高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题
圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理)(20201128025357)
圆锥曲线一、椭圆：（1 ）椭圆的定义：平面内与两个定点F I,F2的距离的和等于常数（大于厅芾2| L 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a |F1F2 |表示椭圆；2a |F1F21表示线段F1 F2；2a |F1F2|没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:2 23.常用结论：（1）椭圆笃占i（a b 0）的两个焦点为F I,F2，过F i的直线交椭圆于A, B两 a b点，贝U ABF 2的周长= _______2 2（2）设椭圆务笃1（a b 0）左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线 a b交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是_______________ | PQ | ___________ 、双曲线:（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 F i , F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F 1F 2 |） 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|PFj IPF 2I 2a 与 | PF 2 | | PF i | 2a （ 2a | F 1F 2 |）表示双曲线的一支。
2a | F 1F 2 |表示两条射线；2a | F 1F 2 |没有轨迹;（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:顶点 A 1( a,0), A 2(a,0)B 1(0, a),B 2(0,a)对称轴x 轴，y 轴；虚轴为 2b，实轴为2a 焦 占 八、、 八、、F 1( C ,0),F 2(C ,0)F 1 (0, C ), F 2(0,C )焦距El2C (C 0) 2 C2.2a b离心率e C (e 1) a（离心率越大，开口越大）渐近线b y —xaa y— xb通径2 b 2a（4）等轴双曲线为x 2 y 2 t 2，其离心率为 2中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准 方程2x~2 a2y1( a 0,b0)b2y~2a2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线匚〔的渐近线，可令其右边的1为0,即得乂 .2 ' 2a 2b 22yb 2，因式分解得到A y 0。
高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题
高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)假设a>c，则集合P为椭圆；(2)假设a＝c，则集合P为线段；(3)假设a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 假设F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2()(,)b B c a-± (C)(0，±b ) (D)不存在例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,假设∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )例5 P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，假设21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6.写出满足以下条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．第二部分：双曲线1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)典型例题例8.命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。
高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
[例 2] 如图，在平面直角
坐标系 xOy 中，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
23都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直
线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P，
法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)； 取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)， 以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4156， 交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
因为 MP ＝－4mk－x1，m3 ， MQ ＝(4－x1,4k＋m)， 由 MP ·MQ ＝0，得－1m6k＋4kmx1－4x1＋x12＋1m2k＋3＝0， 整理，得(4x1－4)mk ＋x12－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立， 所以4x1x2－1－4x41＝＋03，＝0， 解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点 P1，12到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距 离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的 两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，12 到准线的距 离为54求p与t的值；
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
高考圆锥曲线经典大题
圆锥曲线经典大题1.过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：*2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC→＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值围．2.如图，(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。
〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． 〔1〕1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； 〔2〕求MA MB ⋅的最小值． 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.〔1〕过点P 〔0，-4〕作抛物线G 的切线，求切线的方程；〔2〕设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．〔Ⅰ〕求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -，时，AB = 5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕． 〔1〕求椭圆M 的方程；〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径〔E 、F 为直径的两个端点〕，求PF PE ⋅的最大值．6.双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距离为5。
（I ） 求双曲线C 的方程；(II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1,[,2]3AP PB λλ=∈，求AOB ∆面积的取值围。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
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圆锥曲线基础知识与典型例题第一部分:椭圆 1、知识关系网2、基础知识点（1).椭圆的定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (２a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． （２）.椭圆的标准方程及其几何性质（如下表所示)标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±对称轴 x 轴,y 轴,长轴长为2a ，短轴长为2b焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c1(0,)F c -、2(0,)F c焦距 焦距为122(0),F F c c => 222c a b =-离心率 e =22=1c b a a- (0＜e <1) e 越大椭圆越扁第二部分：双曲线 1、知识网络2、基本知识点(1)双曲线的定义:平面内到两个定点Ｆ1、Ｆ2的距离之差的绝对值等于定值2a (0＜2a <|F １F 2｜)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距．标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>>图形顶点 (,0)a ± (0,)a ±对称轴 x 轴，y 轴,实轴长为2a ,虚轴长为2b焦点 12(,0),(,0)F c F c - 12(0,),(0,)F c F c -焦距焦距为122(0),F F c c => 222c a b =+离心率 e =221c b a a=+ （e >1) e 越大双曲线开口越大第三部分：抛物线1、知识网络2、基本知识点（1）抛物线的定义: 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点Ｆ不在l上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.（2)抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)x x第四部分:圆锥曲线综合问题1.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离.方法:直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<．注：直线方程与双曲线方程、抛物线方程联立消元后注意二次项系数为零的情况讨论. ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长①当直线存在斜率k 时，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-=②当直线斜率不存在时,则12AB y y =-.(3)椭圆、双曲线的通径：22b a（过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦)椭圆焦点三角形面积公式:12212tan 2F PF F PF S b ∆∠= (点P 是椭圆上的点） 双曲线焦点三角形面积公式：12212tan2F PF b S F PF ∆=∠(点P 是双曲线上的点）(4)抛物线相关结论:抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.(自己可以尝试证明这些结论．．．．．．．．．．．．) 若ＡＢ是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦,且11(,)A x y ,22(,)B x y ，则有如下结论:①2124p x x =，212y y p =- ②1cos P AF α=-，1cos P BF α=+(α为AB 所在直线倾斜角）③1222sin pAB x x p α=++= ④112AF BF P+=⑤22sin AOB P S α∆= ⑥相切：a .以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；b .过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切;ｃ．以AF 或BF 为直径端点的圆与轴相切.2.圆锥曲线问题求解策略：1.一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合，既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理；二是点差法。
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式,通过解不等式求范围。
第五部分:圆锥曲线考点、题型、方法题型一：定义的应用(1）寻找符合条件的等量关系 (２)等价转换,数形结合 典型例题例1、动圆Ｍ与圆221:(1)36C x y ++=内切,与圆222:(1)4C x y -+=外切，求圆心M 的轨迹方程．例2、8表示的曲线是例３、12,F F 是定点,126F F ，动点M 满足126MF MF ，则M 点的轨迹是（ ) (Ａ）椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段 例４、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（ )（A )1716 (B )1516(C )78 (D )0例５、已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ,弦A Ｂ过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）(A ）10 (Ｂ)2０ （C ) （D )414例6、椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点， 21PF PF ⊥,则△21PF F 的面积为( ） （A )9 (B )12 (C )１0 （D )8例7、双曲线191622=-y x 右支点上一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左焦点的距离为（ ） (A )6 （Ｂ）8 （Ｃ）10 (D )1２ 例8、抛物线212y x =上的一点M 到焦点的距离为9，则点M 的坐标是 题型二：圆锥曲线标准方程特别关注：焦点位置的正确判断（首先化成标准方程，然后再判断,先定位后定量计算) 方法要求:熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的标准方程. 1、椭圆：由2x 、2y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上； 2、双曲线:由2x 、2y 项的系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; 3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号正、负决定开口方向。
典型例题例９、若方程22112y x m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例10、当k 为何值时,方程15922=---ky k x 的曲线: （1）是椭圆； （2)是双曲线．例11、求满足下列条件的椭圆的标准方程（1)焦点坐标为()2,0±，经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2)焦点在y 轴上,4,1a b ==（3)10a b +=， c =例１2、求满足下列条件的双曲线的标准方程 （１)焦点坐标为()0,6±,经过点()2,5- (2)焦点在x 轴上，4,3a b ==（3)a = 6c =例１3、求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1）焦点坐标为()0,3--(２）准线为14x =-(3）焦点到准线距离是2 例14、若双曲线经过点()03，P ,2a b ，则双曲线的标准方程为 ．例１5、双曲线离心率为2,与椭圆22194x y +=有公共焦点,则双曲线的方程为( )A ． 2214x y -=B . 2214y x -=C . 2214y x -= Ｄ. 22145x y -= 例1６、过点(2,2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ) A . B . Ｃ. D . 例17、抛物线的对称轴为x 轴,顶点在原点,焦点在直线2360x y 上，则此抛物线的方程为题型三:圆锥曲线性质１、特别关注:几何性质与图像相结合(首先化成标准方程,先定位、再定量计算）： 2、圆锥曲线中离心率，渐近线的求法:（1）a ，ｂ,ｃ三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值; (２)a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围; (3）注重数形结合思想不等式解法1222=-y x 12422=-y x 12422=-x y 14222=-y x 14222=-x y（4）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程可以看作是由双曲线方程右边“1”变为“0”直接得到22220x y a b -=,即2222x y b y x a b a=⇒=±双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为22220y x a b -=,即2222y x a y x a b b =⇒=±（5）与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠,与双曲线22221y x a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220y x a bλλ-=≠，再由另外一个条件可求得λ的值.(６)等轴双曲线(实轴长等于虚轴长22a b ）⇔离心率e =⇔渐近线方程y x =±方程可以设为22(0)x y λλ-=≠，根据另外已知条件可以确定λ的值．3、典型例题（1)圆锥曲线基本性质例1８、已知椭圆的方程为22916144x y +=，求:该椭圆的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率.例19、已知双曲线的方程为22916144x y -=-,求:该双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.例２0、已知抛物线的方程为2160x y +=求：该抛物线的焦点坐标、准线方程.例2１、求满足下列条件的双曲线的标准方程：(１)已知等轴双曲线上一点(P -（2) ，点(2,4)P -在双曲线上(3） 双曲线渐近线为y x =±，点(1,2)Q -在双曲线上例22、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是（ )Ａ.14 B . 12Ｃ. 2 D . 4(２）椭圆、双曲线离心率例23、椭圆的长轴长是短轴长的两倍,则它的离心率为（ ）A .13 B . 12 C . 2 D .例2４、直线220x y +-=经过椭圆22221x y a b+=的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为例２5、椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点,212PF F F ⊥,01230PF F ∠=,则C 的离心率为例２6、双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点,12PF PF ⊥,01230PF F ∠=,则C 的离心率为例２7、双曲线2221(0)y x b b-=>的顶点到渐近线的距离为2，则它的离心率为( ）A . 2B . Ｃ. 3 Ｄ.例28、双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>则C 的渐近线方程为（ )Ａ. 14y x =± B . 13y x =± Ｃ． 12y x =±D ． y x =±例29、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上,且124PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．例30、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上,且122PF PF =，则此双曲线的离心率的取值范围为 .例３１、已知双曲线22221x y a b-=的离心率()1,2e ∈，则双曲线其中一条渐近线的斜率取值范围是 .例32、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上，126PF PF a +=,且12PF F ∆的最小内角为030，则此双曲线的离心率为 .例32、已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）Ａ. 324+ B . 13- Ｃ.213+ D ． 13+例33、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ） ﻩ A .(1,2] B .(1,2) Ｃ. [2,)+∞ Ｄ.(2,)+∞例34、椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=， 则椭圆离心率e 的取值范围为 题型四:圆锥曲线焦点三角形(圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形）１、椭圆焦点三角形面积2tan2αb S = ；双曲线焦点三角形面积2tan2b S2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 典型例题例3５、椭圆2212516x y +=上一点Ｐ与两个焦点F F 12，,且126F PF π∠=，则12PF F ∆的面积为 .例3６、双曲线221916x y -=上一点M 与两个焦点F F 12，,且123F MF π∠=，则12MF F ∆的面积为 ．例３7、已知双曲线的离心率为２，F F 12，是左、右焦点，P 为双曲线上一点，且123F PF π∠=,12PF F S ∆=为 .题型五：点、直线与圆锥曲线的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x ,点在椭圆上⇔12222=+b y a x ,点在椭圆外⇔12222>+by a x２、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:直线方程与圆锥曲线方程联立消元（消去x 或消去y ）得到关于x 或y 的方程 特别注意：二次项系数为0的情况（１)若二次项系数为0,则方程是一元一次方程，解只有一个,直线与曲线交点只有一个 (2)若二次项系数不为0,则可按照以下情况讨论:３、直线与圆锥曲线相交于两点1122(,),(,)A x y Bx y ，则弦长公式： (1)当直线存在斜率k 时， 12AB x =-=或12AB y =-=(2)当直线斜率不存在时,弦垂直于x 轴,则12AB y y =-. （3）抛物线焦点弦长:1222sin pAB x x p α=++=(其中α为直线AB 的倾斜角）4、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 特别提醒:因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0∆>！(注：弦所在直线的斜率存在)（1)椭圆12222=+by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x ka y ; （2）双曲线22221x y ab -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y ；(3)抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0pk y =. 典型例题例38、(1)如果椭圆221369x y +=弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程 是 ；（2)已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、Ｂ两点,且线段AB 的中点在直线Ｌ：20x y -=上,则此椭圆的离心率为 ．例3９、双曲线2244x y -=的弦AB 被点(3,1)M -平分,求直线AB 的方程.例４0、斜率为1的直线过椭圆2214x y +=的右焦点,交椭圆于A 、Ｂ两点， (1)求弦AB 的长;（2)求OAB ∆的面积．例41、已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，双曲线2221(0)25x y a a -=>的左顶点为A ,若该双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直, 则实数a = .例42、已知椭圆的两个焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ，并且经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，经过椭圆的左焦点()11,0F -作倾斜角为α的直线l 交椭圆与A ，B 两点. （1)求椭圆的标准方程；（2）当060α=，求2ABF ∆的面积.例43、在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,,(的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． (1）写出C 的方程；（２)直线1y kx =+与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA OB ⊥?此时AB 的值是多少?例44、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点(在C 上.（1)求C 的方程;（2）直线l 不经过原点O ，且不平于坐标轴,l 与C 有两个交点A 、B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．题型六:动点轨迹方程:1、求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;2、求轨迹方程的常用方法：（１)直接法:直接利用条件建立,x y 之间的关系(),0F x y =；例４5、如已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4，求P 的轨迹方程.（2）待定系数法:已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。