2012年北约自主招生数学试题与答案
用递推数列备考自主招生的计数、二项式、概率统计题
＋￣ ／ ｓ 一１ 的形 式 ， 其中Ｓ ∈Ｎ＋ ．
￣（ １ ｑ － ， ／ ２） 配对 （ １ 一
析
整 理 得 ａ ｎ 一 一 号 × 筹＋ 警 ．
比较得 一２ ０ ， 解得 Ａ一１ ５ ， 代人 得
ａ ｎ
一
， 构造 数列 ｛ ｎ ｝ 使
通项 ａ 通项 ｎ ： ！ ！ ± ．
于是， ｛ 一１ ５ ｝ 是公比ｇ 一 １ ５ ＝ ａ ４ — １ ５ ） × （ 一 寺） 一 ， 则
塞撬玺
ａ 一５ ×３ 一 一（ 一１ ） ×１ ５ —１ ５ ×［ ３ 一。 一（ 一１ ） ］ ． 故所求 的染 色方 法共有 １ ５ ×［ ３ 一 一（ 一１ ） ” ］ 种．
Ｎ＋ ） ， 则
二
（ 其中 ∈
１ ５ 一 一 号 × （ ￣ ｎ ＝ － ｉ １ — １ ５ ） ≠ ｏ （ ≥ ５ ） ．
２ ａ ＋ ２ 一（ １ ＋√ ２ ） ＋（ １ 一√ ２ ） 卅 ＝ ：
［ （ １ ＋ ） ＋（ １ 一 ） ］・ ［ （ １ ＋ ） ＋
一
运 用递 推 数 列 的方 法 探 究重 点 大 学 自主招 生 中
有关 计数 、 二项 式 、 概 率 的问题 ， 对 于命 题 专 家来 说 是 个 热点 ， 对于 考 生 的解 题 学 习来 说 这 是 个 难 点 ， 但 对 于中学数 学教 师 的教 来说 却 普遍 又 是个 盲 点． 本文 分
在第 ， ｚ 位（ 末尾 ） ， 则前 面 一１个 数有 ａ 种排法； 若
排在第 １ 位， 则后 面 ｎ 一１ 个 数 只能递减 而只 有 １种
例 １ （ ２ ０ ０ １年 全 国联 赛 题 、 ２ ０ ０ ３年 全 国高 考 题、 ２ ０ ０ ７年复旦 大学 自主 招 生题 、 ２ ０ ０ ８年 全 国高 考卷 Ｉ题 、 ２ ０ ０ ８年 南 京 大 学 自主 招 生 题 合 编题 ）如 图 １ ， 一 １ 个 区域环 绕 １个 中 心 区 域 ， 现 为 这 ｎ（ ≥４ ） 个 区域染 色 ， 要 求 相 邻 区域 异 色 ． 现有 ５种颜 色 可供选 择 ， 则共 有 多 少种 不 同的染 色方法 ？ 图１
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
北约专题及答案解析
1 的等差数列， 求 mn ； 4
4、如果锐角 ABC 的外接圆的圆心为 O ，求 O 到三角形三边的距离之比；
5、已知点 A( 2,0), B ( 2,0) ，若点 C 是圆 x 2 2 x y 2 0 上的动点，求 ABC 面积的最小 值。
6、在 1, 2,, 2012 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个 数？
3.在等差数列 {an } 中， a3 13, a7 3 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求数列 {S n } 的最 小项，并指出其值为何？
4.在 ABC 中， a b 2c ，求证： C 60 .
0
5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为 2，3，5，6，10，16？
7、求使得 sin 4 x sin 2 x sin x sin 3 x a 在 [0, ) 有唯一解的 a ；
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、 求证： 对于任意的正整数 n ，(1
其中 s N 2 ) n 必可表示成 s s 1 的形式，
3
2． AB 为边长为 1 的正五边形边上的点．证明： AB 最长为 大值为 PR1 ；当有一点位于 O 点时， AB max OP PR1 ；
⑵当 A , B 均不在 y 轴上时，知 A , B 必在 y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取 A 点关 于 y 轴的对称点 A ，有 AB AB ） ． 不妨设 A 位于线段 OR2 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是 合理的） ，则使 AB 最大的 B 点必位于线段 PQ 上． 且当 B 从 P 向 Q 移动时， AB 先减小后增大， 于是 AB max AP 或 AQ ； 对 于 线 段 PQ 上 任 意 一 点 B ， 都 有 BR2 ≥ BA ． 于 是
自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x'=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．I HG FE 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s'=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答2013年北约自主招生数学试题与答案1．1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和11 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2012年北约自主招生联考数学试题
2012年北约自主招生数学试题
1、求x 的取值范围，使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数
3、已知0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为
4
1
的等差数列，求n m -
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比。
5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？
7、若a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解，求a 的值。
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形。
9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答。
北约自主招生试题及答案
北约自主招生试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 北约成立于哪一年？A. 1949年B. 1950年C. 1960年D. 1970年答案：A2. 北约的全称是什么？A. 北大西洋合作组织B. 北大西洋公约组织C. 北大西洋发展组织D. 北大西洋经济组织答案：B3. 北约的总部设在哪个国家？A. 美国B. 英国C. 法国D. 比利时答案：D4. 下列哪个国家不是北约成员国？A. 德国B. 意大利C. 西班牙D. 巴西答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 北约的成立是为了实现______。
答案：集体防御2. 北约的创始成员国包括美国、加拿大和______个欧洲国家。
答案：103. 北约的旗帜上有一个蓝色的圆圈，圆圈上有______颗白色的星星。
答案：144. 北约的秘书长是______。
答案：（此处填写当前北约秘书长的名字）三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述北约的主要职能。
答案：北约的主要职能包括维护成员国的集体安全，促进成员国之间的政治和军事合作，以及在全球范围内进行军事干预以维护国际和平与安全。
2. 描述北约在冷战期间的作用。
答案：在冷战期间，北约作为西方阵营的主要军事同盟组织，对抗苏联及其盟国的军事威胁，维护了西方世界的安全和稳定。
四、论述题（每题15分，共30分）1. 分析北约在当今世界政治中的作用和影响。
答案：北约在当今世界政治中的作用和影响主要体现在以下几个方面：一是作为西方世界的军事同盟，维护成员国的安全和利益；二是通过军事合作和联合行动，提高成员国的军事实力和应对危机的能力；三是在全球范围内参与维和行动，维护国际和平与安全；四是推动成员国之间的政治对话和经济合作，促进区域稳定和发展。
2. 讨论北约未来面临的挑战及其应对策略。
答案：北约未来面临的挑战主要包括：一是新兴大国的崛起可能对北约的权威和影响力构成挑战；二是恐怖主义和极端主义的威胁，需要北约加强反恐合作；三是网络安全问题，北约需要加强网络防御能力；四是内部分歧，需要加强成员国之间的沟通和协调。
2012年北约自主招生文科试题及答案
北京大学自主招生数学（文科）解答24. 解法一：（4分）（6分）（6分）（2分）说明1. 直接猜出取中点时取得最小值43，得2分.解答二：建立坐标系，设)0,(a A ，)3,(b b B ，))1(3,(c c C -222CA BC AB ++6126422882222+--+--++=c c bc ca ab c b a （4分）61263215215)2(2222+--++++-=c b bc c b c b a （6分） 4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当43 =c ，41 =b ，21 =a 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)说明1. 原点取在别处（比如某边中点），可相应给分解答三：建立坐标系，设)0,(x A ，))21(3,(y y B -，))21(3,(z z C +222CA BC AB ++2333422882222++-+--++=z y yz xz xy z y x （4分） 4343)41(536)51(215)2(2222≥+++-+++-=z z y z y x （6分）4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当且仅当41- =z ，41 =y ，0 =x 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)25. 证明：内角相等的圆内接五边形必为正五边形。
解法一：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论 我们有x + y + z = y + z + u （5分）同理 x + y + z = y + z + u =z + u + v = u + v + x = v + x + y (10 分)由此可知 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法二：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论我们有 x + y + z = y + z + u （5分）x = u (10 分)同理 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分) 解法三：证明: 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形∴ ∠A+∠1=180° ∠B+∠2=180°∵ ∠A=∠B∴ ∠1=∠2 （5分） ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 （10分） ∴ DE = CD （15分） 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法四： 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形 ∴ ∠A+∠1=180° ∵ ∠A=108°∴ ∠1= 72° (5分)∴ ∠BOE=2∠1= 144° (10分) 同理 ∠BOD=144°∴ ∠EOD=360°-144°-144°=72° (15分) 同理 ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°∴ AB=BC=CD=DE=EA∴圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法五：证明: ∵∠BAE=∠ABC ∠1=∠2∴∠3=∠10 (5分)∵∠3=∠4 ∠9=∠10∴∠4=∠9∵∠BCD=∠AED∴∠5=∠8∵∠5=∠6 ∠7=∠8∴∠6=∠7 (或∠6=∠7= 54°) (10分) ∴∠5+∠6=∠7+∠8∴∠COD=∠DOE∴ CD=DE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法六：∵半径相等∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8 ∠9=∠10∵∠1+∠2+∠3+… +∠9+∠10 =540°∴（∠1+∠10）+（∠4+∠5）+∠8=270°∵∠1+∠10=108°∠4+∠5=108°∴∠8= 54°（5分）∴∠9+∠8 = 108°∴∠9= 54°∴∠8=∠9 （10分）∵∠9+∠10=∠7+∠8∴∠AOE=∠DOE∴ AE=DE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法七：∵同弧AB所对的角相等∴∠1=∠2 (5分)∵∠BAE=∠ABC AB=AB∴△ABC ≌△ABE (10分)∴ BC=AE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法八：∵∠B=∠E∴ AC=AD （5分）∴∠1=∠2∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∴ A B=AE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法九：∵ ∠B=∠E ∴ AC=AD （5分） ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∵ ∠B=∠E AC=AD∴ △ABC ≌ △ADE （15分） ∴ BC=AE同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十： 设AB=a, AE= b2 ，BC= b 1,∵ ∠BAE=∠ABC= 108° ∴ AC=BE （5分）设 AC=BE=c 由余弦定理，得在△ABC 中 c 2= a 2+ b 12 －2 a b cos 108° ①在△ABE 中 c 2= a 2 +b 22 －2 a b cos 108° ② （10分） ①-②,得 （b 1－b 2）(b 1+b 2－2 a b cos 108°）= 0 ∵ cos 108°＜0∴ b 1+b 2－ 2 a b cos 108°＞0 （若同学没有这一步，则这道题只得10分） ∴ b 1= b 2 即BC=AE (15分) 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十一：∵ 圆内接五边形的各内角相等 ∴ AC=BD∴∠A0C=∠BOD (5分) ∴∠A0B+∠B0C=∠COD+∠BOC∴∠A0B =∠COD (10分) ∴ AB=CD (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)阅卷说明：1、只画图，没有证明，记0分。
自主招生
嫦娥一号在一年的寿命期中，不可避免会遇到月 食，此时嫦娥一号太阳能电池翼无法照射到阳 光，会停止工作，那么怎么办呢？
嫦娥一号采用太阳能电池翼和燃料电池联合电源，嫦娥 一号在月食时，嫦娥一号将转为由燃料电池单独供电， 太阳能电池翼停止工作。
事实上很多太空空间站均有一段时间面向太阳， 一段时间背着太阳，你能否设计一套循环能量装 置用于空间站，要求①能持方框流程 图表示,注意此题涉及光能、化学能、电能等多 种能量形式的转换)
2[AgI2] - + H2↑ [AgI2] -
拓展
硫酸铜
练习：见学案
练习答案： ⑴原因②：Cl-对反应没有影响，而SO42-对 反应具有阻碍作用； 原因⑤：Cl-、SO42-均对反应具有阻碍作用， 但Cl-影响更小（或SO42-影响更大）；两个 原因可互换位置。 ⑵②反应速率加快；反应速率减慢； ⑶① 100mL；酸式滴定管；100mL容量瓶、 玻璃棒； ②消耗完全相同质量的铝片需要的时间；或 相同时间内消耗铝片的质量（其他合理也可）
光能
水分解 系统
氢氧 储罐
燃料电 池系统
① 储水罐 电
②
能
电
能
空间站
拓展：航天燃料问题 火箭可用肼（N2H4）作燃料，试解答下列 问题 (1)肼作火箭的推进剂，用NO2作氧化剂， 两者反应成氮气和水，但NO2喷出时有部分 来不及反应而被喷出，所以我们常看到火箭 尾部有一片桔红色的烟雾。 已知：N 2(g)＋2O2(g)＝2NO2（g） △H＝+67.7kJ/mol N2H4(g)＋O2 (g) ＝N2(g)＋2H2O(g) △H＝－ 534kJ/mol 据此写出N2H4和NO2反应的热化学方程式： (2)已知：N2H4 (g)＋2 F2(g) ＝ N2 (g) ＋ 4HF(g) △H＝－ 1118kJ/mol 有人认为可用F2代替NO2作氧化剂，你认为 好吗？长期使用F2 、 NO2等氧化剂有什么 问题？从长远来看航天燃料可选用何种燃 料？何种氧化剂？
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2012年北约自主招生数学试题
1、求的取值范围使得是增函数；
2、求的实数根的个数；
3、已知的4个根组成首项为
的等差数列，求；
4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；
5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。
6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7、求使得在有唯一解的；
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中
x 12)(-+++=x x x x f 1210272611=+-++
+-+x x x x 0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 41n m -ABC ∆O O )0,2(),0,2(B A -C 0222=+-y x x ABC ∆2012,,2,1 a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin ),0[πa n n )21(+
1-+s s +∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答。