反比例函数与图形面积
浙教版八年级下专题九 反比例函数与图形的面积
专题九反比例函数与图形的面积(教材P147作业题第3题)已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上一点的坐标为(－1，－4)，求这个反比例函数的表达式，并画出它的图象．解：y＝4x，图略．【思想方法】反比例函数k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的横，纵坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴分别作垂线，两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为常数，即S＝|k|.一反比例函数与矩形的面积[2011·漳州]如图1，点P(x，y)是反比例函数y＝3x的图象在第一象限分支上的一个动点，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积(A)图1A．不变B．增大C．减小D．无法确定[2012·丹东]如图2，点A是双曲线y＝kx在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴，坐标原点，y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为(D)图2A．－1B．1C．2D．－2【解析】先判定出四边形ABCD是矩形，再根据反比例函数的系数的几何意义，用k表示出四边形ABCD的面积．∵四边形ABCD的面积是8，∴4×|－k|＝8，解得|k|＝2，又∵双曲线位于第二、四象限，∴k＜0，∴k＝－2.[2012·黔东南州]如图3，点A是反比例函数y＝－6x(x<0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为(C)图3A．1 B．3 C．6 D．12【解析】过点A作AE⊥OB于点E.变形3答图因为矩形ADOE的面积等于AD·AE，平行四边形ABCD的面积等于AD·AE，所以▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6.故选C.如图4，A、B是双曲线y＝kx上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3＝1，且S1＋S2＝4，则k值为(C)图4A．1 B．2 C．3 D．4如图5，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为9，则k的值为(C)图5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意，得点E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE ＝|k |2，S△OAD ＝|k |2.过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 矩形ONMG ＝|k |， 又∵点M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S 矩形ONMG ＝4|k |.∵函数图象在第一象限，∴k ＞0，则k 2＋k2＋9＝4k ，解得k ＝3.故选C.[2013·泸州]如图6，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数)，则点P 3的坐标是__(3＋2，3－2)__；点P n 的坐标是__(n ＋n －1，n －n －1)__(用含n 的式子表示)．图6二 反比例函数与三角形的面积[2012·毕节]如图7，双曲线y ＝kx (k ≠0)上有一点A ，过点A 作AB ⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为__y＝－4x__．图7如图8，点A，B是函数y＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(B)图8A．S＝2B．S＝4C．2＜S＜4 D．S＞4【解析】设点A的坐标为(x，y)，则B为(－x，－y)，xy＝2.∴AC＝2y，BC＝2x.∴△ABC的面积为2x·2y÷2＝2xy＝2×2＝4.[2012·岳阳]如图9，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝2x的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连结AO，BO.下列说法正确的是(C)图9 A．点A和点B关于原点对称B．当x<1时，y1>y2C．S△AOC＝S△BODD．当x>0时，y1，y2都随x的增大而增大正比例函数y＝x与反比例函数y＝1x的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D(如图10)，则四边形ABCD的面积为(C)图10A．1 B.5 2C．2 D.2 5三反比例函数与其他几何图形如图11，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过点A，则k的值为(D)图11 A．－6B．－3C．3D．6[2012·荆门]如图12，点A是反比例函数y＝2x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝－3x的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中点C，D在x轴上，则S▱ABCD为(D)图12A．2 B．3 C．4 D．5【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b.把y＝b代入y＝2x ，得b＝2x，则x＝2b，即A的横坐标是2b；同理可得B的横坐标是－3b.则AB＝2b －(－3b)＝5b.则S▱ABCD＝5b·b＝5.如图13，已知函数y＝2x和函数y＝kx的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E.若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是__P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)__．图13[2012·丽水]如图14，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝kx(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4.图14(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．解：(1)过点C作CG⊥OA于点G.∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC＝2，∠AOB＝60°，∴OG＝1，CG＝3，∴点C的坐标是(1，3)．由3＝k1，得k＝3，∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝3x.(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝3a，∴点D的坐标为(4＋a，3a)．上的点，由xy＝3，得∵点D是双曲线y＝3x3a(4＋a)＝3，即a2＋4a－1＝0，解得a1＝5－2，a2＝－5－2(舍去)，∴AD＝2AH＝25－4.∴等边△AEF的边长是(45－8)．。
反比例函数求面积公式大全
反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
反比例函数关系式中k与图形面积的关系
作EB、FC、GD垂直于x轴，垂足分别为B、C、D，且 OB=BC=CD，△OBE的面积记为S1，△BCF的面积记为S2， △CDG的面积记为S3，若S1+S3=2，则S2= ．
变式：如图,直线 和双曲线 交于A、B亮点,P是线段AB上的
点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足 分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、 △BOD面积是S2、△POE面积是S3、则S1,S2,S3的大小 关系是（ ）
双曲线在第一象限内的图象如图所示作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于ab两点连接oaob则aob的面积为12yyxx??和1saof2在一次函数反比例函数的图象组合图形的面积计算要注意选择恰当的分解方法
专题习题课
反比例函数关系式中k与 图形面积的关系
k 点P为反比例函数 y 上任意一点，求 x S矩形OAPB
当堂检测：
1.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作 轴于点B，点P在x 轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。
当堂检测：
2.双曲线 在第一象限内的图象如图所示，作一条平 行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则 △AOB的面积为（ ） 3.如图，在直角坐标系中， A点 是 轴正半轴上的一个定点， 3 点 B是双曲线 y 上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， x △OAB的面积将会( ) A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小
5、根据面积求k值要注意图象的象限、K值的符号.；
x
2.如图，A、B两点在双曲线y= 4 上，分别经过A、B两点向轴作 ）
热身运动
3.如图，点A、B在反比例函数 (k>0，x>0)的图象上，过点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C， 若OM= MN= NC，△AOC的面积为6，则k的值为
反比例函数与图形面积
计算定积分
利用定积分的几何意义， 计算直线与双曲线所围成 的图形面积。
注意事项
在计算过程中，需要注意 积分上下限的确定以及被 积函数的正负问题。
参数方程在面积计算中应用
参数方程表示
对于某些复杂图形，使用 参数方程表示更为方便。
面积元素计算
根据参数方程，计算面积 元素并对其进行积分。
注意事项
在使用参数方程计算面积 时，需要确保参数范围选 取合适，且要注意参数方 程的正负问题。
02
圆形面积计算：根据圆形面积公式$S = pi r^2$（其中$r$为圆形半径）， 计算圆形区域的面积。
03
反比例函数图像面积计算：通过极坐 标下的定积分计算反比例函数图像在 圆形区域内的面积，即 $int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(theta)}^{r_2(theta)} frac{k}{r} rdrdtheta$（其中$k$为反 比例函数的常数，$theta_1$和 $theta_2$为交点极角，$r_1(theta)$ 和$r_2(theta)$为交点极径）。
指数函数图像与 $x$ 轴围成的封闭 图形面积可以通过定积分
$int_{x_1}^{x_2} a^x dx$ 来计算， 其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是指定的积分
上下限。
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的图像是一个对数曲线。 当 $a > 1$ 时，曲线上升；当 $0 < a < 1$ 时，曲线下降。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值逐渐减小。
当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像位于 第一、三象限；当 $k < 0$ 时，反比例 函数的图像位于第二、四象限。
反比例函数中的面积很全面课件
05
反比例函数中的面积的深入探讨
面积的几何意义
面积
01
表示一个平面图形所占的范围。
计算方法
02
通过数格子或使用公式计算。
几何意义在反比例函数中的应用
03
通过图形直观地理解反比例函数的性质和变化规律。
面积与反比例函数的关系的深入理解
1 2
反比例函数的图像
双曲线，分布在两个象限内。
面积与反比例函数的关系
与幂函数的联系
幂函数和反比例函数在形式上也有所不同，但它们在某些情况下也可以相互转化 。例如，当反比例函数的分子和分母都为常数时，它可以转化为幂函数的形式。 这种转化有助于我们更好地理解和应用这两个函数。
幂函数和反比例函数在图像上也有所不同。幂函数的图像是一条直线或者是一个 点，而反比例函数的图像是双曲线。但它们在坐标轴上的交点可以通过求解方程 得到，这对于解决一些实际问题非常有用。
，即需求量与价格成反比。
在数学问题函数可以用于解决一些与面积和体积有关的 问题，例如计算由反比例函数图像围成的区域的面积。
概率论
在概率论中，反比例函数用于描述某些事件的概率分布，例如泊松 分布。
数列
在数列中，反比例函数可以用于研究数列的性质和规律，例如等差 数列和等比数列的通项公式。
01
02
03
奇偶性
由于反比例函数的图像关 于原点对称，因此它是奇 函数。
单调性
在各自象限内，反比例函 数是单调递减的。
有界性
反比例函数的值域是除0 以外的所有实数，因此它 是无界函数。
02
反比例函数中的面积
面积的基本概念
面积
一个平面图形所占的二维 空间大小，通常用数值表 示。
例析反比例函数与三角形面积的关系
例析反比例函数与三角形面积的关系
函数与三角形面积的关系是一个重要的数学研究领域，深入了解它们之间的联系有助于我们更好地理解微积分或几何学中复杂的函数概念。
反比例函数是定义在实数集合上的函数，通常使用y = k/x 来表示它，其中k是常数，x是变量。
该函数的图
像是一条直线，当x的增加时，y的减少与它成反比。
也就是说，增加一个x的值将减少k/x 的值，这就是反比例函数的性质。
三角形的面积是指由三点构成的一个正多边形中的面积，可以使用“海伦-勾股定理”来计算它，由a，b，c三边
表示为：
面积= 根号(s(s-a)(s-b)(s-c))
其中s= (a+b+c)/2 。
反比例函数和三角形面积是有关联的，它们都可以用于
描述相关性。
例如，“海伦-勾股定理”中，如果一个三
角形的边长a增加，则边长b和c的大小将使面积降低。
因此，这两个值之间的联系是以反比例函数来表示的。
另外，在几何学中，反比例函数也可以用来描述两个三角形之间的关系，例如，当一个三角形的边长增加时，另一个三角形的边长将减少，这也能以反比例函数形式表示。
总之，反比例函数与三角形面积之间有着很多有趣的关系，它可以用于几何和数学问题的研究，从而帮助我们理解更多关于微积分和几何的知识。
反比例函数中及面积有关的问题
反比例函数中与面积有关的问题知识点回忆由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。
这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识内容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k〔k＞0〕经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直※1、如图，双曲线y=x角边AB相交于点C．假设△OBC的面积为6，那么k=______．最正确答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比拟它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。
反比例函数与图形面积题
①求这个一次函数的解析式；
②求 的面积
图1
2.如图2，已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数 的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，
①求点A、B、D的坐标；
②求这一次函数和反比例函数的解析式；
③求
图2
（1）一次函数的解析式
（2） 的面积
图10
三.反比例函数与平行四边形面积
例9.如图（11），正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为____________。
图11
例10.如图（12），A、C是双曲线上关于原点O对称的任意两点，AB垂直y轴于B，CD垂直y轴于D，且四边形ABCD的面积为6，则这个函数的解析式为________。
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当 时，求点P的坐标；
图3
二.反比例函数与三角形面积
1.反比例函数与直角三角形面积
例3.如图（4），点A在反比例函数 的图象上，AB垂直于x轴，若 ，那么这个反比例函数的解析式为_____________。
图4
例4.如图（6），过反比例函数 的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E， 与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（）
反比例函数与图形面积
一.反比例函数与矩形面积
例1.如图（1），P是反比例函数 的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（）
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例2.（01年福建福州）如图（3），已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数 的图象上，点P（m，n）是函数 的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。
（1）求B点坐标和k的值；
例6.（03年重庆市）如图（8），函数 与 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则 的面积为__________。
图8
解：由题意易知 ，而 与 以OC为底时等高
例7.（00年天津C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，若 面积为S，则（）
反比例函数与图形面积
中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。下面笔者就有关反比例函数与图形面积的题型略加以说明。
一.反比例函数与矩形面积
图4
解：设A点坐标为（x，y），则
点A在第二象限，
评析：如图（5），由上述例题可知，若点A是反比例函数 图象上的任意一点，且AB垂直于x轴（或y轴），垂足为B，则
图5
例4.（02年青海）如图（6），过反比例函数 的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E， 与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（）
（2）当 时，求点P的坐标；
（3）略
图3
解：（1）依题意，得 ， B点的坐标为（3，3）
依题意易得 ，又 点P在第一象限
（2）由题意易得
①
②
联立①②解，得
点P的坐标为（6， ）或（ ，6）（此种情况的求法与上述方法一样，在此不再详解）
二.反比例函数与三角形面积
1.反比例函数与直角三角形面积
例3.（04年辽宁锦州）如图（4），点A在反比例函数 的图象上，AB垂直于x轴，若 ，那么这个反比例函数的解析式为_____________。
③求
图2
参考答案：
1.① ；②16
2.①A（－1，0），B（0，1），D（1，0）
② ；
③3：4
练习题：
1.如图1，乙知反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于点P和Q，并且点P的纵坐标为6。
①求这个一次函数的解析式；
②求 的面积
图1
2.如图2，已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数 的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，
①求点A、B、D的坐标；
②求这一次函数和反比例函数的解析式；
解得
所求一次函数的解析式为
（2）易得直线 与x轴的交点C的坐标为（2，0）
评析：反比例函数与斜三角形面积问题和反比例函数与直角三角形面积类似，解题时要注意将斜三角形转化为直角三角形来思考。
三.反比例函数与平行四边形面积
例9.如图（11），正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为____________。
A. S＝1B. S＝2C. S＝3D. S的值不能确定
图9
解：此题的解法与例6类似，
选A
例8.（03年四川）如图（10），已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
（1）一次函数的解析式
（2） 的面积
图10
略解：（1）易得A、B的坐标分别为（－2，4），（4，－2）
图11
解：由题意易得，四边形ABCD为平行四边形，而 ，所以四边形ABCD的面积
例10.如图（12），A、C是双曲线上关于原点O对称的任意两点，AB垂直y轴于B，CD垂直y轴于D，且四边形ABCD的面积为6，则这个函数的解析式为________。
图12
解：略
评析：此类题的思路是要将平行四边形的问题转化为三角形来做。
例1.（01年山东荷泽）如图（1），P是反比例函数 的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（）
图1
A. B.
C. D.
解：设点P的坐标为（x，y），则
又 点P在第四象限，
评析：如图（2），若A点是反比例函数 图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC的垂直于y轴，垂足为C，则矩形面积 。
A. B.
C. D.大小关系不能确定
图6
解：依题意，得
即 ， 选B
例5.如图（7），A、B是函数 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴， 的面积为S，则（）
A. S＝1B. C. S＝2D.
图7
解：设AC交x轴于D点，易得 ，又 ，且
所以
故选取C
2.反比例函数与斜三角形面积