一元二次方程的实根分布问题
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一元二次方程的实根分布问题
问题1. 试讨论方程02
=++c bx x 的根的情况。
(1) 根的个数:b 、c 满足什么条件时,方程有两个不等的实根?相等实根?无实根?
(2) 根的大小:b 、c 满足什么条件时,方程有两个正根?两个负根?一正根、一负根?
一根为0?
(3) 根的范围:b 、c 满足什么条件时,方程两根都大于1?都小于1?一根小于1,一根
大于1?
说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究,主要分为四个方面(A )有没有实数根;(B )有实数根时,两根相等还是不等;(C )根的正负;(D )根的分布范围。
利用根的判别式,可以解决(A ),(B ),结合运用韦达定理,可以解决(C )。而要解决(D ),需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。
思路1 (方程思想)设c bx x x f ++=2)(
(1) 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是: ⎪⎩
⎪⎨⎧->+-<≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-->+≥∆12040)1)(1(2
022121c b b c b x x x x (2) 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是:
⎪⎩
⎪⎨⎧->+->≥-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥∆12040)1)(1(2
022121c b b c b x x x x (3) 方程0)(=x f 有一根大于1,一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+ 思路2 (函数思想)设c bx x x f ++=2 )(,结合图形,则 (1) 方程0)(=x f 有两根都大于1的条件是: ⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--<⇒⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧>++=≥-=∆>-.104201)1(0 41222c b c b b c b f c b b (2) 方程0)(=x f 有两根都小于1的条件是: ⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-->⇒⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧>++=≥-=∆<-.104201)1(0 41222c b c b b c b f c b b (3) 方程0)(=x f 有两根一个大于1,小于1的条件是: .101)1(-<+⇒<++=c b c b f 令n c n b 2,1=+=,导出下题。 问题2 关于x 的方程02)1(2 =+++n x n x ,分别在下列条件下,求实数n 的取值范围。 (1)有一个根小于—1,一个根大于1;(2)两根均在)1,1(-内。 解:(1)设n x n x x f 2)1()(2+++= 为使0)(=x f 有一个根小于—1,一个根大于1,则有 320 2)1(102)1(10)1(0)1(-<⇒⎩⎨⎧<+++<++-⇒⎩⎨⎧<<-n n n n n f f 即为所求。 (2)0)(=x f 两根均在)1,1(-内的充要条件是2230121100)1(0)1(-≤<⇒⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧<+-<-≥∆>>-n n f f 即为所求。 思考:(1)中为什么不考虑0>∆?(2)中为什么要考虑四个条件,缺一行吗? 问题3 若关于x 的方程0222 =++-a ax x 有两个不同的实数根,且只有一根在[1,2]内,求a 的取值范围。 解:令a ax x x f ++-=22)(2, (1) 若,84,0)2()1(<<<⋅a f f 此时方程在(1,2)上有一根。 (2) 若0)1(=f ,此时a=8, 方程的两根为,5,121==x x 适合题意。 (3) 若0)2(=f ,此时a=4,方程的两根为,221==x x 不适合题意。