全等三角形知识点及应用题
全等三角形的实际应用
Ｄ ． 角角边
（ １ ） 题 意分析 ： 本题考查全等三角形的判定 。 （ ２ ） 解题思路 ： 新 的数学课程标准加强 了数学知 识的实践与综合应用 ，从各 地的中考应用题可 以看 出， 它 已不再局 限于传统而古 老的列方程 （ 组） 解应 用题这类题 目，而是呈现了建模 方式 多元化 的新特 点， 几何应用题就是其 中之一 。 本 题利 用全 等三角形
１ ． 翻 折
如 图（ １ ） ， Ｄ Ｂ Ｏ Ｃ ￣Ｄ Ｅ Ｏ Ｄ， Ｄ Ｂ Ｏ Ｃ 可 以看 成 是 由 Ｄ Ｅ Ｏ Ｄ 沿直线Ａ０ 翻折 １ ８ ０ 。 得到 的；
Ａ
例２ 如 图 ， Ａ、 曰 两点分 别位于一 个池塘 的两侧 ， 池 塘 西边有 一座假 山Ｄ， 在Ｄ Ｂ 的 中点Ｃ 处 有一 个雕 塑 ， 张 倩 从 点Ａ出 发 ， 沿 直 线ＡＧ 一 直向前经过点Ｃ 走 到 点Ｅ， 并 使Ｃ Ｅ ＝ Ｃ Ａ， 然后 她测量点 到假 山Ｄ的距离 ， ￣ ， ｑ Ｄ Ｅ 的 长度就是Ａ、 Ｂ 两点之间的距离 。 （ １ ） 你能说 明张倩 这样做 的根据 吗？ （ ２ ） 如果张倩恰好未带测 量工具 ， 但是知道点Ａ 和假 山 、 雕 塑分别相距２ ０ ０ 米、 １ ２ ０ 米， 你 能帮助她 确 定Ａ 日 的长度范 围吗？ ‘ （ ３ ） 在第二 问的启 发下 ， 你能“ 已知 三角形 的一
思路分析 ：
Ｃ
Ｅ
பைடு நூலகம்
Ｂ
Ｆ
（ ３ ）
（ １ ） 题意分析 ： 本题考三角形全等三角形的应用 。 （ ２ ） 解题思路 ： 欲求ＡＢ 的距离 ， 但 不宜测 量 ， 实 际生活中这种情况 较多 ，我们可 以用学过 的知识来
如图 （ ３ ） ， Ｄ Ｄ Ｅ Ｆ ￣Ｄ Ａ Ｃ Ｂ， Ｄ Ｄ Ｅ Ｆ ￣ 以看 成是 由 Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 沿Ｃ Ｂ 方 向平 行 移 动 而 得 到 的 。 （ 作者单位 ： 江 西省 新 余 市渝 水 区姚 圩 中学 ）
八年级数学三角形应用题
八年级数学三角形应用题一、三角形边长与周长问题。
1. 一个三角形的三条边分别为3x，4x，5x，其周长为36，求x的值。
- 解析：- 已知三角形周长等于三条边之和，可列出方程3x + 4x+5x = 36。
- 合并同类项得12x = 36。
- 解得x = 3。
2. 三角形的一边长为5cm，另外两边长相等且它们的和为12cm，求这个三角形的周长。
- 解析：- 设相等的两边长为x cm，则2x = 12，解得x = 6。
- 三角形周长为5 + 6+6=17cm。
3. 已知三角形的三边长分别为a，a + 1，a+2，且其周长为12，求a的值。
- 解析：- 根据周长定义a+(a + 1)+(a+2)=12。
- 展开式子得a+a + 1+a+2 = 12。
- 合并同类项3a+3 = 12。
- 移项得3a=12 - 3=9。
- 解得a = 3。
二、三角形内角和问题。
4. 在ABC中，∠ A=∠ B + 10^∘，∠ C=∠ A+10^∘，求ABC各内角的度数。
- 解析：- 因为三角形内角和为180^∘，即∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘。
- 又因为∠ A=∠ B + 10^∘，∠ C=∠ A+10^∘=∠ B+10^∘+10^∘=∠ B + 20^∘。
- 把∠ A=∠ B + 10^∘，∠ C=∠ B + 20^∘代入∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘得：(∠ B + 10^∘)+∠ B+(∠ B + 20^∘)=180^∘。
- 合并同类项得3∠ B+30^∘=180^∘。
- 移项得3∠ B=180^∘-30^∘=150^∘。
- 解得∠ B = 50^∘。
- 则∠ A=∠ B + 10^∘=60^∘，∠ C=∠ A+10^∘=70^∘。
5. 已知ABC中，∠ A = 2∠ B，∠ C=3∠ B，求∠ A、∠ B、∠ C的度数。
- 解析：- 因为∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘，又∠ A = 2∠ B，∠ C=3∠ B。
12.1全等三角形全等三角形的性质(教案)
本节课旨在让学生在掌握全等三角形知识的基础上，全面提升学科核心素养，为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）全等三角形的定义：理解全等三角形的含义，掌握全等三角形的判定条件。
-举例：强调全等三角形是大小和形状完全相同的三角形，要求学生对SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法熟练掌握。
2.教学难点
（1）全等三角形的判定方法的区分与应用：学生容易混淆SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，不知道在具体情况下如何选择。
-举例：通过典型例题和练习，帮助学生区分各种判定方法，并指导他们在实际问题中灵活运用。
（2）全等三角形性质的应用：学生在解决问题时，往往不知道如何运用全等三角形的性质。
-举例：针对这一问题，设计不同类型的题目，指导学生运用全等三角形的观察和想象全等三角形的过程中，可能存在一定的困难。
-举例：利用几何画板、实物模型等教具，帮助学生培养空间想象能力。
（4）团队合作能力的培养：学生在小组讨论和合作探究过程中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法和在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对全等三角形的定义和性质的理解程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言解释全等三角形的判定方法，并通过实例让学生们更好地理解。但我也意识到，对于一些学生来说，这些概念仍然难以消化。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，采用更为直观和生动的方式，帮助他们真正掌握全等三角形的判定方法和性质。
七年级数学全等三角形证明精选题
先做几道基础题：1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D,BD=CD 。
求证：△ABD ≌△ACD.2。
如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB,BE ∥CF,AE ∥DF 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
3、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE,BD=CE. 求证：AB=AC 。
4. 如图：AB=DC ，BE=CF,AF=DE 。
求证:△ABE ≌△DCF.一．解答题（共16小题)1．如图,已知AB ∥DE ，AB=DE ，AF=DC ．（1）求证：△ABF ≌△DEC ；(2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）（图1）D C B AFE （图8）D C B A E （图10）D C B AF（图19）E D C BA2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD 的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．3．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE．试说明下列结论正确的理由:（1）∠C=∠E；（2）△ABC≌△ADE．4．如图:DF=CE,AD=BC，∠D=∠C．求证：△AED≌△BFC．5．如图,在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE，CE．△ABE 与△ACE全等吗？为什么？6．（2010•顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点,AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．7．（2010•十堰）如图，△ABC中，AB=AC,BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD=CE．8．(2008•南宁）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E、F，BE=CF．（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．9．（2005•新疆)在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,求证:DE=AD+BE．10．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．11．如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE,BF，E,F为垂足．AE=CF，求证:∠ACB=90°．12．(2002•湛江）如图,有一池塘．要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C,连接AC并延长到D，使CD=CA．连接BC并延长到E，使CE=CB．连接DE,那么量出DE的长，就是A、B的距离．请说明DE的长就是A、B的距离的理由．13．（2010•广安）已知：如图,在矩形ABCD中，BE=CF,求证:AF=DE．14．（2005•三明）已知：如图，∠1=∠2，BD=BC．求证：∠3=∠4．15．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：(1）BD=CE;（2）BD⊥CE．16．如图所示,△ABD，△ACE都是等边三角形，求证:CD=BE．答案与评分标准一．解答题(共16小题）1．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．（1）求证：△ABF≌△DEC；（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果,不要证明）考点：全等三角形的判定。
八年级数学上册期末复习资料
初二上册数学全册.第十一章全等三角形综合复习1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASAAAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
. 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
知识点二：构造全等三角形 例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。
求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。
求证：AE CF=。
知识点三：常见辅助线的作法..1. 连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。
2. 作垂线，利用角平分线的知识..例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的 平分线，它们交于点P 。
求证：BP 为MBN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
4. “截长补短”构造全等三角形.例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。
第十二章全等三角形章末复(教案)
-对全等三角形的知识点进行梳理
-引导学生探讨全等三角形在其他学科领域的应用
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过全等三角形的判定与性质的探讨，使学生能够运用逻辑思维进行推理，形成严谨的证明过程。
2.提升学生的空间想象力：通过全等三角形的作图与分析，培养学生的空间想象力，提高对几何图形的理解与识别能力。
2.全等三角形的性质
-对应角相等
-对应边相等
3.应用全等三角形解决实际问题的方法
-识别图形中的全等三角形
-利用全等三角形的性质进行计算
4.全等三角形的作图
-已知两边一角作全等三角形
-已知两角一边作全等三角形
5.综合习题
-设计具有代表性的习题，巩固全等三角形的判定与性质
-结合生活实际，设计应用题，培养学生的实际应用能力
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的基本概念。全等三角形是指在大小和形状上完全相同的两个三角形。它是解决几何问题的重要工具，广泛应用于工程、建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了全等三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-例：给出一个三角形ABC，其中AB=AC，点D是BC上的一个点，且BD=DC。要求证明三角形ABD全等于三角形ACD。
-突破方法：引导学生观察图形，识别出已知信息，然后选择合适的判定方法（SSS或SAS）进行证明。
-难点二：全等三角形的作图。学生在根据给定条件作全等三角形时，可能会对如何准确画出全等图形感到困难。
6.培养学生的几何审美观念：通过对全等三角形的学习，使学生感受几何图形的和谐美，提高对几何美的鉴赏能力。
人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形综合应用题解析
原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！GEAC FB A BD C 全等三角形综合应用经典题解析1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C.2、如图，AP 平分∠EAF ，PC ⊥AE 于点C ，PB ⊥AF 于点B ，AP 交BC 于点H ． 求证：AP·BC=2AB·PB.3、已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB 的中点，(1)求证：△AED ≌△EBC ． (2)除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．4、如图，在△ABC 中，BG=CG ，∠ACG=∠ABG ，求证：AG ⊥BC ．5、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BP ＝CP ，求证：AP ＝DP.6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF.7、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB. 求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN.8、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.9、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠BAF=∠EAF.10、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C.AB CD AEC O B P C AD FA NEM BA BCPE H CF DABE ABC G原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！CA EB D F11、已知：AD 平分∠BAC ，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.13、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上，求证：BC=AB+DC.14、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD+BD=BC.15、如图所示，AB ∥CD ，在AB 、CD 、BC 上各有一点E 、F 、P ，且BE ＝CF ，P 是BC的中点，试说明三点E 、F 、P 恰好在一条直线上.16、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC -AB=2BE.18、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．19、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF.20、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60º，AD+BC=AB=CD=2，求该四边形的面积.C AB D E B DC C B A DE DABCA FB E D C1 2 AB EC C F DP•A EB ••C原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！P DA CB21、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠BDC=30°，求∠DBC的度数.22、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC ＞AB ，求证：PC -PB ＜AC -AB.23、如图，P 是∠MAN 平分线上一点，PB ⊥AM 于点B ，点C 、D 分别在AM 、AN 上，∠ACP+∠ADP=180°，若AB=3cm ，求AC+AD 的长.24、如图在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，求证：MD=MN.25、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.26、如图，△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 延长线上，BE=CF ，连接EF ，交BC 于点D ，求证：DE=DF.27、如图，∠AOB=30°，OA=1，OB=3，点M 、N 分别为∠AOB 两边上的动点，求AN+NM+MB 的最小值.28、已知等边△ABC 内一点M ，AM=1，BM=3，CM=2，求∠AMC.29、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC ，求证：AD=BC.30、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．A B D C AD ACMB AD BCEA M EAFA D EB CN A C MP B原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！M DC ENE A BM D CN31、在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，说明理由.32、求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.33、如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E 、F 分别是CA 、CB 边上的点且AE=2CE ，将BF=2CF ，△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．(1)求证：AM=BN ；(2)当MA ∥CN 时，若AC=3，求AM 的长．34、如图，在长方形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向长方内部折叠，当点A 的对应点A1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA1的长.【提示：若a·b =0，则a =0或b =0】35、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点 E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=0.5BF ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关系？试证明你的结论.36、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，(1)若AB=4，BC=8， 求重合部分△EBD 的面积；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．37、正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图。
七年级数学下册第四章三角形5利用全等三角形测距离同步
解析 理由(lǐyóu)如下:在△ABC和△EDC中, ∵∠ABC=∠EDC,BC=CD,∠ACB=∠ECD, ∴△ABC≌△EDC,∴DE=AB.即DE的长就是AB的长.
知识点 利用三角形全等测距离
测量距离
例 小强为了(wèi le)测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P. 测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得在P 点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得P到楼底的距离 PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米, 如图4-5-1,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
∴按BO的距离(jùlí)炮轰德军兵营时,炮弹恰好落入德军兵营Q处,这样法军
能命中目标.
2021/12/12
第二十四页，共三十六页。
一、填空题
1.(2017山东青岛胶州期末,17,★☆☆)如图4-5-5,
小明要测量水池的宽AB,但没有足够长的绳子,
聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以
直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长(yáncháng)到D,
述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索
解决问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形
成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.
直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助
几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
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第二十页，共三十六页。
2.如图4-5-4,七年级数学兴趣小组要测量河中 浅滩B(可看成一点)与对岸A之间的距离.先在 另一岸边确定点C,使C,A,B三点在同一条直线上, 再在AC的垂直方向上作线段CD,取CD的中点O, 然后过点D作DF⊥CD,使F,O,A三点在同一条直 线上,在DF上取一点E,使E,O,B三点也在同一条 直线上.那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的 距离,你能说出同学们这样做的根据吗?
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一.三角形的基础知识
全等三角形
1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形对应角的平分线相等。
全等三角形对应边上的高线、中线对应相等。
2、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）。
3、有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）。
4、有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。
5、有三条边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）。
6、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。
7、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
8、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
等腰三角形
1、等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
2、等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
3、等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
等边三角形
1、等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
2、等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
3、等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
三角形中的边角不等关系
（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）
（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.（简称为：大角对大边）
二.例题
例 1. 如图1，已知AB ＝DE ，AB ⎪⎩⎪⎨⎧∠∠=（已证）
＝（已证）＝（已知）DF AC D
A DE A
B )(SAS DEF AB
C ∆≅∆∴已知如图2，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 的延长线上截取BM ＝AC ，在CF 的延长线上截取CN ＝AB ，请说明：（1）AM ＝AN 。
（2）AM ⊥AN 。
图2
解：（1）∵BE ，CF 为△ABC 的两条高。
∴∠AFC ＝∠AEB ＝90°（垂直定义）
∴∠BAC ＋∠ABE ＝∠BAC ＋∠ACF ＝90°
即ACF ABE ∠=∠
在△ABM 和△NCA 中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠=（已知）
＝（已证）＝（已知）AC MB ACF
ABE AC AB )(SAS NCA ABM ∆≅∆∴
∴AN AM =（全等三角形对应边相等）
BAM N ∠=∠（全等三角形对应角相等）
（2）︒=∠+∠90NAF N
∴∠BAM ＋∠NAF ＝90°
∴∠NAM ＝90°
即AM ⊥AN 。
例3. 已知如图3中，AB ＝AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE ＝CF ，EF 交BC 于点D ，
图3
求证：DE ＝DF 。
证法1：过点E 作EG
如图6，在△ABC 中，AD
平分∠BAC ，AB+BD=AC ，
图6
求证：∠B ：∠C 的值。
解：延长AB 到M ，使AM=AC ，连结DM 。
因为AC=AB+BD ，所以AM=AB+BD=AB+BM ，
所以BM=BD ，即∠M=∠BDM ，
因为AM=AC ，∠1=∠2，AD=AD ，
所以△AMD ≌△ACD 。
所以∠M=∠C ，
所以∠ABC=2∠M=2∠C ，即有∠ABC ：∠C=2：1
三.家庭作业
1.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1)BC=DE ；(2) OB ＝OE .
O C E B D A
2.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C 在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。
(1)试说明: BD=DE+CE.
(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何直接写结论,可不说明理由。
(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何直接写结论,可不说明理由。