江苏省南通市如东县2019-2020学年高一第二学期期中考试数学试卷含答案
EF ⊄ 平面 A1ACD1， AD1 ⊂ 平面 A1ACD1， 所以 EF ∥ 平面 A1ACD1；
…………………… 6 分
（2）在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，连 AD1
C1D1 ⊥ 平面 A1ADD1，所以 AC1 在平面 A1ADD1 中的射影为 AD1，
所以 ∠ C1AD1 为直线AC1与平面 A1ADD1 所成角
1048t2 - 24t + 7
………………… 7 分
所以经过 t 小时后，甲、乙两军舰距离 CD = 1048t2 - 24t + 7 （t > 0） … 8 分
因为 CD = 1048t2 - 24t + 7 = 10
48(t - 14 )2 + 4
因为
>
0，所以当
t
=
1 4
时，甲、乙两军舰距离最小为
A. 0
B. -43
C. 0 或 -43
D.
-12
或
2 3
()
6. 给出下列四个说法，其中正确的是
()
A. 线段 AB 在平面 α 内，则直线 AB 不在平面 α 内 C. 两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点
B. 三条平行直线共面 D. 空间三点确定一个平面
7. 已知直线 ax + y - 2 + a = 0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 a =
x - 4
k-
y + 3 = 0，可得
x--y
4=0 +3=
0
⇒
xy
= =
4 3
高一数学(答案) 第 5 页（共 4 页）
所以直线 l 过定点 M 4, 3 . （2）由圆的几何性质可知，当直线 l ⊥ MC 时，弦长最短，
因为直线 MC 的斜率为 -1，所以直线 l 的斜率为 1， 此时直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0. 分
19（. 本小题满分 12 分） 已知直线 l : kx - y - 4k + 3 = 0k ∈ R ，圆 C : x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = 0. 1 求证：直线 l 过定点 M ，并求出点 M 的坐标； 2 若直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，当弦长 AB 最短时，求此时直线 l 的方程.
B0, 2 ，且 AC = BC，则 △ ABC 的欧拉线方程为
()
A. x - 2y + 3 = 0 B. 2x + y - 3 = 0 C. x - 2y - 3 = 0 D. 2x - y - 3 = 0
10. 如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 = AB = AC = BC，则异面直线 AB1 和 BC1 所成角的余弦值为( )
由正弦定理可得
AC sin 60°
=
sin ∠BCBAC，解得
∠
BAC
=
30°
.
得 ∠ ACB = 90°，即 AC ⊥ BC；
又 PC ⊥ 平面 ABCD， AC ⊂ 平面 ABCD，故可得 PC ⊥ AC，
又 BC, PC ⊂ 平面 PBC，且 BC ∩ PC = C，
可得 AC ⊥ 平面 PBC，又因为 PB ⊂ 平面 PBC，
AC = CD， AC ⊥ CD，当 ∠ ABC 变化时，则 BD 的最大值为
.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
17（. 本小题满分 10 分） 在 △ ABC 中，角 A，
B，
C
所对的边分别为
a，
b，
c，若
a
=
1，
18. 解：（1）连接 BC1,在 ΔBDC1 中，由 E, F 分别为 BC, CC1 的中点，
可得： EF ∥ BC1， 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB ∥ C1D1， AB = C1D1， 因此四边形 ABC1D1 为平行四边形，所以 BC1 ∥ AD1 所以 EF ∥ AD1,
图，根据产品标准，单件产品长度在区间 [25， 30）的为一等品，在区间 [20， 25）和 [30， 35）的为
二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为
()
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
5. 已知直线 a + 2 x + 2ay - 1 = 0 与直线 3ax - y + 2 = 0 垂直，则实数 a 的值是
.
15. 如右图，从 200m 高的电视塔塔顶 A 测得地面上某两点 B， C 的俯角分别为 30° 和 45°，
∠ BAC = 45°，则 B, C 两点间的距离为
m．(俯角：在垂直面内视线与水平线的
夹角)
16. 平面四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 的交点位于四边形的内部，已知 AB = 1， BC = 2，
点
R，使得
PQ PR
为定值？若存在，请求出定点
R
的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
2019～ 2020 学年度第二学期高一期中考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. B 2. A 3. A
抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为
()
A. 100
B. 150
3.
在△
ABC 中，若 a
=
2, b = 2 ,
A=
π ，则 4
B
=
A.
π 6
B.
π 4
C. 200
C.
5π 6
D. 250
D.
π 6
或
5π 6
()
4. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 200，下图为检测结果的频率分布直方
…………………… 6 分 …………………… 12
20. 解：（1）因为 EF// 平面 ABCD， EF ⊂ 平面 PAC，平面 PAC ∩ 平面 ABCD = AC，
由线面平行的性质定理，可得 EF//AC.
…………………… 5 分
（2）在三角形 ABC 中，因为 AC = 3 BC，且 ∠ ABC = 60°，
A. -12
B.
1 2
C. -14
D.
1 4
二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
11. 已知角 A, B, C 是 △ ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有
20（. 本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P - ABCD 中，点 E, F 分别是侧棱 PA, PC 上的点，且 EF// 底面 ABCD.
1 求证： EF//AC；
2 若 PC ⊥ 底面 ABCD， AC = 3 BC， ∠ ABC = 60°，求证： EF ⊥ PB.
21（. 本小题满分 12 分） 根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外）,在公海上的安全距离为 20 mile （即 距离不得小于 20 mile)，否则违反了国际海洋安全规定. 如图，在某公海区域有两条相交成 60∘ 的直 航线 XX /, YY /，交点是 O，现有两国的军舰甲，乙分别在 OX , OY 上的 A, B 处，起初 OA = 30 mile, OB = 10 mile，后来军舰甲沿 XX / 的方向，乙军舰沿 Y /Y 的方向，同时以 40 mile/h 的速度航行. 1 起初两军舰的距离为多少？ 2 试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由.
22（. 本小题满分 12 分）
已知圆 O : x2 + y2 = 1 和点 M (-1, -4).
1 过点 M 向圆 O 引切线，求切线的方程；
2 求以点 M 为圆心，且被直线 y = 2x - 12 截得的弦长为 8 的圆 M 的方程；
3 设 P 为（2）中圆 M 上任意一点，过点 P 向圆 O 引切线，切点为 Q，试探究：平面内是否存在一定
A. sinB + C = sin A C. 若 A > B, 则 sin A > sin B
B. cosA + B = cosC D. 若 sin2A = sin2B，则△ ABC 是等腰三角形
()
12. 正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， P， Q 分别为棱 BC 和 CC1 的中点，则下列说法正确的是
在答题卡相应位置上．
13.
13 2
14. (x - 1)2 + y2 = 5
15.2002
16. 22 + 1
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17. 解：（1）在 △ ABC 中，由正弦定理有：
a sin A
=
则 AC ⊥ PB；又因为 EF//AC，
得 EF ⊥ PB，即证
. …………………… 12
分
21 解：（1）连结 AB，在 ΔABO 中，
由余弦定理得 AB = 100 + 900 - 2 × 10 × 30 × cos60o = 107
所以：起初两军舰的距离为 107mile. ………… 4 分
（2）设 t 小时后，甲、乙两军舰分别运动到 C, D，连结 CD
当
0
<
t
≤
2019-2020年高一(下)期中数学试卷 含解析
2019-2020年高一（下）期中数学试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（xx春•南通校级期中）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，即可解出．解答：解：不等式x2﹣x﹣2＜0化为（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2．∴不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）（xx春•南通校级期中）△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则c=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据，即可得解．解答：解：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣2×=3，解得c=．故答案为：．点评：本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）（xx春•南通校级期中）在等差数列{a n}中，a5+a6=35，则S10=175．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质得：a5+a6=a1+a10=35，再由等差数列的前n项和公式求出S10的值．解答：解：根据等差数列的性质得：a5+a6=a1+a10=35，∴S10==5×35=175，故答案为：175．点评：本题考查等差数列的性质、前n项和公式的合理运用，是基础题．4．（5分）（xx•黔东南州一模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．5．（5分）（xx春•南通校级期中）已知数列{a n}中，，则该数列{a n}的前10项和为．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设数列{a n}的前n项和为T n，由知利用错位相减法求前n项和，从而解得．解答：解：设数列{a n}的前n项和为T n，∵，∴T n=1×+2×+…+n•，①2T n=1+2×+…+n•，②②﹣①得，T n=1+++…+﹣n•；故T n=1+++…+﹣n•=2[1﹣]﹣n•；故T10=2﹣=；故答案为：．点评：本题考查了错位相减法求数列的和的应用，属于基础题．6．（5分）（xx春•南通校级期中）若不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则a+b=3．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），可得a＜0，﹣1，3为一元二次方程ax2+（b﹣2）x+3=0的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出．解答：解：∵不等式ax2+（b﹣2）x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∴a＜0，﹣1，3为一元二次方程ax2+（b﹣2）x+3=0的两个实数根．∴，解得a=﹣1，b=4．则a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（xx•上海模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．考点：余弦定理．专题：综合题．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答：解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．8．（5分）已知x，y为正实数，且2x+y=1，则的最小值是9．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：可利用均值不等式求最值，因为求最小值，所以必须凑积为定值，可利用2x+y=1，让求最值的式子乘以2x+y=1，再化简即可．解答：解：∵2x+y=1，∴==5+∵x，y为正实数，∴≥2=4∴5+≥9∴的最小值为9故答案为：9点评：本题考查了均值不等式求最值，做题时应细心观察，找到变形式子，属于基础题．9．（5分）（xx春•南通校级期中）在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意画出图象，由图象列出三角形有两个解的条件，求出x的取值范围．解答：解：∵在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，且三角形有两解，∴如图：xsin45°＜2＜x，解得，∴x的取值范围是，故答案为：．点评：本题主要考查三角形存在个数的条件，以及数形结合思想，比较基础．10．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则数列{na n}中数值最小的项是第3项．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用：当n=1时，a1=S1=1﹣10=﹣9；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出通项公式a n．即可得到na n，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：当n=1时，a1=S1=1﹣10=﹣9，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣10n﹣[（n﹣1）2﹣10（n﹣1）]=2n﹣11，上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣11．∴na n=n（2n﹣11）=2n2﹣11n=，因此当n=3时，数列{na n}中数值取得最小值﹣15．故答案为3．点评：熟练掌握j及其二次函数的性质是解题的关键．11．（5分）（xx•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需*则等级为50级需要的天数a50=2700．考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．12．（5分）（xx春•南通校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），不等式恒成立，则λ的取值范围是[1，+∞）．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先根据二次函数的值域求出a，c的关系，结合基本不等式的性质从而求出λ的范围．解答：解：∵二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴，∴a＞0，a=，∴+=+==≤=1，∴λ≥1，故答案为：[1，+∞）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．13．（5分）（xx春•南通校级期中）由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，下列四个判断正确的个数为①②③④．①第2列a12，a22，a32必成等比数列②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列③a12+a32＞a21+a23④若9个数之和等于9，则a22＜1．考点：三阶矩阵；等差数列的性质．专题：矩阵和变换．分析：先由题意设列出由9个正数组成的矩阵，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），得到③④正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．解答：解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），故③正确；再题意设由9个正数组成的矩阵是：，故②正确；对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，∴b+m+a+d+c+n=3，∴b+m=3﹣（a+d+c+n）≤3﹣2 =3﹣2（b+m），∴b+m≤1，即a22≤1，故④正确；故答案为：①②③④．点评：本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）（xx•盐城一模）已知等比数列{a n}的首项为，公比为，其前n项和为S n，若对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：先利用等比数列的求和公式求出S n，求出S n的范围，确定y=S n﹣，求出最小值、最大值，即可求出B﹣A的最小值．解答：解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为，∴S n==令t=，则，S n=1﹣t，∴∵S n﹣的最小值为﹣，最大值为，∴对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为=．故答案为：．点评：本题考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知等差数列{a n}满足a4=6，a6=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3=a3，T2=3，求T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：（1）利用等差数列的通项公式可把已知条件用a1，d表示，解方程可得a1，d从而可求a n（2）由（1）可得a n=2n﹣2，把已知可转化为，解方程可得b1，q，代入等比数列的求和公式．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，首项为a，∵a4=6，a6=10，∴（3分）解得（5分）∴数列{a n}的通项公式a n=a1+（n﹣d）d=2n﹣2．（6分）（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0）∵a n=2n﹣2，∴a3=4，∵a3=b3，∴b3=4即（8分）解得或舍（10分）∴．（12分）点评：本小题主要考查等差、等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，属于对基本定义、基本公式的简单运用的考查，试题难度不大．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．17．（15分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米（a与b均不小于2米），且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米．（Ⅰ）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围；（Ⅱ）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：（I）利用面积，确定a，b的关系，可得a的范围，进而可表示出草坪的面积S（a）；（II）利用基本不等式，可求最值．解答：解：（Ⅰ）由条件知，…（1分）∵b≥2，∴，∴2≤a≤4…（3分）∴S（a）=（32﹣2a）（18﹣b）即：（2≤a≤4）…（6分）（Ⅱ）∵…（9分）当，即时，上式取“=”号，则S（a）≤﹣4×48+592=400即时，S（a）取得最大值，最大值为400．…（11分）答：当人行道的宽度a、b分别为米和3米时，草坪的面积达到最大，最大面积是400平方米…（12分）点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）（xx•银川模拟）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意可得a=c﹣4、b=c﹣2．又因，，可得，恒等变形得c2﹣9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．解答：解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．（16分）（xx春•重庆校级期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．（1）求cosC的取值范围；（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状．考点：三角形的形状判断；三角函数的最值．专题：解三角形．分析：（1）当cosC=0时，不恒成立，当cosC≠0时，应有，解不等式结合三角形内角的范围可得；（2）可得∠C的最大值为，代入数据由基本不等式可得．解答：解：（1）当cosC=0时，sinC=1，原不等式即为4x+6≥0，显然对一切实数x不恒成立，当cosC≠0时，应有化简可得，解得，或cosC≤﹣2（舍去），∵C是△ABC的内角，∴；（2）∵0＜C＜π，∴∠C的最大值为，此时，∴≥，∴ab≤4（当且仅当a=b时取“=”），∴S△ABC=ab≤（当且仅当a=b时取“=”），∴△ABC面积的最大值为，△ABC为等边三角形．点评：本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数的最值和基本不等式，属中档题．20．（16分）（xx春•南通校级期中）定义：若数列{A n}满足则称数列{A n}为“平方递推数列”，已知数列{a n}中，a1=2，点{a n，a n+1}在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n的正整数．（1）证明数列{2a n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a n+1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T n，即T n=（2a1+1）（2a2+1）…（2a n+1），求数列{a n}的通项及T n关于n的表达式；（3）记，求数列{b n}的前n项和S n，并求使S n＞xx的n的最小值．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．专题：新定义．分析：（Ⅰ）由a n+1=2a n2+2a n，a n＞0，知2a n+1+1=4a n2+4a n+1=（2a n+1）2，所以{2a n+1}是“平方递推数列”．由lg（2a n+1+1）=2lg（2a n+1），且2a n+1＞1，知lg（1+2a n）＞0，由此能够证明{lg（2a n+1）}为等比数列．（Ⅱ）由lg（2a1+1）=lg5，知lg（2a n+1）=lg5•2n﹣1，所以，由lgT n=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2a n+1）=，能求出T n．（Ⅲ）由，知==由此能求出n的最小值．解答：证明：（Ⅰ）由条件得：a n+1=2a n2+2a n，a n＞0．∴2a n+1+1=4a n2+4a n+1=（2a n+1）2，∴{2a n+1}是“平方递推数列”．由lg（2a n+1+1）=2lg（2a n+1），且2a n+1＞1，∴lg（1+2a n）＞0，∴，∴{lg（2a n+1）}为等比数列．…（3分）解：（Ⅱ）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2a n+1）=lg5•2n﹣1，∴∴…（5分）∵lgT n=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2a n+1），=，∴…（7分）（Ⅲ），∴==．…（10分）由S n＞xx，得2n﹣2+2＞xx，n+（）n＞1005，当n≤1004时，n+（）n＜1005，当n≥1005时，n+（）n＞1005，∴n的最小值为1005．…（13分）点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查对新定义的理解能力．本题将数列放到新情境中，关键是正确理解题意，挖掘问题的本质与隐含．。
江苏省南通市启东中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D.【答案】B 【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.2.若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ） A.536B.29C.16D.19【答案】D 【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D3.已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a==，则该三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理对cos cos A bB a=化简得到A B =或2A B π+=，再结合已知分析判定三角形的形状得解.【详解】由题得cos sin ,sin cos sin cos ,sin 2sin 2cos sin A b BA AB B A B B a A==∴=∴=, 因为022,0220A B A B πππ<<<<<+<，, 所以22A B =或22A B π+=, 所以A B =或2A B π+=.因为,b A B =∴=舍去.所以,22A B C ππ+==，c =.所以三角形是直角三角形. 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=则BC=______【答案】A 【解析】 【详解】2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=|BC ∴故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.5.过点(0,2)-的直线l 与圆222x y x +=有两个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 44⎛- ⎝⎭C. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心坐标为(1,0)，半径为1.再设出直线方程为2,y kx =-1<即得解.【详解】由题得圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1. 设直线方程为2,y kx =-即20kx y --=.31,4k <∴>. 故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.恩格尔系数越小，即家庭的消费支出中用于购买食物的支出所占比例越小，更多的消费用于精神追求，标志着家庭越富裕.恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕.下图给出了1980—2017年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，对所列年份进行分析，则下列结论正确的是（ ）精品文档欢迎下载A.农村和城镇居民家庭消费支出呈下降趋势B. 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多C. 1995年我国农村居民初步达到小康标准D. 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6% 【答案】D 【解析】【分析】利用统计图对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】A. 从图中看出农村和城镇居民家庭消费支出中用于购买食物的支出所占比例呈下降趋势，但看不出农村和城镇居民家庭消费支出的趋势，故错误.B. 农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出更多,是错误的.只能说农村居民家庭比城镇居民家庭用于购买食品的支出比例更大，并不代表支出的数量更大.C. 1995年我国农村居民初步达到小康标准，是错误的.因为1995年农村居民恩格尔系数是58.6，而恩格尔系数达到40～50%为小康，所以农村居民没有达到小康水平.D. 2015年城镇和农村居民食品支出占个人消费支出总额之比大于30.6%是正确的.因为2015年城镇居民和农村居民的恩格尔系数都大于30.6%.故选：D【点睛】本题主要考查统计图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A. 14米B. 15米C. 51米D. 251米【答案】D 【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系， 设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2）， 设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2， 将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10， 所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0） 代入圆的方程可得x 051=，所以当水面下降1米后，水面宽为251米． 故选：D ．8.已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1a =，3b =，则c 的取值范围是（ ） A. (2,4)B. (22,3]C. 10)D.(22,10)【答案】D 【解析】 【分析】由题得24c <<,再由余弦定理得29+10c ->，且2190c +->，且21+90c ->，解不等式即得解.【详解】由题得24c <<.由题得0cos 1,A <<且0cosB 1<<,且0cos 1C <<，所以29+10c ->，且2190c +->，且21+90c ->，所以c <<因为24c <<，所以c <<故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理判断三角形的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x （单位：万元）与年家庭消费y （单位：万元）的数据，制作了对照表：由表中数据得回归直线方程为0.5ˆyx a =+，得到下列结论，其中正确的是（ ） A. 若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元 B. 若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元 C. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元 D. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出样本中心点的坐标，再求出0.5.1ˆ0yx =+，即可判断得解. 【详解】由题得1(2.7 2.8 3.1 3.5 3.9) 3.25x =++++=，1(1.4 1.5 1.6 1.8 2.2) 1.75y =++++=，所以1.70.5 3.20.1a a =⨯+∴=，.所以0.5.1ˆ0yx =+. 当4x =时，0.540 2.1ˆ.1y =⨯+=，所以选项B 正确，选项A 错误; 因为0.5.1ˆ0yx =+， 所以若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元， 所以选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10.已知(),3Am ，2,()4B m m +，,(2)1C m +，()1,0D ，且直线AB 与CD 平行，则m 的值为（ ） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】BC 【解析】 【分析】对m 分两种情况讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到关于m 的方程，解方程即得解.【详解】当0m =时，()0,3A ，(0,4)B ，(1,2)C ，()1,0D ，直线AB ⊥x 轴，直线CD ⊥x 轴，所以直线AB 与CD 平行. 当0m ≠时，1212,,,1AB CD m m k k m m m m m++==∴=∴=. 故选：BC【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查斜率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若()222tan a c b B +-=，则角B 的值为( ) A.6π B.3πC.56π D.23π 【答案】BD 【解析】【分析】根据余弦定理，代入即可求得角B.【详解】根据余弦定理可知2222cos a c b ac B =+-，代入化简可得sin 2cos cos Bac B B⋅=，即sin B =， 因为0B π<<， 所以3B π=或23B π=， 故选：BD.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.12.已知圆221:(3)(4)25C x y -+-=与圆2222:(1)(2)(0)C x y r r -+-=>相内切，则r等于（ ）A. B. 5-+ C. 5-D.5--【答案】AC 【解析】 【分析】|5|,r -解方程即得解. 【详解】由题得圆221:(3)(4)25C x y -+-=的圆心为(3,4),半径为5；圆2222:(1)(2)(0)C x y r r -+-=>的圆心为(1,2)，半径为r ；|5|,|5|,r r r =-∴-=5±. 故选：AC【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.13.已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的平均数为__________，方差为__________.【答案】 (1). 4 (2). 3； 【解析】 【分析】设原数据的平均数为x ，方差为2S ,根据新数据为32(1,2,3,4,5)n x n -=，利用公式求出新数据的平均数和方差.【详解】设原数据的平均数为x ，方差为2S , 由于新数据为32(1,2,3,4,5)n x n -=， 所以新数据的平均数为323224x -=⨯-=，新数据的方差为2213933S ⨯=⨯=.故答案为：4；3.【点睛】本题主要考查数据的平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为14，得到黑球或黄球概率是512，得到黄球或绿球概率是12，则任取一球得到黄球的概率为__________. 【答案】16； 【解析】 【分析】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为a b c d ,,,,再根据已知求出它们的值，再利用古典概型的概率公式得解.【详解】设红球、黑球、黄球、绿球的个数分别为a b c d ,,,由题得11234a =⨯=，所以9b c d ++=， 由题得512512b c +=⨯=，所以4d =，由题得11262c d +=⨯=，所以2c =. 由古典概型的概率公式得任取一球得到黄球的概率为21=126. 故答案为：16【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15.在ABC 中，60C =︒，16a b +=，则ABC 的周长l 的最小值是________. 【答案】24； 【解析】 【分析】利用余弦定理表示第三边，通过基本不等式求解ABC ∆的周长l 的最小值． 【详解】在ABC ∆中，60C =︒，由余弦定理可得：2222222cos ()32563c a b ab C a b ab a b ab ab =+-=+-=+-=-，ABC ∆的周长16161625616824l c =+=++=+=． 当且仅当8a b ==时，取等号． 故答案为：24【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握分析推理水平.16.设集合()(){}22,41A x y x y =-+=，()()(){}22,21B x y x t y at =-+-+=，若存在实数t ，使A B φ⋂≠，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】4[0,]3【解析】 【分析】根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数a 的取值范围.【详解】由题意得两圆有交点，所以1111-≤≤+，即22(1)4(2)160a t a t +-++≤有解，因此22416(2)64(1)003a a a +-+≥∴≤≤. 【点睛】一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡制定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；【答案】（1）0.9（2）0.085,0.125a b ==【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a 、b 的值试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9（2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距 考点：频率分布直方图18.在ABC 中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．【答案】120o C =,c =【解析】试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =（2）由题意得{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-=()(2222210a b ab a b ab ++=+-=-= ∴10AB考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题19.已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【答案】（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |＝()()22200222-++=. ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.20.如图所示的四边形ABCD 中，已知AB AD ⊥，120ABC ∠=︒，60ACD ∠=︒，27AD =，设ACB θ∠=，C 点到AD 的距离为h .（1）用θ表示h 的解析式；（2）求AB BC +的最大值.【答案】（1）()()183sin 30060h θθθ=︒+︒<<︒（2）3+18【解析】【分析】（1）由正弦定理得183AC θ=，再根据sin h AC CAD =∠得解；（2）由正弦定理得18sin 2AB θ=，939329sin 2BC θθ=+-,得93AB BC +=932θ+9sin 2θ+，再利用三角函数求最大值得解.详解】（1）由已知，得()360901206090ADC θθ∠=︒-︒+︒+︒+=︒-.在ACD 中，由sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，得27cos sin 60AC θθ==︒. 又18030CAD ADC ACD θ∠=︒-∠-∠=︒+，且060θ︒<<︒，所以()()sin sin 30060h AC CAD θθθ=∠=︒+︒<<︒.（2）在ABC 中，由正弦定理得sin 18sin 2sin120AC AB θθ==︒， ()()sin 6036cos sin 60sin120AC BC θθθ︒︒-==︒-9sin 2θθ=-，于是9sin 2AB BC θθ+=++()18sin 260θ=+︒.因为060θ︒<<︒，所以当15θ=︒时，AB BC +取得最大值.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A 病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天【答案】（1）200（2）10.4（天）（3）815【解析】【分析】（1）求出调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，即得解；（2）利用平均数公式计算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人， 因此该地区A 病毒患者中，60岁以下的人数估计有2050020050⨯=人. （2）()11123751071191411413251810.45050x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=（天） （3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人包括15个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A ，则事件A 包括8个， 所以8()15P A =. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式，考查平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22.已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为2，直线:3410l x y +-=被圆M截得的弦长为且圆心M 在直线l 的上方. （1）求圆M 的方程； （2）设(0,)A t ，(0,6)B t -()24t ≤≤，若圆M 是ABC 的内切圆，求AC ，BC 边所在直线的斜率（用t 表示）； （3）在（2）的条件下求ABC 的面积S 的最大值及对应的t 值. 【答案】（1）22(2)4x y -+=（2）244ACt k t-=；24(6)4(6)BC t k t --=-（3）ABC 的面积S 的最大值为24，此时2t =或4t =【分析】（1）设圆心(,0)M a ，求出点M 到:3410l x y +-=的距离为1，解方程3115a -=即得解；（2）设AC 斜率为1k ，BC 斜率为2k ，再根据直线和圆相切得到方程，解方程即得解；（3）求出2118S k k =-，再把21236=26k k t t -+-代入，结合t 的范围求出面积的最大值和此时t 的值.【详解】（1）设圆心(,0)M a ，由已知得M 到:3410l x y +-=22(3)1, 3115a -∴=. 又M 在l 的上方，310a ∴->，315a ∴-=，2a ∴=，故圆的方程为22(2)4x y -+=.（2）设AC 斜率为1k ，BC 斜率为2k ，则直线AC 的方程为1y k x t =+， 直线BC 的方程为26y k x t =+-.由于圆M 与AC 2=， 244t k t-∴=；同理，224(6)4(6)t k t --=-. （3）联立两条直线方程得C 点的横坐标为216k k - (6)6AB t t =--=，2121161862S k k k k ∴=⨯=-- 由（2）得：21236=26k k t t -+-， 24t ≤≤，2968t t ∴-≤-≤-2362463t t ∴-≤≤--，213546k k ∴≤-≤，2161453k k ∴≤≤- max 24S ∴=，此时268t t -=-，2t =或4t =.综上：ABC 的面积S 的最大值为24，此时2t =或4t =.【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)_3 2)
学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+ sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错函数的值域是，B对在区间上单调递增，在单调递减，C错函数在上有2个零点，分别是，D对故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.二、填空题（共 4 小题；共 20 分.）13.如图所示，用三类不同的元件接成系统，若元件、、正常工作的概率分别为、、，那么系统正常工作的概率为________________.【答案】【解析】【分析】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，所以，系统正常工作的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.14.已知样本的平均数与方差分别是1和4，若，且样本的平均数与方差也分别是1和4，则________________.【答案】【解析】【分析】由样本的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4,得到a, b的关系式，由此能求出 .【详解】因为样本的平均数与方差分别是1和4，的平均数与方差也分别是1和4，所以，解得或，，故答案为：1【点睛】本题主要考查代数式求值，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，属于中档题.15.在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】【分析】由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1). 1 (2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.16.已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】【分析】取中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分.）17.己知向量是同一平面内的三个向量，其中（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且，求与的夹角.【答案】(Ⅰ)，或;(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）设向量的坐标为,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为，可求得，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.【详解】（Ⅰ）设，由，且可得所以或故，或（Ⅱ）因为，且，所以，即，所以，故，.18.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）时，取最大值；时，取最小值.【解析】(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成,再求周期.(2)按照左加右减，上加下减的原则先确定,再求特定区间上的最值即可.（Ⅰ）,所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）依题意,[]因为，所以.当，即时，取最大值；当，即时，取最小值.19.已知的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将边化角，利用两角和的正弦公式，简单计算即可得结果.（2）根据（1）条件，使用面积公式，可得，然后使用余弦定理可得，进一步可得结果.【详解】(1)由已知及正弦定理得,，即，故.可得，所以.（2）由已知.又，所以.由已知及余弦定理得，故，从而.所以的周长为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.20.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分；（2）用分层抽样的方法，在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）首先可以计算出除了之外的其他分数段的频率，然后计算出分数在内的频率，再用频率除以组距即可，然后用每一分数段的中间数乘以每一分数段的概率再相加即可得出平均分；（2）首先算出在以及两个分数段中抽取的人数，然后列出从中任取2个的所有可能的事件，并找出满足题目要求的事件，即可得出结果．【详解】（1）分数在内的频率为，（直方图略），平均分为：，（2）由题意，分数段的人数为：人，分数段的人数为：人，因为用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，抽样比，所以需在分数段内抽取人，并分别记为；在分数段内抽取人并分别记为；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件A，则基本事件有：共15种．事件A包含的基本事件有：（共种，所以．【点睛】本题考查了频率分布直方图以及概率，在计算频率分布直方图类的题目时要注意图表中所提供的信息，注意纵坐标是“频率除以组距”，考查计算能力与推理能力，是中档题．21.如图，在三棱锥中，平面平面，，．设，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，，的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）点是线段中点【解析】【分析】（1）通过证明，证明平面；（2）通过和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；（3）通过证明两个平面内的两条相交直线分别平行，证明平面平面即可.【详解】（1）因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面平面，所以平面；（2）因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，所以又因为，所以平面；（3）当点线段中点时，过点的平面内的任一条直线都与平面平行，证明如下：取中点，连.由（1）可知平面.因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行.考点：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，探索性问题；空间想象能力和逻辑推理能力.22.已知函数，.（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；（2）求函数的单调递增区间：（3）定义：对于任意实数、，设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解【详解】（1），，值域为；（2）令，解得，所以函数的单调递增区间为，;（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，当，即时，，当，即时，，故，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为 ,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+ sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为 ,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错。
江苏省南通市如东高级中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
（1）根据线面平行的性质，即可推证线线平行；
（2）先推证直线 平面 ，再由线面垂直推证线线垂直即可。
对B:三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故B不正确；
对C：根据立体几何公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然,如果两平面有一个公共点,则一定有无数个公共点，故C正确；
对D：根据立体几何公理2：过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。显然,任意三点，不一定确定一个平面。故D不正确；
对于选项C，与选项B同理可证 平面 ,
又 ，所以 平面 ,从而得到 ,
即异面直线 与 所成角为90°，所以C选项正确;
对于选项D，在正方体中，平面 平面 ,
平面 平面 ,平面 平面 ,
，所以平面 截正方体所得截面为四边形 ,
因为 ， ,即四边形 为等腰梯形，所以D正确；
故选：ACD。
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有正方体的截面的有关性质，线面平行的判定,线面垂直的性质，属于基础题.
由于： ,则 ，即: =
故选：B.
【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系
2。 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ )
A. 100B。 150
C 200D。 250
【答案】A
【解析】
江苏省南通市如东高级中学2019—2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、单选题：本大题共10小题.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线 的倾斜角是（ ）
江苏省如东高级中学2019-2020学年高一下学期第二次阶段测试数学试题
江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试高一数学试题考试时间：120分钟 2020.06一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系中，点(2P -，1，4)关于xOy 平面对称点的坐标是 ( ) A ．(2-，1，4)-B ．(2-，1-，4)-C ．(2，1-，4)D ．(2，1，4)-2．圆222210x y x y +--+=的点到直线4x y -=距离的最小值是 ( )A ．1+B ．2C ．1D ．1+3．已知三棱柱111ABC A B C -的体积为120，点P ，Q 分别在侧棱1AA ，1CC 上，且1PA QC =，则三棱锥1B BPQ -的体积为 () A ．20 B ．30 C ．40 D ．604．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得数据如表：根据上表可得回归方程ˆ811y x =+，则实数a 的值为 ( )A ．34B ．35C ．36D ．375．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ( )A B C D6．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点,6AD =，4BC =，EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为 ( ) A ．34B ．56C ．910D ．11127．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 ( )A ．23 B ．13C ．12D ．568．在平面直角坐标系中，已知圆22:4O x y +=，过点(1,1)P 的直线l 交圆O 于,A B 两点，且2AP PB =，则满足上述条件的所有直线斜率之和为 ( )A ．83-B ． 83C ． 38-D ． 389．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos 3cos 5cos a b cA B C==，则B ∠的大小是 ( ) A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 10．如图所示，三棱锥S ABC -中，ABC ∆与SBC ∆都是边长为1的正三角形，32SA =，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( ) A ．73πB ．133π C ．43πD ．3π二．多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分，选对得5分，漏选得3分，选错得0分） 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论正确的是 ( ) A ．AC ⊥平面BEFB ．AE ，BF 始终在同一个平面内C ．//EF 平面ABCDD ．三棱锥A BEF -的体积为定值12．在三角形ABC 中，下列命题正确的有( ) A ．若30A =︒，4b =，5a =，则三角形ABC 有两解B ．若0tan tan 1A B <<，则ABC ∆一定是钝角三角形C ．若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形D ．若cos cos a b c B c A -=-，则ABC ∆的形状是等腰或直角三角形 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若一组数据3，x ，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是 ． 14．过点(1,1)P 作圆22210x y x ++-=的切线，切点为A ，则||PA = ．15．在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点， 若记,,AB a AD b AC c ===，则AG = ．16．从正方体1111ABCD A B C D -上截下一个角，得三棱锥A EFG -．如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面EFG 的面积是 ．四．解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =且2cosB(a cosC+ccosA)=b ． （1）求ABC ∆的外接圆直径； （2）求ac +的取值范围． 18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线340x y --=相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线:3l y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月(510-月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示． （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对A ，B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表)．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？使用寿命 材料类型1个月 2个月 3个月 4个月 总计A 20 35 35 10 100 B10304020100参考数据：196i i y ==∑，1371i i i x y ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x y nxyb xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是线段AB 上的动点． （1）线段AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1B CD ？若存在，请写出ADDB值，并证明此时，1//AC 平面1B CD ；若不存在，请说明理由； （2）已知平面11ABB A ⊥平面1CDB ，求证：CD AB ⊥． 21．（本小题满分12分）为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分150分）．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[90，100)，第二组[100，110)，第三组[110，120)，第四组[120，130)，第五组[130，140)，第六组[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值并估计这800名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为x 、y ．求事件||20x y -的概率．22．（本小题满分12分）平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，2BD =，沿BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥C-OAD 的体积最大？最大值为多少？ （2）当AD BC ⊥时，求α的大小．江苏省如东高级中学第二学期第二次阶段性测试高一数学参考答案1．A ． 2．C ． 3．C ． 4．C ． 5．A ． 6．D ． 7．A ． 8．A ． 9．D ． 10．A ． 11．ACD ． 12．BCD ． 13．2． 1415．111244a b c =++ 1617．解：（1）因为2cos (cos cos )B a C c A b +=， 由正弦定理可得，2cos (sin cos sin cos )sin B A C C A B +=， 即2cos sin()sin B A C B +=，所以2cos sin sin B B B =， 因sin 0B ≠，故1cos 2B =且(0,)B π∈，故3B π=， ……3分由正弦定理21sin bR B ===，即外接圆直径1， ……5分 （2）由正弦定理可得，2sin sin a cR A C==，1sin sin sin sin()sin sin 32a c A C A A A A A π∴+=+=++=+3sin 2A A =)6A π=+， 7分 由题意可得，022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解可得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，sin()6A π∴+∈，∴3(2a c +∈． ……10分18．（1）设圆O 的半径长为r ,因为直线xy -4=0与圆O 相切,所以 r=2.所以圆O 的方程为 x 2+y 2=4. ……5分 （2）假设存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形,则OM 与AB 互相垂直且平分,所以原点O 到直线l :y =kx +3的距离d =12|OM|=1.=1,解得k 2=8,即k =±, 经验证满足条件.所以存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形，此时直线l 的斜率为±. ……12分 19．解：（1）由折线图可知统计数据(,)x y 共有6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)．计算可得1(123456) 3.56x =+++++=，1(111315162021)166y =+++++=，616222163716 3.516ˆ2916356i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ……2分ˆˆ162 3.59ay bx =-=-⨯=． ……4分 ∴月度利润x 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+， ……5分 当13x =时，ˆ213935y=⨯+=．故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； ……6分（2）由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，A ∴型新材料对应产品的使用寿命的平均数为110.220.3530.3540.1 2.35x =⨯+⨯+⨯+⨯=；……9分B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， B ∴型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为210.120.330.440.2 2.7x =⨯+⨯+⨯+⨯=．12x x <，∴应该采购B 新型材料． ……12分20．（1）解：在线段AB 上存在点D ，当1ADDB=时，1//AC 平面1B CD ． 证明如下：连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点， 又当1ADDB=，即点D 是AB 的中点，由中位线定理得1//DE AC ， DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊂/平面1B CD ， 1//AC ∴平面1B CD ． ……6分（2）证明：过B 作1BP DB ⊥并交1DB 于点P ，又平面11ABB A ⊥平面1CDB ，BP ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面11CDB DB =，BP ∴⊥平面1CDB ，又CD ⊂平面1CDB ，CD BP ∴⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 1CD BB ∴⊥，又1BB ⊂平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，1BB BP B =，CD ∴⊥平面11ABB A ．又AB ⊂平面11ABB A ，CD AB ∴⊥． ……12分21．解：（1）由频率分布直方图可知(0.01020.0250.0150.005)101a ⨯++++⨯=，解得0.035a =． ……2分 这800名学生数学成绩的平均数为：950.010101050.010101150.025101250.035101350.015101450.00510120⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．……5分（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A ，B ，则100A ，110B <， 第五组抽取3名学生，其成绩记为C ，D ，E ，则130C ，D ，140E <， 第六组抽取1名学生，其成绩记为F ，则140150F ， 现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)A F ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ， (,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F 共15个．其中事件||20x y -包含的基本事件为：(,)A B ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F 共7个，记“这2名学生的竞赛成绩分别为x 、y ，其中||20x y -”为事件M ， 则事件||20x y -的概率为7()15P M =．……12分22．(1) 当45α=︒时，三棱锥O ACD -的体积最大，最大值为2;(2) 60α=︒. 【解析】（1）由题意可得BD ⊥OD ，可得1.2AODSOD BD =，OC ⊥平面ABDO ，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）由AD ⊥BO ，即可得出． 解：（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影， ∵BD ⊥CD ，CO ⊥平面ABD ，∴BD ⊥OD ， ∴∠ODC=α，则OC=CDsin α，OD=CDcos α． ∴ -------3分==，当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，∴当α=45°时，三棱锥O﹣ACD的体积最大，最大值为． --------6分（2）连接OB，分面面面面面9---,OCBDBOCOCBOCADBOCBCCOCBCCOBCADCOADABDADABDCO⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥，又因为BD⊥OD2,2ππ=∠+∠=∠+∠OBDABHABHDABBDORtABDRt∆∆∴相似于1,222,=∴=∴=ODODABBDBDOD中，的平面角，在为二面角）知由（ODCRtCBDAODC∆--∠121cos==∠CDODODC分12----3πα=∴。
【精准解析】江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
对 B：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故 B 不正确；
对 C：根据立体几何公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故 C 正确；
-3-
对 D：根据立体几何公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.显然，任意三点， 不一定确定一个平面.故 D 不正确；
综上所述，实数 a 2 或 a 1．
故选 D．
【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中
熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解
能力，属于基础题.
8. 两圆 C1 : x2 y2 1 与 C2 : (x 3)2 y2 4 的公切线条数为（ ）
综上所述，只有 C 正确.
故答案为：C.
【点睛】本题考查立体几何中点、线、面位置关系中的三个公理，属于基础题.
7. 已知直线 ax y 2 a 0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 a ( )
A. 1
B. 1
C. 2 或 1
D. 2 或 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为 0 和在两坐标轴上的截距不为 0 时，求出对应 a 的
【详解】由直线垂直可得： 3a a 2 2a 0 ，解得： a 0 或 4
3 本题正确选项： C
【点睛】本题考查根据直线垂直的位置关系求解参数值的问题，属于基础题.
6. 给出下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 线段 AB 在平面 内，则直线 AB 不在平面 内； B. 三条平行直线共面；
2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一下学期6月第二次阶段测试数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一下学期6月第二次阶段测试数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于xOy 平面的对称点的坐标是 A ．(－2，1，－4) B ．(－2，－1，－4) C ．(2，－1，4) D ．(2，1，－4) 【答案】A【解析】过点P 向xOy 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOy 平面的对称点P′连线的中点，又N (－2，1，0)，所以对称点为P′(－2，1，－4)，故选A. 2．圆222210x y x y +--+=的点到直线4x y -=距离的最小值是（ ）A ．1+B ．2C ．1D ．1【答案】C【解析】将圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，即可得答案； 【详解】圆的方程可化为()()22111x y -+-=，圆心()1,1C ，1r =，圆心C 到直线40x y --=的距离为d r ==>，故圆与直线2x y -=相离，所以圆222210x y x y +--+=上的点到直线4x y -=的距离的最小值是1. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3．已知三棱柱111ABC A B C -的体积为120，点,P Q 分别在侧棱11,AA CC 上，且1PA QC =，则三棱锥1B BPQ -的体积为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．60【答案】C【解析】利用B ACQP V -与11B ACC A V -，11B ACC A V -与111B A BC V -，111B A B C V -与棱柱的体积V 的关系求解，得到答案. 【详解】设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，则V =120，如图所示，由四边形APQC 的面积为11ACC A 面积的12，则B ACQP V -12=11B ACC A V - 又11113B A BC V V -=，又11111B A B C B ACC A V V V --+=，得1123B ACC A V V -= 得13B ACQPV V -=，同理，11113B AC QP V V -=，故三棱锥1B BPQ -的体积为13V即三棱锥1B BPQ -的体积为40. 故选：C. 【点睛】本题考查了三棱锥的体积，根据体积公式得到棱锥间的体积关系，棱锥的体积与棱柱的体积的关系，还考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下： 零件数x （个） 2 3 4 5 加工时间y （分钟） 30a4050根据上表可得回归方程y 811x ∧=+，则实数a 的值为（ ） A ．34 B ．35C ．36D ．37【答案】C【解析】求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值． 【详解】根据题意可得：23453.54x +++==,30405012044a a y ++++==，根据回归方程过中心点(),x y 可得：1208 3.5114a+=⨯+，解得：36a =； 故选：C 【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点(),x y 是关键，属于基础题．5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A ．B ．3C D【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π， 所以23rl r πππ+=， 即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以r l 2π=π， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为211333V r h ππ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，6AD =，4BC =，2EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．56C ．910D ．1112【答案】D【解析】取CD 的中点G ，连接EG ，FG ， 则EGF ∠为异面直线AD 与BC 所成的角（或补角），再利用余弦定理求解可得. 【详解】取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则//FG BC ，//EG AD ， 则EGF ∠为异面直线AD 与BC 所成的角（或补角），因为122FG BC ==，132EG AD ==， 所以49211cos 22312EGF +-∠==⨯⨯， 故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.故选：D 【点睛】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力与空间想象能力. 用平移法求异面直线所成的角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角7．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．56【答案】A【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 8．在平面直角坐标系中，已知圆22:4O x y +=，过点()1,1P 的直线l 交圆O 于,A B 两点，且2AP PB =，则满足上述条件的所有直线斜率之和为（ ） A ．83- B ．83C ．38-D ．38【答案】A【解析】设弦AB 的中点为E ，连OP ，OE ，OA ，先根据2AP PB =及垂径定理推出274OE =，再由点斜式设出直线l 的方程：1(x 1)y k -=-，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离OE ，列式得出23830k k ++=，然后由韦达定理即可得出所有直线斜率之和． 【详解】解：设弦AB 的中点为E ，连OP ，OE ，OA ，如图所示： 根据垂径定理得：OE AB ⊥，2AP PB =，E 为AB 的中点．所以16PE AB =，在Rt OEP △中222||||||PE OP OE =-， 221()2||6AB OE ∴=-，∴2212||36AB OE =-①在Rt OEA 中，222||||||AE OA OE =-，221()4||2AB OE ∴=-②由①②消去AB 得：274OE =， 设直线l 的方程为：1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=， 所以O 到直线l 的距离21OE k =+，∴22(1)714k k -=+，整理得：23830k k ++=，1283k k ∴+=-，所以所有直线斜率之和为83-. 故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程、直线方程、直线与圆的弦长、点到直线距离公式和垂径定理的应用，考查数形结合思想和运算能力. 9．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】D【解析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.【详解】解：∵2cosA 3cosB 5cosC a b c==，∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B CA B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得3k =， ∴tan 33B k ==，B ＝3π． 故选：D . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键10．如图所示，三棱锥S ABC -中，ABC 与SBC 都是边长为1的正三角形，32SA =，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．73π B ．133π C ．43π D ．3π【答案】A【解析】设BC 中点为D ，连接,SD AD ，则可推出SDA ∠即为二面角S BC A --的平面角，设,M N 分别为等边ABC 与SBC 的中心，在平面SAD 内，过点,M N 分别作直线垂直于,AD SD ，则两条垂线的交点即为球心O ，球O 的半径为OA ，最后结合数据求出OA 即可求出球的表面积. 【详解】如图所示，设BC 中点为D ，连接,SD AD ，则32SD AD ==，且,SD BC AD BC ⊥⊥, 故SDA ∠即为二面角S BC A --的平面角， 又32SA =，由余弦定理可得23SDA π∠=. 设,M N 分别为等边ABC 与SBC 的中心，则36DM DN ==， 在平面SAD 内，过点,M N 分别作直线垂直于,AD SD ， 则两条垂线的交点即为球心O ， 连接OD ，则3ODM π∠=,在Rt ODM 中，1tan32OM DM π=⋅=， 设球O 的半径为R ，则2222137212R OA ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：A.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查学生的空间思维和想象能力，解题关键是作出外接球的球心.二、多选题11．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ⊥平面BEFB ．,AE BF 始终在同一个平面内C ．//EF 平面ABCDD ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ACD【解析】根据题意，依次分析：如图可知1D D AC ⊥，连接BD 交AC 于点O ，则AC BD ⊥，通过线面垂直的判定定理可证出AC ⊥平面11BB D D ，即可证出AC ⊥平面BEF ，可判断A 正确；根据A ，B ，E ，F 不在一个平面进而断定B 错误；由于//EF BD ，根据线面平行的判定，即可判断出C 正确；可分别求得BEFS和AO ，且AO ⊥平面BEF ，则求出三棱锥A BEF -的体积，且为定值，即可判断D 项正确.【详解】解：由题可知，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， 则1D D ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，1D D AC ∴⊥，连接BD 交AC 于点O ，则AC BD ⊥， 而1D D BD D ⋂=，1,D D BD ⊂平面11BB D D ，AC ∴⊥平面11BB D D ，由于是,E F 线段11B D 上的两个动点，则AC ⊥EF ，BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，又BEEF E =，所以AC ⊥平面BEF ，故选项A 正确；B ，E ，F 同在平面11BB D D 上，而A 不在平面11BB D D 上， AE ∴，BF 不在同一个平面内，故选项B 错误；//EF BD ，BD ⊂面ABCD ，EF ⊂/面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ，故选项C 正确；由于22EF =，11B B =，且1BB EF ⊥， 11122122BEF S EF B B ∴=⋅=⨯⨯=△， 由于AC ⊥平面BEF ，则AO ⊥平面BEF ，22AO = 112213312A BEF BEF V S AO -∴=⋅=⨯⨯=△，由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，以及空间中直线与平面的位置关系和棱锥的体积公式，考查推理证明能力.12．在三角形ABC 中，下列命题正确的有（ ） A ．若30A =︒，4b =，5a =，则三角形ABC 有两解 B ．若0tan tan 1A B <⋅<，则ABC ∆一定是钝角三角形C ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC ∆的形状是等腰或直角三角形 【答案】BCD【解析】利用正弦定理可得A 错误，由0tan tan 1A B <⋅<可推出cos cos sin sin 0A B A B ->，然后可得B 正确，由()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，然后可推出C 正确，由cos cos a b c B c A -=⋅-⋅可得sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-，然后可推出D 正确. 【详解】因为30A =︒，4b =，5a =所以由正弦定理得sin 2sin 5b A B a ==，b a < 所以B 角只有一个解，故A 错误 由0tan tan 1A B <⋅<，即 sin sin 01cos cos A BA B<<所以cos cos sin sin 0A B A B ->，即cos()0A B +> 所以2A B π+<，所以2C A B ππ=-->，故ABC ∆一定是钝角三角形 故B 正确因为()()()cos cos cos 1A B B C C A ---= 所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-= 所以60A B C ===︒，故C 正确 因为cos cos a b c B c A -=⋅-⋅所以sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=- 所以sin sin cos sin sin cos A C B B C A -=- 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=所以sin cos sin cos B C A C =，所以cos 0C =或sin sin A B = 所以2C π=或A B =，所以ABC ∆的形状是等腰或直角三角形故选：BCD 【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三、填空题13．若一组数据3，x ，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是________. 【答案】2【解析】通过平均数求出x ，再利用方差公式求出方差得解. 【详解】 由已知可得：()1324535x ++++=，解得1x =. 则该组数据的方差是()()()()()222221331323435325⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 故答案为：2【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．过点(1,1)P 作圆22210x y x ++-=的切线，切点为A ，则PA =________. 【答案】3【解析】先求出圆C 的圆心为(1,0)-，半径为2，再利用勾股定理求解. 【详解】由题得22(1)2x y ++=，所以圆C 的圆心为(1,0)-，半径为2.所以22||(11)15PC =++=， 所以22||523PA =-=.故答案为：3 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，考查切线长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记→→=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，则AG →=______.【答案】111244a b c →→→++【解析】利用三角形加法运算法则得出AG AB BG →→→=+，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果. 【详解】解：在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点， 则AG AB BG →→→=+ 12AB BE →→=+11()22AB BC BD →→→=+⨯+1()4AB AC AB AD AB →→→→→=+-+-111442AB AC AD AB →→→→=++-111244AB AD AC →→→=++. 故答案为：111244a b c →→→++.【点睛】本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．16．从正方体1111ABCD A B C D -上截下一个角，得三棱锥A EFG -.如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1,2,4，则该三棱锥的底面EFG 的面积是______. 【答案】21【解析】根据棱锥的三个侧面面积分别为1,2,4，可求出,,AE AF AG ，从而求出,,EF EG FG ，再根据三边边长，求出EFG 的面积.【详解】如图所示，三棱锥的三个侧面面积分别为1,2,4，不妨设AEF ，AGF ，AEG △的面积分别为1,2,4，则2AE AF ⋅=，4AG AF ⋅=，8AG AE ⋅=，则8AE AF AG ⋅⋅=， 得4,2,1AG AE AF ===，得5,20,17EF GE GF ===，2222cos 25EF EG GF FEG EF EG +-∠==⋅⋅，则221sin 1cos 5FEG FEG ∠=-∠=故底面EFG 的面积1121sin 52021225S EF EG FEG =⋅⋅⋅∠==. 21【点睛】本题考查了三棱锥侧面积的概念，解直角三角形，由三角形三边长求三角形的面积，余弦定理，是立体几体与解三角形的综合题，属于中档题.四、解答题17．锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若b =()2cos cos cos +=B a C c A b .（1）求ABC 的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围. 【答案】（1）1；（2）32⎛+∈⎝a c . 【解析】（1）利用正弦定理和三角函数化简题中等式可得1cos 2B =，从而求出3B π=，然后再利用正弦定理求出外接圆直径即可；（2）由正弦定理将a c +变形为sin sin A C +，然后利用三角函数即可求出取值范围. 【详解】（1）因为()2cos cos cos ⋅+=B a C c A b ，由正弦定理可得，()2cos sin cos sin cos sin +=B A C C A B ， 即()2cos sin sin +=B A C B ，所以2cos sin sin B B B =， 因为sin 0B ≠，故1cos 2B =， 又()0,B π∈，故3B π=，由正弦定理得21sin ===bR B ，即ABC 的外接圆直径为1； （2）由正弦定理可得，21sin sin a cR A C===，∴3sin sin sin sin sin 326a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由题意可得022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 62A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴32⎛+∈ ⎝a c . 【点睛】本题综合考查了三角函数与解三角形的应用，属于中档题，综合性较强.在解三角形题中，常利用基本不等式或者三角函数求最值，本题也可考虑用基本不等式结合三边关系求范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O为圆心的圆与直线40x --=相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线:3l y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．【答案】（1）x 2+y 2=4.（2）直线l 的斜率为±. 【解析】试题分析：（1）先根据圆心到切线距离等于半径求r ，再根据标准式写圆方程（2）由题意得OM 与AB 互相垂直且平分,即得原点O 到直线l 的距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率试题解析：（1）设圆O 的半径长为r ,因为直线x-4=0与圆O 相切,所以 r=2.所以圆O 的方程为 x 2+y 2=4.（2）假设存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形,则OM 与AB 互相垂直且平分,所以原点O 到直线l :y =kx +3的距离d =12|OM|=1.=1,解得k 2=8,即k =±,经验证满足条件.所以存在点M ,使得四边形OAMB 为菱形，此时直线l 的斜率为±. 19．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5-10）月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表）.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？ 使用寿命 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 材料类型A20 35 35 10 100 B10304020100参考数据：6196ii y==∑，61371i i i x y ==∑.参考公式：回归直线方程y bx a =+，其中()()()()1122211====---==--∑∑∑∑n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx，=-a y bx .【答案】（1）29y x =+，35百万元；（2）采购B 新型材料.【解析】（1）通过折线图得到统计数据(),x y ，然后分别求得x ，y ，b ，a ，写出回归方程，然后将13x =代入求预测值.（2）由频率估计概率，分别得到A 型，B 型材料使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率，然后利用均值公式求解，再根据其大小下结论. 【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）. 计算可得()1123456 3.56x =+++++=，()1111315162021166=+++++=y ， 616222163716 3.5162916356==--⨯⨯===-⨯⋅-∑∑i ii i i x y xyb x x，162 3.59a y bx =-=-⨯=.∴月度利润x 与月份代码x 之间的线性回归方程为29y x =+，当13x =时，213935y =⨯+=.故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元； （2）由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为110.220.3530.3540.1 2.35=⨯+⨯+⨯+⨯=x ；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为210.120.330.440.2 2.7=⨯+⨯+⨯+⨯=x .∵12x x <，∴应该采购B 新型材料. 【点睛】本题主要考查线性回归直线方程的求法及应用以及均值的求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是线段AB 上的动点.（1）线段AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1B CD ？若存在，请写出ADDB值，并证明此时，1//AC 平面1B CD ；若不存在，请说明理由； （2）已知平面11ABB A ⊥平面1CDB ，求证：CD AB ⊥. 【答案】（1）存在，1=ADDB，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）在线段AB 上存在点D ，当1=ADDB时，1//AC 平面1B CD ，连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，证明1//DE AC 即可；（2）过B 作1⊥BP DB 并交1DB 于点P ，由平面11ABB A ⊥平面1CDB 可得BP ⊥平面1CDB ，从而得到CD BP ⊥，然后再证明1CD BB ⊥，然后可得CD ⊥平面11ABB A ，可得CD AB ⊥. 【详解】（1）在线段AB 上存在点D ，当1=ADDB时，1//AC 平面1B CD . 证明如下：连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，又当1=ADDB，即点D 是AB 的中点，由中位线定理得1//DE AC ， ∵DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1//AC 平面1B CD .（2）证明：过B 作1⊥BP DB 并交1DB 于点P ，又∵平面11ABB A ⊥平面1CDB ，BP ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11=CDB DB ，∴BP ⊥平面1CDB ，又∵CD ⊂平面1CDB ，∴CD BP ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴1CD BB ⊥，又∵1BB ⊂平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，1=BB BP B ，∴CD ⊥平面11ABB A . 又∵AB 平面11ABB A ，∴CD AB ⊥.【点睛】本题主要考查的是立体几何中的平行和垂直关系，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.21．为了贯彻落实中央､省､市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康.某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分).已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[)90,100，第二组[)100,110，第三组[)110,120，第四组[)120130,，第五组[)130140,，第六组[]140,150，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中取2名学生参与督查工作，其取办法是：先在第二组､第五组､第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生.记这2名学生的竞赛成绩分别为x ､y .求事件20x y -≤的概率.【答案】（1）0.035a =，120；（2）715【解析】（1）由频率分布直方图可知a 值，从而可由公式求出这800名学生的平均成绩； （2）由分层抽样得出这三组抽取的人数分别为2，3，1，然后用列举法求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有可能情况，利用古典概率公式求出事件20x y -≤的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=， 解得0.035a =，这800名学生数学成绩的平均数为：950.010101050.010101150.02510⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1250.035101350.015101450.00510120+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A ，B ，则100A ≤，110B <； 第五组抽取3名学生，其成绩记为C ，D ，E ，则130140，，C D E ≤<； 第六组抽取1名学生，其成绩记为F ，则140150F ≤≤； 现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15个.其中事件20x y -≤包含的基本事件为：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7个；记“这2名学生的竞赛成绩分别为x ､y ，其中20x y -≤”为事件M ，则()715P M =. 【点睛】本题主要考查了分层抽样方法，古典概型及其概率公式的计算，频率分布直方图中平均数的估计等知识.22．平行四边形ABCD 中，,2,AB BD AB BD ⊥==BD 将BCD 折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥C OAD -的体积最大？最大值为多少？（2）当AD BC ⊥时，求α的大小．【答案】(1) 当45α=︒时，三棱锥-O ACD 的体积最大，最大值为23;(2) 60α=︒. 【解析】（1）由题意可得BD ⊥OD ，可得12AOD S OD BD =⋅△，OC ⊥平面ABDO ，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由0AD BC AD BC ⊥⇔⋅=，即可得出．【详解】（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影，∴CO ⊥平面ABD ，CO BD ∴⊥，∵,,BD CD OC CD C BD ⊥=∴⊥平面OCD ，∴BD ⊥OD ，ODC ∴∠二面角A BD C --的平面角∴α∠=ODC ，则sin ,cos OC CD OD CD αα==． ∴111332-=⋅=⋅⋅⋅⋅△C AOD AOD V S OC OD BD OC 2222sin cos 26633OD OC CD CD ααα=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=≤ 当且仅当sin21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥C AOD -的体积最大，最大值为23．（2）过O 作OE ⊥AB 于E ，则OEBD 为矩形，以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2cos ,0),(2,2cos 2,0),(2,2cos ,0),O A B D ααα-(0,0,2sin ),(2,2,0),(2,2cos ,2sin )C AD BC ααα=-=--由AD BC ⊥，得0AD BC ⋅=，∴(2)(2)2(2cos )02sin 0αα-⨯-+⨯-+⨯=，得1cos 2α=，又α为锐角，∴60α=︒．【点睛】本题考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做.。
江苏省南通市2019-2020年高一下学期期中考试数学试题
高一第二学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据平面向量线性运算的坐标表示，利用求解即可.详解：，故选B.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算性质，意在考查对基本运算的掌握与应用，属于简单题.2. 下列命题中，正确的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则【答案】C【解析】对于若，则不成立，对于若，则不成立，对于根据不等式的性质两边同乘以，则，故成立，对于若，则不成立，故选C.3. 在数列中，，，则（）A. 2B. 3C.D. -1【答案】D【解析】分析：直接利用递推关系，由求出…,从而可得结果.详解：，，则；；；，故选D.点睛：本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）所求项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）所求项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 对角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】分析：由利用余弦定理列可得为负值，角为钝角，可得三角形为钝角三角形.详解：因为所以可得，再由余弦定理列可得，，为钝角，为钝角三角形，故选A......................5. 在等比数列中，，是方程的两根，则（）A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用等比数列的性质可得结果.详解：因为，是方程的两根，所以，由韦达定理可得，，根据等比数列的性质可得，，故选D.点睛：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.6. 设，是平面向量的一组基底，则能作为平面向量的一组基底的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】试题分析：不共线的向量就能作为基底，D选项对于的坐标分别是不共线，故可以作为基底.考点：向量基本运算.7. 在中，已知，，，则角等于（）A. B. 或 C. D. 或【答案】C【解析】分析：由正弦定理可求得的值，由大边对大角可得，从而可得角的值.详解：由正弦定理可得，因为>，可解得，故选C.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8. 若向量，满足，则的值为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】A【解析】分析：由，可求出的值.详解：因为，得,，故选A.点睛：本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9. 已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A. -11B. 11C. -1D. 1【答案】C【解析】分析：不等式的解集转化为方程的根，由韦达定理求出的值，求和即可得结果. 详解：因为关于的不等式的解集是，所以是方程的根，由韦达定理可得，故，故选C.点睛：本题主要考查一元二次方程不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，考查韦达定理的应用，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.10. 已知等差数列中，是的前项和，且，，则的值为（）A. 260B. 130C. 170D. 210【答案】D【解析】分析：由等差数列的性质可得成等差数列，结合，，即可得结果.详解：由等差数列的性质可得成等差数列，所以，又因为，，所以，解之可得，故选D.点睛：等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若为等差数列，且；(3)若是等差数列，公差为，则是公差的等差数列；(4)数列也是等差数列本题的解答运用了性质.11. 已知，则的最小值为（）A. B. -1 C. 2 D. 0【答案】D【解析】因为所以选D.12. 设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为（）A. B. C. 20 D.【答案】C【解析】分析：利用等比数列的前项公式求出，由数列的单调性可得，根据基本不等式的性质求解即可.详解：设等比数列的的公比，，，，则，当且仅当，即时取等号，的最小值为，故选C.点睛：本题考查了等比数列的前项公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 数列，，，，…，则是该数列的第__________项．【答案】8【解析】分析：将，化为，可得，为等差数列，公差为，首项为，利用等差数列的通项公式可得结果.详解：数列，化为，可得，为等差数列，公差为，首项为，通项公式，令，解得，所以是该数列的第项，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式，以及归纳推理，属于简单题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.14. 设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】3【解析】作可行域，则直线过点A（3,0）时取最大值315. 已知数列的前和为，且，则__________．【答案】【解析】分析：当时，，当时，，可得，两式相减得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可得结果.详解：当时，，当时，，①，②①-②得：，即，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故答案为.点睛：本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.16. 在锐角中，角、、所对的边分别为，，，若，则取值范围是__________．【答案】【解析】由正弦定理,a2=b(b+c)即为sin2A−sin2B=sinBsinC，，，sin(A+B)sin(A−B)=sinBsinC即为sinCsin(A−B)=sinBsinC，sin(A−B)=sinB，由于A，B为三角形的内角，则有A−B=B，即A=2B，sinA=sin2B=2sinBcosB，由正弦定理可得,，结合题意可得角的范围： ,则的取值范围是。
2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．2503．在△ABC中，若a＝2，，，则B＝（）A．B．C．D．或4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A．30B．40C．50D．605．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是（）A．0B．C．0或D．或6．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内B．三条平行直线共面C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D．空间三点确定一个平面7．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或18．两圆与的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．49．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．x﹣2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0 10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．一组数据：6，8，9，13的方差为．14．已知两点M（0，2），N（2，﹣2），以线段MN为直径的圆的方程为．15．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）16．平面四边形ABCD的对角线AC，BD的交点位于四边形的内部，已知AB＝1，BC＝2，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，则BD的最大值为．四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，，且C 为锐角．求：（1）sin A的值；（2）△ABC的面积．18．如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3．（1）证明：EF∥平面A1ADD1；（2）求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．19．已知直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0（k∈R），圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0．（1）求证：直线l过定点M，并求出点M的坐标；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PC上的点，且EF∥底面ABCD．（1）求证：EF∥AC；（2）若PC⊥底面ABCD，，∠ABC＝60°，求证：EF⊥PB．21．根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定．如图，在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′，YY′，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在OX，OY上的A，B处，起初OA＝30mile，OB＝10mile，后来军舰甲沿XX′的方向，乙军舰沿Y′Y的方向，同时以40mile/h的速度航行．（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由．22．已知圆O：x2+y2＝1和点M（﹣1，﹣4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．解：∵直线y＝x+1的斜率为，∴直线y＝x+1的倾斜角α满足tanα＝，∴α＝60°故选：B．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量＝总体个数×抽取比例计算n值．解：分层抽样的抽取比例为＝，总体个数为3500+1500＝5000，∴样本容量n＝5000×＝100．故选：A．3．在△ABC中，若a＝2，，，则B＝（）A．B．C．D．或【分析】先利用正弦定理求得sin B的值，进而求得B．解：∵＝，∴sin B＝•sin A＝×＝，∴B＝或，∵a＞b，∴A＞B，∴B＝．故选：A．4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A．30B．40C．50D．60【分析】样品为三等品的频率为（0.0125+0.0250+0.0125）×5＝0.25，又已知样本容量为200，可解得样本中三等品的件数．解：样本为三等品的件数为200×（0.0125+0.0250+0.0125）×5＝50；故选：C．5．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是（）A．0B．C．0或D．或【分析】利用一般式下两直线垂直的判定方法即：L1：A1x+B1y+C1＝0，L2：A2x+B2y+C2＝0，若L1⊥L2，则A1A2+B1B2＝0，带入求解即可．解：因为直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则（a+2）•3a+2a•（﹣1）＝0，解得：．故选：C．6．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内B．三条平行直线共面C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D．空间三点确定一个平面【分析】利用平面的基本性质及其推论直接求解．解：对于A，线段AB在平面α内，则直线AB一定在平面α内，故A错误；对于B，三条平行直线不一定共面，比如正方体AC1中，三条平行线AB，DC，A1B1不共面，故B错误；对于C，两平面有一个公共点，则这两相平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确；对于D，空间中不共面的三点确定一个平面，故D错误．故选：C．7．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．解：﹣2+a＝0，即a＝2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为2x+y＝0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；﹣2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为+＝1，它在两坐标轴上的截距为＝2﹣a，解得a＝1；综上所述，实数a＝2或a＝1．故选：D．8．两圆与的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由两圆的半径和圆心距，判断两圆外切，有3条公切线．解：圆的圆心为C1（0，0），半径为r1＝1，圆的圆心为C2（﹣3，0），半径为r2＝2；且|C1C2|＝3，r1+r2＝3，所以|C1C2|＝r1+r2，所以两圆外切，公切线有3条．故选：C．9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．x﹣2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0【分析】先根据题意求出AB的垂直平分线，再根据AC＝BC，可知三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，即AB的垂直平分线即为所求．解：线段AB的中点为（2，1），，∴线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0，故选：D．10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝AB＝AC＝BC＝2．利用cos＜，＞＝即可得出．解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝AB＝AC＝BC＝2．则A（0，﹣1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，1，0），∴＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，﹣2），∴cos＜，＞＝＝＝．另解：分别取棱AB，BB1，B1C1的中点，连接，利用余弦定理即可得出．故选：D．二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形【分析】利用三角形的内角和以及正弦定理，三角方程转化求解判断选项的正误即可．解：因为三角形中，A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin（π﹣B﹣C）＝sin（B+C），所以A正确；cos A＝cos[π﹣（B+C）]＝﹣cos（B+C），所以B不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即有2R sin A＞2R sin B，故sin A＞sin B，所以C正确；sin2A＝sin2B，可得2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B＝，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D不正确；故选：AC．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形【分析】利用直线与平面平行的判定判断A；利用反证法说明B错误；通过证明线面垂直，得到线线垂直说明C正确；找出平面AQP截正方体所得截面说明D正确．解：如图，∵P，Q分别为棱BC和CC1的中点，∴PQ∥BC1，∵PQ⊂平面AQP，BC1⊄平面AQP，∴BC1∥平面AQP，故A正确；若A1D⊥平面AQP，则A1D⊥AP，又A1D⊥AB，AB∩AP＝A，∴A1D⊥平面ABCD，与A1D与平面ABCD不垂直矛盾，故B错误；由A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，得BC1⊥平面A1B1C，得A1C⊥BC1，则A1C⊥PQ，即异面直线A1C与PQ所成角为90°，故C正确；平面AQP截正方体所得截面为APQD1，为等腰梯形，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．一组数据：6，8，9，13的方差为．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．解：一组数据：6，8，9，13的平均数为：＝（6+8+9+13）＝9，∴这组数据的方差为：S2＝[（6﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（13﹣9）2]＝．故答案为：．14．已知两点M（0，2），N（2，﹣2），以线段MN为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝5．【分析】根据题意，设MN的中点为O，由MN的坐标求出O的坐标以及MN的长，即可得要求圆的圆心与半径，由圆的标准方程即可得答案．解：根据题意，设MN的中点为O，则以线段MN为直径的圆的圆心为O，半径r＝，又由M（0，2），N（2，﹣2），则O（1，0），|MN|＝＝2，则r＝，则要求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝5；故答案为：（x﹣1）2+y2＝5．15．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为200m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）【分析】由题意，AB＝400m，AC＝200m，△BAC中，利用余弦定理，即可得出结论．解：从200m高的电视塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∴AB＝400m，AC＝200m，△BAC中，∠BAC＝45°，∴由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos45°＝4002+（200）2﹣2×400×200×＝80000；∴BC＝200（m）．故答案为：200．16．平面四边形ABCD的对角线AC，BD的交点位于四边形的内部，已知AB＝1，BC＝2，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，则BD的最大值为2+1．【分析】引入∠ABC＝α，先在△ABC中，利用α借助于正弦定理表示出AC，sin∠ACB．然后再在△BCD中利用余弦定理表示出BD，最后借助三角恒等变换求出BD的最值．解：如图，设∠ABC＝α，在△ABC中，因为AB＝1，BC＝2，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosα＝5﹣4cosα，即．∴，即，∴，∴＝﹣sin∠ACB＝．所以在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝×＝．易知，当时，BD2最大值为，故BD的最大值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，，且C 为锐角．求：（1）sin A的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求sin A，（2）由已知结合同角平方关系可求cos C，然后结合余弦定理可求b，代入三角形的面积公式即可求解．解：（1）在△ABC中，由正弦定理有：，解得；（2）因为，且C为锐角，所以，在△ABC中，由余弦定理有：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，解得b＝2；所以△ABC的面积为．18．如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3．（1）证明：EF∥平面A1ADD1；（2）求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．【分析】（1）连接BC1，则EF∥BC1，推导出四边形ABC1D1为平行四边形，从而BC1∥AD1，EF∥AD1，由此能证明EF∥平面A1ACD1．（2）连AD1C1D1⊥平面A1ADD1，从而∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成角，由此能求出直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．解：（1）证明：连接BC1，在△BDC1中，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得：EF∥BC1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1所以EF∥AD1，EF⊄平面A1ACD1，AD1⊂平面A1ACD1，所以EF∥平面A1ACD1．（2）解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连AD1C1D1⊥平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，所以∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成角由题意知：在Rt△AD1C1中，，即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为．19．已知直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0（k∈R），圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0．（1）求证：直线l过定点M，并求出点M的坐标；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．【分析】（1）将直线l方程整理：kx﹣y﹣4k+3＝0可化为：（x﹣4）k﹣y+3＝0，可得恒过直线x﹣4＝0和﹣y+3＝0的交点，及直线恒过定点．（2）由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，求出直线MC的斜率，进而可得直线l的斜率，再由过的点的坐标可得直线l的方程．【解答】（1）证明：直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0可化为：（x﹣4）k﹣y+3＝0，可得所以直线l过定点M（4，3）．（2）解：由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，因为直线MC的斜率为﹣1，所以直线l的斜率为1，此时直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PC上的点，且EF∥底面ABCD．（1）求证：EF∥AC；（2）若PC⊥底面ABCD，，∠ABC＝60°，求证：EF⊥PB．【分析】（1）由EF∥平面ABCD，利用线面平行的性质即可证明EF∥AC．（2）在三角形ABC中，由正弦定理得，解得∠BAC＝30°，可知AC⊥BC，又利用线面垂直的性质可知PC⊥AC，利用线面垂直的判定可证AC⊥平面PBC，利用线面垂直的性质可知AC⊥PB，又EF∥AC，即可证明EF⊥PB．解：（1）因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，所以由线面平行的性质定理，可得EF∥AC．（2）在三角形ABC中，因为，且∠ABC＝60°，由正弦定理可得，解得∠BAC＝30°．得∠ACB＝90°，即AC⊥BC；又PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故可得PC⊥AC，又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，可得AC⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，则AC⊥PB；又因为EF∥AC，得EF⊥PB，即证．21．根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定．如图，在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′，YY′，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在OX，OY上的A，B处，起初OA＝30mile，OB＝10mile，后来军舰甲沿XX′的方向，乙军舰沿Y′Y的方向，同时以40mile/h的速度航行．（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）分情况分别利用余弦定理求得CD的长，进而利用二次函数的性质求得其最小值即可求得结论．解：（1）连结AB，在△ABO中，由余弦定理得所以：起初两军舰的距离为mile．（2）设t小时后，甲、乙两军舰分别运动到C，D，连结CD当时，＝；当时，同理可求得；所以经过t小时后，甲、乙两军舰距离（t＞0）因为＝；因为t＞0，所以当时，甲、乙两军舰距离最小为20mile．又20≥20，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定．22．已知圆O：x2+y2＝1和点M（﹣1，﹣4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x＝﹣1，为圆O的切线；当切线O的斜率存在时，设直线方程为y+4＝k（x+1），通过圆心到直线的距离转化求解即可．（2）点M（﹣1，﹣4）到直线2x﹣y﹣12＝0的距离，圆被直线y＝2x﹣12截得的弦长，求出半径，然后求解圆的方程．（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，通过点P在圆M上，PQ为圆O的切线，推出（﹣2+2λ+2aλ）x+（﹣8+8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）＝0，然后转化求解λ，即可推出结果．解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x＝﹣1，为圆O的切线；当切线O的斜率存在时，设直线方程为y+4＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣4＝0，∴圆心O到切线的距离为，解得，∴直线方程为15x﹣8y﹣17＝0综上切线的方程为x＝﹣1或15x﹣8y﹣17＝0．（2）点M（﹣1，﹣4）到直线2x﹣y﹣12＝0的距离为，∵圆被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8，∴，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+4）2＝36．（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，∵点P在圆M上，∴（x+1）2+（y+4）2＝36，则x2+y2＝﹣2x﹣8y+19，∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ2＝PO2﹣1＝x2+y2﹣1，PR2＝（x﹣a）2+（y﹣b）2，∴x2+y2﹣1＝λ[（x﹣a）2+（y﹣b）2]，即﹣2x﹣8y+19﹣1＝λ（﹣2x﹣8y+19﹣2ax﹣2by+a2+b2），整理得（﹣2+2λ+2aλ）x+（﹣8+8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）＝0（*），若使（*）对任意x，y恒成立，则，∴，代入得，化简整理得36λ2﹣52λ+17＝0，解得或，∴或，∴存在定点R（1，4），此时为定值或定点，此时为定值．。
江苏省如东高级中学2019-2020学年高一数学下学期第二次阶段测试试题【含答案】
OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分 12 分）
某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2019 年连续六个
月 (5 10 月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型 拟合月利润 y （单位：百万元）与月份代码 x 之间的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，
13．若一组数据 3， x ，2，4，5 的平均数为 3，则该组数据的方差是
．
14．过点 P(1,1) 作圆 x2 y2 2x 1 0 的切线，切点为 A ，则 | PA |
．
15．在四面体 ABCD 中， E 、 G 分别是 CD 、 BE 的中点，
uuur r uuur r uuur r uuur
……12 分
19．解：（1）由折线图可知统计数据 (x, y) 共有 6 组，
即 (1,11) ， (2,13) ， (3,16) ， (4,15) ， (5, 20) ， (6, 21) ．
x 1 (1 2 3 4 5 6) 3.5 y 1 (11 13 15 16 20 21) 16
3
2
2
2
2
3 sin( A ) 6
， 7分
由题意可得，
0 0
A 2
2 A 3
2
，解可得
6
A
2
，所以
A
6
(
3
,
2 3
)
，
sin( A ) ( 3 ,1]
a c(3 , 3]
6 2 ，
2．
……10
分