MQ ． 因为 E ，F ，N 分别是 PD ，PA ，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点， 在平行四边形 BCEF 中，MQ//CE ．由△PAD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．由 DC ⊥AD ，N 是 AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面 PBN ，由 BC //AD 得BC ⊥平面 PBN ，那么平面 PBC ⊥平面PBN ． 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H ，连接 MH ．MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角． 设 CD =1．在△PCD 中，由 PC =2，CD =1，PD= 得 CE = ，在△PBN 中，由 PN =BN =1，PB = 得 QH = 1，4在 Rt △MQH 中，QH= 1，MQ = ，4 所以sin ∠QMH =2 ，8所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 2．832 【2017 北京卷】【答案】（1）见解析；（2） π；（3）26 .39【解析】（1）设 AC , BD 交点为 E ，连接 ME .因为 PD ∥平面 MAC ，平面 MAC 平面 PDB = ME ， 所以 PD ∥ME . 因为 ABCD 是正方形， 所以 E 为 BD 的中点， 所以 M 为 PB 的中点.（2）取 AD 的中点O ，连接OP ， OE . 因为 PA = PD ，所以OP ⊥ AD .又因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且OP ⊂ 平面 PAD ， 所以OP ⊥ 平面 ABCD .因为OE ⊂ 平面 ABCD ，所以OP ⊥ OE . 因为 ABCD 是正方形，所以OE ⊥ AD .如图建立空间直角坐标系O - xyz ，则 P (0, 0, 2) ， D (2, 0, 0) ， B (-2, 4, 0) ，BD = (4, -4, 0) ， PD = (2, 0, - 2) .⎧⎪n ⋅ = 0⎧⎪4x - 4 y = 0 设平面 BDP 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎨ BD ，即⎨ .⎪⎩n ⋅ PD = 0 令 x = 1 ，则 y = 1， z = .于是n = (1,1, 2) . ⎪⎩2x - 2z = 0平面 PAD 的法向量为 p = (0,1, 0) ，所以cos <n , p > = n ⋅ p = 1 .| n || p | 2π由题知二面角 B - PD - A 为锐角，所以它的大小为 3.2 69MC⎩（3）由题意知 M (-1, 2, 2 )， C (2, 4, 0) ， = (3, 2, -22 ) . 2α | n ⋅ MC | 2 6 设直线 MC 与平面 BDP 所成角为，则sin α=| cos <n , MC > |= = . | n || MC |9所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为.【2017 天津卷】【答案】（1）证明见解析；（2）105 ；（3） 8 或 1．215 2【解析】如图，以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， AP 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得 A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）．（1）易得 DE =（0，2，0）， DB =（2，0，-2 ）． ⎧n ⋅ n = (x , y , z )⎪ DE = 0 ⎧2 y = 0 设 为平面 BDE 的法向量，则⎨n ⋅，即⎨2x - 2z = 0 ． ⎩⎪ DB = 0 ⎩ 不妨设 z = 1 ，可得 n = (1, 0,1) ．又 MN =（1，2， -1 ），可得 MN ⋅ n = 0 ．因为 MN ⊄ 平面 BDE ，所以 MN ∥平面 BDE ． （2）易知 n 1 = (1, 0, 0) 为平面 CEM 的一个法向量．⎧⎪n⋅ 设 n 2 = (x , y , z ) 为平面 EMN 的法向量，则⎨ 2 EM = 0，⎪⎩n 2 ⋅ MN = 0⎧-2 y - z = 0因为 EM = (0, -2, -1) ， MN = (1, 2, -1) ，所以⎨x + 2 y - z = 0．= (-4,1, -2) ．不妨设y = 1 ，可得n2h 2+ 5 ⨯ 2 3 7因此有cos < n , n >= n 1 ⋅ n 2 = - 4，于是sin < n , n >=105 ．| n 1 || n 2 |21 1221 所以，二面角 C -EM -N 的正弦值为 105．21（3）依题意，设 AH =h （ 0 ≤ h ≤ 4 ），则 H （0，0，h ），进而可得 NH = (-1, -2, h ) ， BE = (-2, 2, 2) ．| NH ⋅ BE | | 2h - 2 | 由已知，得| cos < NH , BE >|= = = ， | NH || BE | 21 整理得10h 2 - 21h + 8 = 0 ，解得 h = 8 或 h = 1．5 2所以，线段 AH 的长为 8 或 1．5 2【2016 全国 1】【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF ⊥EF ．∵∠AFD=90°，∴AF ⊥DF ，∵DF ∩EF=F ，∴AF ⊥平面 EFDC ，∵AF ⊂平面 ABEF ，∴平面 ABEF ⊥平面 EFDC ；（Ⅱ）解：由 AF ⊥DF ，AF ⊥EF ，可得∠DFE 为二面角 D ﹣AF ﹣E 的平面角； 由 ABEF 为正方形，AF ⊥平面 EFDC ， ∵BE ⊥EF ，∴BE ⊥平面 EFDC即有 CE ⊥BE ，可得∠CEF 为二面角 C ﹣BE ﹣F 的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB ∥EF ，AB ⊄ 平面 EFDC ，EF ⊂平面 EFDC ， ∴AB ∥平面 EFDC ，∵平面 EFDC ∩平面 ABCD=CD ，AB ⊂平面 ABCD ，∴AB ∥CD ，∴CD ∥EF ，∴四边形 EFDC 为等腰梯形．以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a ，1 2。
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(20)(本小题满分12分)
已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
2013-2
(20)(本小题满分12分)
平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：(a>b>0)右焦点的直线x+y- =0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，
且OP 的斜率为
(Ι)求M 的方程
（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值
M 22(1)1x y ++=N 22(1)9x y -+=P M N P l P M l 22
221x y a b +=1
2
21．（本小题满分12分）
已知双曲线离心率为直线
（I ）求；
（II ）
证明：
()22
1222:10,0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为，，3
，2y C =与,;a b 2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -22.AF AB BF 、、成等比数列
20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：
，是椭圆的焦点，直线
，为坐标原点. (Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
2014-2
20. （本小题满分12分）
设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M 是C 上一点且与x 轴垂直，直线与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且，求a,b .
A E 22
221(0)x y a b a b
+=>>F AF O E A l E ,P Q OPQ ∆l 1F 2F ()222210y x a b a b +=>>2MF 1MF 34
15MN F N =
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝2
4
x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点， (Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.
2015-2
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（2）若l 过点(,)3
m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。
2016-1
20．(2016·全国Ⅰ理，20)(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于
2016-2
20．(2016·全国Ⅱ理，20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23
＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .
(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；
(2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．
20．(2016·全国Ⅲ，20)(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
20．(2017·全国Ⅰ理，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
2017-2
20．(2017·全国Ⅱ理，20)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22
＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
20．(2017·全国Ⅲ理，20)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.
2018-2
19．（12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该
数列的公差．
k l 22
143
x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12
k <-F C P C FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r FA u u u r FP u u u r FB u u u r
已知抛物线C ：23y x =的焦点为F ，斜率为
32
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若||||4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =u u u r u u u r ，求||AB ．
2019-2
21．（12分） 已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12
-，记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．
（ⅰ）证明：△PQG 是直角三角形；
（ⅱ）求△PQG 面积的最大值．
已知曲线C：
2
2
x
y=，D为直线
1
2
y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线
AB过定点；（2）若以
5
(0,)
2
E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．。