对数概念与运算
高一数学知识点总结
高一数学知识点总结高一数学知识点总结总结在一个时期、一个年度、一个阶段对学习和工作生活等情况加以回顾和分析的一种书面材料，它可使零星的、肤浅的、表面的感性认知上升到全面的、系统的、本质的理性认识上来，不如立即行动起来写一份总结吧。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？以下是小编精心整理的高一数学知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
高一数学知识点总结1集合的运算运算类型交集并集补集定义域 R定义域 R值域＞0值域＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）说明：○1 注意底数的限制，且；○2 ；○3 注意对数的书写格式．两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数；○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．指数式与对数式的互化幂值真数＝ N ＝ b底数指数对数（二）对数的运算性质如果，且，，，那么：○1 ＋；○2 －；○3 ．注意：换底公式：（，且；，且；）．利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2）．（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒等式（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：，且．2、对数函数的性质：a>10<a<1< p="">定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．第四章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
对数概念与运算
例1将下列对数式写成指数式：（1）4216=； （2）31327-=； （3）520a =； （4）10.452b⎛⎫= ⎪⎝⎭．例2：．将下列对数式写成指数式： （1）5log 1253=； （2）13log 32=-； （3）lg 0.012=-； （4）ln10 2.303=．例3：．求下列各式的值：课题： 对数概念和运算自学评价1对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数（logarithm ），记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数(base of logarithm)，N 叫做真数(proper number)。
2. 对数的性质：（1） ，（2）这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。
3. 两种特殊的对数是①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 2.718 28…… ， log e N 简记为ln N ．4.对数恒等式（1）log b a a b =（2）log a NaN =5. 对数的运算性质如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log a a a MM N N= （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 6．对数换底公式log log log m a m NN a=7．① log log 1a b b a ⋅=；② log log m na a nb b m=；③ log log log b a b a x x = 精典范例⑴2log 64； ⑵21log 16； (3)lg10000；（4）31log 273； （5）(23)log (23)+-针对练习1.将53243=化为对数式 2.将lg 1a =化为指数式3.求值：（1）3log 81 （2）0.45log 1例4：计算（1）83log 9log 32⨯（2）427125log 9log 25log 16⋅⋅（3）4483912(log 3log 3)(log 2log 2)log 32++-例5：1）已知3log 12a =，试用a 表示3log 24 （2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3课堂练习1.利用换底公式计算：（1）25log 5log 4⋅（2）235111log log log 2589⨯⨯2.求证：341log 4log 3=3．2lg 4lg5lg 20(lg5)++4：求值 ①9log 27，② 345log 625．课题：对数函数图像和性质自学评价1． 对数函数的定义 定义域是 2. 对数函数的性质为图 象1a >01a <<性 质（1）定义域： （2）值域：（3）过点 ( , )（4）在（0，+∞）上是 函数 （4）在(0,)+∞上是 函数精典范例例1：求下列函数定义域（1）)4(log )(2x x f a -= )1,0(≠>a a （2）)4(log )(2x x f x -=（3）xxx f lg 3)(-=例2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小： （1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1； （3）7log 5，6log 7；(1,0) 1x = 1x =log a y x =log a y x=1x =例3若4log 15a <(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围 （2）已知(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围；例4：已知函数x x f a log )(= (0>a 且1≠a ) （1）若21=a ，求)(x f 在]2,1[上值域 （2）若)(x f 在]2,1[上的最大值比最小值大21，求实数a 的值。
2-2-1-1 对数与对数运算(第1课时)对数的概念、指对互化 课件(人教A版必修1)
(2)中先将对数式化为指数式，然后代入求值．
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第一章
1.2
习题课
新课标A版 ·数学 ·必修1
【解析】
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第一章
1.2
习题课
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探究3
(1)对数有很强的范围要求，底数有范围限制，真数
也有范围限制，要注意所求值能否使真数为正． (2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个 就可以利用对数式和指数式的互化求出另外一个．
1.2
习题课
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1．b＝logaN中为什么规定N>0?
答：b＝logaN是由ab＝N(a>0且a≠1)变形而来的，由于正数 的任意次幂都是正数，即ab＝N>0，所以要规定N>0.
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第一章
1.2
习题课
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2．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量有何异同？
7．求下列各式中x的值． 1－2x (1)若log3( 9 )＝1，则求x的值； (2)若log2 013(x2－1)＝0，则求x的值．
答案
(1)－13
(2)± 2
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第一章
1.2
习题课
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课时作业（二十四）
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第一章
1.2
习题课
logaN＝x⇔ax＝N.可以求对数式的值． (2)对2n,3n,4n,5n等，当n较小时应张口就能说出结果！
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第一章
1.2
习题课
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思考题2
求下列各式的值． (2)log9(243×81)．
(1)log483；
数和数的概念
数和数的概念数和数的概念是数学的基础概念，也是人类智慧的结晶之一。
数是描述事物数量的概念，是抽象的、无形的，并不具体指代某个具体事物。
数是人们对事物的数量和变化状态的认知和表示，是对客观世界数量特征的抽象和反映。
数的概念是人类认识与实际生活中具体数量实体的抽象率化，是了解世界、认识规律、描述现象和操作计算的必要工具。
数的概念有以下几个方面的内涵：1. 数的数量概念：数是用来表示事物数量多少的概念。
人们通过数来描述不同物体、不同事件或不同性质的多少关系。
例如，两个苹果、三个篮球等。
2. 数的顺序概念：数在数量上有大小的区别，能够表示多少的概念。
人们在实际生活当中常常需要比较物体的多少，进而确定大小、顺序和增减。
例如，比较三个苹果和五个苹果的大小。
3. 数的运算概念：数是可以相互比较、相互连接、相互运算的概念。
人们通过数的运算，可以对数量进行加、减、乘、除等操作。
例如，两个苹果加上三个苹果等于五个苹果。
4. 数的位值概念：数是由位数字组成的，每一位数字都有特定的位值，表示不同的数量单位。
例如，十位、百位、千位等。
5. 数的进制概念：数是按照一定的进制方式进行表示的。
人们通常使用的是十进制，即以10为基数的计数方式。
例如，数11表示为十进制的11，表示了1个十和1个个。
数的概念的形成不仅是人们对具体事物数量特征的抽象总结，还与人类语言的发展和技术的进步密不可分。
在人类早期的社会形态中，由于生产力和认识水平有限，人们在数量表达方面受到一定的限制。
随着社会的发展和人类认识的深化，人们对数量的认识逐渐深入，数量的表达方式也趋向多样和精确。
数的概念在人类的日常生活和各个领域中起着重要的作用。
不仅在自然科学中，社会科学、工程技术、经济管理等领域，无一不离开数量的概念和数的运算。
数的概念不仅影响我们的认识和思维方式，也在实际运用中起着重要的指导和决策作用。
在数学中，数是最基本的概念和符号系统，是数学研究的基础和起点。
高中数学 第四章 对数运算和对数函数 1 对数的概念课件 必修第一册高一第一册数学课件
2
D.4 =x
(2)D
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激趣诱思
知识(zhī shi)点
拨
二、对数的基本性质
1.负数和零没有(méi yǒu)对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有
1
loga1=0,logaa=1,loga =-1.
a
3.对数恒等式aa =
N
.
名师点析1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
4
(3)log3(lg x)=1.
2
解:(1)由 log8x=- ,得 x=8
3
3
3
4
2
3
-
2
=(23)-3 =2-2,故
3
4
1
x= .
4
(2)由 logx27=4,得 =27,即 =33,
4
3 3
故 x=(3 ) =34=81.
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
3
-1 1
(3)e = ;
e
(4)10-3=0.001.
分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.
解:(1)
1
1 -3
3
(3)ln =-1.
e
=27.
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
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当堂检测
探究(tànjiū)一
探究(tànjiū)二
§1
对数(duìshù)的概念
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高中数学《对数的概念与运算性质》教学设计
《对数与对数运算》（第一课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节)一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.二、教学目标设置1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念；2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值；3.感受数学符号的抽象美、简洁美.本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。
根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念.通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.三、学生学情分析1.认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习.从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.2.问题诊断对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括.为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.本节的第二个难点是：“0和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于0的限制，因此应该在学习对数伊始，就打好“0和负数没有对数”的认识基础.为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例）的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.四、教学策略分析本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程：从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于对数概念的认知.突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例.五、教学过程设计1.对数概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳14同位素鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购.生物死亡后，它机体内原有的碳14含量，每经过大约6000年，会衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代，其中半衰次数x与碳14的含量P间的关系为：1()2x P.但是，当生物组织内的碳14含量低于千分之一时（这里我们按11024来计算），一般的放射性探测器就测不到碳14了.众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？问题1：（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为原来的多少？3次呢？（2）经过几次半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳14了呢？（3）用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？【预设的答案】12，18；10；不能【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.【数学情境】解方程：（1）2x=2；（2）2x=3；（3）2x=4.【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中，“求指数”这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题.问题2：以上几个问题的共同特征是什么？【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征：已知底数和幂，求指数x .1.2探究典例，形成概念活动：解方程：（1）2x =2； （2）2x =3； （3）2x =4.【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示.【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫.问题3：以引例中的2x =3为例，分析x 的值存在吗？如果存在，符合条件的x 的值有几个？能估计出x 的大致范围吗？【活动预设】（1）根据函数图象，思考等式2x =3中指数x 的存在性，唯一性和大致范围；（2）类比：在学习求方程x 3=2的根时，为了表示底数x ，引入了数学符号：√，表示3次方为2的数；这里，我们引入对数符号来表示指数x ,将x 记作log 23.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x 的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题4：结合方程2x =3来思考，x =log 23中log 23表示什么？【活动预设】（1）分析log 23表示的含义；（2）感受：以2x =4为例，分析指数x 可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么. 教师讲授：若a x =N （a >0，a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：N x a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.问题5：指数式与对数式是等价的，但a ，x ，N 在两个式子中的名称一样吗？【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。
高中数学必修1公开课教案221对数与对数运算第1课时
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的根底,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比拟,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法那么的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.〔1〕取4次,还有多长？〔2〕取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.(21)4＝？(21)x ＝0.125⇒x=? 2.(1+8%)x =2⇒x=?都是底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕. 推进新课 新知探究 提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要到达18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少？④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即假设1318=1.01x ,那么x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330.由此得到对数和指数幂之间的关系:a Nb 指数式a b =N 底数 幂 指数 对数式log a N=b对数的底数真数对数提出问题①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为假设a ＜0,那么N 为某些值时,b 不存在,如log 〔－2〕21; 假设a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;假设a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a ＞0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a ＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b ＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用例如思路1例1将以下指数式写成对数式,对数式写成指数式： 〔1〕54=625;〔2〕2-6=641;〔3〕(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对〔1〕根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对〔2〕根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数. 对〔3〕根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂.解：〔1〕log 5625=4;〔2〕log 2641=-6;〔3〕log 315.73=m; 〔4〕(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照. 解答：假设是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.假设是对数式化为指数式,那么要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求以下各式中x 的值: 〔1〕log 64x=32-;〔2〕log x 8=6; 〔3〕lg100=x;〔4〕-lne 2=x. 活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解：〔1〕因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.〔2〕因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. 〔3〕因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.〔4〕因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评：此题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求以下各式中的x ： ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5〔log 10x 〕=1. 解：①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5〔log 10x 〕=1,得log 10x=5,即x=105.点评：在解决对数式的求值问题时,假设不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是〔 〕 〔1〕假设log 5x=3,那么x=15 〔2〕假设log 25x=21,那么x=5 〔3〕假设log x 5=0,那么x=5 〔4〕假设log 5x=－3,那么x=1251 A.〔2〕〔3〕 B.〔1〕〔3〕 C.〔2〕〔4〕 D.〔3〕〔4〕 活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于〔1〕因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于〔2〕因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于〔3〕因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于〔4〕因为log 5x=－3,所以x=5-3=1251,正确. 总之〔2〕〔4〕正确. 答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a ＞0,a≠1,以下结论正确的选项是〔 〕 〔1〕假设M=N,那么log a M=log a N 〔2〕假设log a M=log a N,那么M=N 〔3〕假设log a M 2=log a N 2,那么M=N〔4〕假设M=N,那么log a M 2=log a N 2 A.〔1〕〔3〕 B.〔2〕〔4〕 C.〔2〕 D.〔1〕〔2〕〔4〕 活动：学生思考,讨论,交流,答复,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对〔1〕假设M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对〔2〕根据对数的定义,假设log a M=log a N,那么M=N,正确; 对〔3〕假设log a M 2=log a N 2,那么M=±N,因此错误;对〔4〕假设M=N=0时,那么log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,〔2〕正确. 答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算：(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32(+(2-3);(4)log 345625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生答复,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法. 解法一：(1)设x=log 927,那么9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,那么(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1;(4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把以下各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;〔2〕30=1;〔3〕4x ＝2;〔4〕2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解：(1)2＝log 416;(2)0＝log 31;(3)ｘ＝log 4２;(4)ｘ＝log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把以下各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解：(1)5x ＝27;(2)8x ＝７;(3)4x ＝3;(4)7x ＝31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求以下各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2〔log 5x 〕=1;(4)log 3〔lgx 〕=0.解：(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2〔log 5x 〕=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3〔lgx 〕=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法那么的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读局部的内容,搜集有关对数开展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下根底. 课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将以下指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. 〔1〕521-=51;〔2〕log 24=x;〔3〕3x =271; 〔4〕(41)x=64;〔5〕lg0.000 1=x;〔6〕lne 5=x. 解：〔1〕521-=51化为对数式是log 551=21-; 〔2〕x=log24化为指数式是(2)x =4,即22x=22,2x=2,x=4; 〔3〕3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; 〔4〕(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; 〔5〕lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;〔6〕lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5. 2.计算51log 53log 333+的值.解：设x=log 351,那么3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a alog log log ••(a>0,b>0,c>0,N>0).解：Nc b c b a alog log log ••=Nc c b blog log •=Nc clog =N. 设计感想(设计者：路致芳)。
对数的概念及运算法则
对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。
在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。
首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。
对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。
3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。
对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。
2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。
3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。
4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。
5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。