高中数学 必修5 5.解三角形应用举例1(测距测高)
人教版高中数学必修五《解三角形的实际应用举例-高度问题》
AB AC CB
A
D
α F
C B
E
测量高度的三种基本模型：
1. AB是底部B不可到达的一个建筑 物，A为建筑物的最高点，若G, H 和B在同一水平线上， 45 ， 15 , GH 200m, DG 1m，求建筑物的 高度AB
2.如图，在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角 =45 ，在塔底C处测 得A处的俯角 =30 ，已知铁塔BC部 分的高为30m，求出山高CD
第2课时 解三角形的实际应用举例 ——高度问题
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
1. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点， 若G, H 和B在同一水平线上， 45 ， 15 , GH 200m, DG 1m，求建筑物的高度AB
【点拨】
在ACD中，由正弦定理可得： DC AC AC 100( 6 2) sin 30 sin15
【点拨】
在ABC中，由正弦定理可得： AB BC AB sin15 BC sin10 sin15 sin10
CD 在BCD中， tan 8 BC CD BC tan 8
（2015·湖北高考）如图，一辆汽车在一条水平的公路上 向正西行驶， 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 ° 的 方 向 上 ， 仰 角 为 30 ° ， 则 此 山 的 高 度 CD= __________m. 100 6
北师大版高中数学必修五课件第二章《解三角形》应用举例(一)
C处测得A处的俯 角 50 1'. 已知铁
0
塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D (精确到1m).
6
例5、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东75 的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东32 的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.1 , 距离精 确到0.01nmile ).0 00 Nhomakorabea7
课时小结：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画 出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建 立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解
8
0 0
3
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法.
4
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
5
例4、如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54 40' , 在塔底
0
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》
1
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
2
例1 、如图, 设A, B两点在河的两岸, 要测量 两点之间的距离.测量者在A的同侧, 在所 在的河岸边选定一点C , 测出AC的距离是 55m, BAC 51 , ACB 75 , 求A, B两点 间的距离(精确到0.1m).
3解三角形的实际应用举例(北师大必修五)
2.方向角: 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通 常表达成：正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏 东××度，南偏西××度.
解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题 中有关术语的准确含义.
【例2】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+ ）3海 里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西 60°且与B点相距 20 3海里 的C点的救援船立即前往营 救，其航行速度为30海里/小 时，该救援船到达D点需要多长时间？
答：经过约1.1小时后，甲、乙两船相距最近. ………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
不能正确的 用时间x表 示出CD
错误原因 对题意理解不清，不能正确理解方向角的含 义，不会利用余弦定理表示出两船之间的距 离，对于这类问题要养成利用数形结合解题 的习惯.
课堂训练：
1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上 种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这 种草皮至少要( )
（A）5 000米
（B） 5 000 米2
（C）4 000米
（D） 4 000 米2
【解析】选A.作出示意图如图，∠A=30°,∠DBC=60°,AB=10
000.
∴∠BCD=30°,∴BC=10 000,BD=5 000（米）.
4.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮
的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮
又因为sin∠BAC＝ BCsin120 15 3 5 3，
AB
21 2 14
高中数学必修五 解三角形的实际应用举例
正弦定理、余弦定理是两个重要的定理.在解决与三 角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.下面举例说 明.
例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠 BC的长度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60（指车 厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离 为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计 算BC的长度（结果精确到0.01ｍ）.
例 3：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一 个水声监测点，另两个监测点 B,C 分别在 A 的正东方 20km 和 54km 处，某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8s 后监 测点 A，20s 后监测点 C 相继收到这一信号，在当时气象条件下， 声波在水中的传播速度是 1.5km/s.
可求得BS≈7.7海里.
S B ？45
115
16
20
答：灯塔S和B处的距离为7.7海里.A
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 有关的实际问题. 2.了解常用的相关测量术语. 3.体会数学应用题建模的过程.
1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视 线和目标视线的夹角．目标视线在水平
视线上___方__时叫仰角，目标视线在水平 视线_下__方__时叫俯角，如图所示．
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图所示)． 3．方位角的其他表示——方向角
(1)正南方向：指从原点O出发的经过目 标的射线与正南的方向线重合，即目标 在正南的方向线上．依此可类推正北方 向、正东方向和正西方向． (2)东南方向：指经过目标的射线是正东 和正南的夹角平分线(如图所示)．
cos PAB PA2 AB2 PB2 x2 202 (x 12)2 3x 32
人教A版高二数学必修五第一章1.2第2课时解三角形的实际应用举例—高度、角度问题
探究点2 测量角度问题 例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航 行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东 32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航 行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行的距离是 多少?(角度精确到 0.1°,距离精确到 0.01 n mile)
2×1.2×2.8 -0.442. 所以cosα= 0.442，所以α 63.77°
答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.
A
甲沿
4.（2013·江苏高考）如图，游客从某旅游景区
的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直
线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然
后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处
此时乙的速度最大，且为：500÷556 ＝61245 m/min．
故乙步行的速度应控制在[1
250 43
，61245
]范围内．
1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题 及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料 中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.
2.实际问题处理 实际问题
实际问题的 解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型
推演 理算 数学模型的
解
解RtΔABD，得
BD = ABsin∠BAD = BCcosβsinα. sin（α-β）
把测量数据代入上式，得
BD = 27.3cos501' sin 5440' sin（5440' 501'）
.
=
27.3cos501' sin sin 439'
5440'
177.（4 m）
高中数学必修5《解三角形应用举例》知识全解
《解三角形应用举例》知识全解一、知识结构二、内容解析正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，如测量距离、高度、角度等.对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等.但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性.关于三角形的有关几何计算，书中涉及了三角形的高和面积的问题.课本直接给出了计算三角形的高的公式，这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到.书中证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式..在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.三、重点、难点.本节的教学重点是解决两个与测量有关的问题，也就是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．.分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．四、教法导引在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位.对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与、合作完成的，而教师很好地充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂.从而运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．适当安排一些实习作业，让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．五、学法建议在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识.。
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：距离问题(59页)
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第一章 1.2 第1课时
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∵DC＝6，∠DBC＝15° ，∠BCD＝120° ， CD· sin120° ∴BD＝ sin15° ＝3 6 ( 3 ＋1)，AB＝BDcos45° ＝ 3 3( 3＋1)． ∴步行速度＝3 3( 3＋1)≈14.2 (m/min)．
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2．某人在平地上散步，已知正西方向有两根相距为6 m的标杆，当他向正北方向步行1 min后，看到一根标杆在 其西南方向，一根标杆在其南偏西30° 方向，求此人步行的 速度．(结果保留一位小数)
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第一章 1.2 第1课时
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提示：如图，依题设条件，△BCD中已具备解三角形 的条件．由∠DBC＝45° －30° ＝15° ，CD＝6，∠BCD＝90° ＋30° ＝120° 可解得BD.从而解出AB，计算出速度．
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第一章 1.2 第1课时
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(1)根据题意作出示意图； (2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的 已知元素和未知元素； (3)选用正弦定理或余弦定理(有时需正、余弦定理并用) 进行求解，并注意运算的正确性；
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第一章 1.2 第1课时
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第一章 1.2 第1课时
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[解]
根据正弦定理得
AB AC ＝ ， sin∠ACB sin∠ABC ACsin∠ACB 8sin45° ∴AB＝ ＝ sin∠ABC sin180° －30° －45° ＝ 4 2 ＝8( 3－1) (m) 6＋ 2 4
高中数学必修5《解三角形应用举例》教案
人教版必修5课题：《解三角形应用举例》教材：人教版教学目标：（1）学会使用测角仪和皮尺等测量工具，根据实际问题设计合适的方案来测量距离；（2）能够运用直角三角形的边与角的关系以及正弦、余弦定理等解三角形的知识，解决不可到达点的距离测量问题；（3）数学建模思想的体会与运用，知识与生活联系，解决生活中的实际问题，学以致用；（4）培养学生的小组合作交流与自主研究学习的能力；（5）指导学生学会评价分析与改进优化。
教学重点、难点：分析测量问题的实际情景，从而找到合适的测量距离的方法。
教学方法与手段：学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案——交流学习——评价分析，采用问题启发教学、开放式交流讨论教学与师生合作研究等教学方式，使学生在探究式、开放式的教学思想与模式下学会学习、学会探究、学会与人合作、学会评价分析与改进优化，掌握运用课堂学科知识解决生活中的实际问题，做到学以致用。
教学内容设计：一、情境导入位于珠江新城的双子塔（西塔与东塔，西塔已竣工，东塔正在建）与海心塔是广州的标志性建筑，它们隔着珠江相望，并与中信广场形成广州的新中轴，其效果图如下图所示：探究活动一：假设你处于海心塔所在的海心沙岛上，如何测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部在同一水平线上）测量工具为：测角仪与皮尺首先通过示图，了解测角仪的原理与作用测角仪常用于测量：（1）仰角与俯角（如图1）；（2）方向角（如图2）；（3）方位角（如图3）图1 图2 图3此问题在课前作为课后研究学习的资料让学生分小组合作研究，提出测量的设计方案。
二、学生设计方案交流从学生提交的测量设计方案中选取优秀的几个方案，让学生在课堂上作简短的介绍，让同学们交流学习。
三、分析与解决问题学生每介绍完一个设计的方案，教师要对该方案进行评价分析，指导设计组的学生进一步改进方案，并指导同学们从中学习方法、积累经验，进而总结思想方法。
交流方案一：（以张靖同学为组长来介绍）如图4，线段CA 表示西塔，线段DB 表示海心塔在海心塔的底部B 可测得CA 的仰角α，西塔CA 的高 度可通过电脑查得，记为h ，则由直角CAB ∆得海心塔与西塔的距离αtan h AB =教师指导学生评价分析方案一 图4 优点：（1）简单、明了，图简单、测量简单、计算简单； （2）采用直角三角形，熟悉、方便；（3）从主视图的角度分析问题，采用线段表示物体，符合示意图的要求； （4）懂得利用电脑查询西塔的高度，多样化解决问题。
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5.解三角形的实际应用举例
教学目标班级：_____ 姓名：____________
1.掌握利用正、余弦定理及其推论测距、测高的几种方法.
2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力.
教学过程
知识要点
1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.
一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
2.仰角和俯角：在同一铅垂平面内，水平视线和目标视线的夹
角，当目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视
线下方时叫俯角.
技能点拨
一、测量可到达点A与不可到达点B之间的距离.
方法：1.在可到达点A一侧再取一个点C，构造；
2.测量AC距离，及AC的两个邻角的度数；(“角角边”型问题)
3.利用正弦定理计算_____________________
例1：海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C的距离为多少海里？
练1：为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得，
，m.求河的宽度CD.
二、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离. 方法:1.在可到达一侧取两点C 、D ，构造三个三角形：；
2.在中，测边CD 、、,“角边角”问题，利用正弦定理求AC.
3.在中,测、
，“角边角”问题，利用正弦定理求BC.
4.在中,测
，“边角边”问题， 利用余弦定理求AB.
例2:如图,在四边形ABCD 中,已知CD AD ⊥,
,,,
,求BC 的长.
三、测量俯仰角求底部不可到达的建筑的高度.
方法：1.分别测量在C 、D 观测A 点的仰角ACB ∠、ADB ∠，及边CD.“角角边”问题，利用正弦定理求AC ； 2.在ABC Rt ∆中，求AB.
例3：如图，在山根A 处测得山顶B 的仰角，沿倾斜角为的山坡向山顶
走1000m 到达S 点，又测得山顶仰角，则山高BC 为______m.
作业
如图，在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为
，已知建筑物底部高出地面D 点20m （即OB=20），求建筑物高度AB.
D
D
A C
D
O
B
S。