反比例函数与图形面积

y
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
C.S1 = S2
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定. C D
5.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1, C1三点,
边结OA, OB, OC, 记OAA1, OBB1, OCC1的
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几 何图形的一类性质.掌握好这些性质,对 解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象 限为例).
做一做
1.如图,点P是反比例函数y 2 图象上 x
的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为1 .
y
P (m,n)
oD
x
2.如图, P是反比例函数y k 图像上的一点,由P分别 x
面积分别为S1, S2 , S3,则有 _A_ .
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
A
C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
S1
B C
S2 S3
o A1 B1 C1
x
11
11
S AOA1

2
|k
|
2 , SBOB1

2
|k
|
, 2
专题一 反比例函数与图形的面积
面积性质（一）
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点, x
(1)过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则：
SOAP

1 2
OA
AP

1 2
|m
|
|
n
|
1 2
|k
|
y
y
P(m,n)
P(m,n)
o
Ax
oA
x
想一想
y
o
若将此题改为过P点作y轴 的垂线段,其结论成立吗?
S OOC1

1 2
|k
|
1 2
,即S1

S2

S3 , 故选A.
6.如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、
D在 轴的正半轴上，点C在 轴的正半轴上，点F
在AB上，点B、E在反比例 函数 y k 的图象上，OA=1，
x
OC=6，则正方形ADEF的面
积为（ B ）
A.2
BA P(m,n)
o
x
SOAP

1 2
OA
AP

1 2
|
m|
|
n
|
1 2
|
k
|
面积性质（二）
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B,
则S矩形OAPB OA AP | m | | n || k | (如图所示).
y
y
B
P(m,n)
o
Ax
变式 2.如图，点 A 是反比例函数 y＝－6x(x＜0)的图象上的一点，过点 A 作▱ABCD，使
点 B，C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ABCD 的面积为( C )
A．1
B．3
C．6
D．12
二、反比例函数与三角形的面积
变式 6.反比例函数 y＝kx的图象如图所示，点 M 是该函数图象上一点，MN 垂直于 x 轴，
A
(2)AOB的面积.
(3)当x为何值时，y1 y2或y1 y2？ O
x
B
解：由y 8 知,当x 2时，y 4;当y 2时, x 4; x
2k b 4 4k b 2
解得bk

1 2
一次函数的解析式为：
y
A
y x 2
面积为 S, 则_C__.
y
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
解:由上述性质(3)可知, S△ABC = 2|k| = 2
o
B
A
x
C
4. 如图:A、C是函数
y

1 x
的图象上任意两点，
过A作x轴的垂线，垂足为B.过C作y轴的垂线,
垂足为D.记RtΔAOB的面积为 S1,
RtΔOCD的面积为 S2 , 则__C_.
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
函数的解析式是 ____ .
解: S矩形APCO | k |,| k | 3.
又图像在二、四象限,
y
PC
k 3 解析式为y 3 .
x
A ox
3.如图, A, B是函数y 1 的图 像上关于原点O对称 x
的任意两点 AC平行于y轴 , BC平行于x 轴 , ABC的
N M
O B （4，－x 2）
y2
一、反比例函数与矩形的面积
变式 1.如图，点 A 在双曲线 y＝4x上，点 B 在双曲线 y＝kx(k≠0)上，AB∥x 轴，分别过
点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( A )
A．12
B．10
C．8
D．6
垂足是点 N.如果 S△MON＝2，则 k 的值为( D )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
变式 7.如图，直线 x＝t(t＞0)与反比例函数 y＝2x，y＝－x1的图象分别交于 B，C 两点，A
为 y 轴上任意一点，则△ABC 的面积为( C )
A．3
3
3
B.2t
C.2
D．不能确定
B
P(m,n)
oA
x
面积性质（三）
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是P(m,n),过P作x轴的垂线
与过P作y轴的垂线交于A点, 则
SΔPAP

1 2
|
AP
AP|
1 2
|
2m
|
|
2n
|
2
|
k
|
(如图所示).
y
o
P/
P(m,n)
x
A
y
o
P/
P(m,n)
x
y
o
P/
P(m,n)
x
O
x
B
（2）△AOB的面积
解：y2 x 2,当y 0时, x 2, M (2,0). y
A
OM 2.
N
作AC x轴于C, BD x轴于D.
MD
AC 4, BD 2,
CO
x
B
SOMB

1 2
OM

BD

1 2
22

2,
SOMA

1 2
OM

AC

1 2

2
4

4.
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(3)当x为何值时，y1 y2或y1 y2？
解：
y
A(2,4), B(4,2).
A （－2，4）
由图象可知：
当-2<x<0或x>4时，y1>y2 y1 当x<-2或0<x<4时，y1<y2
D.12
7.正比例函数y=kx与反比例函数 y=2/x的图象交于A，C两 点,AB⊥X轴于B，CD⊥X轴于D,则 四边形ABC4D的面积是 。
8.如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数
y 8 的图象交于A, B两点,且点A的横坐标和点B x
的纵坐标都是 2.
y
求 : (1)一次函数的解析式;