圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
6-圣维南原理解析
例 图示矩形截面水坝， 其右侧受静水压力， 顶部受集中力作用。 试写出水坝的应力边 界条件。
左侧面：
l 1, m 0
X Y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
x xh 0
xy
xh
0
右侧面：
l 1, m 0
X y,Y 0
静力等效 两个力系，若它们的主矢量、主矩
相等，则两个力系为静力等效力系。
R Fi MO mO (F i )
这种等效有效的条件？
静力等效
在端面上合力为零，合力矩为M， 即静力等效力系，但它们的外力分布不 一样。外力作用区域状态肯定不一致， 问题时该区域有多大，是否对其他区域 有影响？
影响区 域约为作用 面尺寸的2-3 倍。
§1-6 圣维南(Saint-Venant)原理
问题的提出
弹性力学问题的求解是在给定的边界条 件下求解基本方程。使应力分量、应变分量、 位移分量完全满足8个基本方程相对容易。但 对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是 很难满足边界条件要求。这使得弹性 力学解的应用将受到 极大的限制。
？
？
？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这 种限制，圣维南提出了局部影响原理。
N
pXx l x m yx n zx
Z
Y X
Z Y
X
pYy l xy m y n zy
pZz l xz m yz n z
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
P
P
P P/2
P
A
圣维南原理并说明它的用途
圣维南原理并说明它的用途圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的一个基本原理，也被称为等效自由力原理或诺特尔对偶原理。
它是由法国数学家和工程师阿道夫·圣维南（Adhémar Jean Claude Barréde Saint-Venant）于19世纪中期提出的。
圣维南原理的基本思想是，当对结构施加作用力并达到平衡状态时，结构内部的应力分布在离作用点足够远的地方将变得无关紧要，只保留结构的整体行为。
具体来说，圣维南原理认为结构在受力下，仅在应力集中的区域附近才会出现显著的变形和应力，而在远离这些集中应力区域的地方，结构的变形和应力将逐渐趋于均匀分布，从而使结构产生一个等效的自由体力或力偶。
这种等效力或力偶可以反映出结构的整体行为和响应，用来简化对结构的分析和计算。
圣维南原理的主要用途如下：1. 结构受力分析：在结构力学中，使用圣维南原理可以简化结构的受力分析。
通过将外部作用力转化为等效的自由力或力偶，并结合结构的边界条件和材料性质，可以有效地求解结构的应力、应变和变形等问题。
这对于设计和优化复杂结构的强度和刚度具有重要意义。
2. 结构变形衡量：通过圣维南原理，可以量化结构的变形情况。
根据等效自由力或力偶的大小和方向，可以确定结构的变形形态和位移分布。
这对于工程师评估和控制结构的变形行为，尤其是在弹性阶段的变形情况，非常有帮助。
3. 结构优化设计：圣维南原理可以在结构优化设计中发挥重要作用。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以直观地了解结构的受力特点和存在的问题，从而指导工程师进行合理的结构调整和优化。
这可以使结构更加经济高效，减轻结构在受力中的应力集中和可能的破坏。
4. 材料选择和设计验证：圣维南原理可以帮助工程师选择合适的材料和验证结构的设计安全性。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以评估结构在不同材料参数下的应力分布和变形行为，从而选择适合的材料，并验证结构的安全性和可靠性。
简述圣维南原理
简述圣维南原理圣维南原理是指在一个封闭系统内，熵的增加趋势是不可逆的。
这个原理是热力学第二定律的一个重要表述，也是热力学基本原理之一。
圣维南原理的提出，对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响。
圣维南原理最早是由德国物理学家克劳修斯·门德尔在1854年提出的。
他认为，封闭系统内熵的增加是不可逆的，即热力学过程总是趋向于使系统的熵增加。
这一原理在热力学和统计力学中有着重要的地位，它揭示了自然界中一种普遍的趋势，即系统总是朝着混乱和无序的状态发展。
在热力学中，熵是描述系统混乱程度的物理量。
系统的熵增加意味着系统的无序程度增加，而熵减少则意味着系统的有序程度增加。
圣维南原理告诉我们，封闭系统内熵的增加是不可逆的，这意味着系统总是朝着更加混乱的状态发展。
这也是为什么我们会感觉时间是朝着一个方向流逝的原因之一。
圣维南原理的重要性在于它揭示了自然界中一种普遍的趋势，这种趋势与时间的箭头密切相关。
在统计力学中，我们可以通过微观粒子的运动来理解圣维南原理。
微观粒子的运动会导致系统的混乱程度增加，从而使系统的熵增加。
这种微观层面的理解有助于我们更深入地理解圣维南原理。
圣维南原理还对能量转化和利用提出了重要的限制。
在能量转化过程中，总会有一部分能量转化为无用的热能，从而使系统的熵增加。
这也是为什么热机的效率总是低于100%的原因之一。
圣维南原理告诉我们，能量转化过程总是伴随着熵的增加，这为能源利用和节约能源提出了重要的挑战。
总的来说，圣维南原理是热力学第二定律的一个重要表述，它揭示了自然界中一种普遍的趋势，即系统总是朝着更加混乱的状态发展。
这一原理对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响，也对能源转化和利用提出了重要的限制和挑战。
我们应该深刻理解圣维南原理的内涵，这有助于我们更好地认识和理解自然界中的各种现象。
圣维南原理验证过程
圣维南原理验证过程课程：有限元方法及CAE软件班级：姓名学号：圣维南原理验证过程一、圣维南原理简介圣维南原理属于弹性力学中一个局部效应原理，是由法国力学家圣维南于1855年提出。
意在表述：分布于弹性体上一小块面积（或者体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区域较远的地方，基本只同载荷的合力和合力矩有关，载荷的具体分布只影响载荷作用区域附近的应力分布。
(弹性力学一般原理-圣维南原理）二、圣维南原理验证实验的前提条件1.载荷作用于弹性体。
2.满足静力学等效条件。
3.只能在边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
三、圣维南实验验证的准备工作此次实验验证使用的零件是一根梁，长为800mm，截面宽为50mm，截面高为30mm，材料属性为弹性模量为2.07E11Pa，泊松比为0.29。
分析软件为ANSYS15.0。
图1 梁二维图四、圣维南原理有限元分析过程4.1 模型建立使用ANSYS建模工具，建立三维模型图，如图2。
图2 三维模型4.2 有限元分析前置处理前处理包括：单元选取、常数设置、材料属性定义、网格划分和载荷施加等。
单元选取为solid 8nodes185。
常数不需设定。
材料选取为stl_AISI-C1020（钢）。
采用映射网格划分，如图3所示。
图3 网格划分对模型一端施加全约束，另一端施加集中力1500000N，如图4所示。
图4 载荷施加4.3 有限元求解对已经前置处理好的模型进行求解，求解成功后，如图5所示。
图5 求解图4.4 有限元后处理通过GUI显示，施加载荷后模型的应力分布情况，如图6所示。
图6 应力分布情况4.5 等效载荷的分析mm，重复以上步骤，将集中力改为等效的均布载荷分布力，大小为1000N/2得到模型的载荷分布及应力分布如图7、图8所示。
图7 均布载荷分布情况图8 等效均布载荷五、圣维南原理有限元分析结论由上述分析可知，两次不同的加载，远离作用区域的应力几乎不发生变化，集中载荷作用时在梁上最小值为1117.42N，均布载荷作用时在梁上最小值为1087.21N，二者几乎相等，且此值分布在远离作用域的大部分区域中，变化较大的只集中在作用区域附近。
6圣维南原理解析
6圣维南原理解析圣维南 (Saint-Venant) 原理是应用于弹性体力学的一种物理原理，它描述了在应力场中，当载荷施加在物体表面时，这个载荷会沿着物体的体积方向向内传播，引起物体内部的变形和应力分布。
圣维南原理的基本思想是假设物体是连续、均匀且各向同性的，其应变和应力满足弹性力学方程。
圣维南原理可用数学方程表示，假设载荷作用在物体表面的小区域，而物体内部每个小区域都是向外均匀受力的平衡状态。
根据这个原理，我们可以推导出弹性体的位移、应变和应力满足的偏微分方程，称为圣维南方程。
该方程描述了物体内部的变形和应力分布，并能通过求解该方程来获得物体的解析解。
圣维南原理的应用范围广泛，它可以用于解析地基沉降、桥梁和建筑物的变形、材料的弹性行为等问题。
具体应用有：1.地基工程：圣维南原理可用于分析地下水或地震等外部载荷引起的地基沉降。
通过求解圣维南方程，可以预测地基变形，并为工程设计提供依据。
2.结构工程：圣维南原理可用于分析桥梁、建筑物等结构物在受外部荷载作用下的变形情况。
通过求解圣维南方程，可以评估结构物的强度和刚度，并进行结构优化设计。
3.材料工程：圣维南原理可用于研究材料的弹性行为。
通过求解圣维南方程，可以分析材料的应力分布和应变变化，评估材料的机械性能，并为材料疲劳寿命预测提供依据。
需要注意的是，圣维南原理是在弹性条件下成立的，即物体在加载后能恢复到原来的形状。
在实际工程中，弹性体的行为往往与非弹性效应有关，如塑性、粘弹性、破裂等。
因此，在实际应用中，圣维南原理通常与其他力学原理相结合，如塑性力学、粘弹性力学等。
为了更好地应用圣维南原理，我们还需要关注实验测试和数值模拟等方法。
实验测试可以用于验证圣维南原理的适用性，并提供实际数据用于验证数值模拟结果。
数值模拟可以通过有限元法等数值方法求解圣维南方程，从而得到更复杂的物体变形和应力分布情况。
总之，圣维南原理是弹性体力学领域的基本原理之一，广泛应用于地基工程、结构工程和材料工程等领域。
弹性力学的一般原理-圣维南原理
圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力和合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。
另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分别形式。
因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。
这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先提出的。
其要点有两处：一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。
一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。
圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。
在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。
圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。
弹性力学的一般原理：圣维南原理：对于作用于物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
圣维南原理的基本概念
圣维南原理的基本概念圣维南原理（St. Venant's principle），也被称为维南原理或惯性原理，是弹性力学中一个基本的概念。
圣维南原理描述了在一个受力体系中，在应力场已经达到平衡状态的情况下，外界施加的一个局部载荷的效果将在有限的距离内逐渐减弱。
这个原理是由法国工程师阿多尔夫・圣维南（Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant）于1855年首次提出。
1.定义：圣维南原理描述了在充分远离加载区域时，结构体系的不同部分对于局部载荷的响应是相同的。
也就是说，当一个力作用于一个结构体系上时，它会在整个结构中以波动的方式传播，并且在传播过程中逐渐减弱。
2.局部载荷：圣维南原理适用于局部载荷，即作用点处的载荷集中在一个较小的区域。
这个载荷可以是一个力、一个力矩或者其他一些形式的载荷。
3.有限距离：圣维南原理指出，这种载荷的响应会在有限的距离内传播。
这个有限的距离取决于结构体系的特性，如材料的刚度、几何形状等。
4.平衡状态：圣维南原理的适用条件是结构体系的应力场已经达到平衡状态。
也就是说，体系中各个部分的应力分布已经稳定，没有出现明显的不均衡情况。
圣维南原理的应用可以在结构力学领域中发现。
当一个结构受到局部载荷时，通过圣维南原理可以预测载荷对结构体系的整体影响。
根据原理，从作用点处开始，载荷的影响将逐渐减小，并在一些距离内消失。
这个距离通常被称为圣维南剪切段（St. Venant shear region）或圣维南区域。
在应用圣维南原理时，需要注意以下几点：1.非线性效应：当加载超过结构材料的弹性极限时，将出现非线性效应，需要使用更复杂的模型来描述。
2.材料异质性：结构体系中的材料异质性会对圣维南区域的大小和形状产生影响。
异质性越高，圣维南区域的长度越大。
3.结构几何形状：结构的几何形状也会影响圣维南区域的大小和形状。
通常情况下，较长的结构具有较大的圣维南区域。
圣维南原理及其证明.doc
圣维南原理及其证明.. 圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint：0343.2 AMS Subject Classifications: 74G50 引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了。
早期有关原理有重要的文章。
波西涅克（Boussinesq）于1885年、勒夫（Love）于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises 认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg 赞同Mises 的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell 于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
Zanaboni “证明”了一个定理，并称和圣维南原理有关。
图平（Toupin）列举了更多的反例说明波西涅克和勒夫的一般性陈述不真，并建立了一个能量衰减的定理，这个定理被认为是柱体圣维南原理的数学证明，似乎具有里程碑的意义。
Berdichevskii 推广了图平定理。
诸多学者仿效着推导出一些定理来建立图平型衰减，并把原理推广到连续介质物理学的各个领域，诸如流体流动和热传导问题等，发展了许多方法。
Horgan 和Knowles 对原理的进展跟踪作了评论，其后又有不少新的工作。
什么是圣维南原理及如何证明
什么是圣维南原理及如何证明弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。
==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。
使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。
但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。
这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。
有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。
值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。
对于主要边界，圣维南原理不再适用。
例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。
Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圣维南原理及其证明
圣维南原理又称为中值定理，是微积分中一个重要的定理。
它是由法国数学家约瑟夫·路易·圣维南于1690年发现并提出的。
该原理主要用
于描述实函数的连续性与导数之间的关系，并说明在一定条件下函数在其中一区间上的平均变化率与其中一点上的瞬时变化率之间存在关系。
1.第一中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导（注意不一定连续），则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上有一点的导数等于
该区间上函数值的平均变化率。
2.第二中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且f(a)≠f(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得
f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上其中一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
3.第三中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且g'(x)≠0且g(a)≠g(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
即两个函数在区间[a,b]上的斜率之比等于它们在开区间(a,b)内其中一点的导数之比。
对于圣维南原理的证明，需要运用微积分的基本概念和定理。
以下以第一中值定理为例进行证明。
证明：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导。
我们
定义一个新的函数g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)。
1.首先验证函数g(x)在闭区间[a,b]上连续。
由于f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)也是连续函数。
2.再来验证函数g(x)在开区间(a,b)上可导。
对于x∈(a,b)，我们有
g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)。
由于f(x)在(a,b)上可导，那么f'(x)
存在，导数的性质可以带入此处。
因此g'(x)也存在。
3.现在我们考虑函数g(x)在闭区间[a,b]上的两个边界点a和b。
当
x=a时，函数g(x)的值为g(a)=f(a)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](a-a)=f(a)。
当x=b时，函数g(x)的值为g(b)=f(b)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](b-a)=f(b)。
由此可见，函数g(x)在闭区间[a,b]上端点处的值与函数f(x)在该处的值
相等。
4.根据拉格朗日中值定理，由于函数g(x)在闭区间[a,b]上连续且在
开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内存在一个点c，使得
g'(c)=(g(b)-g(a))/(b-a)。
由于g(a)=f(a)，g(b)=f(b)，那么此时有
f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，即函数在区间[a,b]上存在一个点c，使得其
导数等于该区间上函数值的平均变化率。
综上所述，根据微积分的基本概念和定理，我们可以证明圣维南原理
中第一中值定理的正确性。
对于第二中值定理和第三中值定理的证明，也
可以运用类似的推理和方法进行证明。
这些定理的证明过程涉及到微分中
值定理等基本的微积分理论，通过对函数在不同点的取值和导数值进行比较，最终得到了中值定理的结论。