反比例函数中的面积问题
反比例函数求面积公式大全
反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
中考数学考点系统复习 第三章 函数 方法技巧突破(一) 反比例函数中的面积问题
S 阴影＝|k1|－|k2|
图形
S ＝S －S 阴影 △AOB △AOD 结论 1 1
＝2|k1|－2|k2|
S ＝S －S 阴影 △COB △OCD 11
＝2|k1|－2|k2|
图形
过点 D 作 DF⊥x 轴于点
结论
S 阴影＝S 矩形 －S －S ＝ OABC △OCD △OAE |k1|－|k2|
【模型示例】
图形
结论
S 四边形 PMON＝|k|
S ＝S 四边形 ABCD
四边形 PQMD
2．(2021·荆州)如图，过反比例函数 y＝kx(k>0，x>0) 图象上的四点 P1，P2，P3，P4 分别作 x 轴的垂线，垂足 分别为 A1，A2，A3，A4，再过 P1，P2，P3，P4 分别作 y 轴， P1A1，P2A2，P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从 左到右依次为 S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则 S1 与 S4 的数量关 系为 S1＝S1＝44SS44.
x 轴于点 B，连接 BC，则△ABC 的面积等于
A．8
B．6 C．4 D．2
( C)
模型四：两点两垂线 【模型特征】
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂 线围成的图形面积等于 2|k|.
【模型示例】
图形
结论
S△APP′＝2|k| S 四边形 ANBM＝2|k|
4．(2021·南京)如图，正比例函数 y＝kx 与函数 y＝6x的图象交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则 S△ABC＝1 12 2.
A．4
B．6
C．8
D．12
( C)
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数是数学中比较重要的一种函数类型，在解题过程中也存在许多面积问题。
下面介绍一些解题技巧，帮助大家更好地理解和应用反比例函数的面积问题。
1. 理解反比例函数的定义
反比例函数是指当一个变量的值增加时，另一个变量的值会相应地减小，其函数式表示为
y=k/x(k≠0)。
如果在x的取值范围内对y进行积分，可以得到反比例函数的面积。
在解题时，需要先理解反比例函数的数学定义和性质。
2. 熟练掌握积分运算法则
反比例函数的面积问题需要用到积分运算法则，因此需要熟练掌握积分运算的基本法则和计算方法。
同时也需要掌握一些积分公式，例如x的倒数的积分公式为ln(x)+C。
3. 熟练掌握反比例函数变形技巧
在解题时，有时需要对反比例函数进行变形，例如将y=k/x转化为y=kx^(-1)。
掌握反比例函数的变形技巧有助于更好地解决面积问题。
4. 利用几何图形思维解决问题
反比例函数的面积问题通常涉及到图形的面积计算，因此需要掌握几何图形的基本概念和计算方法。
在解题时，可以利用几何图形思维来解决问题，例如通过画图和分割图形的方法求解。
5. 熟练运用数学知识解决实际问题
反比例函数的面积问题通常涉及到实际问题的解决，因此需要熟练掌握数学知识与实际问题的应用。
在解题时，应该将数学知识与实际情况相结合，运用数学方法求解实际问题。
总之，反比例函数的面积问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
只有在熟练掌握这些知识和技巧的基础上，才能更好地解决反比例函数的面积问题。
- 1 -。
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
反比例函数三角形的面积与k之间的关系
反比例函数三角形的面积与k之间的关系
面积与K之间的关系：
(1) 面积与k成反比：随着k的增大，反比例函数三角形的面积会逐渐
减小。
反之，k减少时面积会逐渐增大。
(2) 面积与K成非线性函数：反比例函数三角形的面积与k之间的关系
呈非线性函数，可以用图形描述出来：随着K的增加，面积则急剧减小；当K为零时，面积最大。
(3) 面积与K成叉乘关系：以K和面积之间的关系来看，K增大，面积
减少，也就是说它们之间存在了叉乘关系。
这也就是说，K和面积之
间会受到双方影响，也就是叉乘关系。
(4)面积与K成指数函数：反比例函数三角形的面积与k之间的关系也
可以表示成指数函数，当K增加时，指数函数表示的面积也会逐渐减小，而K减少时，越来越接近于比例函数的图形。
(5) 面积与K成线性函数：从某种意义上讲，K和反比例函数三角形的
面积之间也存在着线性函数关系，但是仅限于K减小时，也就是说，
当K减小时，面积随着K的减小而略有增加，但是这一增加并不显著。
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
反比例函数与面积问题
课堂小结
反比例函数与 面积问题
根据反比例函 数求图形面积
根据面积求反 比例函数
y P(m,n)
oAx
y
B P(m,n) oAx
y o P(m,n) P/ A x
典例精讲
例：在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的
直线l分别交双曲线������
=
−
������ ������
和
������
=
������������于A，
B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP
的面积等于 ．
典例精讲
S矩形ACBD
典例精讲
类型二： 根据图形面积求反比例函数解析式
例： 如图，双曲线������ = ������
点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存
在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面
积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不
存在，请说明理由．
典例精讲
解：（1）∵y=kx过（﹣1，2）点，∴k=﹣2， ∴y=﹣2x．∵y=������������ 过（﹣1，2）点，∴m=﹣2 ．∴y=﹣������������ ； （2）∵△OPA的面积是������������ m=1，Q点的坐标为 （x，﹣2x），∴������������ •|x|•|﹣2x|=2，x=± ������ ， 因为在第二象限所以Q点的坐标为（﹣ ������ ， 2 ������ ），或（ ������，﹣2 ������）．
初中数学知识点精讲课程
反比例函数与面积问题
反比例函数面积问题的几种形式：
图示一：
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x
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y
B
EC
M
D
A
Ox
如图，点A(-2，0)，B(0，1)，以线段AB为边在第二象限作矩形
ABCD，双曲线（k＜0）过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，
则k的值是（ ）
A．-9
B．-12
y
C．-16
D．-18
C D
B
AO
x
反比例函数中的面积问题
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 x
(1)过P作x轴的垂线 , 垂足为 A,则
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
Hale Waihona Puke k|yP(m,n)
oA
x
y P(m,n)
oA
x
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 x
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B,
SABC SAOB SBOC
D
SAOB
1 2
OB
AB
1 2
xy
1 2
|
k
|
1 2
1
1
11
SBOC
OB CD 2
2
x
y
2
|k
|
2
SABC
1 2
2
1
y x
反比例函数中的面积问题
以形定数 用数解形
两个性质：反比例函数的面积不变性； 中心对称图形
两种思想：分类讨论和数形结合
如图所示，反比例函数（x＜0）的图象经过矩形OABC的 对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D，E，若 BD=3，OA=4，则k的值为_________．
则S矩形OAPB ___K___(如图所示).
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
点拨:将△ABC通过“等积变换”同底等高变为△ABO
y
y
y x
点拨反比例函数是中心 对称图形： SBOC SABO
解：因为点A与点C关于原点中心对称， 设A（x,y），则C(-x,-y),过C点做CD ⊥x轴,垂足为D.