东城区2019-2020高二数学

丁地

东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测

高二数学 2020.1

本试卷共4页，满分100分。考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．

（1）已知i(2i)z =+，则z 等于

（A ）1+2i （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i --

（2）设抛物线2

4y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若2466a a a ++=，则7S 等于

（A ）7 （B ）14 （C ）21 （D ）28

（4）已知双曲线22

21(0)x y a a -=>与椭圆22194

x y +=有相同的焦点，则a 等于

（A ）2 （B

（C

）（D

（5）如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条

路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4路．从甲地到丁地的不同路线共有 （A ）12条 （B ）15条 （C ）18条 （D ）72条

（6）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==

，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为

（A ）1

5

（B

（C

（D

）2

B

D

（7）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于

（A ）112

223

EF AC AB AD =+-

（B ）112

223

EF AC AB AD =-

-+ （C ）112

223EF AC AB AD =-+

（D ）112

223

EF AC AB AD =-+-

（8）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1212||,||,||PF PF F F 构

成公比为

1

2

的等比数列，则椭圆C 的离心率为 （A ）

16 （B ）14 （C ）13 （D ）25

（9）设等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得

△1

ACM 的面积为1

3

，则动点M 的轨迹为 （A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ）一段圆弧 （D ）一条线段

第二部分（非选择题 共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．

（11）复数2

2

(56)(3)i m m m m -++-是纯虚数，则实数m = ．

（12）若双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程为 ．

（13）在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =________. （14）用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ．

（15）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于,A B

两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是 ．

C

三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题7分）

已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，12a =，314S =． 数列{}n b 满足15b =，33b =，且{}n n b a -为等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．

（17）（本小题7分）

已知向量(2,1,2)=--a ，(1,1,2)=-b

，(,2,2)x =c ． （Ⅰ）当||=c k +a b 与c 垂直，求实数x 和k 的值； （Ⅱ）若向量c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．

（18）（本小题9分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，点,,E F G 分别为,,PC PA BC 的中点． （Ⅰ）求证：PB EF ⊥； （Ⅱ）求证：FG ∥平面PCD ；

（Ⅲ）求平面EFG 与平面PAD 余弦值．

（19）（本小题9分）

已知椭圆222:1(3x y C a a +

=>的离心率为1

2

，过点(0,1)的直线l 与C 有两个不同的交点,A B ，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线l 与直线OD 分别交直线4x =于点,M N ．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求线段||MN 的最小值．

（20）（本小题8分）

定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．

（Ⅰ）已知等比数列{}n a （*

n ∈N ）满足：234a a a =，13223a a a +=，判断数列{}n a 是

否为“M -数列”；

（Ⅱ）设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n c （*

n ∈N ），对任意不大于m 的正整数

k ，都有1k k c k c +≤≤成立，求m 的最大值．