反比例函数与图形的面积

一、教学课题: 反比例函数与图形的面积二、教学目标：知识与能力目标：1、了解反比例函数式中的K的几何意义。

2、理解反比例函数与图形面积的在联系。

3、掌握运用数形结合法双向解决反比例函数与图形的面积数学问题。

过程与方法目标：1、通过探索反比例函数与图形面积的在联系，理解反比例函数表达式的中K的几何意义。

2、在解决问题的过程中，体会数形结合思想在数学应用中的重要地位。

3、经历探索反比例函数与图形面积的在联系，体会函数的思想与建模的思想在数学问题中的运用。

情感态度与价值观：1、在小组交流学习活动中学会与人合作获得成功的体验，培养学生的合作意识和乐于探究的良好品质。

2、在探究活动中培养学生学会观察、分析、归纳的能力，培养学生数学类比和数学建模思想。

感悟数形结合思想方法。

3、在问题变式中感受函数图象的简洁美，激发学生学数学的兴趣。

欣赏和感悟，体验数学的价值。

教学重点：探索反比例函数式中的K与图形的面积联系。

教学难点：分析图象息来确定K与图形面积的关系。

三、教材分析人教版第十七章反比例函数是在学完第六章平面直角坐标系和第十四章一次函数的基础上再加深的函数知识学习，教材只安排8个课时掌握其概念、图象和性质，以及用反比例函数分析和解决实际问题等抽象的新知。

大部分学生实在有点吃不消，有点水过鸭背的感觉。

而反比例函数的图象与几何图形往往结合紧密，如何识别图象息来解决数学问题对初学反比例函数的八年级学生来说是一大难点，也是近几年各省市中考数学试题中的热点方向。

而这类以反比例函数为背景的图形面积题型在教材中没有系统呈现，但在教辅资料、考题中常见，学生在解此类题型由于缺乏方法而颇感吃力，但它的掌握又直接影响到后续的中学会考。

我结合平时教学并参考了网上资源而设计了本节课，作为此章知识学习的拓展和补充，四、设计理念义务教育数学（7-9年级）教学指导意见（2012年版）提到：数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下的生动活泼地、主动地、富有个性地学习；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展。

基于此认识本课设计围绕反比例函数中K 的几何意义解决简单的图形面积问题为中心，利用互联网百度有关资源加以整合和拓展，通过情景引入─小组探究─反思小结─学以致用─自我提高等一系列活动，采用以“递进探究法”为主，类比法、变式教学法、分组合作交流法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，充分关注学生的个性差异，因材施教，由易到难突出重点。

引导学生通过观察、思考、探索、交流，获得解决反比例函数与图形面积问题的技能，意在帮助学生理顺知识体系，归纳解题要点及方法。

教学中注重师生双边活动、小组交流突破难点，激发不同层次的学生积极参与数学思维活动，而学生更可借助互联网上资源进行二次学习与拓展，充分发挥学生的主体作用。

及时评价学生的创新思维，让学生建立起自信心，逐次营造“会学”、“乐学”的氛围来达成本课教学目标。

五、教学方法：递进探究法 类比法，合作交流法，变式教学法，多媒体辅助教学法六、教学过程：（一）课前小测(限时4分钟)：1、一个反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点P （-2，-1），则该反比例函数的解析式是___ ．2、已知反比例函数xm y 5-=的图象在第二、四象限，则m 的取值围是 。

3、已知点A （m ，2）在双曲线xy 2-=上，则=m 。

4、函数22)1(--=mx m y 是反比例函数，则=m .。

教师活动】通过几何画板展示下图：动点P 在反比例函数xky =上，PA ⊥x 轴于A 点，动进而提出问题：1、点在反比例图象上移动，三角形OPA 面积怎样变化?2、改变k （正负）的值三角形OPA 面积又怎样变化？【学生活动】观察情景，回顾旧知，归纳：此三角形的面积不受P 点位置影响，它是k 的一半（K 的几何意义）。

【教师活动】引导全体学生得出结论，并提问学生怎样得出？认清其关系：k xy PA OA S OPA212121==•=∆，这是本节课开端又是重点的地方，教师一定要强调加深认识！【设计意图】通过运用多媒体几何画板软件动解反比例函数与图形的面积，直观清晰地揭示图形面积与K 的变化规律，并结合学生已有的知识，使其认识到K 的几何意义，从而切入本节课解决的中心问题。

（二）、小组探究（15分钟）【探究1】例1、反比例函数xk y =的图像如图1所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2=∆MON s ，则k 的值为.（反比例函数与三角形）【学生活动】根据情景展示得出K 的几何意义，并注意到函数所在的象限，较易得到本题答案4-=k，【师生活动】形成解决此类问题方法，熟知k s MON 21=∆。

【变式1】：如图2，已知点P 在函数)0(2>=x xy的图像上，x PA ⊥轴、y PB ⊥轴，垂足分别为A 、B ，则矩形OAPB 的面积为 . （反比例函数与矩形）【变式2】如图3，已知点A 在函数)0(3>-=x x y的图像上，y AB ⊥轴于B ，OC=AB,则四边形OCBA 的面积为 . 【变式3】、如图4，P 是反比例函数)0>=x xky（图象上一点，过点P 作x PB ⊥轴于点B ，点A 在y 轴上，ABP ∆的面积为2，则K 的值为 【学生活动】三题变式演练，初试身手，尝试成功。

变式1抓住矩形由两个直角三形组成，变式2四边形OCBA 为两个全等三角形，而变式3则抓住三角形面积计算式即可通过思考、比较，轻易得出答案。

【设计意图】例1设置是情景展示的初步理解与再现，一方面引导学生思维进入本节课，让学困生初尝自我能解决问题而获得成功感，另一方面通过简单的图形变式，使其进一步拓宽K 与图形面积的关系，加深学生对图形面积与K 的关系认识。

【即时反馈】 1、反比例函数xy k=的图像如图5所示，点A 是该函数图像上一点， AB 垂直于y 轴，垂足是点N ，如果4=∆AOB s ，则k 的值为.2、如图6，已知点A 在函数)0(6>-=x xy的图像上，x AC ⊥轴、 y AB ⊥轴，垂足分别为C 、B ，则矩形OCAB 的面积为 .【学生活动】自我检测，运用刚掌握的知识完成上两题，结合各自答案举手互证。

【教师活动】根据学生的完成情况及时补充。

【设计意图】设置两小题同类题型训练，让学生寻找图形中的“不同中的相同”找出问题的所在，进而解决问题，旨在唤起中下生的自信心，既实时了解学生掌握情况，又能达到即时巩固目的，为解决探究2的积聚自信心。

【探究2】例2 如图7，反比例函数)0(5>=x xy 的图像与直线)0(>=k kx y 相交于A 、B 两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位.【学生活动】分组讨论，小组自我分析图形：或找三角形的高及底，或分拆三角形，结合反比例函数解析式中K 的几何意义，问题得以解决。

设计意图】引领学生层层递进式学习，用图形的延展性逐步拓宽学生的思维，实现学生认知的螺旋上升，让所有学生都兴奋地参与探索、合作交流，继而兴趣盎然地投入下两变式题思考：【变式1】如图8，直线mx y=与双曲线xky =交于点A 、B. 过点A 作 AM ⊥x 轴，垂足为点M 连接BM. 若1=∆ABM S ，则k 的值是 .【变式2】如图9，直线mx y=与双曲线xky =交于点A 、B 过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴、BN ⊥x 轴，垂足分别为M 、N ，连接BM 、AN. 若S AMBN =1，则k 的值是 .（反比例函数与平行四边形）【学生活动】再试身手，以小组合作形式积极探寻解答的方法。

【教师活动】适时给予小组提点：变式1抓住反比例函数上A,B 两点关于O 对称知⊿AMO 与⊿BOM 等底等高面积相等，变式2则是在变式1的基础上延伸（对称性），从而打开思路。

以助学生小走弯路。

【设计意图】：通过图形的变式，把问题逐次递进，让学生下自主探究中渐次总结，积累方法，从而逐步突破本节课难点。

（三）、反思小结、提升自我（5分钟）【教师活动】提出问题：学习至此你有什么收获？引导学生总结：1、抓住图形的特点进行分解与合并；2、从K 的几何意义入手；3、结合反比例函数图象的对称的性质。

积极评价不同层次的学生（小组）对学习容的不同认识，及时肯定其闪光思维。

【学生活动】积极思考总结，互相补充，学有所得，以便今后解题触类旁通。

【设计意图】师生互动，针对本节课引导学生对学习中所运用的数形结合法等进行小结、反思。

加深对本节容的学习，从而提高学生自主拓展知识和分析、解决问题的能力。

（四）、学以致用，突破自我：（10分钟） 【探究3】例3、如图8，已知双曲线)0(>=x xky 经过矩形OABC 边AB 的中点F ， 交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k= . 【学生活动】结合图中的信息，由各小组派出代表讲解。

【教师活动】适时纠正，点拨：矩形OABC 的面积可看作OEBF AOF COE S S S 四边形++∆∆，△AOF ，△COE 的面积和即为K ，矩形OABC 的面积？考虑F 为AB 的中点，其面积应为4个△AOF 的面积。

【变式】．如图，反比例函数（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ， 若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =，S △OAD =， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG =|k|， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴S 矩形ABCO =4S □ONMG =4|k|，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则k +9=4k ， 解得：k=3． 故选C ．【设计意图】通过问题的设置，让学生思维分层递进，由易到难，由简到繁，旨在呼唤每一位学生都来参（五）、自我提高，拓宽视野(5分钟)【展示】1.如图11，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====， 过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角 三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积 分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．【学生活动】：综合运用所学分析图形特点，构造图形解决问题。