八年级下学期数学专题-反比例函数有关的面积问题

八年级数学反比例函数面积基本模型：如图1,过双曲线()0ky k x=≠上的任一点(),P x y ,作x 轴（或y 轴）的垂线,则122AOPk S x y ∆=⋅=.如图2,过双曲线()0ky k x=≠上的 任一点(),P x y ,作x 轴、y 轴的垂线, 则AOBP S x y k =⋅=矩形.以上是反比例函数图象的一个重要性质,,有广泛的应用. 利用以上结论我们可以解决以下一系列的问题.【例1】如图3,在平面直角坐标系中,点A 、B 在反比例函数xk y =图象上,AC ∥y 轴,BD ∥x 轴,设△AOC 和△BOD 的面积分别 是S 1、S 2,比较它们的大小,可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定【例2】如图4,点A 、B 是双曲线()0ky k x=>上的点,过点 A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,过点B 作BD 垂直于x 轴,垂足为D ,设△AOE 和四边形ECDB 的面积分别是S 1、S 2, 比较它们的大小,可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定(图反比例函数与面积问题【例3】如图5,函数()0y mx m =≠与()0ky k x=≠交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直于x 轴,垂足为C ,则 ABC △的面积为.【例4】如图6-1,函数()0y mx m =≠与()0ky k x=≠垂直y 轴（亦可向x 轴作垂线图6-2）于点C 、D ,则四边形ACBD 的面积为 .【例5】如图7,函数()0y mx m =≠与()0ky k x =≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BD 分别垂直x 与y 轴于点C 、D ,连结CD ,则四边形ACBD 的面积为. 【例6】如图8,函数()0y mx m =≠与()0ky k x=≠的图象交于A 、B 两点,AC 、BF 分别垂直x 于点C 、F , AE 、BD 分别垂直y 于点E 、D , 连结CD ,则六边形AEFBDC 的面积为 . 【例7】如图9,已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数12y x=的图像交于A 、B 两点,且点A 的横坐标是1,点B 的纵坐标是－1 , 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积.(图6-1)(图6-2) (图7)(图8)【例8】如图10-1,函数()0y mx n m =+≠与()0ky k x=≠的图象交于A 、B 两点,则AOB △的面积为 .【例9】如图11-1,双曲线y ＝xk经过矩形BDCO 的边CD 的中点A ,交BD 于点M,四边形OMDA 面积为2,则k 的值为（ ）(A )1 (B )2(C ) 4 (D ) 6【例10】如图12-1,双曲线y ＝xk交矩形BDCO 边BD 于点M ,交边CD 于点A ,且()1BD nBM n =>,四边形OMDA 面积为2,则k ＝_ _．(用含n 的代数式表示)当堂练习【练习1】（2009年钦州市）如图14是反比例函数y ＝kx在第二象限内的图象,若图中的矩形OABC的面积为2,则k ＝_ _．【练习2】(2009年常德市) 如图15-1,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的中心在原点,顶点A 、C 在反比例函数xky =的图象上,AB ∥y 轴,AD ∥x 轴,若ABCD 的面积为8,则k =( )（A ）－2 （B ）2 （C ）－4 （D ）4 【练习3】(2009年河池市) 如图17-1,A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则（ ）（A ）2S = （B ） 4S = （C ）24S << （D ）4S >【练习4】(2009年青海省)如图18,函数y x =与4y x=的图象交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直于y 轴,垂足为C ,则ABC △的面积为 ．【练习5】(2009年青海省)如图19-1,已知双曲线 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点C ．若△OBC ．(图17-1)(图17-2)(图14) (图15-1) (图15-2)(图18) (0)ky k x=＞(图19-1)(图19-2)()20y x x=>【练习6】(2009年宁德市)如图20,已知点A 、B 在双曲线上,AC ⊥x 轴于点C ,BD ⊥y 轴于点D ,AC 与BD 交于点P ,P 是AC 的中点,若△ABP 的面积为3,则k ＝ ．【练习7】(2009年莆田市)如图21,在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====,过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点12345P P P P P 、、、、,得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A 2、、、、， 并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、， 则5S 的值为 ．【练习8】(2009年成都市) 如图16-1,正方形OABC 的面积是4,点B 在反比例函数(00)ky k x x=><，的图象上．若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点,过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为M 、N ,从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积,记剩余部分的面积为S ．则当S =m (m 为常数,且0<m <4)时, 点R 的坐标是________________________(用含m 的代数式表示)(图20)(图21)2ky x=【练习9】(2009年济南市)已知：如图23，正比例函数y ax =的图象与反比例函数的图象交于点()32A ，．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．(图23)武汉市中考、调考题集锦1.( 2012武汉中考)如图，点A 在双曲线y=k/x 的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC 上，且AE=3EC,点D 为OB 的中点,若△ADE 的面积为3，则k 的值为________.2.（2011武汉中考）如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是)2,0(),0,1(--B A ，顶点C ，D 在双曲线xky =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是ABE∆面积的5倍，则=k 。

3．(2011武汉4月考)反比例函数)0(>=x xk y 的图象如图，原点0与图象上的点之间的距离的最小值为3，则=k 。

4.（2010武汉中考）如图，直线b x y +-=33与y 轴交于点A ，与双曲线xky =在第一象限交于B 、C 两点，且4=⋅AC AB ，则=k 。

5．(2010武汉4月调考)如图，B 为双曲线)0(>=x xky 上一点，直线AB平行于y 轴交直线xy =于点A,若422=-AB OB ，则=k 。

6．(2010武汉5月调考)如图，A 、M 是反比例函数图象上的两点，过点M 作直线x MB //轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线y AC //轴交x轴于点C,交直线MB 于点D ．9:8=DM BM ：， 当四边形OADM 的面积为427时，=k 。

7．(2009武汉4月调考)如图，直线xy =向右平移6个单位后得到直线l ,l 与函数)0(6>=x xy 相交于点A ，x 轴相交于点B,则=-22OB OA 。

8.（2008武汉4月调考）如图，直线3+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点，与)0(<=x xky 的图象交于C 、D 两点，点E 是点C 关于A 的中心对称点，OA EF ⊥于F 点．若AOD ∆的面积与AEF∆的面积之和为27时，则=k 。

9.（2008武汉5月调考）如图，正方形ABCD 的边BC 在x 轴负半轴上，),6(n E -是对角线AC 的中点，函数)0(<=x xky 的图象过D 、E 两点，则=k 。

10．(2007武汉4月调考)如图，直线bx y +-=与双曲线)0(1>=x xy 交于A 、B 两点，与x轴、y 轴分别交于E 、F 两点，x AC ⊥轴于C ，y BD ⊥轴于D ，求当b 的值为多少时， BDFACE ∆∆,与ABO ∆面积的和等于EFO ∆面积的43。

面积问题11、如图，已知双曲线)0(>=x xk y 经过矩形OABC 的边AB 、BC 的中点F 、E ，且四边形OEBF 的面积为2，则=k 。

12、如图，已知直线221+=x y 与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线xky =交于点C ，A 、D 关于y 轴对称，若6S =OBCD 四，则=k 。

13如图，双曲线xy 4-=交OAB Rt ∆的斜边OB 于E ，AB EF ⊥于F,21S =∆BEF ，则AF OA⋅= 。

14如图，直线82+-=x y 与x 轴交于A 点，与双曲线交于B 、C 两点，y CD ⊥轴于D ，若,1=-∆∆OCD OAB S S 则=k 。

15．如图，已知双曲线)0(>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则=k 。

16如图，在直角梯形OABC 中，.//OC AB过B 点的双曲线)0(>=k xky 恰好过BC 的中点D ，且ABCOS 梯形=6，则=k 。

17如图，直线221+=x y 分别交x轴，y 轴于A 、C 两点，点P 是该直线与反比例函数xky =在第一象限内的一个交点，x PB ⊥轴于点B 且,9=∆ABPS 则=k18如图，直线bkx y +=与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与双曲线xy 10=交于C ，若AB BC 2=，则AOB S ∆= 。

19如图，双曲线)0(<=k xky 与直线)1(++-=k x y 交于A 、C 两点，x AB ⊥轴于B 点，且23=∆ABO S ，则=∆ABCS 。