什么是圣维南原理及如何证明

弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。

其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。

还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。

不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。

因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。

有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。

==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。

使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。

但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。

这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。

为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。

圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。

有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。

不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。

值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。

对于主要边界，圣维南原理不再适用。

例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。

Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。

这个原理在实践中，为工程力学界所广泛采用。

人们认为，这个原理可以从弹性力学的一般规律推导出来，它应当具有已经建立的严格的弹性力学微分方程组的解的基本属性。

为此，许多学者做了大量工作，Southwell 、Supino 、Goodier 、Zanaboni 、Lacatelli 都曾研究过这个问题并给这一原理做了进一步的阐述和定性的证明。

2．对原理的证明2.1．Von Mises-Sternberg 定理1945年，Von Mises 用一些例子说明有必要精确地叙述Saint-Venant 原理。

例如，弹性半空间上给定一个垂直边界的集中力，虽然该力不是平衡力系，但在远离载荷的地方，位移和应力都是可以忽略的。

另外，在无体力的弹性体上加一个平衡力系，由于问题的齐次性，平衡力系可任意倍，在任意给定点上，可得到任意大小的应力和位移。

这两个例子表明，不满足Saint-Venant 原理条件的，可以满足它的结论，反之满足条件的，又可以不满足它的结论。

于是，Von Mises 提出了关于Saint-Venant 原理的另一种说法，并在1954年，由E ·Sternberg 所证明。

Von Mises-Sternberg 定理，设弹性体为B ，边界为B ∂，某点B z ∂∈，)0()(0ρρρ≤<∑z 是半径为ρ、中心在z 的球，∑∂=ρρ)(z B F I ，设在ρF 上有集中荷载))((ρρξξF L ∈，分布荷载))((ρρF x x S ∈，且1)(M L ≤ξρ，2)(M x S ≤ρ，（1M ，2M 为与ρ无关的常数）。

对B y ∈，有以下几种情况：位移u )()(δρρO y =，应变E )()(δρρO y =，应力T )()(δρρO y =，)0(→ρ，其中0=δ；如果外载合力为零，则1=δ；如果外载是平行的平衡力系（不与B ∂相切），则2=δ；如果外载是无定向的平衡力系（即所有力都旋转任意相同角度仍平衡的力系），则2=δ。

此外，如果没有集中荷载，仅有分布荷载，上述四种情形都提高两个量级。

这个定理表明，当0→ρ时，具有特殊条件的外力系，所产生的应力和位移，要比一般的力系有更高的无穷小量级。

定理的证明用到了弹性格林函数，即所谓Somigliana 公式和Lauricella 公式。

Boleg 将上述定理推广到一般的椭圆型方程，另有一些推广见Seumann ，Sternberg 和Al-Kmozani ，Keller 。

2.2．R ·A ·Toupin-Berdichevskii 定理在精确叙述Saint-Venant 原理方面，Von Mises-Sternberg 定理是经典的，但也受到了一些批评，它注意到了各种不同荷载之间的差别，但却忽略了这个原理的另一个方面：“距离效应”。

R ·A ·Toupin 和Berdichevskii 先后于1965年和1974年在柱体和一般情况下，得到了应变能对距离按指数衰减。

R ·A ·Toupin-Berdichevskii 定理，设弹性体为V ，应变能密度为U ，03>X 时无外载，记{}ν∈≥=),,(,),,()(3213321x x x x x x x x x V{}ν∈≤=Ω),,(,),,()(3213321x x x x x x x x x设)(x Ω对任意x 有界，记 ⎰⎰⎰=)(321)(x V dx dx Udx x E 证明：设)(x Ω上加有表面平衡力系i p ，在)(x V 上的应变能密度为p U ，令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰Ω)()(32131/inf x x V p p p dx dx dx U dx dx U i ν 这里的下确界对任意的平衡力系i p 来取，于是ν仅依赖于)(x V 和弹性系数，如果弹性体给定，ν为x 的函数。

有：⎰⎰Ω≤)(21)()(x p dx dx U x E x ν又： ⎰⎰Ω-=)(21x p dx dx U dx dE 两式相加得： 0)()(≤+x E x dxdE ν 积分得： {}⎰-≤x dt t E x E 0)(exp )0()(ν 不难看出，如果V 为柱体常数≡)(x ν。

在一般情况下利用Korn ，Poincare 等不等式，可以证明0)t (0>≥νν。

Robinson 曾证明了能量的渐进衰减性质。

上述定理已被推广到非线性弹性体，极微弹性体，粘弹性体。

我们可以利用Toupin 定理从能量的指数衰减得到应力和应变的指数衰减估计。

设v 为球),(r x S 的体积，),(r x E 是),(r x S 上的弹性势能，则：vr x E k x e ij ),()(≤，其中k 为与r 有关，而与x 无关的常数。

这个定理的证明用了Diaz 和Payne 所发展的弹性中值定理。

显然，Saint-Venant 原理是椭圆型方程的一种性质。

一般说来，这种性质双曲型方程是不具备的。

Boleg 举出了反例，Saint-Venant 原理对弹性动力学是不成立的。

2模型问题Toupin 的能量衰减的思想和Toupin 的理论逐渐为人们普遍接受，建立Toupin 型的定理形成了一股潮流。

不少作者认为，对Toupin 定理的推广就是对圣维南原理的推广，从而把Toupin 定理推广到连续介质物理学的广泛范围内。

Horgan 和 Knowles [14]提出了一个边值问题)(0,R on u ii = )(,03S on f u =)(0,3l S on u = )(0/L on n u =∂∂⎰=l S udA 0 式中R 是长度为l 的柱状域，其边界为L ，0S 为03=x 处的端面，l S 为l x =3处的端面，f 满足“自平衡”条件⎰=00S fdA ，这是一个类比平衡力系的方程，因而这是一个借类比来讨论圣维南原理的问题。

这个定解问题不仅可以方便地表达一个温度场边值问题，还可能有多种不同的物理解释，应用到多个不同的物理问题，堪称“模型问题”。

Horgan 和 Knowles 应用Knowles 方法，首先定义了能量泛函数⎰=zR i i dV u u z E ,,)( 其中z R 为l x z <≤3的柱体区域。

其后，导出了⎰--≤+zS dA u k z kE z E 2221)()(2)('λ 式中21λ是诺埃曼问题（Neumann problem ）)(0,02S on =+λφαα )(0/0C on n =∂∂φ的最小正本征值。

式中0C 是端面0S 的边界。

选择1λ=k ，变为0)(2)('≤+z kE z E证得能量衰减不等式)0()2exp()0()(l z kz E z E ≤≤-≤历史已经多次证明，人类对科学难题的探索，将大大推进人类对自然规律的认识，从而大大提高人类征服自然的能力。

圣维南原理的历史源远流长，它的证明是一个传统的老课题，又是一个充满生机的新课题，魅力无穷。

本文借最重要的工作和事件对圣维南原理的发展历史作了综述，对圣维南原理的历史作了回顾和评述。

我们深信，对圣维南原理理论的不断研究，必将加深我们对力学原理的认识，对科研及工程实际起到理论指导作用。

参考文献[1] 孔超群，圣维南原理研究工作综述，上海力学，1990年9月，第11卷第13期[2] 赵建中，圣维南原理及其证明：历史与评述[3] 王敏中，圣维南原理发展简介[4] 顾和平，力学领域里的“哥德巴赫猜想”——简介圣维南原理[5] Choi I, Horgan C O. Saint-Venant's Principle and End Effects in Anisotropic Elasticity[J]. Journal of Applied Mechanics, 1977, 44(3):455-455.[6] Saada, AdelS. Elasticity theory and applications[M]. Pergamon Press, 1974.[7] Cheng S. Elasticity Theory of Plates and a Refined Theory[J]. Journal of Applied Mechanics, 1979, 46(3):644-650.[8] Timoshenko S P. Theory of elastic stability /[M]// Theory of elastic stability. McGraw-Hill, 1961:220.[9] Timoshenko S P, Gere J M, Prager W. Theory of Elastic Stability, Second Edition[J]. Journal of Applied Mechanics, 1962, 29(1):220.[10] Horgan C O. Recent Developments Concerning Saint-Venant’s Principle: A Second Update[J]. Advances in Applied Mechanics, 1989, 23(10):179-269.。