3.6反比例函数与图形的面积(2015年)

1. (2015 湖北省咸宁市) 如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端
点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
答案：解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：
①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，
则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．
把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，
得，解得，
∴y=﹣x﹣3．
综上所述，新函数的解析式为y=；
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=上，
∴k=1×4=4，y=．
∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（，m+3），
∴PD=﹣m，
∴△PAD的面积为
S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当m=﹣时，S有最大值，为，
又∵﹣3＜﹣＜1，
∴△PAD的面积的最大值为；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形．
2. (2015 辽宁省锦州市) 如图，点A在双曲线y=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是．
答案：
分析：根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可得|k|=S△AOB=2，据
此求出k的值是多少即可．
解答：解：∵△AOB的面积是2，
∴|k|=2，
∴|k|=4，
解得k=±4，
又∵双曲线y=的图象经过第二、四象限，
∴k=﹣4，
即k的值是﹣4．
故答案为：﹣4．
点评：此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上
任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
3. (2015 贵州省黔西南州) 如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x 轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ．
答案：
分析：由于点A是反比例函数y=上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值即可求出．
解答：解：由题意得：S矩形ABOC=|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则k=﹣4，
故答案为：﹣4．
点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
4. (2015 浙江省湖州市) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= (x<0)图象上一点，AO的延长线交函数y= (x>0，k是不等于0的常
数)的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，
CC′，C′A′，A′A 所围成的图形的面积等于( )
A. 8
B. 10
C. 3
D. 4
答案：
答案B.
解析
试题分析：如图，连接O A′,由点A和点A′关于y轴的对称可得∠AOM=∠A′OM，又因∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等
可得∠BOC= A′OB；又因点C与点C′关于x轴的对称，所以点A、A′、
C′三点在同一直线上.设点A的坐标为（m，
），直线AC经过点A，可求的直线AC的表达式为.直线AC 与函数y=一个交点为点C,则可求得点C的坐标当k＜0时为（mk，），当k＞0时为（-mk，）,根据△ABC
的面积等于6可得，解得.或
，解得，所以y=.根据反比例函
数比例系数k的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为1，△CO C′的面积为9，所以线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积，即线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于10，故答案选B.
5. (2015 四川省资阳市) 如图7，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直
线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数
8
y
x
=（x＞0）和
k
y
x
=（x＞0）的图象交于P、Q两点，
若S△POQ=14，则k的值为__________．
答案：
分析：由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|+×|8|=14，然后结合函数y=的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值．
解答：解：∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，
∴|k|+×|8|=14，
∴|k|=20，
而k＜0，
∴k=﹣20．
故答案为﹣20．
点评：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了反比例函数与一次函数的交点问题．
6. (2015 四川省凉山州) 以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（）
A．10 B．11 C．12 D．13
答案：
分析：根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解．
解答：解：∵双曲线y=经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4=12．
故选：C．
点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
7. (2015 甘肃省兰州市) 如图，点P ，Q 是反比例函数x
k
y
图象上的两点，PA ⊥y 轴于点A ，QN ⊥x 轴于点N ，作
PM ⊥x 轴于点M ，QB ⊥y 轴于点B ，连结PB ，QM ，记△ABP 的面积为S 1，△QMN 的面积为S 2，则S 1_____S 2
（填“>”或“<”或“=”）
答案：答案=
解析
试题分析：有反比例函数的几何性质可知四边形APMO 的面积=四边形OBQN 的面积 ∴四边形APEB 的面积=四边形MEQN 的面积 又有题意可知S 1=21倍四边形APEB 的面积，S 2=2
1
倍四边形OBQN 的面积 所以S 1=S 2
8. (2015 甘肃省南州市) 如图，点A 在双曲线
上，点B 在双曲线y=上，且AB ∥x 轴，C 、
D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 ．
答案：分析： 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的
矩形的面积S 的关系S=|k|即可判断．
解答： 解：过A 点作AE ⊥y 轴，垂足为E ， ∵点A 在双曲线
上，
∴四边形AEOD 的面积为1，
∵点B 在双曲线y=上，且AB ∥x 轴， ∴四边形BEOC 的面积为3，
∴四边形ABCD 为矩形，则它的面积为3﹣1=2． 故答案为：2．
点评： 本题主要考查了反比例函数
中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴
垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
9. (2015 广东省深圳市) 如图
，已知点A 在反比例函数
)0(<=
x x
k
y 上，作
RT ⊿ABC ，点D 为斜边AC 的
中点，连DB
并延长交y 轴于点E ，若⊿BCE 的面积为8，则k=。

答案：答案16
解析由题意，
1
2
BCE
S BC OE
＝8。