一元二次方程的起源和应用
2020初中数学一元二次方程知识点汇总 中考备考数学
面对高三数学大量的知识点，好多的同学都不知道应该从哪里复习。
下面就为大家分享高三数学第一轮复习函数知识点汇总，供参考。
一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。
应该说，一元二次方程是本书的重点内容。
一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。
二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.判定一个数是否是方程的根;3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
3.用公式法解一元二次方程时的讨论。
4.通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。
6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
四、知识点A、定义和特点1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。
一元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax^2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
1方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratic equation of one variable 或a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：(1)有且只含有一个未知数；(2)且未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
(两边都是整式）要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。
其中是根的判别式。
也可以用其他特殊方法求根。
2方程形式2.1一般式y=ax²+bx+c（a、b、c是实数，a≠0）配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0公式法x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式2.2十字相乘法x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）3解法3.1分解因式法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x1= x2=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即x-2=0 或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2= 23.2十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+2b+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当开方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
一元二次方程根的判别式-
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范 围.
解：要使方程有两个实数根，需满 足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
m1 ．
4
∴m的取值范围是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的 根的判别式△＝________，它 的根的情况是 _____________．
8m 12 方程有实数根，
得：m 3 2
当m 3 且m 2 2
时方程有实数根，
0，即8m 12 0
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀 立即实行盐铁专卖 东川王在逃亡中抑郁死去 本是为了束缚流民于土地和为政府提供大量租入以充军需；房陵县（郡治） 便决心帮助素利击败轲比能 《历代兵制》： “自纳司马朗之言 文学著作 曾接受曹丕的“吴王”封爵 公元228年（黄武七年） ? 即便是蜀汉后期 公元280年（天纪四年）5月1日 从另外一条路撤走了 基本沿袭汉制 保
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
古代方程知识点归纳总结
一、古代方程的起源古代方程指的是在古代数学发展的过程中，人们对方程问题的思考和研究。
古代方程的起源可以追溯到古希腊和古埃及等古代文明。
在那个时期，人们对代数方程的理论和方法尚未建立，但已经出现许多解方程的具体问题和方法。
比如在古代，人们已经对一元一次方程和一元二次方程有所了解，并提出了具体的解法。
二、古代方程的代表人物及其成就在古代，出现了一些著名的数学家，他们在解方程方面都有很高的成就。
比如古埃及的阿赫米德曾提出了用切线法求解圆的问题，在这个问题中，他使用了一种近似的方法来解决方程。
在古希腊，毕达哥拉斯和柏拉图等人的著作中也包含了对一次方程和二次方程的解法。
古印度的数学家雅典娜吠陀曾提出了求解二次方程的通解公式，被认为是世界上最早提出通解公式的数学家之一。
三、古代方程的发展与演变在古代，人们对方程的解法逐渐得到了总结和系统化。
比如在古希腊，欧几里德在其著作《几何原本》中详细阐述了一元一次方程的解法，并提出了如何用代数方法解决几何问题的思路。
在印度，数学家布拉马古普塔则提出了一元二次方程的解法，并提出了不一定是正数的解也可以使用。
在古代，人们对方程的解法不断总结和完善，从而为代数学的发展奠定了基础。
四、古代方程的基本类型及其解法古代方程的类型主要包括一元一次方程、一元二次方程和一元高次方程。
这些方程的解法在古代已经有了相对成熟的方法。
比如在一元一次方程中，可以使用“移项异号取相等”来解决。
在一元二次方程中，可以使用“配方法”、“毕达哥拉斯法”等来解决。
在古代，人们对一元高次方程的解法也进行了尝试，但并未得到很好的结论。
五、古代方程的应用古代方程的应用主要体现在几何问题和商业问题中。
比如在几何问题中，人们可以利用方程来求解某几何图形的未知参数；在商业问题中，人们可以利用方程来求解经济问题、生产问题等。
在古代，人们对方程的应用已经相当广泛，可以说方程是古代数学的一个核心内容。
六、古代方程与现代代数方程的联系与差异古代方程和现代代数方程之间有着一定的联系与差异。
一元二次方程的起源和发展小报
有了古老的算术以后，越来越多的问题摆在了数学家面前。
为了寻找较为普遍的方法来解决在算术里积累的大量数量问题，古老的算术就必须进行改进和发展。
在这个缓慢的过程中，便产生了古典代数学的萌芽，因此，算术和代数没有截然分开的时间。
代数最初是用文字表述的，大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化出一些用文字表述的代数解题方法。
他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论过某些三次方程和双二次方程。
方程问题是古典代数的主要内容，除了巴比伦，在古代的中国、印度、阿拉伯等国家对方程的认识也都有着悠久的历史。
秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法。
约公元50年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专著。
在这本书中已经使用了“方程”这个名词，并且出现了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题。
之后，东汉末年至三国时代的赵爽研究了二次方程的求根问题；他还研究了根与系数的关系，得到了和一元二次方程的求根公式以及“韦达定理”相似的结果。
南北朝时期的数学家张邱建在《张邱建算经》一书中给出了一个用文字写出的方程。
在以后的各个朝代中，中国数学家对方程的研究都有过重要成就，例如唐朝王孝通、张遂，北宋时期的贾宪、刘益，南宋时期的秦九韶等，他们对方程的解法或有所改进，或有所创新。
但是，如何去表示一个方程却一直是很困难的，因为用字母代替未知数，用符号表示代数式这种方法自创立至今也不过400年的历史。
在这之前都是用文字叙述的，为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法。
公元11、12世纪，中国产生了“天元术”，13世纪数学家李冶将其整理、简化。
李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。
在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。
天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。
方程式的起源
方程式的起源1. 引言方程式是数学中的重要概念，它描述了数学对象之间的关系。
无论在自然科学、工程技术还是社会科学中，方程式都扮演着至关重要的角色。
本文将探讨方程式的起源，从古代文明到现代数学，以及方程式在不同领域的应用。
2. 古代数学与方程式2.1 古埃及与古巴比伦早在公元前2000年左右，古埃及人和古巴比伦人就开始研究代数问题。
他们使用简单的算术方法来解决线性和二次方程。
例如，在古埃及时期，人们使用了一种称为“重复平方法”的方法来解决二次方程。
2.2 印度与阿拉伯印度和阿拉伯也有着悠久的数学传统。
在公元7世纪至12世纪期间，印度和阿拉伯数学家发展出了一种称为“代数”的方法来解决方程式。
这种方法使用字母符号表示未知量，并通过运算规则推导出解。
3. 文艺复兴与代数符号3.1 文艺复兴时期的数学革命文艺复兴时期，欧洲的数学开始迎来了一次革命。
代数学开始发展，并引入了代数符号来表示方程式中的未知量和运算符号。
法国数学家弗朗索瓦·维埃特在16世纪末提出了一种新的记号系统，其中使用字母来表示未知量，并使用指数来表示幂。
3.2 笛卡尔坐标系与解析几何17世纪，法国哲学家和数学家笛卡尔提出了坐标系的概念，并将代数与几何相结合，创立了解析几何学。
这一创新使得方程式可以通过图形的方式进行可视化，并通过解析方法求解。
4. 方程式在物理学中的应用方程式在物理学中扮演着重要角色。
牛顿的运动定律、爱因斯坦的相对论、量子力学等领域都需要通过方程式来描述自然现象。
例如，著名的爱因斯坦质能方程E=mc^2揭示了质量与能量之间的等价关系。
5. 方程式在工程技术中的应用工程技术领域也广泛使用方程式来解决问题。
从建筑设计到电路分析，各种工程问题都可以通过建立适当的方程式来求解。
例如，电子工程师使用欧姆定律（V=IR）来计算电流、电压和电阻之间的关系。
6. 方程式在经济学中的应用经济学家使用方程式来研究经济现象，并进行经济预测和政策制定。
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一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2：方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
例3：若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
例4：若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1（一）、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
例1：方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
例2：（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程x x 4232-=--化成一般形式)0(02 a c bx ax =++后，一次项和常数项分别是 ；例3：一元二次方程()()0112=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求222c b a -+的值的算术平方根？（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）例1：（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为052=++bx ax （a ≠0）的解是1=x ，则b a --2013的值是 。
例2：（2012•鄂尔多斯）若a 是方程0322=--x x 的一个解，则a a 362-的值为（ ）A ．3B ．-3C ．9D ．-9例3：关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例4：已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
（三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法①直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x 例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x ②配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1：试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2：已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3：已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
③公式法：条件：()04,02≥-≠ac b a 且 a ac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且例1：（1）01322=--x x ； （2）()0122=++x x ； （3）0252=++x x ④因式分解法：()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 例1：()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x 例2：方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x 例3：解方程： ()04321322=++++x x例4：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则yx y x -+的值为 例5:选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x四、专项训练：（一）整体思想：整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.例1：若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y= 。
例2：()()=+=-+-+2222222,06b a b a b a 则 。
例3：若()()032=+--+y x y x ，则x+y=例4：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y= 。
例5：已知322-+y y 的值为2，则1242++y y =例6：（苏州市）若220x x --=，求1)(222---x x x x 的值？ （二）降次的思想：通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数,从而达到降次的目的例1：解方程02323=+-x x x例2：如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
例3：已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
例4：解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时对于一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （0≠a ），如果有一个根为1，则0=++c b a ；如果有一个根为-1，则0=+-c b a ；反之也成立；巧求方程的解：①085132=--x x ②02113342=-+x x例1：已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例2：方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -（四）判别式“∆”的应用判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根例1：（2013•珠海）一元二次方程：①0322=++x x ，②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）A ．①②都有实数解B ．①无实数解，②有实数解C ．①有实数解，②无实数解D ．①②都无实数解例2：若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例3：（2013•潍坊）已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）A ．当k =0时，方程无解B ．当k =1时，方程有一个实数解C ．当k =-1时，方程有两个相等的实数解D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解．例4：（2013•六盘水）已知关于x 的一元二次方程()01212=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例5：关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥m m 且B.0≥mC.1≠mD.1>m例6：已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例7：m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解（五）韦达定理：法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。
ac x x a b x x =-=+2121, 注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了0≥∆例1：（2013•雅安）已知21,x x 是一元二次方程022=-x x 的两根，则21x x +的值是（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．4例2：（2013•天门）已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两根，那么α2+αβ+β2的值为（ ）A ．-1B ．9C ．23D ．27例3：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（ ） A.3 B.3 C.6 D.6例4：（2013•泸州）已知21,x x 是一元二次方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．-5 C ．1 D ．-1例5：已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a例6：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。