圆中求角度与常见辅助线
圆中常用的辅助线
三角形 ， 利用勾股定理进行计 算． 例 ３ 按 要求 画 图并解 答 下列 问题 ： 以点 ０为 圆 心， 分别 以不 同的长度为半 径 画同心 圆 ， 圆 内任 意一 过 点作一条直线 ， 分别交大 圆与 Ａ 曰两点 ， 、 交小 圆与 ｃ Ｄ 、
两点．
解： 接Ｏ 则 Ｏ 连 Ｂ， Ｂ＝Ｏ ． Ｅ ． Ｂ
．
Ｅ ＝ 厶 ｏＢＥ．
。 ．
ＡＢ ＝ ＯＣ， ∞
．
＝ ＯＣ ，
。 ．
ＡＢ ＝ ＯＢ．
请探究线段 Ａ Ｃ与 Ｂ Ｄ之 间的关
系， 并说 明你 的发 现 是 正 确 的． 解 ： 画 图 如 图 ３所 示 ．
ＡＣ ＝ＢＤ．
‘ ．
．
．
Ａ Ｅ—Ｃ Ｅ＝ＢＥ—ＤＥ， Ａ 即 Ｃ＝ＢＤ．
例 ４ 高 致 病 性 禽 流 感 是 一 种 传 染 性 极 强 的 传 染
病． 为防止禽流感 的蔓延 ， 防疫 部门规定 ： 离疫点 ３千米 范围 内为捕杀区 ， 所有 的禽类全部捕 杀 ； 离疫点 ３～ ５千 米范 围内为免疫 区 ， 有 的禽 类强 制免疫 ； 所 同时对捕杀
ＤＥ ，
‘
图３
故选（ ） Ｂ．
二 、 半径 ， 造 直角 三角 形 作 构 在 圆中 涉 及 弦 长 的计 算 时 ， 常 常 作 过 弦端 点 的 半 也 径 ， 利 用 垂径 定 理 的 同时 ， 造 直 角 三 角 形 ， 而 利 用 在 构 从 勾 股 定 理 进 行 计 算．
。 ． ．
由垂径定理， Ａ — 得 Ｅ： 二
＝ ｓ
ｃ
设 （０的半 径为 ｒ则 Ｏ ｒ １ ３ ， Ｅ： 一 ． 在 Ｒ ＡＯ Ａ中 ， ｔ Ｅ 由勾 股 定 理 ， （ 一１ ＋ ：ｒ， 得 ｒ ） ５ ２ 解之得 ｒ ３ ＝１．
有关圆的七种辅助线的作法
有关圆的七种辅助线的作法作者：来源：《语数外学习》2015年第10期圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.一、有关直径问题，常作直径上的圆周角例1 ; 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N.（1）求证：BA·BM=BC·BN;（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴ ;= ;，∴AB·BM=BC·BN;（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B= ;∠MON=30°，∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.二、有关弦的问题，常作其弦心距例2 ; 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= ;PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO= 90°，又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴ ;= ;，∴PO2=PM·PC=PM·（ ;PN），即PM·PN= 2PO2.说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径例3 ; 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？图 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图6证明：（1）如图6，连接OC.∵PC=PF，∴∠4=∠5，∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.如图6，连接AE，∵ ;= ;，∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA，∴ ;= ;.即AD2=DE·DF.说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线例4 ; 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .（1）求证：PC平分∠BPD;（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.图7证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，∠CPD=∠A+∠QCP，∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.图8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图9（2）上述结论仍然成立.如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理.五、两圆相交，常连结公共弦或连心线例5 ;已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.图10 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图11（1）EA=ED成立.证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，∵∠FAC=∠DAE， ;∴∠ABC=∠DAE，而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D，∴EA=ED;（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=90°，∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图12∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，而CB=2，CE=8 ;∴AC2=2×8=16，AC=4，故⊙O1直径为4.说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形例5 ;如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.图13 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图14证明：如图14，连结AC，BD，∵∠C和∠B都是⊙O中弧 ;所对的圆周角，∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴ ;= ;，即AP·BP=CP·DP.说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形例6 ; 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O 半径的长.图15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图16解：如图16，作直径AD，连结BD.∵∠ACB与∠D都是 ;所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°，又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=30°，∴BD= ;AD，设BD=x，则AD=2x，∴AB= ;= ;= ;x，∴x= ;= ;=2 ;，∴r= ;AD=x=2 ;.说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.《轴对称》拓展精练参考答案1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;8.309087;9.15°;10.480m2或768 m211. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB=OB=3 ;，RB=OB=3 ;，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR=2×3 ;=7;（2）PR的长度是小于7，理由如下：∠A BC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB+BR>PR，∵PB+BR=2OB=2×3 ;=7，∴PR图形的平移与旋转强化练习参考答案1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;;6.5;7. ;+1;8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;（2）a=5或a=6.9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°;②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°;③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠AOD= ;=120°- ;，∴190°-α=120°- ;，解得α=140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。
圆内辅助线方法
圆内辅助线方法
在圆内作辅助线的方法有以下几种：
1. 直径：通过圆心作直径，将圆分成两个相等的半圆，可以用于确定圆上某点的位置或者进行圆的对称性证明。
2. 弦：连接圆上的两个点，形成一条弦。
弦可以用来测量圆的直径、找到圆上的中点以及确定圆弧的长度和角度。
3. 切线：从圆外一点引切线与圆相切，切点即为切线与圆的交点。
切线与半径垂直，并且切线和半径的夹角等于相应弧的夹角。
4. 弧：圆上两点之间的曲线部分称为弧。
可以通过连接弧上的两点和圆心，构成一个扇形。
通过测量弧长和圆心角可以计算出圆的周长和面积。
5. 径向线：连接圆心与圆上的任意一点，称为径向线。
径向线可以用来分析圆上的几何性质，如角度和长度。
这些辅助线方法在解决圆相关的问题时非常有用，能够帮助我们理解圆的性质、推导定理以及进行计算和证明。
1。
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
圆中辅助线应用的典型例题
圆中辅助线应用的典型例题圆是数学中非常重要的一个几何图形，在数学教学中也经常涉及到相关内容。
圆中辅助线的应用也是数学教学中的一个重要内容。
在这里，我将为大家介绍一下圆中辅助线应用的典型例题。
例题一：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，求BC 的长度。
解题思路：由于圆心角α是已知的，可以根据圆心角公式计算出弧长AC，即AC = αR，其中R为圆的半径。
又因为BC是弦，所以可以根据弦长公式计算出BC的长度：BC = 2√(R² - AC²/4)。
因此，只需把圆心角α和半径OA 代入公式，就可以得出BC的值。
例题二：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，DE与BC平行，求DE的长度。
解题思路：由于DE与BC平行，所以可以构造辅助线EF与BC垂直，如图所示。
则BE = EC = Rcos(α/2)，EF = Rsin(α/2)，因此BF = 2Rsin(α/2)。
根据正弦定理，在三角形BDF中，有sin(α/2)/BD = sin(γ)/BF，又因为sin(γ) = DE/BD，所以DE = BDsin(α/2)/sin(γ)，代入BF的值即可求出DE的长度。
例题三：如图，已知圆上两个点A、B和点P到AB的距离为h，求圆心O到AB的距离d。
解题思路：首先，构造辅助线PC，并延长到圆上的交点D，如图所示。
则OP垂直于AB，所以POD是直角三角形。
由于PO = R - h，OD = √(R² - PD²)，所以DP =√(R² - (R - h)²)。
在三角形PBD中，有d/BD = PO/DP，所以d = (R - h)BD/√(R² - (R - h)²)，代入数据即可求出d的值。
以上就是三个典型的圆中辅助线应用例题。
这些例题的重点在于如何灵活应用几何知识，构造合适的辅助线，从而得出正确的解答。
在学习数学的过程中，需要不断地训练自己的思维能力，培养解决问题的能力。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。
求证：PO平分/ APD。
=> OE=OF ]/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF0OP=OP=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。
证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F(=>(=AB CDAC=BD A C B D=> AB=CDOE丄AB, OF/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPDODP B图1-1证法2:连结OA, OD。
/ CAP= / BDP/ APC= / DPB => △ACP^A DBPAC=BD=>AP=DP、OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
十大辅助线口诀
十大辅助线口诀在进行几何作图时，辅助线的作用是不可忽视的。
正确使用辅助线可以大大提高作图效率，减少错误率，更加准确地画出所需图形。
为了帮助大家更好地理解和掌握辅助线的使用方法，我们整理出了“十大辅助线口诀”，便于大家记忆和应用。
第一大辅助线口诀：“中点万能定位，利用中垂线交点作图”。
这是一个非常实用的口诀，利用中点和中垂线可以快速定位图形的位置和大小。
例如，在画平行四边形时，只需画出其中一条对角线的中垂线，然后在中垂线上取一点作为原点，再利用对角线的中点和原点连线即可准确画出整个平行四边形。
第二大辅助线口诀：“平移移动平行线，平行四边形任意成”。
这个口诀可以帮助我们在画平行四边形时更加方便灵活。
只要确定两条平行线段，就可以通过平移移动其中一条线段使其与另一条平行线段重合，然后连接相应点即可。
第三大辅助线口诀：“圆周角相等，利用等角、同弦定位”。
在画与圆有关的图形时，这个口诀非常实用。
只需利用圆周角相等的性质，画出等角或同弦即可确定圆上的点位置。
第四大辅助线口诀：“切线垂直半径，直角可随便”。
这个口诀是在画圆和圆内的图形时比较常用的。
利用切线垂直半径的性质，可以确定直角位置，使作图更加准确。
第五大辅助线口诀：“直角三角形，利用勾股定位”。
这个口诀是在画直角三角形时非常实用的。
只要确定两条直角边的长度，就可以利用勾股定理求出第三条边的长度，并画出整个三角形。
第六大辅助线口诀：“四边形内对角线，对半分线交于一点”。
这个口诀是在画四边形时非常实用的，只需将对角线对半分，再连接相应线段的中点即可确定四边形的位置和大小。
第七大辅助线口诀：“平行线分段比，适用比例定位”。
这个口诀是在画平行线间的图形时非常实用的，只需利用线段比例的性质来确定每个点的位置。
第八大辅助线口诀：“正多边形内角和，等于360度”。
这个口诀是在画正多边形时非常实用的，只需根据内角和为360度的性质来确定每个角度，即可画出整个正多边形。
第九大辅助线口诀：“等腰三角形，利用对称轴对称”。
(完整版)圆中常见辅助线作法分类大全
1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.剖析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。
AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。
例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．剖析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。
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作业： 4、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB＝12，M是AB上任意一点，若线段OM的长是整 数，那么OM是（ ） 5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝ 8cm，则⊙O的半径为________cm. 6、(2016·玉林中考)如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
圆中求角度与常见辅助线
上次作业处理
类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
1、 (2016·自贡中考)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°， 则∠B的度数是（ ）
类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
2、 (2016·毕节中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B的度数为 （）
作业：
7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（ ） 8、如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
下课了啦！ 继续努力！ 下次课见！
5、如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为圆O的直径，AE⊥BC于E. 求证：∠BAD＝∠EAC.
类型四 利用特殊数量关系构造特殊角转化角
6、如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB 的度数为（ ） A．45° B．30° C．75° D．60°
类型一 遇弦加弦心距或半径
7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
类型一 遇弦加弦心距或半径
8、如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另 一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径 是________cm.
类型三 遇切线连接圆心和切点
11、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F， G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_______．
课堂总结： 1、让学生总结本节课的收获 2、老师点评本节课学生的表现 3、学生的努力方向
作业： 1、(2016·青海中考)如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则 ∠ADC＝________. 2、如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝______. 3、如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数_____.
类型二 遇直径添加直径交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)若∠B＝70°，求弧DE的度数； (3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
类型三 遇切线连接圆心和切点
10、如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交 BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（ ）
类型二 构造圆内接四边形转化角
3、如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝70°，则∠AOC 的度数为（ ）
类型二 构造圆内接四边形转化角
4、如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）
类型三 利用直径构造直角三角形转化角