人教版八年级下册18.2特殊平行四边形的折叠问题
特殊平行四边形中的折叠问题
【精讲精练】
例1.
如图，在矩形ABCD 中， AB ＝2，点E 在边BC 上．连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边CD 上，且AD =
B ′D ，求BE 的长.
练习1
、矩形ABCD 中，
点E 为线段BC 上的一个动点，连接AE ，以AE 为对称轴折叠△AEB ，得到△AEB ′，点B 的对称点为点B ′，若AB=5，BC=3，当点B ′落在射线CD 上时，线段BE 的长为 .
练习2、如图，矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为线段DC 上一点，把△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ′．当点D ′刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为 .
练习3、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当点B ′落在对角线AC 上时，BE 长为 . 【课堂检测】
1．如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠AFE ＝60°，且BF ＝1，则线段EF 的长为 .
2.如图所示，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知BC ＝10，AB ＝8，那么CE 的长 .
3．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点B （6，3），现将△OAB 沿OB 翻折至△OA ′B 位置，OA ′交BC 于点P ．则点P 的坐标为 .
F 图1
练习2
练习3
图2
练习1
4．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y
轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点
E，若B（1，2），则OE的长为 .
【课后作业】
1、如图，把矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误
的是（）
A．AB=CD B．∠BAE=∠DCE C．EB=ED D．∠ABE 一定等于 30°
2、如图，把平行四边形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在点 D
1
，折痕
为 EF，若∠BAE=55°，则∠D
1
AD= ．
3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6 cm，BC=8 cm，点 D 在 BC边上，将
直角边 AC 沿直线 AD 折叠，点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 E 处，则线段 CD 的长
为．
4、如图，在矩形ABCD 中，AB=5 cm，在DC 上存在一点E，将△AED 沿直线AE 折叠，
使点D落在B C 边上的点F处，若△ABF 的面积为30 cm2，则E F 的长为．
5、如图，将一块边长为 12 的正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至 DC 边上的点E，使
DE=5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为（）
A．12 B．13 C．14 D．15
6、如图，在长方形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点 D 与点 B重合，
折痕为 EF，则 EF 的长为．
8、如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折
叠，使点A落到EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN,MN请你观
察图1猜想∠MBN的度数，并证明你的结论
（2）在沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B1处，得到折痕MG,同时得到
线段B1G，展开如图2，探究四边形MBGB1的形状，并证明的结论
图4
图1
图3
图2
图5 图6。
特殊平行四边形的翻折折叠问题(含答案)
,;【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，然后求出四边形ABEB 1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB ，然后根据CE=BC-BE ，代入数据进行计算即可得解． 详解：∵沿AE 对折点B 落在边AD 上的点B 1处，∴∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．，。
【>【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE 是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．详解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，？∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，[∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE=S△FDE，∴S△ADE=S△FDE，故D正确，~∴C选项不正确，故选：C．*~*。
平行四边形折叠问题解题技巧
平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。
解决这个问题需要一些技巧和方法。
以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。
技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。
利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。
•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。
技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。
角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。
•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。
技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。
通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。
•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。
技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。
分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。
•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。
技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。
即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。
•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。
技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。
通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。
•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。
以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。
通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。
祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。
）。
人教版初中数学八下(RJ)十八章 平行四边形 方法技巧专题 特殊四边形中的折叠问题
18.2.3 正方形 方法技巧专题 特殊四边形中的最值
问题
类型一 矩形的折叠
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.CF的面积为（ D ）
A.12
B.15
C.6
D.10
第1题图
2.把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B的对应点B'与点D重合， 折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，则DF的长为 5 .
A.3
B.2.5
C.2
D.1
第7题图
第8题图
第9题图
第4题图
类型二 菱形的折叠
A
A.120°
B.100°
C.60°
D.30°
第5题图
6.如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠 的四边形EFGH.若EF＝4，EH＝3，则AB的长为 5 .
第6题图
类型三 正方形的折叠
7.如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为 BE，BG.若正方形ABCD的边长为6，E为边AD的中点，则CG的长为（ C ）
第2题图
3.如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6.将纸片折叠，使得AD边落在AB 边上，折痕为AE，再将△ADE沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的 面积为 2 .
4.如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5.把△ABC 沿AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D，则点D的坐标为 （0，2.1） .
解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法
解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。
如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。
１D。
＼f(４,3)［来源:1]4。
如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。
图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。
如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。
＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。
如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。
人教版初中数学讲义八年级下册第07讲 专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)
第07讲专题1平行（特殊）四边形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题类型二：矩形中的折叠问题类型三：菱形中的折叠问题类型四：正方形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题1．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故选：B．2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝65°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案为：65．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案为：36°．5．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝16°．【解答】解：∵点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案为：16．类型二：矩形中的折叠问题6．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是（）A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，＝DE×CD÷2＝18.75cm2．∴S△BDE故选：C．7．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．8．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求，乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求，A．只有甲的折法正确B．甲和乙的折法都正确C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．故选：C．10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD 的度数为（）A．37°B．74°C．96°D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由折叠可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正确；∵∠D1GN＝∠MGN不一定为45°，∴GH不一定垂直GD1，故②错误；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH与EF共线，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正确；故选：B．类型三：菱形中的折叠问题10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．11．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案为：75°．12．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案为75．13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝90°；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案为：90°．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴点D，G，F三点在同一条直线上．过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案为：．类型四：正方形中的折叠问题14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）A．70°B．65°C．30°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．15．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为2．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．16．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，＝AB•AF＝BF•AH，∵S△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，故答案为：．18．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．。
人教版初二数学下册《图形的折叠问题(专题)——特殊四边形之翻折 》教学设计
《图形的折叠问题(专题）——特殊四边形之翻折 》教学设计2017年6月9日一.教材分析：图形的折叠问题是图形变换的一种，折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
有关折叠问题在近几年各地中考中也频频出现，主要是考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力。
二.教学目标：1.知识与技能目标：把握图形折叠问题的实质，分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化，理解折叠前后关于折痕成轴对称图形。
2.通过动手操作掌握寻找折痕条数的规律、掌握图形折叠后求折痕长度的方法、掌握图形剪拼的方法3.理解数学思想方法的综合运用：方程思想、数形结合思想、勾股定理，结合运用成为具体策略。
4．过程与方法：采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，使学生学会与他人交流思维过程和结果，在动手实践中使学生的逆向思维和发散思维的到发展，自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力 得以提高。
5.情感态度与价值观：在小组的讨论与交流中培养学生的合作意识，在动手实践中激发学生兴趣，通过折叠问题的研究，使学生明确事物的变化与统一，理解事物的联系与区别。
三、教学重点：把握折叠与拼图的实质，并利用它与轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理、矩形的判定等联系在 一起，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学难点：把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题五、教学方法：在教学过程中注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养，采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，充分尊重学生的主体地位。
六、学法指导数与形是一对孪生姐妹，要学好数学就要学生的数与形结合起来，把动手得到的图形转变成几何图形 七、设计理念：21世纪的教育要以人为本，在教学过程中充分尊重学生的主体地位，注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养。
本节课我始终让学生分组合作和动手实践，使学生在合作中思维过程得以展现，思维结果得以肯定。
人教版八年级数学下第十八章 平行四边形 专题4 特殊平行四边形中的折叠问题
人教版八年级下第十八章平行四边形专题4 特殊平行四边形中的折叠问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，直线BC与⊙A相切于点C，过B作CB的垂线交⊙O于D，E 两点，已知AC＝，CB＝a，则以BE，BD的长为两根的一元二次方程是（）A．x2+bx+a2＝0B．x2﹣bx+a2＝0C．x2+bx﹣a2＝0D．x2﹣bx﹣a2＝02 . 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C 与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．3 . 现有边长AB＝10，BC＝5的矩形纸片ABCD，对角线BD.在AB上取一点G，以DG为折痕，使DA落在DB上，则AG的长是：（）A．B．C．D.二、填空题4 . 一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________cm.三、解答题5 . 如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．(1)证明：△ABC是直角三角形；(2)求△AEB的面积．6 . 四边形ABDF中，点C、E分别在AF、DF上，且AB=AC，BD=DE，∠BDF=2∠ABC，M为CE的中点．（1）画出△ACM关于点M成中心对称的图形；（2）求证：AM⊥DM；（3）若AM=DM，求∠ABC的度数.7 . 综合与实践：问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点A．特例探究实验小组的同学发现：（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．参考答案一、单选题1、2、3、二、填空题1、三、解答题1、2、3、。
第十八章微专题七特殊平行四边形中的折叠问题(教案)-2022-2023学年八年级下册数学(人教版)
4.折叠问题的实际应用：结合实际生活中常见的折叠问题，让学生学会运用所学知识解决实际问题。
5.折叠问题的拓展思考：引导学生思考折叠问题在其他几何图形中的应用，提高学生的创新能力和几何直观。
二、核心素养目标
-培养学生运用折叠方法解决问题的能力，使学生能够将理论知识与实际操作相结合。
举例：以矩形为例，重点讲解其对折后的图形仍为矩形，且对折线为矩形的对角线，对折前后矩形的面积相等但形状可能不同。
2.教学难点
-理解和掌握矩形、菱形、梯形折叠过程中几何量的变化规律，尤其是折叠后产生的新图形与原图形之间的关系。
最后，我认为在今后的教学中，还应加强对学生的鼓励和表扬，让他们在学习过程中感受到成功的喜悦，从而激发他们的学习兴趣和积极性。同时，我将不断学习，提升自身的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学服务。
1.培养学生空间观念和几何直观，通过折叠问题的学习，让学生能够理解和把握图形的折叠特征，提高对几何图形变换的认识。
2.培养学生逻辑推理和问题解决能力，使学生能够运用折叠方法分析解决特殊平行四边形相关问题，形成严密的逻辑思维。
3.培养学生数学抽象和数学建模素养，让学生在折叠问题的探索过程中，学会提炼关键信息，构建数学模型，为解决实际问题奠定基础。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊平行四边形折叠的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对折叠问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八下数学 第18章 平行四边形 专题(七) 平行四边形中的折叠问题
人教版八下数学第18章平行四边形专题（七）平行四边形中的折叠问题1.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为( )A．30∘B．45∘C．60∘D．75∘2.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48∘，∠CFD=40∘，则∠E为( )A．102∘B．112∘C．122∘D．92∘3.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60∘，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为．4.如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60∘，AB=3，则△ADE的周长为( )A．12B．15C．18D．215.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE:EC=2:1，则线段CH的长是( )A．3B．4C．5D．66.如图，矩形纸片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF 的中点N，连接MN，则MN=cm．7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．8.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE 的长为．9.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点Bʹ处，当△CEBʹ为直角三角形时，求BE的长．10.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=5cm，将纸片沿对角线AC对折，折叠后的边BʹC与AD交于点E，此时△DEC为等边三角形，则△AEC的面积为cm2．11.如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE=2，则△CDF的面积是．12.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．(1) 求证：四边形CEFG是菱形；(2) 若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．13.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是( )A．2B．2√5C．2√5−2D．2√5+214.在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120∘，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A，E两点之间的最大距离为．15.如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．(1) 判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2) 若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．答案1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】75∘【解析】连接BD．∵四边形ABCD为菱形，∠A=60∘，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120∘，∠C=60∘，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30∘，∴∠PDC=90∘，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45∘，在△DEC中，∠DEC=180∘−(∠CDE+∠C)=75∘．4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90∘，∵ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=90∘．又∵∠B=60∘，∴∠ACB=30∘，∴BC=2AB=6，∴AD=6．由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60∘，∴∠DAE=60∘，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18．5. 【答案】B【解析】由题意设CH=x，则EH=DH=9−x，∵BE:EC=2:1，BC=3．∴CE=13∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即(9−x)2=32+x2，解得x=4，即CH=4．6. 【答案】5【解析】连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F，M，C共线，FM=MC，∵AN=FN，∴MN=12AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90∘，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10(cm)，∴MN=12AC=5(cm)，故答案为5．7. 【答案】√7−1【解析】如图，过点M作MF⊥DC交CD的延长线于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴MD=1，∠FMD=30∘，∴FD=12MD=12，∴FM=√32，∴MC=√FM2+CF2=√7，∴EC=MC−ME=√7−1．8. 【答案】4913【解析】设AG交BF于点H，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90∘，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠BAH +∠ABH =90∘．又 ∵∠FAH +∠BAH =90∘，∴∠ABH =∠FAH ，∴△ABF ≌△DAE (ASA )，∴AF =DE =5．在 Rt △ABF 中，BF =√AB 2+AF 2=√122+52=13，S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AH ，∴12×5=13AH ，∴AH =6013，∴AG =2AH =12013．∵AE =BF =13，∴GE =AE −AG =13−12013=4913．9. 【答案】当 ∠BʹEC =90∘ 时，如图①，可知 ∠BEBʹ=90∘．∵ 矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 B 落在点 Bʹ 处，∴∠BEA =∠BʹEA =45∘，∴BE =AB =3．当 ∠EBʹC =90∘ 时，如图②，在 Rt △ABC 中，∵AB =3，BC =4，∴AC =√AB 2+BC 2=5．∵ 矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 B 落在点 Bʹ 处，∴∠B =∠ABʹE =90∘，EB =EBʹ，ABʹ=AB =3，∴ 点 A ，Bʹ，C 共线，即点 Bʹ 在 AC 上，CBʹ=AC −ABʹ=5−3=2．设 BE =x ，则 EBʹ=x ，CE =4−x ．在 Rt △CEBʹ 中，∵EBʹ2+CBʹ2=CE 2，∴x 2+22=(4−x )2，解得 x =32，即 BE =32．综上所述，BE 的长为 3 或 32．10. 【答案】25√3411. 【答案】 3√2+4【解析】如图，连接BD交AC于O，∵ABCD为正方形，∴∠ABC=90∘，AB=BC，AC⊥BD，DO=BO，∠BAC=45∘．∵△BCE沿CE翻折，∴BE=EF=2，BC=CF，∠EFC=90∘，∵∠BAC=45∘，∠EFC=90∘，∴∠EAF=∠AEF=45∘，∴AF=EF=2，∴AE=2√2，∴AB=2√2+2=BC=CF，∴BD=4+2√2，∴OD=2+√2．×CF×DO=3√2+4．∴S△CDF=1212. 【答案】(1) 由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE．∵FG∥CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形．又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形．(2) ∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90∘，AD=BC=BF=10，∴AF=8，∴DF=2．设EF=x，则CE=x，DE=6−x，∵∠FDE=90∘，，∴22+(6−x)2=x2，解得x=103∴CE=10，3∴四边形CEFG的面积是CE⋅DF=103×2=203．13. 【答案】C14. 【答案】2−√3【解析】如图，作AH⊥CD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120∘，∴∠D=60∘，∴∠DAH=30∘，∵AD=AB=2，∴DH=12AD=1，∴AH=√3，∵B，B′关于EF对称，∴BE=EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，根据垂线段最短可知，当EB′=AH=√3时，BE的值最小，∴AE的最大值为2−√3．15. 【答案】(1) 四边形CEGF是菱形．证明：由折叠知EF是CG的垂直平分线，∴FC=FG，EC=EG．又∵AD∥BC，∴∠GFE=∠CEF．由折叠知∠CEF=∠GEF，∴∠GFE=∠GEF．∴EG=GF．∴EG=FG=FC=EC．∴四边形CEGF是菱形．(2) 如图1，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE=CD=3．如图2，当点G与A重合时，CE最大，设CE=x，则AE=CE=x．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即32+(9−x)2=x2，得x=5．∴CE=5．综上线段CE的取值范围为3≤CE≤5．。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧
摘要：
一、折叠问题的概念及分类
二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
2.相对面不相邻法
三、折叠问题在中考中的重要性
四、总结
正文：
一、折叠问题的概念及分类
折叠问题是指将一个平面图形通过折叠的方式，转变成另一个平面图形的问题。
它主要考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
折叠问题可以分为两类：一类是给出一个平面图形，要求在四个备选的图形中选出可以由左侧图形折叠而成的一个；另一类是给出一个立体图形，要求通过折叠将其变成一个平面图形。
二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
在解决折叠问题时，可以先观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置。
然后对比选项，与之不符的直接排除。
这样可以缩小答案范围，提高解题效率。
2.相对面不相邻法
空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案。
违背这些特征的，便是错误选项。
三、折叠问题在中考中的重要性
折叠问题是我国中考数学判断推理的一个必考题型。
它对学生的空间想象能力和逻辑思维能力有较高的要求，同时也是检验学生综合运用数学知识解决实际问题的能力的重要途径。
因此，掌握折叠问题的解题技巧，对于提高中考数学成绩具有重要意义。
四、总结
总之，折叠问题作为中考数学中的一个重要题型，需要我们熟练掌握其解题技巧。
通过观察特殊图形法和相对面不相邻法，可以帮助我们在解决折叠问题时更好地把握答案，提高解题正确率。