13-1-热力学第二定律及熵的统计意义-习题讨论(1)

九、热力学第二定律的统计意义
2. 热力学第二定律的统计意义
统计意义： 一个孤立系统内部发生的过程，其方向总是从 微观态少的宏观状态向微观态多的宏观状态进行。 概率小 有序程度高 概率大 无序程度高
有序： 有组织、有结构 无序： 组织的溃散、结构的消解 热功转换、热传递的不可逆性均可由统计意义 加以解释
1. 气体自由膨胀过程不可逆的微观解释
（1）热力学概率W a b c 系统在某一宏观状态所包含的 微观态数。 P250 表13－5
d
A
B
（2）等概率假设: 处于平衡态时，孤立系统中每一 微观状态出现的概率相等。 若某一宏观态的热力学概率大，则其出现的概率大。
（3）微观解释： 不可逆过程是从概率小的宏观状态向 概率大的宏观状态进行的过程。
vrms v
2
3kT m
Z 2n π d v
2
v Z
kT 2 πd2p
一、知识体系
2. 统计规律
能量均分定理
i kT 2
m i E RT M 2
CV, m
i R 2
麦克斯韦速率分布率 mv 2 m 3 2 2 kT 2 1 dN f ( v) 4 π ( ) e v f ( v) 2πkT N dv P 玻耳兹曼能量分布率 kT
Mean Free Path; Mean Collision Frequency （1）碰撞使气体从非平衡态 向平衡态过渡； （2）碰撞使处于平衡态的气体 具有确定的温度和压强；
1. 气体分子碰撞的微观模型
无引力的弹性小球 分子有效直径为d （分子间距的平均值）. 碰撞频率：分子在单位时间内与其它分子的碰撞次数. 自由程：分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程.
P
kT
dxdydz
势能为εp处单位体积内 各种速度的分子数密度
势能为零处单位体积内 各种速度的分子数密度
n n0 e

P
kT
p p0e

mgz kT
3. 室温下，气体分子的平均速率为数百米
每秒（ v 1.60 RT ），
M
为什么花露水的香味扩散几米却需要几秒
的时间呢？
八、分子平均自由程及平均碰撞频率
一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数。
（2）平均自由程
详见《热学》 ,秦允豪,高等 教育出版社，127－128
u 2v
分子在连续两次碰撞间所经过的自由路程的的平均值。 v Z

1 2 2n π d
kT 2 2 πd p
1.01105 Pa）， 例 已知空气处于标准状态（0 C， 3 摩尔质量为 M 28.9 10 kg/mol，分子的碰撞截面 15 2 为 5 10 cm ， 求: 1） 空气分子的有效直径d; 2） 平均自由程和平均碰撞频率。 R k 1.38 1023 J K -1 NA 8
九、热力学第二定律的统计意义
3. 熵的统计意义
（1）Boltzmann关系式
W W1 W2 S S1 S2
1877年玻尔兹曼提出一个重要 关系式
S ln W
1900年普朗克引进比例系数k
S k ln W
—— 玻尔兹曼熵公式
（2）熵的统计意义： 孤立系统无序（混乱）程度的量度。
一、知识体系
一、知识体系
1. 统计平均量
n
k
kt
kr
2
kv
Z
p

vp v
1 2 2 p nm v n k 3 3 1 3 2 k m v kT 2 2
vrms ( v )

2kT vp m
8kT v πm
1 i (t r v)kT kT 2 2
气体分子的平均速率
选2 在容积为 V 4 103 m3 的容器中，装 有压强为 p 5 102 Pa 的理想气体，则容器中 气体分子的平动动能总和为 （ ）
A. 3 J
B. 5 J
C. 9 J
D. 2 J
A
今日作业
12－26，27，28
dN vx vx dvx ,
v y v y dv y vz vz dvz x x dx y y dy z z dz
m 32 N( ) e 2πkT


k P
kT
dvx dv y dvz dxdydz
dN x x dx n0e
y y dy z z dz

(1) d

4 10 cm
kT (2) 5.28 10 8 m 2 p
Z
v
பைடு நூலகம்
RT v 1.60 M
9
Z 8.49 10 Hz
九、热力学第二定律的统计意义
Statistical Meaning of the Second Law of Thermodynamics
W2 （3）熵增加原理 S k ln 0 W1
4. 玻尔兹曼熵的进一步说明：
（1）粒子系统的平衡态是系统的最概然分布，它表明 系统即使处于平衡态，也存在系统偏离平衡态的可能性， 所以宏观系统内部存在偏离平衡态的，有时为熵减的 “涨落”现象，是系统内部存在的一种内在随机性。 （2）克劳修斯熵只对平衡态有意义，而玻尔兹曼熵 对系统任意宏观态（包括非平衡态）均有意义，非 平衡态也有与之相对应的热力学概率，玻尔兹曼熵 意义更普遍。 （3）熵是系统无序性的量度，玻尔兹曼熵对此的描 述更本质，已超出了分子热运动的领域，适用于任何 作无序运动的粒子系统，对大量无序出现的事件（如 大量出现的信息）的研究，也应用了熵概念。 （4）目前，熵已渗透到生物学、化学、经济学、社会 学、生命、信息、资源、环境等领域。
Z 2n π d v
2
v
8kT m
kT 2 πd2p
, , ,
Z Z Z
选1 一定量的理想气体，在体积不变的 条件下，当温度升高时，分子的平均碰撞频 率 Z 和平均自由程 的变化情况 （ ）
A. Z 不变， 增大 C. Z 、 都不变 B. Z 、 都增大 D. Z 增大， 不变
NO. 13 - 1
2012－12－11
一、玻耳兹曼能量分布率 二、分子平均自由程 及 平均碰撞频率
三、热力学第二定律、熵的统计意义
四、第12章习题讨论
七、玻耳兹曼能量分布率
Law of Boltzmann Energy Distribution 在保守力场作用下，分子同时具有动能和势能， 分子的分布需同时考虑速率分布和空间位置分布。
THe TH 2
二、讨论题
3.说明下列各式的物理意义？ （1）
f (v)dv
（2）
Nf (v)dv
速率介于 v ~ v dv 之间 的相对分子数 （3）
速率介于 v ~ v dv 之间的 分子数 （4）

v2
v1
f (v)dv


0
vf (v)dv
速率介于 v1 ~ v2 之间的 相对分子数
n n0 e
热力学第二定律 一个孤立系统内部发生的过程，其方向总是从 微观态少（概率小）的宏观状态向微观态多（概率 大）的宏观状态进行。
W2 0 熵增加原理 S k ln W1
二、讨论题
1.在恒压下，加热理想气体使其温度升高，则气体 分子的平均自由程和平均碰撞频率如何变化？ 如果（1）体积不变，升高温度呢？ （2）保持温度不变，体积增大呢？
处于平衡态的气体分子自由程和碰撞频率具有 一定的统计分布。
八、分子平均自由程及平均碰撞频率 2. 描述分子间碰撞的物理量 （1）平均碰撞频率 Z
一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数。
（2）平均自由程
分子在连续两次碰撞间所经过的自由路程的的平均值。
八、分子平均自由程及平均碰撞频率
碰撞截面 2. 描述分子间碰撞的物理量 2 （1）平均碰撞频率 Z Z 2n π d v
D
二、讨论题
2.（1）储有理想气体的容器以速率v 运动，假设 容器突然停止，容器内的温度是否会变化？
E E机械 E内
E 守恒
E机械 减小
E内增大
（2）若有两个容器，一个装有He气，另一个装 有H2气，如果它们以相同的速率v 运动后突然停 止，哪个容器的温度上升较高？
E内 E机械
m' i m' 2 RT v M 2 2