“北约”“华约”年自主招生数学模拟试题
华约自主招生试题
华约自主招生试题一、数学部分1. 有一个集合A={1,2,3,4,5}，请列举出A中的所有子集。
2. 设集合A={a, b, c}，集合B={1, 2, 3}，则集合A与集合B的笛卡尔积为什么？3. 已知函数f(x) = 3x + 4，求f(-2)的值。
4. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的交集为什么？5. 求方程3x^2 - 2x + 1 = 0的解。
6. 在一个等边三角形ABC中，BC=x，求三角形ABC的面积。
7. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，求f'(x)。
二、英语部分1. 根据所给的短文，回答以下问题：The Great Wall is one of the most famous sights in the world. It is more than 20,000 kilometers long and is known as one of the Seven Wonders of the World. The Great Wall was built over 2,000 years ago to protect the Chinese Empire from invasions. It attracts millions of tourists from all over the world every year.a) How long is the Great Wall?b) Why was the Great Wall built?c) What does the Great Wall attract every year?2. 根据所给的对话，填写空缺处的单词：A: Can you help me with my math homework?B: Sure, what's the problem?A: I can't solve this equation. _______ you show me how?B: Of course, let me take a look. ________ the equation for me.A: It's 3x^2 + 4x - 5 = 0.B: Alright, first we need to find the _______ of the equation. Then we can use the quadratic formula.A: How do we find the _______?B: We look at the coefficient of the x^2 term, which is 3 in this case. Now let's plug the values into the quadratic formula...三、逻辑思维部分1. 莉莉、爱丽丝、汤姆和鲍勃是四个朋友。
北约自主招生文科数学试题
北约自主招生文科数学试题X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。
3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。
问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。
4、（三函\不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。
5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。
2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。
当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。
3、常规题。
先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n 为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。
4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。
5、尚未解出。
数论问题对高中文科生来说还是难了一点……1、最刁钻的问题：火车开车前为什么会先退一步然后再前进？在采访了物理老师之后，得出的结论是：通常情况下,火车各节车厢之间的挂钩拉得很紧,牵引力必须克服整列火车与铁轨的最大静摩擦力才能启动。
只有尽量减小这种摩擦力对启动的影响,才能使火车顺利地开出车站。
火车先倒车,就是为了使车厢间挂钩松弛,再向前启动,使车厢逐节启动。
2、最文乎的考题：对“人之所以异于禽兽者几希”的看法。
清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题及参考答案(五)
4． 已知方程|x－2n|=k x(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则 k 的取值范围 是( ) 1 (A)k>0 (B)0<k≤ 2n+1 1 1 (C) <k≤ 2n+1 2n+1 (D)以上都不是
解：由|x－2n|≥0，故 k≥0，若 k=0，可知在所给区间上只有 1 解．故 k>0． 1 由图象可得，x=2n+1 时，k x≤1．即 k≤ ．故选 B． 2n+1 又解： y=(x－2n)2 与线段 y=k2x(2n－1<x≤2n+1)有两个公共点． x2－(4n+k2)x+4n2=0 有(2n－1， 2n+1] 2 2 2 2 2 2 上 有 两 个 根 ． 故 △ =(4n+k ) － 16n >0 ． 且 (2n － 1) － (4n+k )(2n － 1)+4n >0 ， (2n+1)2 － 1 1 (4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+ k2<2n+1． k≤ ． 2 2n+1 5． logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1 的大小关系 是 (A) (B) (C) (D) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1 logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1 logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1 logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1
华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题三数学含详细解答
4 1 三.求证：16< Σ <17． i=1 k 四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 7 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF， 垂足依次是 D， E， F， 已知 AD= 15， BE=2CF= 10， 求 l 与 m 的距离． 五.设 n 是自然数，fn(x)= xn+1－x－n－1 1 (x0，± 1)，令 y=x+ x． －1 x－x
n 1 n－2 n－1 i i n－i n－2i n 1 n－2 n－1 i i n－i
n
模拟三 一 1. 解 ： y=((n+1)x － 1)(nx － 1) ， ∴ 1 1 |AnBn|= n － n+1 ， 于 是
1992 |A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993，选 B． 2. 解：(x 1－y2)=0 表示 y 轴右边的半圆，(y+ 1－x2)=0 表示 x 轴下方的半圆， 故选 D． 4 4 4 3. 解： Σ Si≤4S，故 Σ Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， Σ i=1 i=1 i=1 Si 接近 2S，故选 A． 4. 解： x2=4x－4． 根为 x=2． ∴ C=2A， B=180° －3A， sinB=2sinA． sin3A=2sinA， 2 3－4sin A=2．A=30° ，C=60° ，B=90° ．选 B． 2z1 π π 1 3 5. 解： z =cos3± isin3．∴ |z2|=8，z1、z2 的夹角=60° ．S=2· 4· 8·2 =8 3．选 A． 2 6. 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。
华约自主招生试题及答案
华约自主招生试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是华约自主招生的选拔标准？A. 学术成绩B. 领导能力C. 体育特长D. 政治面貌答案：D2. 华约自主招生的报名截止日期是每年的什么时候？A. 1月1日B. 3月1日C. 5月1日D. 7月1日答案：B3. 华约自主招生的面试环节主要考查哪些方面？A. 学术知识B. 个人陈述C. 团队合作D. 所有选项答案：D4. 华约自主招生的笔试科目包括哪些？A. 语文、数学、英语B. 物理、化学、生物C. 政治、历史、地理D. 语文、数学、英语、物理、化学、生物答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 华约自主招生的笔试成绩占总成绩的____%。
答案：402. 华约自主招生的面试成绩占总成绩的____%。
答案：603. 华约自主招生的申请材料需要包括个人简历、成绩单、推荐信以及____。
答案：个人陈述4. 华约自主招生的选拔流程包括报名、初审、笔试、面试以及____。
答案：录取三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述华约自主招生选拔流程中初审阶段的主要任务是什么？答案：初审阶段主要任务是审核申请者的资格，包括学术成绩、竞赛获奖情况、领导能力等，以确定是否符合自主招生的基本条件。
2. 描述一下华约自主招生面试环节中，面试官通常会询问哪些问题？答案：面试官通常会询问申请者的学术背景、个人兴趣、未来规划、团队合作经验以及对所申请专业的认知和理解。
四、论述题（20分）1. 论述华约自主招生选拔标准中，为什么需要重视学术成绩以外的其他能力？答案：华约自主招生选拔标准中重视学术成绩以外的其他能力，是因为高等教育不仅需要学术知识，还需要学生的创新能力、领导能力、团队协作能力等综合素质。
这些能力有助于学生在大学期间更好地适应学术和社交环境，为未来的职业发展打下坚实的基础。
2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题
2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析12312为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦2和312-于是知，2和312为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e不全为0，则：420(42)(2020a c eg a c e b db d++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c=-+----+++++702320a b c d ea b c d+---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb da b c d ea b c da b c++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d++-=（6）由（6）+（2）得：1130a b c++=（7）由（6）+（4）得：13430a b c++=（8）由（7）-（5）得：0a=，代入（7）、（8）得：0b c==，代入（1）、（2）知：0d e==.于是知0a b c d e=====，与,,,,a b c d e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1-和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
北约2020年自主招生数学试题
2020年北约自主招生数学试题与答案2020-03-16（时间90分钟，满分120分）(33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x 2312-2312为两根的有理系数多项式的次数最小为5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a . A. 3019⨯22020B. 3019⨯22020C. 3018⨯22020D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-，则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN +CN <MN C. BM+CN =MN D.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定 解析：根据公式z z z =⋅1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAAB BC CA AB BC CAA B CA B C A B C++++++=⋅++++++()()()()ABCC ABCC BCAA BCAA C ABB CABB AABB BBCC CCAA AB AB BC BC C A CA AA BB CC ++++++++=++++++++1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈L 、、、、，满足12320130a a a a ++++=L ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=-L ，求证：12320130a a a a =====L .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=L L ，（1）另一方面，令122334201312222a a a a a a a a m -=-=-==-=L ，则122334201312222a a a a a a a a ----L 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=-L （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====L .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====L .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m =L 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnij a '，即对任意的123j n =L 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m =L 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =-L 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m =L 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =L L .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i =L 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnija '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m =L 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。
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“北约”“华约”年自主招生数学模拟试题
（满分150分）
5. 设P 是抛物线2
440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是.
第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围
2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个
3. 设平面向量(3,1)a =-,13(,22b =.若存在实数(0)m m ≠和角((,))22
ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+-,tan d ma b θ=-+,且c d ⊥.
(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.
4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.
(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.
5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,222
2θπθθn b a A b a ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求
证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数
参考答案
一、选择题
1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=
,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=
有22
22560450
a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3.直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.
)2201515(2)22015()22015(22 +⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个
位数字为零.
因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.025
5220155
220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.
4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤8
5.
又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877
n n k n --=
=+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．
5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.
二、解答题
1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．
当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅得03a <<；
当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A
B ≠∅得1a >-； 当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A
B ≠∅不符． 综上所述，()()1,00,3a ∈-
2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。
这样在m A A A ,,,21 中至多有A （所有P 条建议所组成的集合）的1222
1-=⨯P P 个子集，所以.21-≤P m
3. 解:(I)由c d ⊥,13102a b ⋅=⋅=,得
2[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+
=223(tan 3tan )0ma b θθ-+-=,即22
3(tan 3tan )m a b θθ=-,得 31(tan 3tan )()422
m ππθθθ=--<<. (II)由tan t θ=,得31()(3),4
m g t t t t R ==-∈ 求导得''23()(1)4
m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t = 当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数.
所以当1t =-,即4πθ=-
时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小 值12
-.
4．解:(I)1(1,0)F ,12AF BF ==设2(,)F x y 则
121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹
方程为1x =和22
(1)(2)184
x y --+=(0,4y y ≠≠) (II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:22
(1)(2)184
x y --+= ①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上,
知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点, 把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+= 由0∆=,得123m =±.
【评述】把n A 为与复数n i )sin (cos θθ+联系在一起是本题的关键。