误差理论及数据处理方法
误差理论和测量数据处理
误差理论和测量数据处理一、引言误差理论和测量数据处理是科学研究和工程实践中不可或缺的重要部分。
准确的测量和数据处理是确保实验结果可靠性和可重复性的关键。
本文将详细介绍误差理论和测量数据处理的基本概念、方法和步骤。
二、误差理论1. 误差的定义和分类误差是指测量结果与真实值之间的差异。
根据产生误差的原因，可以将误差分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量仪器的固有缺陷或操作者的主观因素导致的，它具有一定的可预测性；随机误差是由于测量过程中的各种偶然因素引起的，它是无法完全消除的。
2. 误差的表示和评估误差可以用绝对误差和相对误差来表示。
绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异的绝对值；相对误差是指绝对误差与真实值之比。
为了评估误差的大小和可靠性，常用的指标有平均值、标准差、相对误差等。
3. 误差的传递和合成在实际测量中，往往需要通过多个测量量来求解某个物理量。
误差的传递和合成是指将各个测量量的误差通过一定的数学关系求解出最终物理量的误差。
常用的误差传递和合成方法有线性近似法、微分法和蒙特卡洛法等。
三、测量数据处理1. 数据收集和整理在进行实验测量时，需要采集一系列数据。
数据的收集和整理是指将实验数据按照一定的规则进行记录和整理，以便后续的数据处理和分析。
常见的数据整理方法有表格记录法、图表记录法等。
2. 数据的处理和分析数据的处理和分析是指对收集到的数据进行统计和推断。
常见的数据处理和分析方法有平均值计算、方差分析、回归分析等。
通过对数据的处理和分析，可以获得实验结果的可靠性和可信度。
3. 数据的可视化和展示数据的可视化和展示是将处理和分析后的数据以图表的形式展示出来，以便更直观地理解和传达实验结果。
常见的数据可视化和展示方法有柱状图、折线图、散点图等。
四、实例分析为了更好地理解误差理论和测量数据处理的应用，我们以某次实验测量某物理量为例进行分析。
在实验中，我们使用了仪器A进行测量，并记录了一系列数据。
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
误差理论与数据处理
③ 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 ④ 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 ⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度 有影响的因素 --- 定值/较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值 措施 --- 恒温、稳压或稳频
如：米 --- 公制长度基准
光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m = 1650763.73
--- 氪-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 ③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
⑧ 检测方法误差 检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间
⑨ 检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）
4 、误差分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替 估计（Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（^） 同一被测量 n 次测量 算术平均（Mean value） x 估计 真值x0
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
除了偏差之外，还可以用极差R来表示样本平行测定值 的精密度。极差又称全距，是测定数据中的最大值与最小值 之差，R=xmax-xmin 其值愈大表明测定值愈分散。由于没有充分利用所有的数据， 故其精确性较差。偏差和极差的数值都在一定程度上反映了 测定中随机误差影响的大小。 此外还有公差，它是指生产部门对分析结果允许误差的 一种表示方法，如果分析结果的误差超出允许的公差范围， 称为超差，该项分析工作应重做。有关公差，由有关主管部 门根据分析对象作出相关规定。
第二章 误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
上述情况说明，精密度高表明测定条件稳定， 这是保证准确度高的先决条件。精密度低的测定结 果是不可靠的，因而是不准确的。但是高精密度的 测定值中也可能包含有系统误差的影响，只有在消 除了系统误差的前提下，精密度高其准确度必然也 高。 对于含量未知的试样，由于仅凭测定的精密度 难以正确评价测定结果，因此常同时测定一个或数 个标准试样，检查标样测定值的精密度，并对照真 实值以确定它的准确度，从而对试样测定结果的可 靠性做出评价。
第二章 误差理论及数据处理
平均偏差：个别测定偏差的绝对值加和除以测量次数，
相对平均偏差：
平均偏差和相对平均偏差由于取了绝对值因而都是正值。
第二章 误差理论及数据处理
（二）标准偏差和相对标准偏差 由于在一系列测定值中，偏差小的值总是占多数，这样 按总测定次数来计算平均偏差时会使所得的结果偏小，大偏 差值得不到充分的反映。因此在数理统计中，一般不采用平 均偏差，而广泛采用标准偏差来衡量数据的精密度，它反映 了各测定值对平均值的偏离程度。标准偏差用s表示：
样本的相对标准偏差(也称为变异系数)，用Sr或RSD表示：
误差理论和测量数据处理
误差理论和测量数据处理误差理论和测量数据处理是在科学研究、工程设计和实验室测试中非常重要的一部分。
它们涉及到对测量数据的准确性和可靠性进行评估，以及对误差来源和处理方法的分析。
在本文中，我们将详细介绍误差理论和测量数据处理的基本概念、方法和应用。
一、误差理论的基本概念误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往会存在一定的误差。
误差理论的目标是通过对误差进行分析和处理，提高测量结果的准确性和可靠性。
1. 系统误差和随机误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷、环境条件的变化等因素引起的，它们对测量结果产生恒定的偏差。
而随机误差是由于测量过程中不可避免的各种随机因素引起的，它们对测量结果产生不确定的影响。
2. 绝对误差和相对误差绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异的绝对值，它可以用来评估测量结果的准确性。
相对误差是指绝对误差与测量结果的比值，它可以用来评估测量结果的相对准确性。
3. 精度和精确度精度是指测量结果的接近程度，它可以通过对多次测量结果的统计分析来评估。
精确度是指测量结果的稳定性和一致性，它可以通过对同一样本进行多次测量来评估。
二、测量数据处理的基本方法测量数据处理是指对测量数据进行分析、处理和解释的过程。
它包括数据的整理、数据的可视化、数据的统计分析等步骤。
1. 数据的整理数据的整理是指将原始数据进行清洗、筛选和整理，以便后续的分析和处理。
这包括去除异常值、填补缺失值、标准化数据等操作。
2. 数据的可视化数据的可视化是指将数据以图表或图像的形式展示出来，以便更直观地理解数据的分布、趋势和关系。
常用的可视化方法包括直方图、散点图、折线图等。
3. 数据的统计分析数据的统计分析是指对数据进行统计特征、相关性、回归分析等统计方法的应用。
通过统计分析，可以得到数据的均值、标准差、相关系数等指标，从而对数据进行更深入的理解。
4. 数据的模型建立数据的模型建立是指根据测量数据的特征和目标需求，建立数学模型来描述数据的变化规律。
对实验数值误差理论和数据处理
9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理
1.数据的归类整理 2.数据的分组整理
3.3.2 分布规律判断的基本方法— —统计直方图
1．统计直方图 为了对某个随机变量的分布规律作出判断，
如0.0121×25.64×1.05782,其0.0121为三 位有效数字，故计算结果宜记0.328
5 在所有计算式中，常数π ，e的数值，以及，1/2等 系数的有效数字位数，可以认为无限制，需要几位 就可以取几位。
6 在对数计算中，所取对数位数，应与真数的有效数 字位数相等。例如，pH12.25 和 [H+]=5.6×10-13M;
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源
设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类
系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差
系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。
当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。
1)．4d 法检验
根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。
即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。
误差理论与数据处理实验报告.
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1ni i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
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二.试验课的基本要求
三.本课程分为 • 仿真部分(本学期学习) • 实物部分(下学期学习)
物理实验课是一门基础实验课,是知识的底层.劝君充分发挥主观积极因素, 提高学习效益,切莫辜负好时光.
误差理论及数据处理方法
仿真实验
它是计算机辅助教学(CAI)的重要组成部分 它利用计算机和软件仿真物理实验 在虚拟实验环境中操作仪器 模拟真实验过程
导出单位
国际单位 制（SI）
误差理论及数据处理方法
测量的分类
按获得测量结果分类： 直接测量 和 间接测量
RU I
按测量条件分类： 等精度测量 和 非等精度测量
为了减小测量误差，往往对同一固定被测量进行多次重复测量，如果每 次测量的条件（同一观测者，同一套仪器，同一种实验原理和方法，同 样的环境等）都相同，那么就没有任何根据判断某一次测量一定比另外—等精度测量;反之为 非等精度测量。等精度测量的一组数据称为一个测量列。大学物理实验 中我们只讨论等精度测量数据的处理方法。
误差理论及数据处理方法
测量与误差
物理实验离不开对物理量进行测量，但任何物理量的 测量都必须使用一定的仪器，通过一定的方法，在一定的 环境下，由某一观察者去完成，由于仪器、方法、环境和 观察者都必然存在某种不理想的情况，使得物理量的测量 很难完全准确。也就是说，一个物理量的测量值与其客观 存在的值总有一些差异，即测量总存在误差。由于误差的 存在，使得测量结果带有一定的不确定性，因此，对一个 测量质量的评估，要给出它的不确定度。另外，对物理量 的测量结果总是用一组数字来表示，做完一个实验必定要 获得一些测量数据，通过使用一些科学的数据处理方法， 如列表法、作图法、线性回归法等处理这些原始数据，才 能得到实验结果，给出误差或不确定度。测量误差及数据 处理的知识贯穿整个实验过程，也是今后从事科学研究必 须了解和掌握的。
测量值
σ标准(偏)差 • 标志着测量值的离散程度 • 测量误差在-σ～σ间的概率为68.3%
误差理论及数据处理方法
➢ 粗大误差
产生原因 • 粗心大意 • 实验条件突变
特征 • 出现次数少 • 属偶然 • 应将其剔除
误差理论及数据处理方法
描述测量结果三个名词
精密度
准确度
精确度
精密度 表示测量数据集中的程度。它反应随机误差的大小，与系统 误差无关
考勤、实验操作、实误差验理论报及告数据处理方法
实验课的三个阶段
预习阶段 • 预习实验
• 准备好笔以及原始数据记录纸
• 听老师讲解和演示
操作阶段 • 实验并记录原始数据
• 实验名称 日期 班级 姓名 • 实验目的 仪器 原理 步骤
书写报告 • 实验数据 数据处理
• 实验心得
误差理论及数据处理方法
大学物理实验(上)—仿真部分 主要内容 误差概论与数据处理方法
误差理论及数据处理方法
测量与误差
一.测量及其分类
测量的定义
测量是将被测物理量与选作标准单位的同类 物理量进行比较的过程，即以确定被测对象 量值为目的的全部操作。
被测物理量 操作者 测量值 标准物理量
d 38.0（mm）
必要时需给出测量条件、误差测理量论及方数法据和处理仪方器法 等
标准物理量
基本单位
误差理论及数据处理方法
正态分布(高斯分布)
概率密度
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
x
2
（1）对称性： （正负误差概率相同）
n
x i - x 2 （2）单峰性；（误差值小的概率大）
i1
（3）有界性；（误差值在一定范围内）
n -1 （4）抵偿性；（误差的算术平均值，
（贝赛尔公式）随测量次数的增加而趋于零）
误差理论及数据处理方法
误差的分类
系统误差
误差
随机误差
已定系统误差 未定系统误差
粗大误差
已定系统误差（误差值已经确定，自己找出来） 未定系统误差（误差值尚不知道，可由仪器手册查出）
误差理论及数据处理方法
➢ 系统误差
在同一实验条件下(实验者、实验方法、实验环境、实验仪器） 对同一物理量进行多次测量 误差的符号和绝对值保持不变(或按某种规律变化)
产生原因 • 理论(方法）误差 • 仪器误差 • 环境误差 • 人身误差
特征 • 服从确定性规律 • 可以消除或减少
误差理论及数据处理方法
➢随机误差
在同一实验条件下对同一物理量进行多次测量 误差的符号和绝对值随意变化
产生原因 感觉器官分辨能力
限制 实验条件和环境
因素微小的无规 则的起伏变化
特征 随机产生 • 正态分布规律 不能消除 • 多次测量求平均减少
1 长度测量力热学基本测量仪器(第二部分) 2 气垫上直线运动(第二部分) 3 单透镜
4 光学设计性实验(第二部分) 5 示波器 6 热敏电阻
误差理论及数据处理方法
绪论: 误差概念与数据处理方法
x 10.022 0.031(厘米）
测量与误差 测量结果的表示与最佳估值 测量结果不确定度的计算 有效数字 数据处理的基本方法
真值（a）：某物理量在一定条件下
不以人的意志为转移的真实大小(客观存在) 真值是理想概念 一般不能确知 测量结果的误差一般也就不能确知
误差理论及数据处理方法
偏差(x) 测量值( x) 约定真值(x0 )
约定真值(最佳估值）： 尽可能减小误差的前提下 一定条件下最接近于真值的估算值
被测量的公认值 较高准确度仪器测量的值 多次测量的算术平均值
按被测量的状态分类： 静态测量 和 动态测量
测量某一硬币的直径
测量某一天的温度
误差理论及数据处理方法
二.误差及其分类
为什么要测量？
为什么要研究误差？ 误差公理： 误差自始至终存在于一切科学实验
和测量过程之中，测量结果都存在 误差。
误差普遍存在！！！ 误差理论及数据处理方法
误差与偏差
误差() 测量值( x) 真值(a)
误差理论及数据处理方法
实验课基本要求
1、不得迟到、早退，不得旷课。 2、不得穿拖鞋进入实验室，衣着得体。 3、不能将食物带入实验室，水杯不得放在实验桌上。 4、实验时应尽量独立完成，遵守课堂纪律，爱护实验设备， 不得大声喧哗。 5、实验完毕，整理仪器，桌、凳放回原位，待老师检查完毕 后方可离开。 6、课后应认真书写实验报告（用统一的实验报告纸书写）， 待下一周上课时统一交给老师。 7、如何给成绩