第43招 平面向量模的求法
高中数学平面向量模长解题技巧
高中数学平面向量模长解题技巧引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及到平面几何、解析几何以及物理等多个领域。
而平面向量的模长是其中一个基本的概念，它代表了向量的长度或大小。
本文将介绍一些高中数学中常见的平面向量模长解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一概念。
一、模长的定义和性质模长是平面向量的一个重要性质，它可以通过向量的坐标表示或几何方法求解。
对于一个平面向量$\vec{AB}$，其模长记作$|\vec{AB}|$或$AB$，表示向量的长度或大小。
模长的计算公式为：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$其中$(x_A,y_A)$和$(x_B,y_B)$分别是向量起点$A$和终点$B$的坐标。
模长具有以下性质：1. 非负性：模长始终大于等于零，即$|\vec{AB}|\geq 0$。
2. 零向量的模长为零：对于零向量$\vec{0}$，其模长为$|\vec{0}|=0$。
3. 向量的模长与方向无关：向量的模长与其方向无关，只与向量的起点和终点有关。
二、模长解题技巧1. 利用坐标计算模长当向量的起点和终点的坐标已知时，可以直接利用模长的计算公式求解。
例如，已知向量$\vec{AB}$的起点$A(2,3)$和终点$B(5,7)$，求向量$\vec{AB}$的模长。
解答：根据模长的计算公式，可得：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5。
2. 利用几何性质计算模长在某些情况下，可以利用几何性质来计算向量的模长。
例如，已知三角形$ABC$的顶点$A(1,2)$、$B(4,6)$和$C(7,2)$，求向量$\vec{AB}$和$\vec{AC}$的模长。
解答：根据模长的定义，可以利用两点之间的距离公式求解。
首先计算向量$\vec{AB}$的模长：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$然后计算向量$\vec{AC}$的模长：$$|\vec{AC}|=\sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{36}=6$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5，向量$\vec{AC}$的模长为6。
第43讲 平面向量模的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1)
【知识要点】一、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.一般用a 或AB 表示. 二、模的定义：向量AB 的长度叫向量的模，记作AB .三、求向量的模一般有两种方法 方法一：利用2||a a =求解；方法二：利用22a x y =+. 【方法讲评】 方法一 利用2||a a =求解 使用背景 一般没有坐标背景. 解题步骤 直接代入公式2||a a =化简即可.【例1】设向量a ，b 满足||1,||3,a a b =-=()0a a b ⋅-=，求|2|a b + 【点评】公式22222||()22||||cos a b a b a a b b a a b b α+=+=++=++是求向量的模常用的公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式.【反馈检测1】已知向量,a b 满足||2,||1,|| 2.a b a b ==-=（1）求a b ⋅的值；（2）求||a b +的值. 方法二 利用22a x y =+求解 使用背景 一般有坐标背景. 解题步骤 先求a 的坐标，再代入公式22a x y =+即可.【例2】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b θθθ==-<<．（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．【点评】求a b +的最大值，一般先建立三角函数模型，再利用三角函数的图像和性质分析解答.【反馈检测2】已知直角梯形ABCD ,AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.【反馈检测3】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足|1|AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A.443 B.449 C.43637+ D.433237+高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第43讲:平面向量模的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）4；（26.学科#网【反馈检测1详细解析】（1）由｜-a b ｜=2得222||24124-=-⋅+=+-⋅=a b a a b b a b ，所以12⋅=a b . （2）2221||242162+=++=+⨯+=a b a ab b ，所以||6+=a b 【反馈检测2答案】5【反馈检测2详细解析】 【反馈检测3答案】B 【反馈检测3详细解析】如图可得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴= ⎪ ⎝⎭⎝⎭y x PD CB A。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
向量的模方向和运算规则
向量的模方向和运算规则向量是数学中重要的概念，具有模、方向和运算规则三个基本性质。
本文将详细介绍向量的模、方向以及运算规则，以帮助读者更好地理解和应用向量概念。
1. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，用数值来表示。
在平面直角坐标系中，设向量A的坐标为(a，b)，则向量A的模记作|A|或者∥A∥，其计算公式为：|A| = √(a² + b²)向量的模是非负的实数，表示该向量的长度。
当向量模等于零时，则表示该向量为零向量，记作0。
2. 向量的方向向量的方向表示向量所指的位置或者运动方向。
在平面直角坐标系中，可以用角度或者斜率来表示向量的方向。
（1）用角度表示：设向量A的坐标为(a，b)，向量A与x轴正方向的夹角记作α，则有：tanα = b / a其中，α的取值范围为360度（或2π弧度）的任意值。
（2）用斜率表示：向量A的斜率记作k，其计算公式为：k = b / a向量A与x轴正方向的夹角等于A所对应直线的斜率与y轴的夹角。
3. 向量的运算规则（1）向量的加法：设向量A和向量B的坐标分别为(A₁，A₂)和(B₁，B₂)，则向量A和向量B的加法计算公式为：A +B = (A₁ + B₁, A₂ + B₂)向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，以及(A + B) + C = A + (B + C)。
（2）向量的数乘：设向量A的坐标为(A₁，A₂)，实数k，则向量A的数乘计算公式为：kA = (kA₁, kA₂)向量的数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，以及(k₁ + k₂)A = k₁A + k₂A。
（3）向量的减法：设向量A和向量B的坐标分别为(A₁，A₂)和(B₁，B₂)，则向量A减去向量B的计算公式为：A -B = (A₁ - B₁, A₂ - B₂)向量的减法可以转化为向量的加法，即A - B = A + (-B)。
4. 向量的模方向和运算规则示例下面通过几个实例来进一步理解向量的模方向和运算规则。
高中数学平面向量的模长与方向计算
高中数学平面向量的模长与方向计算在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。
平面向量既有大小（模长），又有方向。
计算平面向量的模长和方向是我们常见的问题之一。
本文将以具体的题目为例，分析和说明如何计算平面向量的模长和方向，并给出解题技巧和指导。
一、平面向量的模长计算平面向量的模长表示向量的长度或大小，通常用两点之间的距离来计算。
考虑以下例题：例题1：已知向量AB的坐标表示为(3, 4)，求向量AB的模长。
解析：根据平面向量的定义，向量AB的模长等于点A到点B的距离。
根据坐标表示，点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(3, 4)。
我们可以利用勾股定理来计算距离：AB的模长= √((3-0)² + (4-0)²) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，向量AB的模长为5。
解题技巧：对于已知两点坐标的向量，可以利用勾股定理计算模长。
根据坐标表示，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB的模长为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
例题2：已知向量CD的模长为6，且向量CD的方向与x轴正方向的夹角为30°，求向量CD的坐标表示。
解析：根据已知条件，我们可以得到向量CD的模长和方向。
向量CD的模长为6，方向与x轴正方向的夹角为30°。
根据三角函数的定义，我们可以计算出向量CD在x轴和y轴上的分量：CD在x轴上的分量= 6 * cos30° = 6 * √3 / 2 = 3√3CD在y轴上的分量 = 6 * sin30° = 6 * 1 / 2 = 3因此，向量CD的坐标表示为(3√3, 3)。
解题技巧：对于已知模长和方向的向量，可以利用三角函数计算向量在x轴和y轴上的分量。
向量在x轴上的分量等于模长乘以cosθ，向量在y轴上的分量等于模长乘以sinθ，其中θ为向量与x轴正方向的夹角。
平面向量模的计算方法
平面向量模的计算方法
平面向量模是什么玩意儿？嘿，其实就是向量的长度呗！那怎么算平面向量的模呢？超简单！如果一个平面向量是\((x,y)\)，那它的模就等于\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。
这就好比在直角三角形里求斜边长度一样刺激！
计算的时候有啥要注意的呢？可别把向量的坐标搞错喽！不然算出来的模肯定不对头。
这就像你走路走岔了道，能到得了目的地才怪呢！
那平面向量模的计算安全稳定不？当然啦！只要你按照公式来，一步一步算，绝对不会出啥幺蛾子。
就像盖房子，只要基础打得牢，还怕它会倒？
平面向量模有啥用呢？用处可大了去了！比如在物理学中，计算力的大小啥的就经常用到。
这就好比一把万能钥匙，能打开好多知识的大门呢！
举个实际案例呗！比如说在平面直角坐标系中，有个向量\((3,4)\)，那它的模就是\(\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5\)。
哇塞，是不是很神奇？
平面向量模的计算方法就是这么简单又好用！大家赶紧用起来吧！。
平面向量的模长求法
平面向量的模长求法平面向量的模长求法导语：在数学中，平面向量是一个有方向和大小的量，在二维平面上可以表示为一个有两个分量的有序对。
模长是平面向量的大小，用来衡量向量的长度。
在本文中，我们将探讨平面向量的模长求法，并详细介绍其应用。
一、平面向量的定义和表示平面向量是一个有方向和大小的量，通常用有序对表示。
一个平面向量可以表示为`(x, y)`，其中 `x` 和 `y` 是向量在 `x` 和 `y` 轴上的投影。
在平面上，我们可以用箭头来表示一个平面向量，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点指向向量的终点。
向量的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的模长平面向量的模长是向量的大小，用来衡量向量的长度。
求平面向量的模长可以按照勾股定理的原理进行，即利用向量的坐标点在平面上的位置关系，计算出向量的模长。
假设一个平面向量 `v` 表示为`(x, y)`，那么向量的模长可以通过以下公式计算得出：|v| = √(x^2 + y^2)其中，`√` 表示平方根。
三、平面向量的模长求法举例下面我们通过举例来说明平面向量的模长求法。
例1：求解平面向量 `v = (3, 4)` 的模长。
根据公式`|v| = √(x^2 + y^2)`，将 `x` 和 `y` 的值代入公式中：|v| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5平面向量 `v = (3, 4)` 的模长为 5。
四、平面向量的模长求法在实际问题中的应用平面向量的模长求法在解决各种实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平面向量的模长可以用来计算物体在平面上的位移。
通过求解起点和终点的平面向量的模长，我们可以得到物体在平面上的距离。
2. 平面向量的模长可以用来计算物体的速度。
在物理学中，速度是位移随时间的导数，通过求解平面向量的模长和时间的比值，我们可以得到物体的速度。
3. 平面向量的模长可以用来计算力的大小。
平面向量模计算公式
平面向量模计算公式
在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量。
平面向量的模是指其大小，通常用|AB|表示，其中A和B分别是向量的起点和终点。
计算平面向量的模可以使用以下公式：
若平面向量为A=(a, b)，则其模|A|的计算公式为：
|A| = √(a² + b²)。
这个公式实际上就是利用了勾股定理，将向量的两个分量看作直角三角形的两条直角边，利用勾股定理计算向量的模。
举个例子来说，如果有一个平面向量A=(3, 4)，那么它的模|A|的计算公式为：
|A| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
因此，这个向量的模为5。
平面向量的模在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在力的合成、速度的计算等方面都会用到。
因此，掌握平面向量模的计算公式是非常重要的。
希望这个简单的公式能够帮助大家更好地理解和运用平面向量。
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【知识要点】
一、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.一般用a r 或AB u u u r
表示.
二、模的定义：向量AB u u u r
的长度叫向量的模，记作AB u u u r .
三、求向量的模一般有两种方法
方法一：利用2||a a =r r 求解；方法二：利用22a x y =+r
求解.
【方法讲评】
方法一 利用2
||a a =r r 求解
使用背景 一般没有坐标背景.
解题步骤
直接代入公式2
||a a =r r 化简即可.
【例1】设向量a r ，b r 满足||1,||3,a a b =-=r r r ()0a a b ⋅-=r r r ，求|2|a b +r r
【点评】公式2222
2||()22||||cos a b a b a a b b a a b b α+=+=++=++r r r r r r r r r r r r g
公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式.
【反馈检测1】已知向量,a b r r 满足||2,||1,|| 2.a b a b ==-=r r r r
（1）求a b ⋅r r 的值；（2）求||a b +r r
的值.
方法二 利用22a x y =+r
求解
使用背景 一般有坐标背景.
解题步骤
先求a r 的坐标，再代入公式22a x y =+r
即可.
【例2】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22
a b θθθ==-<<r ．
（Ⅰ）若a b ⊥r r ，求θ；（Ⅱ）求a b +r
r 的最大值．
【点评】求a b +r
r 的最大值，一般先建立三角函数模型，再利用三角函数的图像和性质分析解答.
【反馈检测2】已知直角梯形ABCD ,AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点， 则3PA PB +u u u r u u u r
的最小值为____________.
【反馈检测3】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足|1|AP =u u u u r
，
PM MC =u u u u r u u u u r ，则2
||BM u u u u r 的最大值是（ ）
A.4
43 B.449
C.43637+
D.433237+
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第43讲:
平面向量模的求法参考答案
【反馈检测1答案】（1）4；（2）6.学科#网 【反馈检测1详细解析】（1）由｜-a b ｜=2得
222||24124-=-⋅+=+-⋅=a b a a b b a b ，所以1
2
⋅=
a b . （2）2221
||242162
+=++=+⨯+=a b a ab b ，所以||6+=a b . 【反馈检测2答案】5 【反馈检测2详细解析】
【反馈检测3答案】B
【反馈检测3详细解析】如图可得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r
.以D 为原
点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知
1AP =u u u r ，得()22
21x y -+=，又13133,,,,,22x y x y PM MC M BM ⎛⎛-+++=∴∴= ⎝⎭⎝⎭
u u u u r u u u u r u u u u r。