东城区2019-2020高二数学
北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在2．圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y﹣2）2=25 3．已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．44．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．26．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（ ）A ．B ．C ．1D ．28．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，则x 0=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．89．过点P （﹣，﹣1）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（0，] C ．[0，] D ．[0，]10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．双曲线的两条渐近线方程为 ．12．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于 ．13．已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|= ．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．15．设F 1、F 2是椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 ．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PB ，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥AD ．18．已知圆C 经过A （1，3），B （﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点（2，﹣2），且l 与圆C 相交所得弦长为，求直线l 的方程．19．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y ﹣1=0，3x ﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．20．如图，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PA=2BC=2，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥AC ，并求的值．21．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在【考点】直线的斜率．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据两点坐标求出直线AB的斜率即可．【解答】解：直线AB的斜率k==2，故选：A．【点评】此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．2．圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y﹣2）2=25 【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1），∴圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=25．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础的会考题型．3．已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线的垂直关系可得1×2+（﹣2）m=0，解方程可得．【解答】解：∵直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，∴1×2+（﹣2）m=0，解得m=1故选：C【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． B． C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内使直线OM斜率取最小值的点M，由两点求斜率公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（3，﹣1），∴直线OM 斜率的最小值为k=．故选：A ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，则x 0=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C ：y 2=x 的焦点为F，∵A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，∴=x 0+， 解得x 0=1．故选：A ．【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．9．过点P （﹣，﹣1）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（0，]C ．[0，]D ．[0，]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：由题意可得点P （﹣，﹣1）在圆x 2+y 2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 y+1=k （x+），即 kx ﹣y+k ﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即 3k 2﹣2k+1≤k 2+1，解得0≤k ≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线【考点】轨迹方程．【专题】压轴题；运动思想．【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】圆锥的底面半径为1，高为1，母线为．【解答】解：∵等腰直角三角形的斜边长为，∴圆锥的母线l=．∵圆锥的底面半径r=1，∴圆锥的侧面积S=πrl=．故答案为．【点评】本题考查了圆锥的结构特征和侧面积计算，属于基础题．13．已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|= ． 【考点】空间向量的加减法． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】利用平面向量坐标运算公式求出﹣，由此能求出|2﹣|．【解答】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴﹣=（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），∴|2﹣|==．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 2 米．【考点】抛物线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=my ，将A （2，﹣2）代入x 2=my ，得m=﹣2∴x 2=﹣2y ，代入B （x 0，﹣3）得x 0=，故水面宽为2m ．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．15．设F 1、F 2是椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF 2|=|F 2F 1|，根据P 为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：设x=交x 轴于点M ， ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF 2F 1=120°，|PF 2|=|F 2F 1|，且|PF 2|=2|F 2M|∵P 为直线x=上一点，∴2（﹣c ）=2c ，解之得3a=4c∴椭圆E 的离心率为e==故答案为：【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是 []． ．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，易证平面A 1MN ∥平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时A 1P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，连接BC 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥BC 1，EF ∥BC 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF ；∵AA 1∥NE ，AA 1=NE ，∴四边形AENA 1为平行四边形，∴A 1N ∥AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴A 1N ∥平面AEF ，又A 1N ∩MN=N ，∴平面A 1MN ∥平面AEF ，∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P ∥平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M===，同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N=， ∴△A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长，A 1O===，A 1M=A 1N=，所以线段A 1P 长度的取值范围是[]．故答案为：[]． 【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PB ，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥AD ．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．（Ⅱ）推导出PE⊥AB，从而PE⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥AD．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴CD∥AB．又∵CD⊄平面PAB，且AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（Ⅱ）∵PA=PB，点E是AB的中点，∴PE⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABCD．∵AD⊂平面ABCD，∴PE⊥AD．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．19．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y﹣1=0，3x﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是M（3，3），可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．【解答】解：联立方程组解得，所以平行四边形ABCD的顶点A（﹣，）．设C（x0，y），由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，所以，解得所以C（，）．由已知，直线AD的斜率kAD=3．因为直线BC∥AD，所以，直线BC的方程为3x﹣y﹣16=0．由已知，直线AB的斜率kAB=﹣1．因为直线CD∥AB，所以，直线CD的方程为x+y﹣11=0．因此，其他两边所在直线的方程是3x﹣y﹣16=0，x+y﹣11=0．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算能力，属于中档题．20．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．21．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】压轴题．【分析】（1）设椭圆方程为．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a ，b ，c 的值，从而得到所求椭圆方程．（2）右焦点F （1，0），直线l 的方程为y=x ﹣1．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题设条件得．由此入手可求出． （3）假设在线段OF 上存在点M （m ，0）（0＜m ＜1），使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0）．由题意知（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0．由此可知．【解答】解：（1）由已知，椭圆方程可设为．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为． （2）右焦点F （1，0），直线l 的方程为y=x ﹣1．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由得3y 2+2y ﹣1=0，解得．∴．（3）假设在线段OF 上存在点M （m ，0）（0＜m ＜1），使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0）．由可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0．∴．．其中x 2﹣x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔（x 1+x 2﹣2m ，y 1+y 2）（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）=0⇔（x 1+x 2﹣2m ）（x 2﹣x 1）+（y 1+y 2）（y 2﹣y 1）=0⇔（x 1+x 2﹣2m ）+k （y 1+y 2）=0⇔2k 2﹣（2+4k 2）m=0．∴．【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．。
2019-2020学年北京市东城区数学高二(下)期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年北京市东城区数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．由2y x =-与直线23y x =-围成的图形的面积是（ ）A ．53B ．643C ．323D ．9【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3联立，解得y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3围成的图形的面积是S=12-3-23)x x dx -+⎰（ =（﹣13x 3﹣x 2+3x ）13|-=323 ． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()ba f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. 2．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（ ）A ．y ＝22x x --B ．y ＝x 2+1C ．y ＝x 13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．y ＝1x 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数．【详解】对于A ，y ＝f （x ）＝2x ﹣2﹣x 定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数，当x ＜0时，由y ＝2x ，y ＝﹣2﹣x 递增，可得在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递增，故A 正确；y ＝f （x ）＝x 2+1满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故B 不满足条件；y ＝f （x ）＝（13）|x|满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故C 不满足题意； y 1x=为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递减，故D 不满足题意． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．3．已知随机变量Z 服从正态分布N （0，2σ ）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C【解析】 因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以, 所以0.954,故选C. 【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.4．已知R a ∈，则“1a >”是“11a <”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】 “a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】 a ∈R ，则“a＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．5．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．6．6(3)x y +的二项展开式中，24x y 项的系数是（ ）A ．90B ．45C ．135D ．270 【答案】C【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，且y 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得结果详解：()63x y+的展开式中， 通项公式为()6163rrr r T C x y -+=n n 令62r -=，且4r =，求得4r =24x y ∴项的系数是()4263135C =n故选C 点睛：本题主要考查的是二项式定理，先求出其通项公式，即可得到其系数，本题较为简单。
北京市东城区2019-2020学年高二数学下学期期末考试 文 新人教A版
北京市东城区（南片）2019-2020学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知复数i z 211+=，i z -=12，那么21z z z +=在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集R U =，集合{}32≤≤-=x x A ，{}41>-<=x x x B 或，那么集合()B C A U 等于A. {}42<≤-x xB. {}43≥≤x x x 或C. {}12-<≤-x xD. {}31≤≤-x x3. 读下面的程序框图，输出结果是 A. 1 B. 3C. 4D. 54. 若1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，则A. 120x x <<B. 121<<x xC. 012<<x xD. 021<<x x5. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程()002≠=++a c bx ax 存在有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是 A. 假设c b a ,,不都是偶数 B. 假设c b a ,,都不是偶数C. 假设c b a ,,至多有一个是偶数D. 假设c b a ,,至多有两个是偶数 6. 下列函数中在区间()+∞,0上单调递增的是A. x y sin =B. 2x y -=C. x e y -=D. 3x y = 7. 若0x 是方程5lg =+x x 的解，则0x 属于区间 A. ()2,1 B. ()3,2 C. ()4,3 D. ()5,48. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④9. 已知xx x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。
北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测高二数学试卷 (含答案)
北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末教学统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D（6）C （7）C （8）B （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）58− （12）①③ （13）12（14）42 （15）1ln 2−+注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。
三、解答题（共5小题，共40分）（16）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（Ⅰ）因为21()23ln 2f x x x x =−−， 所以3'()2f x x x=−−， ………1分 '(1)4f =−. ………2分因为3(1)2f =−， ………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为8250x y +−=.………4分 （Ⅱ） ()f x 的定义域为(0,)+∞. ………5分 因为2323(1)(3)'()2x x x x f x x x x x−−+−=−−==， 由'()0f x =，得11x =−，23x =. ………6分 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： 单调递减单调递增 7分所以，()f x 的单调递增区间为(3,)+∞，()f x 的单调递减区间为(0,3). ………8分（17）（共8分）解：（Ⅰ）共需要填6个空，对2个空 ……1分对4个空 ………2分全对 ………4分（Ⅱ）由题可知，22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d −++++，经过计算， 4.762k ≈，………7分 参照附表，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. ………8分（18）（共8分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，辨识度高的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150+++=⨯⨯⨯⨯.………1分 所求概率为1500.75200=. ………3分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………4分依题意可知，(3,0.6)X B ~.033(0)(10.6)0.064P X C ===−,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ===−,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ===−,333(3)0.60.216P X C ===. ………6分所以X 的分布列为………7分()30.6 1.8E X =⨯=. ………………8分（19）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为R .（Ⅰ）因为2()e x f x x =，所以22'()2e e e (2)e (2)x x x x f x x x x x x x =⋅+⋅=⋅+=⋅+⋅. ………1分由'()0f x =，得12x =−，20x =. ………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当2x =−时，()f x 有极大值，并且极大值为24(2)ef −=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(0)0f =.………4分（全对给1分）（Ⅱ）因为()y f x ax =−，所以2()e e x x ax y x x x a −=−=⋅.所以0x =为一个零点.所以“函数2e x x a y x =−在定义域内有三个零点”可以转化为“方程e x a x =⋅有两个非零实根”. ………5分令()e x h x x =，则'()e e (1)e x x x h x x x =+=+⋅，所以，当1x <−时，'()0h x <，()h x 在(,1)−∞−上单调递减； 当1x >−时，'()0h x >，()h x 在(1,)−+∞上单调递增.当1x =−时，()h x 有最小值1(1)e h −=−. ………6分 若方程e x a x =⋅有两个非零实根，则1(1)e h −=−a <，即1e a >−. 又0a ≥，(,1)x ∈−∞−，e 0x x a ⋅−<恒成立，不存在零点，………7分所以0a <．综上，10ea −<<. 所以当1(,0)e a ∈−时，函数()y f x ax =−在定义域内有三个零点．………8分（20）（共8分）（Ⅰ）解：当3n =时，{3,4,5}n S =.n S 的所有奇子集为{3}{5}{3,4}{4,5}，，，. ………3分（少写或写错扣1分）（Ⅱ）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等.设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ，当k A ∈时，取{|B x x A =∈且}x k ≠.当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的.所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1>i ，含i 的n S 的子集共有12−n 个， …4分其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. …6分（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现22−n 次，故奇子集的容量和为23(121)2(31)2n n n n n n n −−++++−⨯=−⨯． ………8分。
2019-2020学年北京市东城区新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,]e-∞ B ．39[,)e+∞ C ．28[,)e+∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦2．()5111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为( )A ．-10B ．-5C ．5D ．03．函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝a(13)i，i ＝1，2，3，则a 的值为( ) A ．1B ．913C ．1113D ．27135．已知三棱锥D ABC -外接球的表面积为12π，ABC ∆是边长为1的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则三棱锥D ABC -的体积为（ ） A ．23B 2C 3D 6 6．已知集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则A B =( )A ．(,1](2,)-∞+∞B ．(,0)(1,2)-∞C ．[1,2)D ．(1,2]7．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 1，…，i n ）（n 是不小于1的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（1，4，3，1）中有顺序“1，4”、“1，3”，其“顺序数”等于1．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 1，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 1，a 1）的“顺序数”是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．48．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．32 922z i =+-所对应的点在第几象限（ ）C ．第三象限D ．第四象限10．幂函数y=kx a 过点（4，2），则k –a 的值为 A ．–1 B ．12 C ．1D ．3211．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（） A ．2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅12．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0 C ．2x xe e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R 二、填空题：本题共4小题13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2ln f x xf e x '=-，则()e f '=_____14．给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是____.15．已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则()PA PB PC +⋅=__________．16．在平面直角坐标系Oxy 中，直线1y =与抛物线2yx 所围成的封闭图形的面积为（ ）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学（理）试题本试卷共4页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1. 若A , B 两点的纵坐标相等，则直线 AB 的倾斜角为 A. 0 B. - C. - D. n422. 已知命题p: x^ R , lgx 0<0,那么命题一p 为 A. -x R , lgx>0 B.-I x ^ R , |g x 。
>0C. -x R , Igx >0D. 讽 R , Ig x 0> 0 3.在平面直角坐标系中， 正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是 0,则边AB, AC 所在直线的斜率之和为A. -2 3B.-1C.0D. 2 34. 已知m, n 表示两条不同的直线， a 表示平面，且n 二，则“ m// n ”是“ m// a ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为-的小正方体堆积成的2 正方体），其中白点O 代表钠原子，黑点•代表氯原子 .建立空间直角坐标系 O-xyz 后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是6. 如图所示，在正方体 ABCD-ABQD 中，四面体 A-B 1CD 在面AADD 上的正投影图形为A. ^,-,1B.(0,0,1)C.2 2D.AB C D27.设椭圆笃+2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1, F2，线段FF被点-,0份成3:1的两段，则此椭a b12丿圆的离心率为A. -B.1C.D.32228.已知直线l，m和平面a,B，且l la, m〃B ,则下列命题中正确的是A.若a丄B ,则1 // mB.若a// B ,贝U l 丄mC.若1 //B , 贝H ml a D.若 1 丄m, y a // B9. 若半径为1的动圆与圆(x-1) 2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为2 2 2 2A.(x-I) +y =9B.(x-l) +y =3C.(x-l) +y =9 或(x-l) +y =1D.(x-1) +y =3 或(x-l) +y =52 210. 已知双曲线C:笃-為=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,l)在C的一条渐近线上，则C的方程为a b2 2 2 2A.x y=1B.x y=120805202222C.x y=1D.x y=1802020511. 平面上动点P到定点F与定直线I的距离相等，且点F与直线|的距离为1.某同学建立直角坐标系后, 得到点P 的轨迹方程为x2=2y-1，则它的建系方式是12. 正方体ABCD-ABCD的棱长为2，M, N为棱AD, AB上的动点，且MN =3，则线段MN中点P的轨迹A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分第二部分(非选择题共64分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13. 在空间直角坐标系中，点P(2,-1,1)在yOz平面内的射影为Q(x,y,z)，则x+y+z= _____________ .14. 若直线I与直线2x-y-仁0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线I的方程：___________ .15. 已知直线I : x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A, B两点，贝U m= _______ ，AB = ________ .16. 圆(x-l) 2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为 ______________ .17. 在长方体ABCD-ABiCD中，M N分别是棱BB, BQ的中点，若/ CMN=90，则异面直线AD与DM所成的角为_________ .J218. 已知曲线C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线y 2x的距离之积为12.给出下列关于曲线C的2描述：①曲线C关于坐标原点对称；②对于曲线C上任意一点M(x,y) —定有x, 6 ;③直线y=x与曲线C有两个交点；— 2 2④曲线C与圆x+y=16无交点.其中所有正确描述的序号是_________ .三、解答题(本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. (本题满分10分)已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 1.(I)求直线l的方程；(n)若直线丨1与直线l平行，且丨1与I间的距离为2,求直线11的方程.20. (本题满分11分)2 2已知圆C: x+y+10x+10y+34=0.(I)试写出圆C的圆心坐标和半径；(H)圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程;(川)过点P(0,2)的直线交(n)中圆D于E, F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.21. (本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，/ BAD=60 , Q为AD的中点.(I)若PA=PD求证：平面PQBL平面PAD(n)点M在线段PC上，PM=tPC试确定实数t的值，使PA//平面MQB(川)在(n)的条件下，若平面PADL平面ABCD且PA=PD=AD=2求二面角M-BQ-C的大小.22. (本题满分13分)2 2已知椭圆C: x2 Z =1(a>b>0)的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为.a b 2(I)求椭圆C的方程；(n)过原点0的直线I与椭圆C交于A, B两点，F为右焦点，若△ FAB为直角三角形，求直线l的方程.北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学(理)试题参考答案三、解答题(本大题共4小题，共46分)19. (本题满分10分)解：(I)由直线l过点(0,4)，所以直线I在y轴上的截距为4. 由已知条件可得直线I在x轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0).故直线方程为—y =1，即4x-3y+12=0. 4 分-3 4(H)由条件设直线I 1的方程为4x-3y+m=0,由两条直线间的距离为2,可得(0,4)到直线I 1的距离为2,则有 2 = °，2-m，解得m=2或m=22.74^7故所求直线11的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0. 10 分20. (本题满分11分)解：(I)将圆的方程改写为(x+5) +(y+5) =16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. 4 分(H)设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1) 2+52,解得r=13.此时圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D的方程为(x+5) 2+(y-12) 2=169. 8 分(川)设M(x,y)，依题意有DMLPM.即心(x工0 且X M -5 ),x x 5整理得x2+y2+5x-14y+24=0 (X M 0 且X M-5 ).设平面MQB 勺法向量为n =（x,y,z ）当x=0时，y=12，符合题意，当 x=-5时，y=2，符合题意.2 2故所求点M 的轨迹方程为x+y+5x-14y+24=0. 11 分21. （本题满分12分） 证明：（I ）连接BD. 因为 AD=AB / BAD=60 , 所以△ ABD 为正三角形. 因为Q 为AD 的中点， 所以ADL BQ.因为PA=PD Q 为AD 中点， 所以AD L PQ. 又 BQ P PQ=Q 所以ADL 平面PQB. 因为AD 平面PAD ,所以平面PQBL 平面PAD. 4 分(H)连接AC ,交BQ 于点N.由 AQ/ BC,可得△ AN3A CNB 所以A2 =空=1BC NC 2因为PA//平面 MQB PA 二平面PAC ，平面PA6平面 MQB=MN 所以 PA// MN.PM AN 11 1所以，即PM PC ,所以t .8 分 PC AC 333(川)由 PA=PD=AD=2Q 为AD 的中点，贝U PQLAD,又平面 PADL 平面 ABCD 所以PQL 平面ABCD.以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 所在的直线为x , y , z 轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0),B 0, 3,0 , Q(0,0,0) , P 0,0, 3 . P A= 1,0,-、3 , QB 二0r 3,0 .FA FB U M一3 X2 —3 y〃2 =(k2 - 1)为x? —3(X i X2) ' 3FA FB U M 一 3 X 2 — 3 y 〃2 =(k 2 - 1)为x ? — 3(X i X 2) ' 3可得n MN =0 j n QB =0.令 z=1，则 x = 3， y=0. 于是 n =3,0,1 .取平面ABCD 的法向量m=(O,O,l)22. (本题满分13 分) 解：(I)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以焦点为圆 x 2+y 2=3与x 轴的交点，即 —..3,0 ,.3,0 .J 3 又离心率e =—，所以a=2.22故所求椭圆方程为 -y 2 =1.4 分4(□)当厶FAB 为直角三角形时，显然直线 l 斜率存在,可设直线l 方程为y=kx ，设A(x i ,yd ，B(x 2,y 2).(i)当FA 丄 FB 时，FA = X i - 3, y i, FB = x ?-3, y ?.由Wx +4y =4,22消 y 得(4k +1)x -4=0. 则 xi+x2=0,联 一4^因为PA// MN 所以「0j n QB 二 0,即 x 「3z =0, .3y 二 0.所以cos m , n =1. 故二面角 M-BQ-C 的大小为60° .C2—4=(k 21) 2 3 =04k +1解得k 2 . 4 此时直线l 的方程为y= ^x. 8 分4 (ii)当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设 TT./FAB =—2X 2 2 —y i =1, 所以4解得 k AB k AF 丄— X i *'3 - X|0 - yi 2J3 Xy J6 所以k =里 2x 1 2 此时直线l 的方程为y 2x. 2 综上，直线I 的方程为y 2 x 或y 2 x . 13 分42。
2019-2020学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题--解析版
北京市东城区2019-2020高二上学期期末考试数学试题（解析版）一、单选题1．设z =i(2+i)，则z =A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．2．设抛物线2y 4x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-。
因为P 到y 轴的距离为2，所以P 到准线1x =-的距离为3.由抛物线的几何性质可知，P 到抛物线焦点的距离为3，故选C 3．设等差数列{}n a 的前n 项和是S n ，若2466++=a a a ，则7S 等于（）A ．7B ．14C ．21D ．28【答案】B【解析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由题,246436a a a a ++==,故42a =,故74S 714a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,包括等和性与“当n 为奇数时,12n n S na +=”等.属于基础题.4．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22194x y +=有相同的焦点，则a 等于（）A ．2BC ．D 【答案】A【解析】根据双曲线与椭圆的c 的公式求解即可.【详解】椭圆22194x y +=中c ==.故双曲线中有21a +=,因为0a >,解得2a =.故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的基本量关系,属于基础题.5．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.从甲地到丁地的不同路线共有（）A ．12条B ．15条C ．18条D ．72条【答案】C【解析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有326⨯=,路线为甲丙丁则有3412⨯=.故共有61218+=.故选：C 【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D．2【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),D A B D ,所以11(AD DB =-=,因为1111115cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为55，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF等于（）A ．112223EF AC AB AD=+-B ．112223EF AC AB AD=--+C ．112223EF AC AB AD=-+ D ．112223EF AC AB AD=-+-【答案】B【解析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】()1211223223EF EB BA AF AB AC AB AD AC AB AD =++=--+=--+.故选：B 【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题.8．已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1212||,||,||PF PF F F 构成公比为23的等比数列，则椭圆C 的离心率为（）A ．415B ．14C ．13D ．25【答案】A【解析】根据1212||,||,||PF PF F F 构成公比为23的等比数列可知121239||||||24PF PF F F ==,再利用椭圆的定义以及基本量与离心率的关系求解即可.【详解】由题,121239||||||24PF PF F F ==.故离心率1212||214392||||1524F c c e a F PF P a F =====++.故选：A 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及椭圆离心率的计算,属于基础题.9．设等比数列的{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先化解32S S >，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.【详解】设等比数列的{}n a 的公比为q ，则q 0≠，所以232311000S S a a q a >⇔>⇔>⇔>，即“10a >”是“32S S >”的充要条件，选A.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题.10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得△1A CM 的面积为13，则动点M 的轨迹为（）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段【答案】A【解析】分析可知动点M 到弦1A C 的距离为定值,再分析所有动点M 的轨迹与面ABCD 的交线形状即可.【详解】易得1A C =,又1A CM ∆的面积为13,设M 到弦1A C 的距离为h ,则1112233AC h h ⋅=⇒=为定值.故点M 在以1A C 为中轴线,底面半径为23的圆柱的侧面上.故动点M 的轨迹是平面ABCD 截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于1A C ,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面ABCD 与该圆柱的截痕为椭圆,又点M 在底面ABCD 内运动,故截痕是椭圆的一部分.故选：A 【点睛】本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截痕,属于基础题.二、填空题11．已知复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m 为__________．【答案】2【解析】解：因为复数（m 2-5m+6）+(m 2-3m)i 是纯虚数，所以实部为零，即m 2-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2.12．若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程为_____【答案】y =【解析】代入(3,4)可求得双曲线的方程,继而求得渐近线方程.【详解】因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),故22224312b b b -=⇒=⇒=.故该双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =【点睛】本题主要考查了双曲线的方程与渐近线方程,属于基础题.13．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =________.【答案】3±【解析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为等比数列中1336a a =,故222366a a =⇒=±,又()2242160a a a q+=+=,故26a =,故21103q q +=⇒=±.故答案为：3±【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.14．用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________.【答案】48【解析】先分析百位数再分析个位数求解即可.【详解】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为1,3,5其中一个时,奇数的个数为32424⨯⨯=个.当百位为2,4其中一个时,奇数的个数为23424⨯⨯=.故共有242448+=个奇数.故答案为：48【点睛】本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题.15．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于,A B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是__________【答案】2,1)2【解析】根据AF BF ⊥可知ABF 为直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知即求椭圆上存在一点A 满足OA c =再列式求解即可.【详解】由题,ABF 为直角三角形,故OA c =.故原题转化为椭圆上存在一点A 满足OA c =.又椭圆上的点到原点距离的最小值为短半轴长b ,故b c ≤.故222222212c b c a c c a ≤⇒-≤⇒≥.故离心率2[,1)2e ∈.故答案为：2,1)2【点睛】本题主要考查了离心率范围的求解,需要根据题意确定基本量之间的关系,进而列式求解离心率满足的不等式即可.属于中档题.三、解答题16．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，12a =，314S =.数列{}n b 满足15b =，33b =，且{}n n b a -为等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2nn a =，247n n b n =-+，*n N ∈.（Ⅱ）122252n n T n n +=-+-，*n N ∈.【解析】(Ⅰ)设公比为q ,公差为d ,再利用基本量法求解即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知247nn b n =-+,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ,等差数列{}n n b a -的公差为d .因为12a =,312314S a a a =++=,所以260q q +-=.解得2q =或3q =-（舍）.又因为11b a -,22b a -,33b a -成等差数列,所以3311()()2b a b a d -=-+.解得4d =-.所以2nn a =,247nn b n =-+,*n N ∈.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,247nn b n =-+.因此数列{}n b 的前n 项和为2(222)4(12)7nn T n n =+++-++++ ,所以,数列{}n b 的前n 项和为122252n n T n n +=-+-,*n N ∈.【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题.17．已知向量(2,1,2)=-- a ，(1,1,2)b =-，(,2,2)x = c .（Ⅰ）当||c = 时，若向量ka b + 与c垂直，求实数x 和k 的值；（Ⅱ）若向量c 与向量a ，b共面，求实数x 的值.【答案】（Ⅰ）实数x 和k 的值分别为0和3-.（Ⅱ）12-【解析】(Ⅰ)根据||c =可求得0x =,再根据垂直的数量积为0求解k 即可.(Ⅱ)根据共面有c a b λμ=+r r r,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为||c =,0x =⇒=.且ka b =+(21,1,22)k k k ---+.因为向量ka b + 与c垂直,所以()0ka b c =+⋅ .即260k +=.所以实数x 和k 的值分别为0和3-.(Ⅱ)因为向量c 与向量a ，b共面,所以设c a b λμ=+r r r（,R λμ∈）.因为(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-,2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩所以1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为12-.【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，点,,E F G 分别为,,PC PA BC 的中点.（Ⅰ）求证：PB EF ⊥；（Ⅱ）求证：FG //平面PCD ；（Ⅲ）求平面EFG 与平面PAD 所成二面角D FG E --（锐角）的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）66【解析】（Ⅰ）以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,再证明0PB EF ⋅=即可.（Ⅱ）同（Ⅰ）,证明FG 与平面PCD 的法向量AD垂直即可.（Ⅲ）分别计算平面EFG 与平面PAD 的法向量再求解二面角的夹角余弦值即可.【详解】解：（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD ,所以PD AD ⊥,PD CD ⊥,且底面ABCD 为正方形,所以AD CD ⊥.以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示空间直角坐标系D xyz -,设1DC =,则(0,0,0)D ,(0,0,1)P ,(1,1,0)B ,11(0,,22E ,11(,0,)22F ,1(,1,0)2G .(1,1,1)PB =-,11(,,0)22EF =- ,110022PB EF ⋅=-+= .所以PB EF ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,PD AD ⊥,AD CD ⊥,(1,0,0)AD =-.且PD DC D ⋂=,所以AD ⊥平面PCD .所以AD是平面PCD 的法向量.1(0,1,2FG =- 因为0000FG AD ⋅=++=,且FG ⊄平面PCD ,所以FG ∥平面PCD .（Ⅲ）设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0.n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1x =,则1y =,2z =.于是(1,1,2)n =.平面PAD 的法向量为(0,1,0)CD =.设平面EFG 与平面PAD 所成二面角（锐角）D FG E --为α,则6cos cos ,6n CD n CD n CDα⋅=〈〉==⋅ .所以平面EFG 与平面PAD 所成二面D FG E --角（锐角）的余弦值为66.【点睛】本题主要考查了建立空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行的方法,同时也考查了利用空间直角坐标系求解二面角夹角的问题,属于中档题.19．已知椭圆222:1(3x y C a a +=>的离心率为12，过点(0,1)的直线l 与C 有两个不同的交点,A B ，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线l 与直线OD 分别交直线4x =于点,M N .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求线段||MN 的最小值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）1-【解析】（Ⅰ）根据题意列出关于,,a b c 的等式再求解即可.（Ⅱ）设直线l 方程为1y kx =+,再联立直线与椭圆的方程,求得中点D 的坐标,利用韦达定理可得3|||||41|M N MN y y k k=-=++,再分析0k >与k 0<两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：（Ⅰ）22223,1,2,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2a =.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（Ⅱ）显然直线l 斜率存在.设过点(0,1)点的直线l 方程为1y kx =+.（0k ≠,否则直线OD 与直线4x =无交点.）直线l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y .由221,34120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩得22(34)880k x kx ++-=.>0∆恒成立.则122834k x x k-+=+,121226()234y y k x x k +=++=+.所以2243(,)3434k D k k-++.令4x =,41M y k =+.直线OD 方程为34y x k =-,令4x =,3N y k =-.所以3|||||41|M N MN y y k k =-=++.①当0k >时,3||411MN k k =++≥+当且仅当34k k =时,即k =时取“=”.②当k 0<时,334[(4)()]k k k k +=--+-≤-.当且仅当32k =-时取“=”.此时3|||41|1MN k k =++≥-.综上,线段||MN 的最小值为1-.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程求点的坐标,并表示所求量的参数关系,再利用基本不等式求最值的问题.属于难题.20．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.（Ⅰ）已知等比数列{}n a （*n N ∈）满足：234a a a =，13223a a a +=，判断数列{}n a 是否为“M -数列”；（Ⅱ）设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n c （*n N ∈），{}()*n c n N ∈对任意不大于m 的正整数k ，都有1k k c k c +≤≤成立，求m 的最大值.【答案】（Ⅰ）数列{}n a 是“M -数列”（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）利用基本量法,设等比数列{}n a 的公比为q 再根据“M -数列”的定义辨析即可.（Ⅱ）先证明对于6m ≥时,不存在对应的m ,再分布求解当5m =时1k k c k c +≤≤均存在“M -数列”满足条件即可.【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q .因为等比数列{}n a 满足234a a a =,所以23111a q a q a q ⋅=.解得11a =.又因为13223a a a +=,所以223q q +=.得1q =或2q =.满足首项为1,公比为正数,所以数列{}n a 是“M -数列”（Ⅱ）对于6m ≥时,因为对任意不大于m 的正整数k ,都1k k c k c +≤≤,即1k k q k q -≤≤.取3,6k =,有233q q ≤≤,且566q q ≤≤,即33q ≤且56q ≤.所以5153q ≤且1536q ≤.即15243216q ≤≤,无解.所以不存在满足题意的q .因此所求m 的最大值小于6.对于5m =时,找到q 满足1k k q k q -≤≤,1,2,3,4,5k =,解不等式组2233445112345q q q q q q q q q≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩解得12q q q q q ≤⎧≤≤≤≤≤≤≤≤q ≤≤,存在q 满足题意.即存在“M -数列”{}n c （*n N ∈）,满足题意,综上m 的最大值等于5.【点睛】本题主要考查了数列新定义的应用,需要根据所给的定义判断数列是否满足.同时也考了数列中不等式成立的问题,属于难题.。
北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测数学答案
北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测数学试题参考答案1．A 【思路点拨】令1x =即可求得63x⎛- ⎝展开式中各项系数之和.【解析】解：令1x =，得63x⎛⎝展开式中各项系数之和为()66312-=. 故选：A .【名师指导】本题考查二项式定理展开式各项系数之和，解题的关键在于赋值法，是基础题. 2．B 【思路点拨】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【解析】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B .【名师指导】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题． 3．B 【思路点拨】由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，则答案可求. 【解析】由表格中的数据可得：124534x +++==，7691084y +++==.则样本点的中心的坐标为()3,8. 即回归直线必过定点()3,8. 故选：B.【名师指导】本题主要考查了回归直线的性质，必过样本中心点，属于基础题.4．D 【思路点拨】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案. 【解析】解：根据题意，分2步进行： ①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况； 则有4345A A 种排法；故选：D .【名师指导】本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题． 5．D 【思路点拨】利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【解析】解：随机变量X 服从二项分布，即(),XB n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =， 故选：D.【名师指导】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题 6．A【解析】试题分析：由正态曲线和均值、标准差的意义，得1212,μμσσ<>；故选A ． 考点：正态曲线．7．C 【思路点拨】本题首先可以求出当2X =时的概率，然后求出当3X =时的概率，最后两者相加，即可得出结果.【解析】当2X =时，()12533815256C C P X C ===； 当3X =时，()33381356C P X C ===，则()()()151222356567P X P X P X ≥==+==+=， 故选：C.【名师指导】本题考查超几何分布的概率计算公式，能否将2X ≥分为2X =、3X =两种情况是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.8．B 【思路点拨】将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【解析】解：根据题意，将9个数分为2组， 一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8， 若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有3510C =种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有1254C C 30=种情况，则和为奇数的情况有103040+=种. 故选：B .【名师指导】本题考查组合问题，分类加法计数原理，是基础题.9．A 【思路点拨】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求. 【解析】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A .【名师指导】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.10．C 【思路点拨】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【解析】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=， 故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C .【名师指导】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.11．58-【思路点拨】本题首先可以写出二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，然后令x 的幂的指数等于3，求出r 的值，即可求得3x 的系数.【解析】二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()555215521222rr r r r r rr x x T C C x ---+⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令523-=r ，解得1r =，则()154133212258T C x x ⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝=-⎭，3x 的系数为58-，故答案为：58-.【名师指导】本题考查多项式中某一项的系数的求法，考查二项展开式的通项的应用，二项式()na b +的展开式的通项1rn rr r n T C ab -+=⋅⋅，考查计算能力，是简单题.12．①③【思路点拨】根据题意，由导数的计算公式依次分析3个结论，综合即可得答案. 【解析】解：根据题意，依次分析3个结论： ①若y =y '=，①正确；②若x y e -=，则x y e -'=-，②错误； ③若cos y x =，则sin y x '=-，③正确； 即正确的为①③ 故答案为：①③．【名师指导】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键． 13．12【思路点拨】根据题中条件，先确定第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球，进而可求出结果.【解析】解：第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球， 故第二次抽到红球的概率为12. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.14．42【思路点拨】分两种情况，甲排在第一位和甲排在第二位进行求解即可 【解析】解：由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种， ②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种. 故答案为：42.【名师指导】此题考查排列问题，属于基础题15．ln21-【思路点拨】根据()()f m g n t ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论. 【解析】解：不妨设()()f m g n t ==， ∴31ln 22m net -=+=，(0t >) ∴3ln m t -=，即3ln m t =+，122t n e-=⋅，故1223ln t n m e t --=⋅--(0t >)， 令()1223ln t h t et -=⋅--(0t >)，()1212t h t et-'=⋅-，()1221''20t h t e t -=⋅+>所以()h t '在()0,∞+上是增函数，且102h ⎛⎫'=⎪⎝⎭， 当12t >时，()0h t '>， 当102t <<时，()0h t '<，即当12t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值， 此时1123ln ln 2122h ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即n m -的最小值为ln21-， 故答案为：ln21-.【名师指导】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题. 16．（1）8250x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解. 【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2123ln 2f x x x x =--，()312f ∴=- 求导()32f x x x'=--，()14f '=-.由点斜式得切线方程为：34(1)2y x +=--，即8250x y +-=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为8250x y +-=.（2）由（1）知，()()()2133232x x x x f x x x x x+---'=--==()0x >， 令()0f x '=，得11x =-，23x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【名师指导】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题. 17．【思路点拨】（1）根据题意补全列联表即可； （2）由表中数据计算2K ，参照附表得出结论. 【解析】解：（1）根据题意补全列联表，如下；（2）由表中数据，计算()()()()()()22210010304020 4.762 3.84130705050n ad bc K a b c d a c b d ⨯⨯-⨯=≈>-=++++⨯⨯⨯，参照附表知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. 【名师指导】本题考查列联表，独立性检验，考查运算能力，是基础题.18．【思路点拨】（1）先计算出200种垃圾中能辨识的垃圾种数，即可求出概率； （2）由题可知X 的可能取值为0，1，2，3，且X 服从二项分布，计算出概率，即可列出分布列，求出数学期望.【解析】（1）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，能辨识的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150⨯+⨯+⨯+⨯=. 所求概率为1500.75200=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3， 依题意可知，()~3,0.6X B ,033(0)(10.6)0.064P X C ==-=，123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==-=，223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==-=，333(3)0.60.216P X C ===，所以X 的分布列为()30.6 1.8E X =⨯=.【名师指导】本题考查二项分布的分布列即数学期望的求法，属于基础题.19．【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【解析】解：由题意可知函数()f x 的定义域为R . （1）因为()2xf x x e =⋅.所以()()22xf x exx '=+，由()0f x '=，得12x =-，20x =， 当2x <-时，()0f x '>，函数单调递增， 当20x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为()242f e-=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()00f =. （2）因为()2xy f x ax x e ax =-=⋅-，所以0x =为一个零点.所以“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.令()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，所以，当1x <-时，()0h x '<，()h x 在(),1-∞-上单调递减；当1x >-时，()0h x '>，()h x 在()1,-+∞上单调递增； 当1x =-时，()h x 有最小值()11h e-=-，0x <时，()0h x <，0x >时，()0h x >. 若方程x a xe =有两个非零实根，则()11h a e-=-<，即1a e >-.若0a ≥，方程x a xe =只有一个非零实根， 所以0a <. 综上，10a e-<<. 【名师指导】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.20．【思路点拨】（1）当3n =时，{}3,4,5n S =.由此能写出n S 的所有奇子集.（2）首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等，对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.由此能证明n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）每个元素在奇子集中都出现22n -次，由此能求出奇子集的容量和. 【解析】解：（1）解：当3n =时，{}3,4,5n S =n S 的所有奇子集为{}3，{}5，{}3,4，{}4,5.（2）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等. ∵3n ≥，∴一定存在奇数n k S ∈， 设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ， 当k A ∈时，取{}B x x A x k =∈≠且. 当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的. 所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个， 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的. 所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）解：由于每个元素在奇子集中都出现22n -次， 故奇子集的容量和为()()231212312n n n n n n n --++++-⨯=-⨯.【名师指导】本题考查集合新定义，理解新定义是解题基础，解题关键是通过集合中的任一奇数，把奇子集与偶子集建立一一对应的关系，从而完成解题．考查了学生分析解决问题的能力，创新意识，逻辑推理能力．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
丁地
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学 2020.1
本试卷共4页，满分100分。
考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
（1）已知i(2i)z =+，则z 等于
（A ）1+2i （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i --
（2）设抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若2466a a a ++=，则7S 等于
（A ）7 （B ）14 （C ）21 （D ）28
（4）已知双曲线22
21(0)x y a a -=>与椭圆22194
x y +=有相同的焦点，则a 等于
（A ）2 （B
（C
）（D
（5）如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条
路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4路．从甲地到丁地的不同路线共有 （A ）12条 （B ）15条 （C ）18条 （D ）72条
（6）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为
（A ）1
5
（B
（C
（D
）2
B
D
（7）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于
（A ）112
223
EF AC AB AD =+-
（B ）112
223
EF AC AB AD =-
-+ （C ）112
223EF AC AB AD =-+
（D ）112
223
EF AC AB AD =-+-
（8）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1212||,||,||PF PF F F 构
成公比为
1
2
的等比数列，则椭圆C 的离心率为 （A ）
16 （B ）14 （C ）13 （D ）25
（9）设等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得
△1
ACM 的面积为1
3
，则动点M 的轨迹为 （A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ）一段圆弧 （D ）一条线段
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
（11）复数2
2
(56)(3)i m m m m -++-是纯虚数，则实数m = ．
（12）若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程为 ．
（13）在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =________. （14）用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ．
（15）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于,A B
两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
C
三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题7分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，12a =，314S =． 数列{}n b 满足15b =，33b =，且{}n n b a -为等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（17）（本小题7分）
已知向量(2,1,2)=--a ，(1,1,2)=-b
，(,2,2)x =c ． （Ⅰ）当||=c k +a b 与c 垂直，求实数x 和k 的值； （Ⅱ）若向量c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．
（18）（本小题9分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，点,,E F G 分别为,,PC PA BC 的中点． （Ⅰ）求证：PB EF ⊥； （Ⅱ）求证：FG ∥平面PCD ；
（Ⅲ）求平面EFG 与平面PAD 余弦值．
（19）（本小题9分）
已知椭圆222:1(3x y C a a +
=>的离心率为1
2
，过点(0,1)的直线l 与C 有两个不同的交点,A B ，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线l 与直线OD 分别交直线4x =于点,M N ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求线段||MN 的最小值．
（20）（本小题8分）
定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．
（Ⅰ）已知等比数列{}n a （*
n ∈N ）满足：234a a a =，13223a a a +=，判断数列{}n a 是
否为“M -数列”；
（Ⅱ）设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n c （*
n ∈N ），对任意不大于m 的正整数
k ，都有1k k c k c +≤≤成立，求m 的最大值．。