4-1运输问题的数学模型
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
管理运筹学运输问题
管理运筹学运输问题引言运筹学是管理学的一个分支，旨在研究和开发决策支持工具和技术，以优化各种问题的决策过程。
其中，运输问题是运筹学领域中一个重要的问题之一，它涉及到如何有效地分配有限的资源，以实现最佳的运输方案。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，并探讨其解决方法。
运输问题概述运输问题是在给定供应地和需求地之间寻找最佳运输方案的数学模型。
一般来说，这个问题可以分为两个主要的组成部分：供应地和需求地。
•供应地：这是物品或产品的来源地，例如工厂或仓库。
每个供应地都有一定数量的可供应物品，同时还有一个运输成本与不同需求地之间的运输。
•需求地：这是物品或产品的目的地，例如商店或客户。
每个需求地都有一定数量的需求，同时还有一个运输成本与不同供应地之间的运输。
运输问题的目标是找到一种分配方案，以最小化总运输成本，并满足供应地和需求地的限制。
运输问题可以用数学模型描述，其中包括以下变量和约束条件：•变量：–xi：从第i个供应地运输的物品数量–yj：向第j个需求地运输的物品数量•约束条件：–供应地约束：∑xi ≤ si，其中si为第i个供应地可供应的物品数量–需求地约束：∑yj ≥ dj，其中dj为第j个需求地的需求物品数量–非负约束：xi ≥ 0，yj ≥ 0，物品数量不能为负数•目标函数：–最小化总运输成本：Minimize ∑(cij * xi * yj)，其中cij为从供应地i到需求地j的单位运输成本这个数学模型可以通过线性规划方法进行求解，其中运输问题可以转化为标准线性规划问题，并使用相应的算法和技术进行求解。
求解运输问题的方法可以分为以下几种：1.传统方法：传统的方法包括北西角法、最小元素法、Vogel法等。
这些方法通过逐步分配物品数量，计算运输成本，并根据不同的策略进行调整，直到找到最优解。
2.网络流方法：网络流方法将运输问题转化为最小成本流问题，并利用网络流算法进行求解。
这些算法可以有效地处理大规模的运输问题，并提供较快的求解速度。
运筹学运输问题-图文
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
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n
x ij a i , i 1 , 2 , , m
j1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n
i1
x ij mj0和个,，i产1应地, 该2运1,等,到2于销,销n地地j的j,的运m销量量的。总
5
举例说明
某部门三个工厂生产同一产品的产量,四个 销售点的销量及单位运价如下表：
i
ei em j
m+j
0
10
运输问题的对偶问题
对产销平衡运输问题
u1,u2,L,um前m个约束等式相应的对偶变量
v1,v2,L,vn后n个约束等式相应的对偶变量
即对偶变量为
Y ( u 1 ,u 2 ,L ,u m ,v 1 ,v 2 ,L ,v n )
11
x11 x12 L x1n a1
1
b2
B 产量 n
x a c 1 n 1n 1
x a c 2 n 2n 2
x a cmn mn m
bn
3
产销平衡问题—总产量=总销量 即
m
n
ai bj
i 1
j 1
产销不平衡问题—总产量=总销量
4
产销平衡问题的数学模型
min z 产和m 地，i运应n 到该cn等个ij于x销产ij地地的i的运产量量的。总 i1 j1
销量： b1,b2,,bn
从产地 A i 到销地B j 的单位运价是c ij 。
求总运费最小的调度方案。
2
决策变量 x ij 表示由 A i 到 B j 的运量。
B1 B2
A x x c11
c12
1 11 12
A x x c21
c 22
2 21 22
A x x c m 1
cm2
m m1 m 2
b 销量
r(A)mn1
7
把m+n个约束分别展开，
x11 x12 L x1n a1
m个Lx21
x22 L
L L
x2n L
a2
xm1 xm2 L xmn am
写出其 (m+n) *(m*n)
x11 x21 L xm1 b1
维的
n个
Lx12
x22 L
L L
xm2 L
b2
系数 矩阵
x1n x2n L xmn bn
u1
m个Lx21
x22 L
L L
x2n L
a2
u2 M
xm1 xm2 L xmn am u m
x11 x21 L xm1 b1
v1
n个
Lx12
x22 L
L L
xm2 L
b2
v2 M
x1n x2n L xmn bn v n
12
运输问题的对偶问题
运输问题的对偶问题可写为
m
B1 B 2 B 3 B 4 产量
A1
4 12
4 11 1 6
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11
6 22
销量 8 1 4 1 2 1 4 4 8
6
运输问题数学模型的特点
运输问题肯定有最优解
运输问题约束条件的系数矩阵（下页）
– 约束条件系数矩阵每一列只有两个1，其余 为0；
对产销平衡问题
– 约束条件均为等式，且产量之和=销量之和； – 约束条件的独立方程最多有m+n-1个，即
8
x 1 x 1 1 2 x 1 n x 2 x 2 1 2 x 2 n x m 1 x m 2 x m
1 1
1
1
1 11
P2n
1 1
1
1
1
Hale Waihona Puke 11 11 m
1
n
1
9
x ij 的列向量
0
其中
ei
0 1 0 0
0
P ij
0 1 0 0 1 0
第一节 运输问题及其数学模型
运输问题是一类特殊的线性规划 问题，本节介绍运输问题的数学模型 及其约束方程组的系数矩阵结构的特 殊性，运输问题的对偶问题及其对偶 变量。
1
典型背景：单一物资的运输调度问题
设某种物品有: m个产地： A 1,A 2,,A m
产量： a1,a2,,am
n个销地： B 1,B 2,,B n
n
m ax z aiu i b j v j
i 1
j 1
u i v j cij , i 1,L , m ;
s .t .
j 1,L , n.
ui
,
v
j
无
约
束
13
下一节 表上作业法
最小元素法 伏格尔法
14