基于ANSYS的圣维南原理数值验证
有限元网格划分中的圣维南原理及其应用
机械设计与制造
2012 年 8 月
Machinery Design ＆ Manufacture
63
文章编号：1001-3997（2012）08-0063-03
有限元网格划分中的圣维南原理及其应用 *
宋少云 尹 芳
（武汉工业学院 机械工程学院，武汉 430023）
Sain Vaint Principle of Meshing in Finite Elememt Method
中图分类号：TH16 文献标识码：A
1 引言
随着自主创新时代的到来，越来越多的中小型机械设计制
造企业开始使用计算机软件来辅助其进行分析，而其中尤以对结 构进行力学分析的有限元软件用得最为广泛。在使用有限元软件
＊来稿日期：2011-10-12 ＊基金项目：湖北省教育厅资助项目（Q20101701）
11.4
设计变量，根据装配偏差分析模型和质量-成本函数构造多目标
优化模型，结合 NSGA-II 算法提出一种解决公差分配的有效方
法。最后应用车身侧围简易框架案例阐述了公差分配过程，取得
了 Pareto 解集。优化结果表明该方法对公差分配策略优化效果良
好，为工程人员提供了灵活的公差设计选择方案。
参考文献
［1］ Speckhart F H.Calculation of Tolerance Based on a Minimum Cost Approach［J］.Journal of Engineering for Industry，1992，94（2）：447-453.
在远离关注点的地方，无论网格是稀疏还是密集，对于所关 注的地方，影响是不大的。若要得到关注点的精确值，局部加密该
以一个平面应力的例子来说明网格划分中的圣维南原理。 处的网格是较好的方法。
ANSYS关于圣维南原理的验证
ANSYS 关于圣维南原理的验证
下图引自->弹性力学--第四版--上册--徐芝纶，关于圣维南原理的说明与举例（第24页），采用ANSYS 对其进行验证以说明圣维南原理的合理及ANSYS 处理问题的强力。
图1 圣维南原理及实例
依据图1（e ），采用plane182单元，材料为钢材，属性：弹性模量E =2.06E5MPa ，泊松比μ=0.29，密度ρ=7.85e-9t/mm 3，板材长L =100mm ，宽W =10mm ，网格尺寸为1mm ，拉力F =100N ，模型示意图见图2。
图2 模型示意简图
F /A
F F /2
L
W 模型1 模型2 模型3
图3为对应模型1的水平应力图，图4为对应模型2的水平应力图，图5为对应模型3的水平应力图，图中大致选取了相关节点显示应力值，由图可知，圣维南原理的正确性、合理性（见图1描述）以及ANSYS处理力学问题的强力。
图3 水平应力（基于模型1）
图4 水平应力（基于模型2）
图5 水平应力（基于模型3）。
圣维南原理
（ 4）
x y x 0 x y x y y 0 x y
(a)
由第一式
( yx ) x x y
引入函数A, 使 (b)
A A x , yx y x
由第二式
y
y
( xy ) x
i
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.圣维南原理
(Saint-Venant Principle)
原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2
P A
0
x
xy
yx
A
Y
代入应力边界条件，有 l x m yx q cos 0 X
l x y m y 0 q cos(900 ) Y
X
q
n
证毕
应力函数
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0
小结：
应力解法 应力函数解法
x
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 (
x
2 Xx y 2
y ) 0
2 y Yy x 2 2 xy xy
2 2 0
应力边界条件
几点讨论： （1） 应力解答σx 、 σy 、 τxy在体积力为 常量时与材料性质无关。
弹性力学论文：关于圣维南原理的数值计算
关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法摘要本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。
关键词弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法0引言圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。
作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。
本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。
1问题的描述考虑长方形平板的拉伸问题。
如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。
2方程的建立2.1解法的选择应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。
在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。
但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。
但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。
若将应力函数记为，那么双调和方程可以写成。
2.2有限差分法在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。
利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。
圣维南原理的有限元模拟
圣维南原理的有限元模拟圣维南原理是电子学中的一项基本原理，用于描述电导体中电流分布情况的方法，常用于有限元模拟中来解决电磁场问题。
有限元模拟是一种基于数值方法的工程分析技术，通过将连续的物理问题离散化为有限数量的元素，再利用数值计算方法对这些元素进行求解，以模拟实际问题的行为和物理特性。
以下是关于圣维南原理在有限元模拟中的详细介绍。
圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）主要用于描述电导体中的电流分布情况。
它是基于电流连续性方程和欧姆定律的基本原理，即电流在导体内部的分布是均匀且沿导体表面方向渐变。
根据这个原理，在有限元模拟中可以通过离散化导体为一系列有限元素来近似描述电流的分布情况。
在有限元模拟中，首先需要将导体区域划分为小块，称为有限元。
每个有限元都有一组自由度，用于描述电场强度或电势的分布情况。
在圣维南原理的约束下，任意两个相邻的有限元之间，在其界面上，电场强度或电势需要满足一定的连续性条件。
这些连续性条件可以通过将不同有限元之间的界面进行连接，构建整个导体区域的有限元模型。
有限元模型构建完成后，利用数值方法求解模型中的电场强度或电势分布。
通常采用有限元法的变分形式，通过求解最小化电场强度或电势的能量泛函来得到电场方程的离散形式。
然后，通过数值求解方法（如有限差分法等）对离散的电场方程进行求解，得到电场强度或电势分布的近似解。
由于圣维南原理的应用，有限元模拟能够较准确地描述导体中电流的分布情况。
采用有限元模拟方法，可以更好地理解和分析各种电磁场问题，如电磁传感器中的电流分布、电源线中的电压降等。
有限元模拟结果可以帮助工程师优化设计和制造过程，提高电子设备的性能和可靠性。
总之，圣维南原理作为电导体中电流分布的基本原理，在有限元模拟中扮演着关键的角色。
通过有限元模拟，可以准确地描述电流在导体中的分布情况，帮助工程师解决电磁场问题，从而优化设计和制造过程，提高电子设备的性能和可靠性。
实验二 Ansys 仿真实验
实验二基于ANSYS平台的电磁场数值仿真一、实验目的1．在仿真过程中学会使用ANSYS软件。
2．学会边值问题的建模方法。
3．学会用仿真软件检验对电磁场分布的猜测。
二、实验类型本实验为验证型教学实验。
三、实验仪器配备有ANSYS软件平台的台式计算机。
四、实验原理本实验是在ANSYS平台上开发的。
ANSYS是国际上著名的有限元软件包，可对结构力学、流体力学、传热学和电磁学等领域的问题进行求解。
其特点是图形界面友好，易学，前后处理功能强大。
在ANSYS平台上开发电磁场数值仿真实验，只需将问题的求解过程描述清楚，按照给定步骤上机操作，即可得到预期结果。
五、实验内容图1 仿真计算模型（图中a、D可自定）仿真实验包括静电场实验和恒定磁场实验，可任选一个。
对于静电场实验，图1中两导体电位分别为100V和-100V（可自定）；对于恒定磁场实验，图1中两导体电流密度分别为10000A/m2和-10000A/m2。
根据几何结构和源分布的对称性，仿真实验可选用1/4或1/2平面进行建模。
实验分为两步：第一步，按照给定步骤和给定参数上机操作；第二步，尝试改变某些参数，观察仿真结果的变化。
六、实验步骤1.开始→程序→ansys5.6→license status→server（等待）→quit（不能按其他选择）2.开始→程序→ansys5.6→interactive（出现界面）→run（出现界面）→3.ANSYS Main Menu（左侧主菜单）→preferences→electric（点击白框打勾）→ok（预设问题归属）→4.ANSYS Main Menu→preprocessor→material props→-constant-isotropic→1→ok→perx 1→ok（给定材料相对介电常数）→5.ANSYS Main Menu→preprocessor→element type →add/edit/delete→add→electrostatic →2D quard 121→ok（设定内部单元类型）→6.(ANSYS Main Menu→preprocessor→element type →)add/edit/delete→add→infiniteboundary→2D infquard 110→ok→option→AZ改为volt, 4noded quard改为8noded→（设定外部无限单元类型）close→7.(ANSYS Main Menu→preprocessor→modeling→create→-Area- circle→partialannulus→wp x 1, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 0.2, theta-2 180, apply→ wp x -1, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 0.2, theta-2 180, apply→wp x 0, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 5, theta-2 180, apply→wp x 0, wp y 0, rd-1 0, theta-1 0, rd-2 10, theta-2 180,ok（创建几何模型）→8.(ANSYS Main Menu→preprocessor→modeling→operate→-booleans- overlap→area→pick all（模型各部分之间集合运算）→9.(ANSYS Main Menu→preprocessor→modeling→delete→area and below→光标选中两个小圆，ok（删除导体部分）→10.(ANSYS Main Menu→preprocessor→-attributes- define→pick areas→光标选中有两个小圆缺口的内半圆，apply→apply→光标选中外半圆，ok→1 plane121改为 2 infin110→ok（定义区域属性）→11.(ANSYS Main Menu→preprocessor)→mesh tool→lines set→光标选中外层两条弧线，apply→ndiv 50 →apply→光标选中外层扇形左右两条底边，apply →ndiv 1 →apply→光标选两小圆弧，apply → ndiv 20 →apply→光标选中两小圆弧之间的两条小线段，apply→ndiv 20→apply→光标选中两小圆弧与大扇形之间两条长线段，ok→ndiv 20→ok→12.mesh tool菜单中选中quad 和 mapped，点击mesh →光标选中外部大扇形，ok（外部无限单元划网格）→13.mesh tool菜单中选中tri 和 free，点击mesh →光标选中有两个小圆缺口的内半圆，ok（内部有限单元划网格）→14.(ANSYS Main Menu)→solution→-loads- apply→-elecric- boundary→-voltage- online→光标选中右小半圆，apply, 100，apply→光标选中左小半圆，ok, -100 ，ok（导体表面加电位）→15.(ANSYS Main Menu)→solution→-loads- apply→-elecric- flag→-infinite surf- online→光标选中最外边的半圆，ok（无限边界加标志）→16.(ANSYS Main Menu)→solution→-solve- current ls→ok（求解，等待）→close（关闭黄框）→关闭status command文件（白框）17.(ANSYS Main Menu)→general postproc→plot results→-contour plot- nodal solu→dof solution elec poten volt ok（显示电位9色云图）→18.emag 3d utility menu→plot ctrls→device options→shading win32 点击改为contours win32c ， vocter mode off 点击改为on, ok→19.emag 3d utility menu→plot ctrls→style→contours→uniform contours→ncont100 ，ok（显示等电位线分布）→20.(ANSYS Main Menu)→general postproc→plot results→-vector plot-predefined→flux and gradient→选择D或EF（箭头显示电位移矢量或电场强度）→21.emag 3d utility menu→plot ctrls→pan, zoom, rotate→（可以移动、放大、缩小图形）22.ansys toolbar→选择quit-no save！ok→(退出ANSYS)七、实验注意事项为了避免仿真过程中重复建模，应对数值仿真的中间过程适当保存备份。
什么是圣维南原理及如何证明
什么是圣维南原理及如何证明弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。
==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。
使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。
但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。
这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。
有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。
值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。
对于主要边界，圣维南原理不再适用。
例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。
Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。
举例说明圣维南原理应用
举例说明圣维南原理应用基本上所有的结构工程师都会使用到圣维南原理。
大多数结构力学教科书都收录了基于该原理的各种公式，但至今尚未对其进行严格证明。
圣维南原理指出，只要载荷的合力正确，那么在远离载荷作用区的地方，载荷的精确分布就不重要。
在本篇文章中，我们将采用有限元分析对圣维南原理进行探究。
圣维南原理的历史1855 年，法国科学家圣维南（Barré de Saint-Venant）发表了一个著名原理，但与其说这是一个严谨的数学命题，不如说是一个观察发现：“如果作用在弹性体一小块表面上的力被作用于同一块表面上的静力等效力系替代，这种替换仅使局部表面产生显著的应力变化，而在比应力变化表面的线性尺寸更远的地方，其影响可忽略不计。
”B. Saint-Venant, Mém. savants étrangers, vol. 14, 1855.圣维南肖像。
图像来源于公有领域，通过 Wikimedia Commons 共享。
在应用力学领域，Boussinesq、Love、von Mises、Toupin 等科学家都对这一原理进行了精准的叙述，并给出了数学证明。
但是对于很多一般性问题，论证圣维南原理具有很大难度，所以对该课题的研究仍在继续（有些论据相当鲜明）。
简单案例：远距离应力分析让我们从一个简单的案例开始：对矩形薄板施加轴向拉力，与载荷作用边相隔一段距离处有一个圆孔。
假如我们要分析孔的应力集中，那么实际的载荷分布有多重要呢？我们对右侧边界施加了三种不同类型的载荷：100 MPa 的恒定轴向应力峰值振幅为 150 MPa 的对称抛物线应力分布等于上述两种载荷工况合力的中心点载荷如下方绘图所示，载荷施加方式不影响孔周围的应力分布。
当然，关键在于孔距离载荷足够远。
三种载荷工况对应的 Von Mises 应力分布。
该场景也可以使用箭头图来绘制主应力。
此图将应力场绘制为通量，从而清晰地展示了应力重新分布的变化。
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基于ＡNSYS的圣维南原理数值验证————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：基于ＡＮSY Ｓ的圣维南原理数值验证谢友增（航空工程学院 航空宇航制造工程 1２０1041)一 引言在轴向拉伸或压缩时,可以假设:变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
根据这一平面假设，可以推断,杆件所有纵向纤维的伸长或压缩是相等的,因此各纵向纤维的受力是一样的。
我们得到，横截面上各点应力σ相等,于是得到N A Fσ=（1．1）式中:N F —轴力 A —横截面积若以集中力作用于杆件端面上,则集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，公式（1.１)只能计算这个区域内横截面上的平均应力,不能描述作用点附近的真实情况。
这就引出，端截面上外力作用方式不同,将有多大影响的问题。
实际上,在外力作用区域内，外力分布方式有各种可能。
例如在图1a 和b 中，钢索和拉伸试样上的拉力作用方式就是不同的。
不过，如用与外力系静力等效的合力来代替原力系。
则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力系作用区域略远处（例如，距离约等于截面尺寸处)，上述代替的影响就非常微小，可以不计。
这就是圣维南原理。
根据这一原理,图1ａ和ｂ所示杆件虽上端外力的作用方式不同，但可用其合力代替，这就简化成相同的计算简图(图１ｃ）。
在距离端截面略远处都可以用公式(１．1）计算应力。
图1 外力作用方式不同的杆件圣维南原理提出至今已有一百多年的历史,虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。
本文将利用ＡNSYS 软件，通过对实例模型的数值分析计算,证明圣维南原理。
选择建立一个二维平面模型作为研究对象,然后对此模型进行数值证明。
分别对平面模型两端施加均布载荷,以及与此集中力静力等效的集中力载荷。
绘制应力图以及路径图,比较两种情况下其所受的平均应力分布情况,从而利用此结果证明圣维南原理。
运用ＡNSYS软件可以简单直观的证明圣维南原理，从而可以更加深刻的理解圣维南原理。
二 AＮＳＹＳ软件简介ANSYS公司是由美国著名力学专家、美国匹兹堡大学力学教授John Swanso ｎ博士于1９７0年创建并发展起来的,总部设在美国宾夕法尼亚州的匹兹堡，是目前世界CＡE行业中最大的公司。
AＮＳYS软件是集结构、热、流体、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元软件。
可广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。
该软件可在大多数计算机及操作系统中运行，从ＰC机到工作站直至巨型计算机,ANSYS文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容。
ANSＹS软件多物理场耦合的功能，允许在统一模型上进行各式各样的耦合计算,如：热—流体耦合,磁—电耦合,以及电—磁—流体—热耦合,确保了所有的ANSYS用户的多领域多变工程问题的求解。
ANＳYS基于Motｉf的菜单系统是用户能够通过对话框、下拉菜单和子菜单进行数据输入和功能选择，为用户使用AＮSYＳ提供“导航”。
AＮSYS软件提供了一个不断改进的功能清单, 具体包括:1.结构高度非线性仿真AＮSＹS采用了牛顿-拉普森迭代求解，并为了增强问题的收敛性,提供了自适应下降、线性搜索、自动载荷步、二分法及弧长法等一系列命令。
可以计算由大的位移、应变及有限转动引起的结构几何非线性问题、与时间有关的材料非线性问题以及接触引起的状态非线性问题。
2.热分析ANＳYS热分析基于能量守恒原理的热平衡方程，用有限元法计算各节点的温度,并导出其它热物理参数。
包括热传导、热对流及热辐射三种传导方式。
此外,还可以分析相变、有内热源、接触热阻等问题。
热分析用于计算一个系统或部件的温度分布,如热量获取或损失、热梯度、热流密度等。
3.电磁分析ANSYＳ可分析电磁场的多方面问题,如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运动效应、电路和能量损失等。
可用于有效地分析下面所列的各类设备:电力发电机、变压器、螺线管传动器、电动机、磁成像系统、图象显示设备传感器、磁悬浮装置、波导、开关等。
４.设计优化ANSYS提供了两种优化方法，它们可以处理大多数的优化问题。
零阶方法是一个很完美的处理方法,可以很有效的处理大多数的工程问题。
一阶方法基于目标函数对设计变量的敏感程度，因此更加适合于精确的优化分析。
优化中AＮＳYS采用一系列的分析-评估－修正的循环过程，这个过程重复进行直到所有设计满足要求为止。
5.计算流体动力学分析ANSYS程序中的FLOＴRAN CFD分析功能是一个用于分析二维及三维流体流动场的先进的工具,可解决如下的问题:•作用于气动翼型上的升力和阻力;•超音速喷管中的流场;•弯管中流体的复杂的三维流动；•计算发动机排气系统中气体压力及温度分布;•研究管路系统中热的层化及分离;•使用混合流研究来估计热冲击的可能性;•用自然对流分析估计电子封装芯片的热性能；•对含有多种流体的热交换器进行研究。
６.利用ANSYS参数设计语言（APDL）的扩展宏命令功能AＰDL有参数、数组参数、表达式和函数、分支和循环、重复和缩写、宏以及用户程序等功能。
AＮＳYＳ有限元典型分析大致分为3个步骤:①建立有限元模型;②加载和求解；③结果后处理和结果查看。
三利用AＮＳYS软件验证圣维南原理根据ANSＹS有限元典型分析的３个步骤进行圣维南原理的数值验证。
1 建立有限元模型〈1〉设置单元属性ＡNＳYS中,常用的单元属性包括单元类型、单元实常数、材料属性。
①在这里为了获得较好的计算精度，采用四节点四边形板单元(planｅ42）。
②单元实常数的确定依赖于单元类型的特性，实常数的目的是用于补充必要的几何信息和据算参数,这里无需定义。
③材料属性，定义材料弹性模量为2.7e11Pa，泊松比为0.３〈2〉建立实体模型平面可以表示二维实体，为简化计算，建立二维平面模型。
模型尺寸为长2０CＭ宽６CM。
〈3〉为实体模型分配单元属性根据有限元理论,最终的有限元计算利用的是有限元模型，实体模型是不能进行有限元计算的。
在对实体模型进行网格划分前，要为实体模型分配单元属性。
将前面定义的单元属性赋予实体模型。
〈４〉对实体模型进行网格划分ＡNSYS有两种方式对实体模型进行网格划分。
①自由网格划分该操作对实体模型无特殊要求、任何几何模型，即使是不规则的,也可以进行网格划分。
②映射网格划分映射网格划分要求被划分的对象如面或体必须形状规则。
在这里由于模型简单，采用自由网格划分的方式对实体模型进行网格划分。
建立的有限元模型如图2所示图2 建立的有限元模型通过实用菜单List可以查看在建立的有限元模型中生成的节点以及单元的数量和属性，图3为列表显示的节点和单元的相关信息，包括单元属性以及该单元包含哪些节点。
图３单元以及节点列表从列表中可以看出一共生成121６个单元和1300个节点。
2 加载和求解〈１〉施加载荷及约束有限元模型建立完毕后，要为模型施加一定的激励，并根据问题的要求设置一定的边界条件。
先在模型边界施加面力16７N,绘制模型施加面力的应力分布图和路径图,然后给模型施加与之等效的集中力载荷（主矢量相同,对于同一点的主矩也相同)10０0N,绘制模型施加面力的应力分布图和路径图,进行比较。
本次求解设置的集中力为载荷对称载荷，因此可以对模型中间线上的所有节点设置边界条件,设置节点所有的自由度为０。
施加完集中力载荷以及约束后的有限元模型如图４.图4施加载荷及约束后的有限元模型〈2〉求解定义分析类型为静态分析，单击求解命令，AＮＳYＳ就可以进行分析计算。
求解之前ＡNSYS会弹出状态文本框和求解确认对话框（列举本次分析的相关信息:问题维数、分析类型、载荷步和子步的设置等）如图5所示,确认无误后，便可进行求解。
图５状态文本框和求解确认对话框3 结果后处理和结果查看有限元模型建立并求解后,ANSＹS工作目录中会生成一个结果记录文件，要使用通用后处理器进行结果分析。
ANＳYS可以通过图形方式显示计算结果，可以绘制变形图、等值图、矢量图等。
〈1〉绘制应力等值图通过绘制节点的应力等值图，可以查看模型内部应力具体分布形式及其大小，图6为施加均布载荷节点解的应力等值图，图7为施加集中力载荷节点解的应力等值图。
图6施加均布载荷节点解的应力等值图图7施加集中力载荷的节点解应力等值图〈2〉绘制路径图为了验证圣维南原理,采取路径操纵的方式，通过绘制特定的路径,查看路径上的应力分布情况,从而验证圣维南原理。
①定义路径(９,3)到（9，-3),将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图8为施加集中力载荷模型,路径(９,3)到(9，-３)的路径等值图。
图８点（９,3)到（９，－3）应力分布路径图原图较小，可放大后进行查看,从图中可以看出,在距离端截面很近的地方,应力分布差别是非常大的，而且应力分布复杂,因此不能采用计算平均应力的方法来计算该区域的应力。
②定义路径(4,3）到(4,－3)，将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图９为施加集中力载荷模型,路径(４,3）到（4,-3）的路径等值图，图１０为路径曲线图。
图9点(4,3)到(4,-３)应力分布路径图图1０点（4，3）到（4,－３)应力分布路径图③定义路径（9，3）到（9,-3)，将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图11为施加均布载荷模型，路径(9,３)到（9,-３)的路径等值图。
图1１点(９，3)到(9,-3）应力分布路径图④定义路径(4,3）到（4，－３），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。
图1２为施加均布载荷模型，路径（4,3）到（4,-３)的路径等值图,图13为路径曲线图。
图1２点(4，３）到（４,－3)应力分布路径图图13点(4,３）到（4,-3）应力分布路径图比较图８和图１１可以看出在与均布载荷等效的集中力载荷作用下，近处的应力分布明显改变;从图9和图10可以看出，在作用与均布载荷等效的集中力载荷下，在距离端截面一定距离(距离约等于截面尺寸处）,应力分布相对均匀，最大应力与最小应力之差与最大应力之比约为６%;比较图9和图11以及图1０和图13可以看出施加均布载荷与施加集中力载荷在距端面一定距离处作用效果相似,同一路径上应力分布相差不大，从而利用公式(１．1）就可以计算该区域的平均应力,这样计算的结果影响较小可忽略不计。
这说明用与面力等效的集中力载荷代替分布载荷时，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
因此，从应力分布图可以验证圣维南原理。
4 结论通过ANＳYS数值验算可以表面：如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的集中力(主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以不计。