初二下数学期末复习

初二下学期数学期末复习

【复习内容】

第十六章 二次根式 第十七章 勾股定理 第十八章 平行四边形 第二十章 数据的分析 第二十一章 一元二次方程 第二十三章 旋转 第二十六章 反比例函数

【复习建议】

1. 合理安排复习时间，制定好复习计划，根据学生特点、实际情况开展复习；

2. 对每章的概念、知识点进行系统化、条理化的梳理，同时加强整个学期知识的关联，使学生查漏补缺，掌握基础知识和基本方法；

3. 带着学生一起总结解题方法，从审题、观察、识图，到易错点的归纳，再到解题技巧，达到夯实基础、掌握基本方法的目的；在综合题中渗透综合分析法，进而提高学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力；

4. 渗透方程与函数、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法；

5. 在综合练习讲评时，教学生一些考试策略和做题心理指导，提升学生的应试能力.

【具体内容】

第十六章 二次根式

一、二次根式概念、有意义的条件

1、二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式.

2、二次根式的主要性质：

（a 0）； (2)2

= (0)a ≥；

= ； (4)若0≥>b a .

例1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)12-x x ； （2）2+x －x 23-； （3）x -－11+x ； （4）2

||12--x x .

例2.比较大小：(1)3；(2)34；(3)-6． 例3.（1）实数a 在数轴上的位置如图所示:

化简:

1______a -=.

（2）若23x <<,

的值为 . （3）若-3≤x ≤2时, 试化简│x -

. 二、二次根式的运算

)0,0______(≥≥=?b a b a ；

)0,0_____(>≥=b a b

a ；

加减法步骤：①将每个二次根式化为_______________；②______同类二次根式. 例4. 下列各式中，最简二次根式是( )． (A)

y

x -1

(B)

b

a (C)42

+x

(D)b a 2

5

例5. 计算：

（1 （2）324

1182182-+

（3） （4）

)272(4

3

)32(21--+ （5）0(π1)1+- （6)

1+ （7）68

13222124--+-

（8 （9）2

)1812(-; （10）533103÷

（11）32223513

45?÷ （12）1920)625()625(+- （13）)4

3

23(4819-÷- （142(2(7+ （15）ax x a x 45+- （16）

a b b a ab b 31)23(235÷-? （17） 483271

4122+-

（18）)93()24(3ab a

b a b a a b a b

+-+ 例6． 已知:a ＝2

, b ＝2

, 试求

a b

b a -的值．

例7．先化简, 再求值:（6

4

, 其中x =, y =27．

*例8．在实数范围内分解因式：

（1）44

-x （2）3322

+-x x

第二十一章 一元二次方程

一、一元二次方程的概念：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为()2

00ax bx c a ++=≠．

例1. （1）当m = 时，关于x 的方程m x m x

m m 4)3()2(2

=+--是一元二次方程.

（2）关于x 的一元二次方程01)1(2

2

=-++-a x x a 有一个根为0，则=a . （3）已知a 方程04322=-+x x 的一个根，则代数式a a 322

+的值等于 . 小结：要注意二次项的系数不为0． 二、一元二次方程的解法

基本思想：降次，即将“二次”转化为“一次”来达到求解目的． 基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 例2. 选择适当的方法解下列方程：

（1）2410x x -+=； （2）2

2520x x -+=； （3）(1)x x x -=；

（4）()()7343x x x -=-； （5）()2

26952x x x -+=-； （6）()()3622x x +-=-．

（7）1)5(2)5(2--=-x x ； （8）222

(3)2(3)80x x x x +-+-= 注意：要关注如何选择方法，小结选择的原则及注意事项. 练习：解下列方程：

（1）2

315x x x -=- （2）()2

72169x -= （3）()2

3248x -=

3

2

（4）2430x x --= （5）2640x x -+= （6）2

670x x ++=

（7）2

560x x +-= （8）2

2730x x -+= （9）2

1

04

x --

=

（10）23640x x --= （11）2

540x -+= （12）2

0x x +=

（13）()()220x x x -+-= （14）()32142x x x +=+ （152

0-=

（16）()()224520x x ---= （17）()()2

1210x x ---= （18）2

2630x x ++=

（19）()328t t -= （20）()()1315x x ++= （21）()339x x x -=- （22）()2

1250x x -+-= （23）()()2

2122130x x ----=

（24）06)3()3(2

2

2

=-+-+x x x x （25）2

2300x -=

（26）2

4530x x --= *（27）2

330x x ---=； *（28）222232

x x

x x -+=-.

例3. 解下列关于x 的方程：

（1）()()()2

13201m x m x m -+--=≠； （2）2

2

43210x ax a a -++-=；

（3）222

20x ax a b -+-=； （4）0)2(2

=--++a x a x a x ；

（5）2(3)3=0mx m x +-- ()0m ≠； （6）()()

2223340x m x m m -+++-=； （7）()00

65622≠=-+m mx x m （8） 222()()

(1).x a b x a b -=-≠

（9）)0(031120222≠=-+m n mnx x m （10） x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-.

建议：（1）通法：利用公式法计算；学有余力的尝试利用十字相乘法进行因式分解； （2）可以去掉二次项系数不为0的条件，培养学生分类讨论的意识. 三、一元二次方程根的判别式 1． 用判别式判定方程根的情况：

一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式：b 2－4ac ． 当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． 上述结论，反过来也成立．

2．常见的问题类型：

（1）利用判别式，不解方程，判别一元二次方程根的情况； （2）应用判别式，证明一元二次方程根的情况；

（3）已知一元二次方程的根的情况，由根的判别式确定方程中字母的取值范围；

（4）分类讨论思想的应用：若方程给出时未指明是二次方程，后面也未指明方程有两个根，则一定要对方程进行分类讨论，如果二次项系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，方程是一元二次方程，可能会有两个实数根或无实数根； （5）一元二次方程根的判别式与整数解的综合. 例4.不解方程，判断下列方程的根的情况：

（1）2

2310x x -+=； （2）2

570x x -+=； （3）21

02

x +=；

()24210x kx k ++-=. 例5.已知关于x 的方程()2

110m x x --+=，

（1）当方程有两个相等的实数根时，求m 的值； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围； （3）此方程有实数根，求m 的取值范围.

例6. （1）关于x 的方程()2340x m x m --+-=，求证：无论m 取实数值，此方程都有两个实数根．

（2）若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实数根，求正整数a 的值．

（3）已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实

数根．

例7.已知关于x 的方程()232220mx m x m -+++=. （1） 求证：无论m 取何值，原方程恒有实数根； （2） 若方程有两个异号实数根，求m 的取值范围.

例8.已知关于x 的一元二次方程04)15(2

2=+++-m m x m x .

(1) 求证：无论m 取何值时，原方程总有两个实数根.

(2) 原方程的两个实数根一个大于3，一个小于8，求m 的取值范围. 四、整数根问题

例9. 已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.

（2）若关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++=有两个不相等的正整数根，且m 为整数，求m 的值.

例10. 设m 为整数，且440m <<，方程22

2(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根，

求m 的值及方程的根． 练习：

1、已知关于x 的方程2

(2)20(0)mx m x m -++=≠.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值. 2、已知关于的一元二次方程

有两个不相等的实数根

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值. 五、一元二次方程的应用 （1）数字问题；

（2）几何面积问题；（动点问题）

（3）增长率问题（下降率）：用公式b x a n

=+)1(（尤其要注意看清题目中说的是第n 年，还是前n 年）

（4）其它实际问题：利润问题等

（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 例10．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．

例11. 在场地的北面有一堵50米的旧墙，现想用100米长的篱笆材料围成一矩形仓库．要求面积为600平方米，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

例12．某工厂一月份产量是5万元，三月份的产值是11.25万元，求二、三月份的月平均增长率．

例13. 某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用降价措施，经调查发现，如果每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

例14．如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝8m ，BC ＝6m ．P 、Q 分别在AC 、BC 边上，同时由A 、B 两点出发，分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/秒，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半？ 例15. 如图．△ABC 中AB =6cm ，BC =4cm ，∠B =60°，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发．分别沿AB 、BC 方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s 和1cm/s ．当点P 到达点B 时．P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．当t 为何值时，△PBQ 为直角三角形．

第二十六章 反比例函数

一、知识要点：

1. 定义：形如 的函数叫做反比例函数. 3. k 的几何意义

二、典型例题

1. 下列函数中，哪些是反比例函数？

（1）y =

x 8； （2）y =841+x ； （3）y =1

8--x ； （4）xy =23； （5）y =

82

1++x . 2. （1）已知y 与x 成反比例，并且当x ＝2时，y ＝－1，则当y ＝2

1

时x 的值是_________．

(2) 若2-y 与3-x 成反比例，当2=x 时，1-=y ，则与x 之间的函数关系是 ． (3) 已知y = y 1 +y 2，而y 1与x +1成反比例，y 2与成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2，则y 与x 的函数关系式为 ． 3. 已知反比例函数1y x =

图象过点P （m ，n ），则化简11m n m n ????-+ ????

???的结果正确的是( ) A ．2m 2 B ．2n 2 C ．n 2-m 2 D ．m 2-n 2

4. 在函数y =x 2-

的图象上有三点（－1，y 1），（4

1-，y 2），（21，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的

大小关系是______. 5. 函数a ax y -=与a

y =在同一条直角坐标系中的图象可能是（ ）

y x 2

6. 作反比例函数4

y x

=

的图象，并根据图象解答下列问题： （1）当4x =时，求y 的值； （2）当2y =-时，求x 的值；

（3）当14x <≤时，求y 的取值范围； （4）当2y >时，求x 的取值范围； （5）当1x >-时，求y 的取值范围. 7.（1）直线2y x =与双曲线8

y x

=有一个交点是2,4（），则它们的另一个交点是 . （2）函数y =x

2

和y =－x +4的图象的交点在第_________象限． 拓展思考：

（1）在同一平面直角坐标系下，正比例函数与反比例函数的图象可能有几个交点？ 0或2个 （2）在同一个平面直角坐标系下，直线与双曲线可能有几个公共点？ 0个（相离）；1个（相切或相交）；2个（相交一支或两支） （3）如何求交点坐标.

8. ①如图，A ,C 分别是反比例函数y ＝

x

1

图象上两点. 若Rt △AOB 与Rt △COD 的面积分别为S 1,S 2，则S 1与S 2的大小关系是( )

A.S 1>S 2

B.S 1=S 2；

C.S 1

D.不能确定 ②如图，A,B 是函数y ＝

x

1

的图像上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，设三角形ABC 面积为S ，则( )

A.S ＝1

B.1＜S ＜2 C .S ＝2

D .S ＞2

第①题 第②题 第③题 ③如图，A,B 是函数y ＝

x

1

的图像上关于原点O 对称的任意两点，AP 平行于y 轴，交x 轴于点P ，BH 平行于y 轴，交x 轴于点H ，证明四边形AHBP 面积为定值.

O

A B C

x

y

y =x ④如图，P 是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是______． ⑤如图，是反比例函数y =

x k 1和y =x

k

2（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点， 若S △AOB =2，则k 2﹣k 1的值是（ ）

A ．1 B. 2 C. 4

D.8

第④题 第⑤题 第9题

9. 如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y=x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2.

若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为（ ） 122121

. . . .A y B y C y D y x ++=

===

10. 已知(4,),(2,4)A n B --是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m

y x

=的图象的两个交点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标和△AOB 的面积； （3）求方程0m

kx b x

+-

=的解（直接写结果）

； （4）求不等式0m

kx b x

+-

<的解（直接写结果）. 11. 已知y 1是正比例函数，y 2是反比例函数，并且当自变量取1时，y 1=y 2；当自变量取2时，y 1－y 2=9，求y 1和y 2的解析式．

12.在压力不变的情况下,某物体承受的压强P (Pa)是它的受力面积S (2

m )的反比例函数,其图象如图所示: (1)求p 与S 之间的函数关系式;

(2)求当S ＝0.52

m 时物体承受的压强p ; (3)求当P ＝2500Pa 时物体的受力面积S .

13. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x (元)与日销售量y (个)之间有如下关系：

x （元）

3

4

5

6 …

（m 2）

p

S O

0.10.20.30.4

1000

200030004000

（Pa ）

A(0.25，1000)

y （个） 20 15 12 10 …

（1）猜想并确定在赢利的条件下y 与x 之间的函数关系式.

（2）设经营此贺卡的销售利润为W 元，试求出W 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当销售单价x 定为多少时，才能使获利最大？ 提高练习：

1. 如图，直线y =k 1x +b 与双曲线y=交于A 、B 两点，其横坐标 分别为1和5，则不等式k 1x ＜+b 的解集是 .

2. 如图，已知双曲线k

y x

=

，经过点D （6，1），点C 是双曲线 第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足 分别为A 、B ，连接AB 、BC ． （1）求k 的值；

（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

3. 如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1

y x

=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正

半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 ；当线段AP 与线段BP 之和达到最小时，点P 的坐标是 .

第3题 第5题

4. 如图，A 、B 是双曲线 y = k

x (k >0) 上的点， A 、B 横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= .

5. 如图，点A 在双曲线y ＝ k

x 的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴于B ，点C 在x 轴正半轴

上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE =3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为 ．

第二十章 数据的分析

一、数据的代表 1.平均数

2

k x

2

k x

5

o

y

x

B

A

1

y

x

O

B C

A

（1） 求1x 、2x 、…、n x 的算术平均数，x = .

※如果这n 个数都比较大，并且又都在同一个数a 附近波动的话，那么我们可以这样计算：

a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='，求n

x x x x n '

'''21+++=

Λ，则x = .

（2） 若n 个数1x 、2x 、…、n x 的权分别是1w 、2w 、…、n w ，则这n 个数的加权平均数是 .

数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 2.中位数和众数 （1）中位数求法：

将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则 就是这组数据的中位数．

注意：当数据个数是偶数时，中位数可能并不是这组数据中的某个数． （2）众数定义：在一组数据中 的数叫做这组数据的众数．

众数求法：先数出每个数据出现的频数，再找到频数最高的数据（可能不止一个）． 二、数据的波动

方差定义：设有n 个数据1x 、2x 、…、n x ，它们的平均数为x , 即用2

S = 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．

方差越大，数据的波动 ；方差越小，数据的波动 . 【习题】 一．选择题

1．已知一组数据1，2，4，3，x 的众数是2，则这组数据的中位数是（ ） A ．2

B ．2.5

C ．3

D ．4

2．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况 绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体 育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A ．16，10.5 B ．8，9

C ．16，8.5

D ．8，8.5

3．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：

阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名）

1

2

8

6

3

则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）

A．众数是8 B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是0.34

4.

年龄（单位：岁）13 14 15 16

频数（单位：名） 5 15 x 10-x

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A．平均数、中位数B．平均数、方差C．众数、中位数D．众数、方差5．如果给一组数据的每一个数都加上同一个不等于零的常数，则（）

A．平均数、方差都不变B．平均数、方差都改变

C．平均数改变，方差不变D．平均数不变，方差改变

6.

班级参加人数中位数方差平均数

甲55 149 191 135

乙55 151 110 135

某同学分析上表后得出如下结论：

（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；（2）乙班优秀人数比甲班优秀人数多(每分钟输入汉字 150个位优秀)；（3）甲班成绩的稳定性比乙班高

上面三个结论中，正确的有（）

A．（1）（2）（3）；B．（1）（2）；C．（1）（3）；D．（2）（3）

二．填空题

7．一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是．

8．在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，

则这10名选手成绩的众数是．

9．有甲、乙两段高度相等的山坡，分别修建了阶数相同的

两段台阶．甲段台阶各级台阶高度的方差s甲2=4.6，乙段台

阶各级台阶高度的方差s乙2=2.2，当每级台阶高度接近时走

起来比较舒适，则甲、乙两段台阶走起来更舒适的是

（填“甲”或“乙”）．

10．某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区

的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图．请你

根据统计图给出的信息回答：

（1）填写完成下表：

年收入（万元）0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 家庭户数

这20个家庭的年平均收入为______万元；

（2） 样本中的中位数是______万元，众数是______万元；

（3） 在平均数、中位数两数中，______更能反映这个地区家庭的年收入水平．

11．已知一个样本的方差])205()205()205[(1

21222212-++-+-=

x x x n

S Λ, 则此样本的平均数是 ，样本容量是 . 三．解答题

12．某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料． 月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 （1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元．

（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．

13．某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．

（1）求出下列成绩统计分析表中a ，b 的值：

组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.8 a 3.76 90% 30% 乙组 b 7.5 1.96 80% 20%

（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；

（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．

14．某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

40≤x ≤49 50≤x ≤59 60≤x ≤69 70≤x ≤79 80≤x ≤89 90≤x ≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

部门平均数中位数众数

甲78.3 77.5 75

乙78 80.5 81

得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为；

b．可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为．

（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

15．YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不够，导致出现需要租用却未租到车的现象，现将随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格．

时间

第一天

7：00﹣8：00

第二天

7：00﹣8：00

第三天

7：00﹣8：00

第四天

7：00﹣8：00

第五天

7：00﹣8：00

需要租用自行车却未

租到车的人数（人）

1500 1200 1300 1300 1200 请回答下列问题：

（1）表格中的五个数据（人数）的中位数是多少？

（2）由随机抽样估计，平均每天在7：00﹣8：00需要租用公共自行车的人数是多少？

第十七章勾股定理

一、知识点

1. 勾股定理

（1）勾股定理：______________________________________

符号：∵△ABC中，∠____=____°∴．

（2）勾股定理的常见证明方法（勾股拼图）

2. 勾股定理的逆定理

（1）勾股定理逆定理：_______________________________．符号：∵△ABC中，，

∴∠____=____°

（2）直角三角形的判定

①有_______________的三角形是直角三角形

②若______________________，则这个三角形是直角三角形。

(注: 可利用勾股定理的逆定理进行证明垂直关系)

b

b

3．特殊直角三角形中三边的关系：

（1）含有30°的直角三角形的三边的比为： （2）含有45°的直角三角形的三边的比为： 。

（3）等边三角形的边长为a ，则高为 ，面积为 。 4．勾股定理的应用：

（1）已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长； （2）用其列方程求线段长； （3）作长为n 的线段； （4）在坐标系中的应用

①平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点的距离是______________;

②平面直角坐标系中，两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)的距离是_________________. 5．熟悉常用的勾股数：

3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41等等。 它们同时乘以一个正数，仍满足勾股定理的逆定理。 二、练习

1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）． A ．，

， B ．3，4，5 C ．2，3，4 D ．1，1， 2．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ） A ．51- B ．51-+ C ．5+1 D ．5 3. 如图，一棵大树在离地面9米高的B 处断裂，树顶A 落在离树底部C 12米处，则大树断裂之前的高度为（ ） A ．9米 B. 15米 C. 21米 D. 24米 4. 如图，将矩形沿AE 折叠，使D 落在BC 上的点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

5. 若△ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长是( ). A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 以上都不对

6. 在△ABC 中，若AC=5，BC=12，?=∠90ACB ，则AB=_______，

AB 边上的高CD=_________.

7．已知：如图，线段AB 、DE 表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB ＝3m ，∠ABC ＝45°，要使∠EDC ＝60°，则需BD ＝ m.

3

1

415

1

31

2

-3-210

-1

3

A A

E

8. 如图，把两块相同的含30?角的三角尺如图放置，若66AD =cm ， 则三角尺的最长边长为

第8题 第9题 第10题

9. 如图，以Rt △ABC 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB =5，则图中阴影部分

的面积为_________. 10.如图所示,图中所有三角形是直角三角形, 所有四边形是正方有形, ,则=_________.

11.小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的 辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种 方法表示五边形的面积，分别是①S = ，②S = ． 12．如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．（用根号表示）

13.已知△ABC 中，∠A=30°，AB=4，BC=2.5，则AC=_______. 14．动手画一画

如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形 网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.

①请你在所给的网格中画出边长为53,10,5的格点三角形△ABC. ②△ABC 的面积=_______________．

15. △ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AB=62. 求（1）BC 的长；（2）求△ABC 的面积.

16.已知，在△ABC 中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC 的面积. 17.已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．

第十八章 平行四边形

一、知识要点：

平行四边形

矩形

菱形

正方形

,

144,931==s s 1694=s 2s C

B

A

其它定理：

（1）三角形的中位线___________________________________； （2）直角三角形_______________等于斜边的一半. 有趣的结论

1. 顺次连接四边形各边中点所得的图形（中点四边形）问题： ①顺次连接任意四边形各边中点所得的图形是___________________； ②顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是__________； ③顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的图形是______________； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的图形是________.

2. 面积问题：

（1）两条对角线互相垂直的任意四边形的面积： 1

2

四边形ABCD

S AC BD =? (2) 同（等）底 同（等）高

B

B

ABCD =1

2

AC ?BD

B

1

2

ABC ABD ADC DCB ABCD S S S S S ====V V V V Y 123S S S =+

13241

2

=ABCD S S S S S ++=Y 1324S S S S =

二、 典型例题

1. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ,BD 交于点O ，EF 过 点O 且与AB ,CD 分别相交于点E ,F ．求证：OE =OF ．

2. 如图，已知点E,F 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，

且BE =DF . 问AE 和CF 有何数量关系和位置关系，请说明理由. 法1：△ABE ≌△CDF

法2；连接AF ,CE,AC ，利用对角线互相平分，证四边形AECF 是平行四边形

变式：若条件改为“点E,F 在线段DB 与BD 的延长线上”结论如何？

小结：两个方法仍然试用，运动变化的观点，体现

对称性.

3. 如图所示，已知四边形ABCD ，从⑴AB DC ∥；⑵AB DC =；

⑶AD BC ∥；⑷AD BC =；⑸A C ∠=∠；⑹B D ∠=∠中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合.

答：本题6个条件中任取2个，共有15种组合情形， 其中能证明是平行四边形的有9种情况：

① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵；

⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹． 4. 如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥

BF 于点O ，交BC 于点E ，连接EF ． （1）求证：四边形ABEF 是菱形；

（2）连接CF ，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF ，求CF 的长． 5. （18海淀一模）如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点

O ，

且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD .

（1）求证：四边形ABCD 是菱形；

S 4S 2

S 3

S 1

S 1+S 3=S 2+S 4=12S 口ABCD D B

C

A P S 4

S 2

S 3

S 1

S 1S 2=S 4S 3或S 1S 3=S 2S 4D

B

C A A D

B

C

O E C

B

D

A

F C

B

E

O

y

x

D

C

B

A

O

（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是_______________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_________________.

6. （18朝阳一模）如图，在△ABC 中，D 是AB 边上 任意一点，E 是BC 边中点，过点C 作AB 的平行线，交 DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形； （2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =， 求DF 的长．

7. （1）如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8cm ， AB ＝6cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）

A ．2cm

B ．4cm

C ．6cm

D ．8cm

（2）已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD =120°，AC =4，则菱形面积是 ( )

A ．316

B ．16

C ．38

D ．8 （3）如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，B

E ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2

B ．3

C ．22

D ．32

8. 折叠问题

（1）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5. 过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ．1．6 B ．2．5 C ．3

D ．3．4

（2）如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿着OB 对折，使点A 落在点D 处，已知OA =3，AB =1，则点D 的坐标是（ ）

A. ???

?

??23,23 B.

??

??

??3,23 C. ??

??

??23,23 D. ???

?

??23,21

（3）矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形沿对角线AC 折叠，使点D 落在点E 处，求重叠部分的面积.

A

B

C

D

E

G

A D F

A D

A

D

第（3）题 第（4）题 第（5）题

（4）矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，通过折叠使AD 落在对角线AC 上，折痕为AG ，标出图中相等的角和线段，并尝试求出图中所有线段的长度.

（5）矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，沿着过点A 的直线折叠,使点D 落在BC 边上的E 点处，求EF 的长.

（6）矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，求重叠部分的面积及EF 的长.

9. 已知：如图，矩形ABCD 中，BC 延长线上一点E 满足BE =BD ，F 是DE 的中点，猜想∠AFC 的度数并证明你的结论

注意：中点可以想到倍长中线、中位线、斜边中线、三线合一.

10. （1）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行. 在此滑动过程中，点P 到点O 的距离（ ）

A. 不变

B. 变小

C. 变大

D. 无法判断

第（1）题 第（2）题 第（3）题 （2）如图，四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点. 当四边形ABCD 满足 时，四边形EFGH 是菱形.

（3）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是角平分线，AE 是中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，则线段EF 的长为 ． 11. 如图，在△ABC 中，AC >BC ，D 为AB 的中点，E 为线段AC 上

的一点．若AE =BC 且F 为EC 中点，求证：∠AFD =2

1

∠C .

12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE =CF ，AE 与CF 交于点O ，

D

A

B

O

H

G F

E

C

D

B

A

F

E

A

D

B

C