2019高二数学学科竞赛试题(1)

2019年耒阳二中高二学科竞赛数学试卷（提示：把答案写在答案卷上。

考试时间：120分钟，满分150分）一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。

本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1、已知函数，则不等式f （x ﹣2）+f （x 2﹣4）＜0的解集为（ ）A ． （﹣1，6）B ． （﹣6，1）C ． （﹣2，3）D ． （﹣3，2）2、已知⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)73、若正数a ，b 满足a+b=4，则1911a b +--的最小值( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．164、已知斜四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD=60°，∠BAD=90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、等差数列{}n a 中,10a >,n S 是前n 项和且918S S =,则当=n （ ）时,n S 最大． A ．12 B ．13 C ．12或13 D ．13或146、设数列}{n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，}{n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则=+++1021b b b a a a （ ）A ．1033B ．2057C ．1034D ．20587、设F 为双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ，B 两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ）A. 3B. 2C.52D. 5 8、已知双曲线E ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>上的四点,,,A B C D 满足AC AB AD =+，若直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 3B. 2C. 5D. 229、已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且∙最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． [2，+∞）10、已知函数错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

存在唯一的零点错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的取值范围是( )A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ． 错误！未找到引用源。

11、已知函数 f （x ）=﹣5，若对任意的 ，都有f （x 1）﹣g （x 2）≥2成立，则a 的取值范围是（ ）A ． （0，+∞）B ． [1，+∞）C ． （﹣∞，0）D ． （﹣∞，﹣1] 12、已知函数()()xx f x x R e=∈，若关于x 的方程()2()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2112e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．202e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ．111e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， D ．212e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13、已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2+n ，数列{}的前项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n =n﹣8，则b n S n 的最小值为 ．14、已知直线:10l x y -+=与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上一动点，且在直线l 下方，则△PAB 的面积的最大值为 . 15、已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上的两点A ，B满足=3，若弦AB 的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为 ．16、若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程、 演算步骤）17、 （本小题满分10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.18、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25,352==S a ，正项数列{}n b 满足()ns n b b b b 3321=．（1）求数列{}{}n n b a ,的通项公式；（2）若()()nn na 1121+-+<-λ对一切正整数n 均成立，求实数λ的取值范围．19、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=38y 的焦点。

1）求椭圆C 的方程；2）点P(2,3)，Q(2,-3)在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点。

当A 、B 运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由；20. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()1ln f x x a x =--.（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.22、（本小题满分12分）已知点P 是圆221x y +=上任意一点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点R 满足3RQ PQ =记点R 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设(0,1)A ，点,M N 在曲线C 上，且直线AM 与直线AN 的斜率之积为23，求A M N ∆的面积的最大值．2019年耒阳二中高二学科竞赛数学试题答卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）题号 123456789101112答案二、填空题（本大题共小4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线）13____________________ 14 ____________________15____________________ 16_____________________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）班级:_____________ 姓名：_________________ 考号：17.(本题10分)座位号：__________ 18.(本题12分)19.(本题12分)20.(本题12分)21.(本题12分)22.(本题12分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）题号 123456789101112答案DCBCDACABCBA二、填空题（本大题共小4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线）3131)16(8y )15(24)14(4)13(2≤≤-=-a x三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17：.()()3332321+18：解：（1）由已知则又故,3,5,2552335====a a a S d=2，故12-=n a n()n S n b b b 3...21=，()131321-=-n S n b b b b ，相除得()()2312≥=-n b n n又()()11331==S b 满足上式，故()()1312≥=-n b n n（2）()()nn na 1121+-+<-λ即()()121211--+<-+n n nλ对一切正整数n 均成立，①n 为奇数时，1212--->n λ恒成立，则2-≥λ ②n 为偶数时，1212--<n λ恒成立，则35<λ综上352<≤-λ．19）设椭圆C 的标准方程是：12222=+by a x ()0a b >>.则23b =；由2221,2c a b c a ==+,得4a =; 故椭圆C 的标准方程是：1121622=+y x (2)当APQ BPQ ∠=∠时，直线,AP BP 的斜率之和为零； 设直线AP 的斜率为k ,则直线BP 的斜率为k -;∵直线AP 的方程：()32y k x -=-,代入椭圆C 的方程得()()()22234832432480k x k x k ++-+--=∴128(23)234k kx k -+=+,同理可得228(23)234k kx k++=+ 2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k--=+ 12121212()412AB y y k x x k k x x x x -+-===--由此可知，直线AB 的斜率是一个定值1220（I ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.21（1）()f x 的定义域为()0∞，+.①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若0a >，由()1a x a f 'x x x-=-=知， 当()0x ,a ∈时，()0f 'x <；当()，+x a ∈∞时，()0f 'x >，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点.由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1.（2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->. 令112n x =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.22：（I ）设(,)R x y ，00(,)P x y ，则0(0,)Q y ．3RQ PQ =，0033x x y y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，22001x y +=，故点R 的轨迹方程：2213x y +=．（Ⅱ）（1）当直线MN 的斜率不存在时，设:MN (33)x t t =-<<． 则2(,1)3t M t -，2(,1)3t N t --，13AM AN k K ∴⋅=，不合题意． （2）当直线MN 的斜率存在时，设:MN l y kx b =+，11(,)M x y ,22(,)N x y 联立方程2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(13)6330k x kbx b +++-=． 2212(31)0k b ∴∆=-+>，122613kb x x k -+=+，21223313b x x k -=+． 又22121212121211(1)()(1)23AM AN y y k x x k b x x b k k x x x x --+-++-⋅=⋅==， 即221212(32)3(1)()3(1)0k x x k b x x b -+-++-=． 将122613kb x x k-+=+，21223313b x x k -⋅=+代入上式，得3b =-． ∴直线MN 过定点(0,3)T -． ∴21212121||||2()42AMN S AT x x x x x x ∆=⋅-=+-22384313k k -=⋅+． 令238(0)k t t -=>，即2238k t =+，∴222381191396k t k t t t-==≤+++． 当且仅当3t =时，max 23()3ABC S ∆=．。