第十章 弹性力学专题问题
弹性力学复习题答案
弹性力学复习题答案弹性力学是固体力学的一个重要分支，主要研究在外力作用下固体材料的变形和应力分布。
以下是一些弹性力学的复习题及其答案，供学习者参考。
问题一：什么是弹性力学？答案：弹性力学是固体力学的一个分支，它研究在外部作用下，材料在弹性范围内的变形和内力的分布规律。
材料在弹性范围内，当外力去除后，能恢复到原始形状和状态。
问题二：简述胡克定律的内容。
答案：胡克定律是描述材料在弹性范围内应力与应变关系的定律。
它指出，在弹性范围内，材料的应力与应变成正比，比例常数称为杨氏模量（E）。
数学表达式为：σ = Eε，其中σ是应力，ε是应变。
问题三：什么是平面应力和平面应变问题？答案：平面应力问题指的是物体的应力只在一个平面内分布，而平面应变问题指的是物体的应变只在一个平面内分布。
在实际工程问题中，薄板和薄膜等结构常常可以简化为平面应力问题。
问题四：什么是圣维南原理？答案：圣维南原理是弹性力学中的一个基本原理，它指出在远离力作用区域的地方，物体的应力分布只与力的性质有关，而与物体的形状无关。
这意味着在远离力作用区域，应力分布是均匀的。
问题五：什么是弹性模量和剪切模量？答案：弹性模量，也称为杨氏模量，是描述材料抵抗拉伸或压缩的物理量，其数值等于应力与应变的比值。
剪切模量，也称为刚度模量，是描述材料抵抗剪切变形的物理量，其数值等于剪切应力与剪切应变的比值。
问题六：简述泊松比的概念。
答案：泊松比是材料在单轴拉伸或压缩时，横向应变与纵向应变的比值。
它是材料的一个固有属性，反映了材料在受力时的体积变化特性。
问题七：什么是主应力和主应变？答案：主应力是物体上某一点应力状态中最大的三个正应力，它们作用在相互垂直的平面上。
主应变是物体上某一点应变状态中最大的三个应变，它们也作用在相互垂直的平面上。
问题八：什么是应力集中？答案：应力集中是指在物体的某些局部区域，由于几何形状、材料不连续性或其他因素，应力值远大于周围区域的应力平均值的现象。
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
弹性力学教材习题及解答(供参考)
1 —1.选择题a. 下列材料中，_D_属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是_A_。
A•计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设;C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于_B_。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓完全弹性体”是指_B_。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2—1.选择题a. 所谓应力状态”是指_B_。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2—2.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA', AB, BB'的面力边界条件。
在AA1,叭=一砂卫*刁0,在AB ±3 aaj十z趴豹=-jy sin. a、在2—3.作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁er, = —y r^.=—横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
由此，只有当仃卩确罡.材料力学中所得轲的解答才能满足平衡方程和边界 条件’即芮満足弹性力学基本方程的解. 2 - 4.单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。
试~ a x cos os - sin a,~ cos tz - tr^ sin tz y^y sin a 0 cos /? - sm 0=6 厂期cos 』一 cr 尸血厅=0.2- 5.已知球体的半径为r ，材料的密度为 1,球体在密度为 i （ 1 > 1）的液体中漂浮，如沉入複体割分 yj 面力F = -p 3g （z 0 - z ） 1边界条件为舌匕一卩”严严+ @ 一厂）％ = 0-X% 十丁〔巧-51） +（z-f ）r v = 0.肚迄+严疋*（"尸）（务一耳）a 也来沉人液郎中的部分（珂 < 立< 2尸），边畀条件为开T ■*■尸欣斗仗一町％ = °, f 十十住-尸打中=①6 +y^ 十仗“门口丁 550*写出楔形体的边界条件。
弹性力学习题解答
习题解答 第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jkjk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。
原坐标系绕z 轴转动θu 在新坐标系中的分量。
解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。
高中物理弹性力问题详解
高中物理弹性力问题详解弹性力是高中物理中一个重要的概念，涉及到弹簧、弹力系数等内容。
在解决弹性力问题时，我们需要理解弹性力的定义、计算方法以及应用，以便能够熟练地解决各种相关题目。
一、弹性力的定义和计算方法弹性力是指物体在受到形变时产生的恢复力。
根据胡克定律，弹性力与形变之间成正比。
胡克定律的数学表达式为F = -kx，其中F表示弹性力，k表示弹簧的弹力系数，x表示形变量。
举个例子来说明弹性力的计算方法。
假设有一根弹簧，其弹力系数为k = 10N/m，当受到一个形变量为x = 0.2 m的力时，求弹簧的弹性力。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -10 × 0.2 = -2 N。
由于弹性力是恢复力，所以其方向与形变方向相反，即弹性力的方向为向上。
二、应用举例：弹簧振子弹簧振子是弹性力的一个常见应用。
假设有一个质量为m的物体，通过一根弹簧与一个支架相连。
当物体受到外力作用而发生形变时，弹簧会产生弹性力，使物体回复到平衡位置。
我们可以通过弹性力的计算来解决弹簧振子的问题。
例如，给定一个弹簧振子，弹簧的弹力系数为k = 20 N/m，物体的质量为m = 0.5 kg。
当物体受到外力作用形变量为x = 0.1 m时，求物体在振动过程中的频率。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -20 × 0.1 = -2 N。
根据牛顿第二定律F = ma，可得-2 = 0.5a，解得a = -4 m/s²。
由于振动是一个周期性的过程，所以可以利用振动的基本公式f = 1/T来计算频率。
而周期T可以通过T = 2π√(m/k)计算得出，代入m和k的值，可得T = 2π√(0.5/20) ≈ 0.628 s。
将周期代入振动的基本公式，可得f = 1/0.628 ≈ 1.59 Hz。
因此，物体在振动过程中的频率为1.59 Hz。
弹性力学试题
弹性力学试题1. 弹性力学的定义和基本原理弹性力学是研究物体变形和应力的科学，主要描述了物体在外力作用下发生的变形和恢复原状的性质。
基本原理包括虎克定律、胡克定律和应变能的原理。
2. 胡克定律的表达式和意义胡克定律是弹性力学中最基本的定律之一，它表明了物体受力时的应力与应变之间的关系。
胡克定律的数学表达式为应力等于弹性模量乘以应变，表示为σ = Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
胡克定律的意义在于描述了物体在弹性变形时的行为规律。
3. 应力的分类和计算方法应力可以分为法向应力和切应力两种类型。
法向应力垂直于力的作用面，切应力则平行于力的作用面。
计算法向应力的方法通常为通过施加的力除以物体的截面积，而计算切应力则需要通过施加力的大小和作用面积的乘积。
4. 伸长变形和剪切变形的计算公式伸长变形是指物体在受到外力拉伸时发生的长度增加，可以通过公式ΔL = FL / AE计算，其中ΔL为伸长变形的量，F为作用力的大小，L为物体的长度，A为截面积，E为杨氏模量。
剪切变形则是指物体在受到切应力作用时发生的平行平面之间的滑动，可以通过公式Δx = FS/ AG计算，其中Δx为剪切变形的量，F为作用力大小，S为平行平面的距离，A为平行平面的面积，G为剪切模量。
5. 应力应变曲线和材料的刚性与强度应力应变曲线是表示物体在外力作用下的变形特性的曲线。
在弹性阶段，应力应变呈线性关系，符合胡克定律。
刚性材料的应力应变曲线是完全线性的，而韧性材料曲线的弯曲程度相对较大。
材料的强度是指材料能够承受的最大应力，通常用屈服强度和抗拉强度来表示。
6. 应力集中和疲劳破坏应力集中是指物体在强烈的外力作用下某一局部区域的应力超出了材料的承受能力，导致该区域形成裂纹和破坏。
疲劳破坏是指物体在长时间重复加载下产生的破坏，通常发生在应力集中的地方或者材料内部的微小缺陷处。
7. 弹性势能和杨氏模量的关系弹性势能是物体在受力变形时存储的能量，可以通过公式U =(1/2)FΔL计算，其中U为弹性势能，F为作用力的大小，ΔL为变形长度。
高中物理弹性力学题如何解答
高中物理弹性力学题如何解答弹性力学是高中物理中的一个重要知识点，涉及到弹簧、弹性体等物体的力学性质。
在解答弹性力学题目时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，详细说明高中物理弹性力学题如何解答，并给出一些解题的指导。
题目一：一根弹簧的弹性系数为k，将其悬挂在天花板上，并挂上一个质量为m的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动频率。
解答思路：根据弹簧的弹性力学特性，物体在弹簧上的振动属于简谐振动。
简谐振动的振动频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关。
根据公式f=1/2π√(k/m)，我们可以计算出振动频率。
题目二：一根长为L的均质弹性绳，两端固定在墙上，中间悬挂一个质量为m 的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动周期。
解答思路：同样地，根据弹性绳的弹性力学特性，物体在弹性绳上的振动也属于简谐振动。
简谐振动的周期与弹性绳的长度和物体的质量有关。
根据公式T=2π√(m/L)，我们可以计算出振动周期。
通过以上两个例题，我们可以看出解答弹性力学题的关键在于掌握弹性力学的基本公式和原理。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 确定题目中给出的已知量和未知量，理清思路，明确要求。
2. 根据题目中给出的物体和弹性体的性质，选择合适的公式进行计算。
3. 在计算过程中，注意单位的转换和计算的精度，保证结果的准确性。
4. 对于复杂的题目，可以将问题分解为多个简单的小问题，逐步解决，最后综合得出答案。
除了以上的解题技巧，我们还可以通过一些实际例子来加深对弹性力学的理解，并举一反三。
例如，我们可以通过观察弹簧的伸缩现象来理解弹性力学的基本原理，或者通过观察各种弹性体的应用，如弹簧秤、弹簧减震器等，来了解弹性力学在实际生活中的应用。
总之，解答高中物理弹性力学题需要掌握基本的解题技巧和方法，并通过具体的例题加深对弹性力学的理解。
解析弹性力学问题的解题思路
解析弹性力学问题的解题思路弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力分布规律。
解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。
一、力学模型的建立解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和物理性质都合适的理想模型。
常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。
建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。
二、应力和应变的计算在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。
应力是指单位面积上的力，常用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。
计算应力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。
三、边界条件和力的施加解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。
边界条件是指在模型的边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。
根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。
四、应力分布和形变分析在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到物体内部的应力分布和形变情况。
应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。
通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。
解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。
通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。
在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。
解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。
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第十章弹性力学专题问题布西内斯克问题赫兹接触热应力弹性波•柱坐标问题•——基本方程•球坐标问题•——基本方程目录§10.1 布西内斯克问题§10.2 赫兹接触§10.3 热应力§10.4 弹性波§10.1布西内斯克(Boussinesq)问题半无限平面作用法向集中力——布西内斯克问题应力和位移)]1(2[π2)1(])21([π2)1(222v Rz ER F v w zR v R z ER F v u -++=+--+=ρρρ52532322π23π23][π2)21(])21(3[π2R z F RFz zR R R z R F v zR R v R z R F rz z ρτσσρσθρ-=-=+--=+-+-=ρE F v w z π)1(|20-==表面沉陷半无限平面作用法向分布载荷布西内斯克问题的推广载荷作用区下位移外部沉陷内部沉陷§10.2赫兹接触问题赫兹（hertz, H.R ）1881年研究弹性球体的接触问题弹性接触对于球体是局部区域ρ<<R 1，R 1采用布西内斯克解分析局部变形接触压力是ρ的函数q (ρ)与接触区域半球面的纵坐标成正比ψρρ222max sin )(-=a a q q)sin (2πd )(222m ax ψρρ-=⎰a a q s q aa q s q 4)2(πd d )(22max 2ρψρ-=⎰⎰2π)11(m ax 222121aq E v E v -+-=δq v v π)11(max 22221ρβ-+-=2m ax π23aF q =ψρ222sin 2-=a s s 长度mn mn 中点压力q (ρ)回代可得最大接触压力32221212121)11()(43E E R R R FR a νν-+-+=322212122213221max )11(π)(6E E R R R R F q νν-+-+=接触区域半径最大接触压力如3.0,2111====ννE E E 3222212max )(6388.0R R R R FE q +=321221)(11.1R R E R FR a +=3212212)(23.1R R E R R F +=δ§10.3热应力•热应力——环境温度变化导致弹性体膨胀和收缩，因此产生的应力。
•温度应力•某些工程结构，热应力是不容忽视的。
•温度场——环境温度随着时间和空间变化•T=T (x,y,z,t )•定常温度场0=∂∂t TETv ETv E xyxy x y y y x x τνγασσεασσε)1(2)(1)(1+=+-=+-=ETv E Tv E xyxy x y y y x x τνγασνσνεασνσνε)1(2)1()1(1)1()1(122+=++---=++---=热应力基本方程平面应力平面应变TlTlααε==除物理方程之外，其余方程相同。
§10.3 热应力2受热管道热应力受热厚壁管道，内径为a ，外径为b 。
管道内温度增量为T a ，管道外温度增量为0。
管道内无热源时热应力为0，定常温度场。
根据热传导方程轴对称温度场积分可得根据边界条件则,02=∇=∂∂T tT0d d 1d d 22=+ρρρTT BA T +=ρln 0====baaTT TρρbT B T A a a ln -==T b T ln ln -=ρ§10.3 热应力3轴对称问题平衡微分方程几何方程本构方程将应力分量代入平衡微分方程)(,0ρρu u w ==0=-+∂∂ρσσρσϕρρρερερϕρρu u ==,d d νανννθσναεθνννσναεθνννσϕϕρρ21)21)(1(21)21(121)21(1---+=--+-+=--+-+=ETE ET E ET E z ραννρρρρρρρd d 11d d 1d d 222T u u u -+=-+热弹性势函数F(ρ)注意到热弹性势函数表示的平衡方程求解可得令ρρd d F =u )d d(d d 1d d 1d d 22ρρρρρρρ=+a T ba ln ln 111d 1d )d d (d d --+=F -F αννρρρρ)1ln (ln ln ln 2+--=F ρβρb ab aT αννβ-+=114ρρεσρεσϕϕρρd d 22d d 2222F-=-=F-=-=GG G G )1ln 2(ln ln 2)1ln 2(ln ln 2---=+--=ρβσρβσϕρba b G ba b G借助平面轴对称问题解，叠加可以得到管道热应力应力分量]1)(1)(ln ln 1ln ln [)1(2]1)(1)(ln ln ln ln [)1(22222-++-----=-------=ab b a b b ET ab b a b b ET a a ρρνασρρνασϕρ)1ln 2(ln ln 2)1ln 2(ln ln 2---=+--=ρβσρβσϕρba b G ba b G 应力分量在边界ρ=a和ρ=b 分别等于常数q 1和q 2，这与命题边界条件不符。
坝体热应力热应力顶角为2β的楔形体坝体楔形坝体中心线温度变化为T 0，两侧面温度变化为零。
设坝体内部的温度变化为平面应变问题，但是为简化问题，先按平面应力问题分析。
对于平面应力位移解法，热弹性势函数满足§10.3 热应力7cos 1cos cos T T ββϕ--=Tαν)1(2+=F ∇ββϕανϕρρρρcos 1cos cos )1()(022222--+=F ∂∂+∂∂+∂∂T热弹性势函数回代所以根据上述热弹性势函数，可以得到应力分量的特解应力特解边界值)cos(2DC+=Fϕρββϕανϕcos1coscos)1(4cos30--+=+TDC)cos1(4cos)1(,)cos1(3)1(ββανβαν-+-=-+=TDTC)cos41cos31()cos1)1(20βϕβραν--+=FTϕτϕσϕσρϕϕρsin31')cos32(')cos31('12121kkkkk=-=-=ββαcos21cos121=-=kTEk11)2sin 2cos (2D C B A ++-=F ϕϕϕρ12212216)cos (cos sin '6)cos (cos 6)cos cos cos (sin k k k k k k βϕϕτβϕσβϕβϕσρϕϕρ--=--=+--=最大应力在坝体边界)1(cos 6221max -==±=βσσβϕρk k 为了消除与原命题不符的应力场，叠加一个相反的应力场。
考虑应力函数双调和函数根据平面问题的极坐标解，可以求解应力场)(2ϕρf =F§10.4弹性波初等理论突加载荷引起的变形和应力不能立即传递到物体的各个部分。
物体的变形和应力以波的形式传播。
物体的运动方式主要表现为波的传播。
根据介质的物理性质，边界条件和载荷的作用方式，波的传播过程呈现各种不同的特性。
本节以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波在杆内向远处传播的规律。
设压缩应力为正,杆端应力σ<σ。
sd22022xuC t u ∂∂=∂∂ρEC =0tuv ∂∂=xvt ∂∂=∂∂εxvt E ∂∂=∂∂σ1010=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂xvt E x t v σσρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00,,1010,,100t t t t v v E σσρ0,,=+t t BW AW ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σρv E W B A ,1010,100波动方程质点运动速度§10.4 波2☐质点运动速度v 与瞬时应力σ成正比，比例常数称为声阻抗率。
☐作用压力，波的传播方向与质点的运动速度方向和应力方向一致。
反之，拉力作用，则波的传播方向与质点的运动速度方向和应力方向相反。
vZ v C s ==0ρσ)(0t C x f u -=)]('[)(')('0000t C x f C u v t C x Ef E t C x f xu --=∂=-==-=∂∂=εσεEC v σ0=反射波右行波左行波右行波，应力和质点速度符号相反——负应力对应于正速度左行波，应力和质点速度符号相同),(),()()(),(210201t x u t x u t C x f t C x f t x u +=-+-=22221111v Z t u Z x u E v Z tu Z x u E s s s s =∂∂=∂∂=-=∂∂-=∂∂=σσ。