圣维南原理
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明圣维南原理又称为中值定理，是微积分中一个重要的定理。
它是由法国数学家约瑟夫·路易·圣维南于1690年发现并提出的。
该原理主要用于描述实函数的连续性与导数之间的关系，并说明在一定条件下函数在其中一区间上的平均变化率与其中一点上的瞬时变化率之间存在关系。
1.第一中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导（注意不一定连续），则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上有一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
2.第二中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且f(a)≠f(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上其中一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
3.第三中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且g'(x)≠0且g(a)≠g(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
即两个函数在区间[a,b]上的斜率之比等于它们在开区间(a,b)内其中一点的导数之比。
对于圣维南原理的证明，需要运用微积分的基本概念和定理。
以下以第一中值定理为例进行证明。
证明：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导。
我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)。
1.首先验证函数g(x)在闭区间[a,b]上连续。
由于f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)也是连续函数。
2.再来验证函数g(x)在开区间(a,b)上可导。
圣维南原理的概念和应用
圣维南原理的概念和应用圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的基本原理之一，由法国工程师、数学家阿道夫·维南（Adhémar Jean ClaudeBarré de Saint-Venant）于1855年首次提出。
该原理也被称为“局部效应原理”或“远场近似原理”。
圣维南原理的概念是，当应力施加在一个足够大的物体上时，物体内部的应变和位移仅在施加应力的局部区域发生显著变化，而在远离施加应力的区域，应变和位移几乎不变。
换句话说，这个原理认为，对于一个较大的物体，只有局部区域受到应力的影响，而在其他地方，物体的响应可以用远场近似来描述。
1.结构分析：在结构力学中，可以利用圣维南原理来简化复杂的结构系统的分析。
例如，当一个结构受到局部载荷时，可以通过该原理近似地计算结构的响应，而无需考虑整个结构的细节。
这在工程实践中非常有用，因为它可以大大简化结构的分析过程。
2.弯曲问题：弯曲是圣维南原理最经常应用的领域之一、该原理可以用来求解梁的弯曲问题，即当在梁的一端施加弯曲力时，可以通过近似地构建一个等效的约束系统，来计算受力部分的位移和应变。
这种方法在结构工程中非常常用，因为它可以准确地预测梁的变形和应力分布。
3.施加边界条件：在求解弹性力学问题时，边界条件是一个非常重要的因素。
圣维南原理可以帮助我们确定适当的边界条件，以便正确地描述系统的行为。
例如，当在一个弹性平板上施加一个外力时，通过将维南近似应用于平板的等效系统中，我们可以确定一个合适的边界条件来求解平板的位移和应力分布。
4.地震工程：地震是土木工程中的一个重要考虑因素。
圣维南原理的应用可以帮助工程师们分析建筑物在地震加载下的响应。
通过近似建筑的响应为由局部载荷引起的问题，可以更好地理解建筑结构在地震中的行为，并优化其设计。
总结起来，圣维南原理是弹性力学中一项重要的概念，它通过近似处理复杂的弹性力学问题，使得工程师们能够更好地理解和预测结构的响应。
6-圣维南原理解析
例 图示矩形截面水坝， 其右侧受静水压力， 顶部受集中力作用。 试写出水坝的应力边 界条件。
左侧面：
l 1, m 0
X Y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
x xh 0
xy
xh
0
右侧面：
l 1, m 0
X y,Y 0
静力等效 两个力系，若它们的主矢量、主矩
相等，则两个力系为静力等效力系。
R Fi MO mO (F i )
这种等效有效的条件？
静力等效
在端面上合力为零，合力矩为M， 即静力等效力系，但它们的外力分布不 一样。外力作用区域状态肯定不一致， 问题时该区域有多大，是否对其他区域 有影响？
影响区 域约为作用 面尺寸的2-3 倍。
§1-6 圣维南(Saint-Venant)原理
问题的提出
弹性力学问题的求解是在给定的边界条 件下求解基本方程。使应力分量、应变分量、 位移分量完全满足8个基本方程相对容易。但 对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是 很难满足边界条件要求。这使得弹性 力学解的应用将受到 极大的限制。
？
？
？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这 种限制，圣维南提出了局部影响原理。
N
pXx l x m yx n zx
Z
Y X
Z Y
X
pYy l xy m y n zy
pZz l xz m yz n z
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
P
P
P P/2
P
A
圣维南原理
圣维南原理圣维南原理（Saint-Venant's principle）是固体力学中的一个基本原理，它是由法国工程师Adhémar Jean Claude Barre de Saint-Venant于19世纪提出的。
该原理描述了在弹性体受力作用下，应力和应变在距离载荷作用点很远的地方变化不大，而且在足够远的距离上，应力和应变趋向于稳定。
圣维南原理在工程实践中有着广泛的应用，特别是在结构分析和设计中起着重要的作用。
圣维南原理的提出，为工程力学领域的研究和工程实践带来了重大的影响。
它的核心思想是弹性体受力后，应力和应变会随着距离载荷作用点的增加而逐渐减小，并最终趋于稳定。
这一原理的确立为工程师们提供了一个重要的理论基础，使得他们能够更准确地分析和设计各种结构，确保其在受力作用下的稳定性和安全性。
在工程实践中，圣维南原理被广泛应用于各种结构的分析和设计中。
比如，在桥梁工程中，工程师们可以利用该原理来分析桥梁结构在受力作用下的应力分布情况，从而确定材料的选择和结构的设计方案。
在建筑工程中，该原理也可以帮助工程师们更好地理解建筑结构的受力特性，确保建筑物在各种外部力的作用下能够保持稳定。
此外，圣维南原理还被应用于地基工程、机械设计等领域，为工程实践提供了重要的理论支持。
需要指出的是，圣维南原理虽然在工程实践中有着广泛的应用，但在某些特定情况下也存在一定的局限性。
例如，在材料非线性、应变集中、载荷非均匀等情况下，该原理可能不再适用。
因此，在实际工程中，工程师们需要结合具体的工程情况，综合运用圣维南原理和其他理论知识，进行合理的分析和设计。
总的来说，圣维南原理作为固体力学中的一个基本原理，为工程力学领域的发展和工程实践提供了重要的理论支持。
它的应用不仅帮助工程师们更好地理解和分析结构的受力特性，也为工程设计提供了重要的参考依据。
当然，我们也要意识到，圣维南原理并非适用于所有情况，工程师们需要在实际工程中灵活运用，结合其他理论知识，确保工程设计的科学性和合理性。
圣维南原理并说明它的用途
圣维南原理并说明它的用途圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的一个基本原理，也被称为等效自由力原理或诺特尔对偶原理。
它是由法国数学家和工程师阿道夫·圣维南（Adhémar Jean Claude Barréde Saint-Venant）于19世纪中期提出的。
圣维南原理的基本思想是，当对结构施加作用力并达到平衡状态时，结构内部的应力分布在离作用点足够远的地方将变得无关紧要，只保留结构的整体行为。
具体来说，圣维南原理认为结构在受力下，仅在应力集中的区域附近才会出现显著的变形和应力，而在远离这些集中应力区域的地方，结构的变形和应力将逐渐趋于均匀分布，从而使结构产生一个等效的自由体力或力偶。
这种等效力或力偶可以反映出结构的整体行为和响应，用来简化对结构的分析和计算。
圣维南原理的主要用途如下：1. 结构受力分析：在结构力学中，使用圣维南原理可以简化结构的受力分析。
通过将外部作用力转化为等效的自由力或力偶，并结合结构的边界条件和材料性质，可以有效地求解结构的应力、应变和变形等问题。
这对于设计和优化复杂结构的强度和刚度具有重要意义。
2. 结构变形衡量：通过圣维南原理，可以量化结构的变形情况。
根据等效自由力或力偶的大小和方向，可以确定结构的变形形态和位移分布。
这对于工程师评估和控制结构的变形行为，尤其是在弹性阶段的变形情况，非常有帮助。
3. 结构优化设计：圣维南原理可以在结构优化设计中发挥重要作用。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以直观地了解结构的受力特点和存在的问题，从而指导工程师进行合理的结构调整和优化。
这可以使结构更加经济高效，减轻结构在受力中的应力集中和可能的破坏。
4. 材料选择和设计验证：圣维南原理可以帮助工程师选择合适的材料和验证结构的设计安全性。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以评估结构在不同材料参数下的应力分布和变形行为，从而选择适合的材料，并验证结构的安全性和可靠性。
圣维南原理
圣维南原理
维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。
另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分布形式。
因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。
这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们
在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先提出的。
简述圣维南原理
简述圣维南原理圣维南原理是指在一个封闭系统内，熵的增加趋势是不可逆的。
这个原理是热力学第二定律的一个重要表述，也是热力学基本原理之一。
圣维南原理的提出，对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响。
圣维南原理最早是由德国物理学家克劳修斯·门德尔在1854年提出的。
他认为，封闭系统内熵的增加是不可逆的，即热力学过程总是趋向于使系统的熵增加。
这一原理在热力学和统计力学中有着重要的地位，它揭示了自然界中一种普遍的趋势，即系统总是朝着混乱和无序的状态发展。
在热力学中，熵是描述系统混乱程度的物理量。
系统的熵增加意味着系统的无序程度增加，而熵减少则意味着系统的有序程度增加。
圣维南原理告诉我们，封闭系统内熵的增加是不可逆的，这意味着系统总是朝着更加混乱的状态发展。
这也是为什么我们会感觉时间是朝着一个方向流逝的原因之一。
圣维南原理的重要性在于它揭示了自然界中一种普遍的趋势，这种趋势与时间的箭头密切相关。
在统计力学中，我们可以通过微观粒子的运动来理解圣维南原理。
微观粒子的运动会导致系统的混乱程度增加，从而使系统的熵增加。
这种微观层面的理解有助于我们更深入地理解圣维南原理。
圣维南原理还对能量转化和利用提出了重要的限制。
在能量转化过程中，总会有一部分能量转化为无用的热能，从而使系统的熵增加。
这也是为什么热机的效率总是低于100%的原因之一。
圣维南原理告诉我们，能量转化过程总是伴随着熵的增加，这为能源利用和节约能源提出了重要的挑战。
总的来说，圣维南原理是热力学第二定律的一个重要表述，它揭示了自然界中一种普遍的趋势，即系统总是朝着更加混乱的状态发展。
这一原理对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响，也对能源转化和利用提出了重要的限制和挑战。
我们应该深刻理解圣维南原理的内涵，这有助于我们更好地认识和理解自然界中的各种现象。
6圣维南原理解析
6圣维南原理解析圣维南 (Saint-Venant) 原理是应用于弹性体力学的一种物理原理，它描述了在应力场中，当载荷施加在物体表面时，这个载荷会沿着物体的体积方向向内传播，引起物体内部的变形和应力分布。
圣维南原理的基本思想是假设物体是连续、均匀且各向同性的，其应变和应力满足弹性力学方程。
圣维南原理可用数学方程表示，假设载荷作用在物体表面的小区域，而物体内部每个小区域都是向外均匀受力的平衡状态。
根据这个原理，我们可以推导出弹性体的位移、应变和应力满足的偏微分方程，称为圣维南方程。
该方程描述了物体内部的变形和应力分布，并能通过求解该方程来获得物体的解析解。
圣维南原理的应用范围广泛，它可以用于解析地基沉降、桥梁和建筑物的变形、材料的弹性行为等问题。
具体应用有：1.地基工程：圣维南原理可用于分析地下水或地震等外部载荷引起的地基沉降。
通过求解圣维南方程，可以预测地基变形，并为工程设计提供依据。
2.结构工程：圣维南原理可用于分析桥梁、建筑物等结构物在受外部荷载作用下的变形情况。
通过求解圣维南方程，可以评估结构物的强度和刚度，并进行结构优化设计。
3.材料工程：圣维南原理可用于研究材料的弹性行为。
通过求解圣维南方程，可以分析材料的应力分布和应变变化，评估材料的机械性能，并为材料疲劳寿命预测提供依据。
需要注意的是，圣维南原理是在弹性条件下成立的，即物体在加载后能恢复到原来的形状。
在实际工程中，弹性体的行为往往与非弹性效应有关，如塑性、粘弹性、破裂等。
因此，在实际应用中，圣维南原理通常与其他力学原理相结合，如塑性力学、粘弹性力学等。
为了更好地应用圣维南原理，我们还需要关注实验测试和数值模拟等方法。
实验测试可以用于验证圣维南原理的适用性，并提供实际数据用于验证数值模拟结果。
数值模拟可以通过有限元法等数值方法求解圣维南方程，从而得到更复杂的物体变形和应力分布情况。
总之，圣维南原理是弹性体力学领域的基本原理之一，广泛应用于地基工程、结构工程和材料工程等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ 4）
x y x 0 x y x y y 0 x y
(a)
由第一式
( yx ) x x y
引入函数A, 使 (b)
A A x , yx y x
由第二式
y
y
( xy ) x
i
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.圣维南原理
(Saint-Venant Principle)
原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2
P A
0
x
xy
yx
A
Y
代入应力边界条件，有 l x m yx q cos 0 X
l x y m y 0 q cos(900 ) Y
X
q
n
证毕
应力函数
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0
小结：
应力解法 应力函数解法
x
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 (
x
2 Xx y 2
y ) 0
2 y Yy x 2 2 xy xy
2 2 0
应力边界条件
几点讨论： （1） 应力解答σx 、 σy 、 τxy在体积力为 常量时与材料性质无关。
光弹性实验的理论基础
研究大坝的应力分布常常用石膏材料或光学 性能好的环氧树脂，而不用混凝土材料
（2）应力函数物理意义
y y 0
dx P sin
MO 0
h h y
h xdx P sin 0 y 0 2
F
x
h ( y ) xdx P sin h y 0 2
h
x
yx
P
0
h h
h
yx
y 0
dx P cos 0
y
y
几何方程
应变
协调条件
位移
位移求解： 位移
几何方程
应变
物理方程
应力
应力解法
未知数3个σx、σy、τxy，须联立平衡方程与 变形协调条件，以平面应力问题为例， 将虎克定律代入应变协调条件得到：
xy ( x y ) 2 ( y x ) 2(1 ) 2 y x xy
X Y x y x 2 y 2 ( x y ) (1 )
2 2
(1)
平面应力情形
控制方程
μ
μ/1-μ
平面应变情形
控制方程
1 X Y ( ) x y x 2 y 2 1 x y
h
h
( yx )
h
h
( y )
注意：
y 0
dx P sin
y , xy
y 0
dx P cos
必须按正向假设！
上端面： （方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
Fy 0
h h y
y 0
dx P sin 0
h h
引入函数B, 使 (c)
B B y , xy x y
A B , x y
再引入函数υ, 使
(d)
A ,B y x
（d）代入（b)、（c）式，得到：
2 2 2 x 2 , y 2 , x y , y x xy
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则3个 应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分 别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得
2 y
xy x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy
2 2 2
•变形协调方程的数学意义
x
（2-19）
xy
E xy 2(1 )
1 x y E v u y 2 1 y x E v u xy 2(1 ) x y
次要边界
例
图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出 水坝的应力边界条件。
yx
y
左侧面：
X Y 0 代入应力边界条件公式
l 1, m 0
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
右侧面：
x x h 0 0 xy x h
o
x
A
q y
[解 ]
分析：欲证明是否弹性力学解答，只需证明在弹性 体内部满足式(4),在应力边界上能够满足式(5) 1） 将这组应力分量代入式（4），式（4) 中三式恒满足
2） 再考察边界条件，取边界上A点，有
X q cos , Y q sin
y
l cos , m cos(90 )
P P/2
P A P A
P
3.圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如： A 主要边界 B
P
P A
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
xy
v u f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则3个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
(e)
如果考察体积力，且体积力为常量时，满足平 衡方程还必须加上一组特解，即
x Xx, y Yy , xy 0
(f)
最后得到构成满足满足平衡方程的通解为：
2 Xx 2 y 2 Yy 2 x 2 xy
h
( yx )
y 0
dx P cos
可见，与前面结果相同。
§2-8 平面问题应力解法
上节回顾 应力解法 应力函数
上节回顾
平衡方程 基本方程 几何方程 物理方程 位移边界 边界条件 应力边界 混合边界 弹性力学问题的解
基本方程
1、平衡方程
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y
2 2
(2)
•当体力为常力，则式（1）和式（2）可写成：
x 2 y 2 ( x y ) 0
2 2
(3-a)
•或用拉普拉斯算子写成：
( x y ) 0
2
（3-b)
把平衡方程和应力表示的应变协调方程写在一起，有：
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y 2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0
将式(a)代入平衡方程，化简有
（a）
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
分析：量纲为[N]，在平面问题中，边界面力 [NL-2]，集中力[NL-1] ，弯矩[N]，
应力函数是对平面内某一点的矩。
(3). 应力函数 ( x, y ) 求解方法
逆解法
半逆解法
§2-9 按位移求解平面问题
1. 按位移求解平面问题的基本方程
（1）将平衡方程用位移表示
由应变表示的物理方程
E ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
§2-7 圣维南原理
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、 形变分量、位移分量完全满足8个基本 方程相对容易，但要使边界条件完全满 足，往往很困难。
如图所示，其力的作用点处的边界 条件无法列写。
P
P
P
1. 静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为 静力等效力系。 R Fi M O mO ( F )
应变协调方程
数学意义：
几何方程——3个应变分量通过2个位移分量描述
力学意义——变形连续
弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形 的约束
•应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。
• 例 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求 其位移。 • 解： u 3 2
2、几何方程
u x x v y y v u xy x y
2 2 2 x y xy 2 2 x xy y
3、物理方程
x
1 ( x y ) E 1 ( y x ) y E xy xy G