人教B版高中数学课件选修2-2：第一章导数及其应用2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
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高中数学选修2-2几个常见函数的导数课件
Δx
Δx
x(x +Δx)Δx
=
-
x2
+
1 xΔx
∴y' = lim Δy = lim(- 1 )= - 1
δx→0Δx δx→0 x2 + xΔx
x2
新知探究
探究
画出函数y = 1 的图像， x
根据图像，描述它的变化情 况，并求出曲线在点（1，1） 处的切线方程.
新知探究
结合函数图像及其导数
y'
新知探究
x 3. 函数y=f(x)= 2 的导数
证明：
∵ Δy = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)2 - x2
Δx
Δx
Δx
= x2 + 2x× Δx +(Δx)2 - x2 Δx
= 2x + Δx
∴y' lim Δy lim(2x + Δx) = 2x. x0 Δx x0
x
（3）求极限 y lim y . x0 x
课前导入
我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬 时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？ 上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.
课前导入
本节知识结构
Δx
Δx
Δx
=
1
x + Δx + x
∴y' = lim Δy = lim
1
=1
δx→0 Δx δx→0 x + Δx + x 2 x
新知探究
知识拓展
公式2:( x n ) nx n1 (n. Q)
人教课标版(B版)高中数学选修2-2第一章 导数及其应用导数
－x 则 g′(x)＝(2x－1)e－x－(x2－x＋1)e－x＝－(x2－3x＋2）e ＝－(x－1)(x－2)e－x.
感悟高考
由 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝2. 所以当 x∈(－∞， 1)时， g′(x)＜0， g(x)在(－∞， 1)上为减函数；
当 x∈(1，2)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，2)上为增函数； 当 x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上为减函数； 1 所以，当 x＝1 时，g(x)取得极小值 g(1)＝ ，当 x＝2 时函数取 e 3 得极大值 g(2)＝ 2. e 函数 y＝k 与 y＝g(x)的图象的大致形状如上， 1 3 由图象可知，当 k＝ 和 k＝ 2时，关于 x 的方程 f(x)＝kex 恰有两 e e 个不同的实根．
1 1 ①当 x∈－2，0时，h′(x)>0，∴h(x)在－2，0上单调递增．
②当 x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1 1 1－2ln 2 ∴当 x∈－2，0时，h(x)>h－2＝ . 4
g（3）<0， 即a＋4－2ln 2<0， 解得 2ln 3－5≤a<2ln 2－4. g（4）≥0， a＋5－2ln 3≥0，
综上所述，a 的取值范围是[2ln 3－5，2ln 2－4)． 2 方法二 ∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1) ，
∴f(x)＋x2－3x－a＝0 x＋a＋1－2ln(x－1)＝0， 即 a＝2ln(x－1)－x－1， 令 h(x)＝2ln(x－1)－x－1， 3－x 2 ∵h′(x)＝ －1＝ ，且 x>1， x－1 x－1 由 h′(x)>0，得 1<x<3；由 h′(x)<0，得 x>3. ∴h(x)在区间[2，3]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减．
感悟高考
由 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝2. 所以当 x∈(－∞， 1)时， g′(x)＜0， g(x)在(－∞， 1)上为减函数；
当 x∈(1，2)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，2)上为增函数； 当 x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上为减函数； 1 所以，当 x＝1 时，g(x)取得极小值 g(1)＝ ，当 x＝2 时函数取 e 3 得极大值 g(2)＝ 2. e 函数 y＝k 与 y＝g(x)的图象的大致形状如上， 1 3 由图象可知，当 k＝ 和 k＝ 2时，关于 x 的方程 f(x)＝kex 恰有两 e e 个不同的实根．
1 1 ①当 x∈－2，0时，h′(x)>0，∴h(x)在－2，0上单调递增．
②当 x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1 1 1－2ln 2 ∴当 x∈－2，0时，h(x)>h－2＝ . 4
g（3）<0， 即a＋4－2ln 2<0， 解得 2ln 3－5≤a<2ln 2－4. g（4）≥0， a＋5－2ln 3≥0，
综上所述，a 的取值范围是[2ln 3－5，2ln 2－4)． 2 方法二 ∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1) ，
∴f(x)＋x2－3x－a＝0 x＋a＋1－2ln(x－1)＝0， 即 a＝2ln(x－1)－x－1， 令 h(x)＝2ln(x－1)－x－1， 3－x 2 ∵h′(x)＝ －1＝ ，且 x>1， x－1 x－1 由 h′(x)>0，得 1<x<3；由 h′(x)<0，得 x>3. ∴h(x)在区间[2，3]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减．
高中数学 第一章 导数及其应用 3.1 函数的单调性与导数(2)课件 新人教B版选修2-2
(3 )函 数 y x 3的 定 义 域 为 R ,并 且 在 定 义 域 上 是 增 函 数 ,
其 导 数 y 3 x 2
若 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 ; 当 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 . (4)函 数 y1的 定 义 域 为 (,0) (0,),并 且
第1章 导数及应用
1.3.1 函数的单调性与导数
函数的 单调性 与导数
内容：利用导数研究函数的单调性
应用
利用导函数判断原函数大致图象
利用导数求函数的单调区间 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况
有关含参数的函数单调性问题
本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之 对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间．
函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调
性的关系是：
y f (x)
(x1, f (x1))
(x0, f (x0))
在 xx0处 ,f(x0)0,切 线 是 左 下 右 上 , 函 数 f(x)在 x0附 近 单 调 递 增
在 xx1处 ,f(x1)0,切 线 是 左 上 右 下 , 函 数 f(x)在 x1 附 近 单 调 递 减
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
2018学年高中数学新选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运
返回
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)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
返回
题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
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)(1－2x2)′
＝(
1
u
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)·(－4x)＝
1
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(－4x)
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＝2
x(1
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x
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)
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解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
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w2
2x
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题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2本章整合 第一章导数及其应用
本章整合知识网络专题探究专题一 导数的几何意义的应用1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝tan α＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程时要注意首先判断点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，则切线斜率即为f ′(x 0)，切线方程易得；若点P 不是曲线上的点，则应首先设出切点Q (x 1，y 1)，则切线斜率为f ′(x 1)，再结合k PQ ＝f ′(x 1)以及y 1＝f (x 1)进行求解．【例1】 已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4解析：由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x ，由f ′⎝⎛⎭⎫14＝g ′⎝⎛⎭⎫14，得12×1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 答案：A【例2】 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1且y 0＝ln(x 0－a )．又∵y ′＝1x －a， ∴y ′|x ＝x 0＝1x 0－a＝1，即x 0－a ＝1，故x 0＝a ＋1， 所以a ＋1＋1＝ln(a ＋1－a )，解得a ＝－2.答案：D专题二 利用导数研究函数的单调性1．求函数单调区间的步骤如下：(1)确定f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应区间上是增函数；当f ′(x )＜0时f (x )在相应区间上是减函数．2．已知f (x )在区间I 上单调递增(递减)，等价于f ′(x )≥0(≤0)在区间I 上恒成立，由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围．3．在利用导数的符号判断函数的单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．解单调性的题目时要注意判断端点能否取到．【例3】 已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，a ∈R .(1)当a ＝8时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2－4x ＋2.令g (x )＝2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2，则g (x )在a ，ba ，b －1,1－1,11，＋∞)是单调增函数， 所以g (x )≥g (1)＝1－1－2ln 1＝0，即g (x )≥0对于x ∈时，L ′(x )≥0，所以L ′(x )在(0，ee ，＋∞)时，L ′(x )≤0，所以L ′(x )在hslx3y3he ，＋∞)上为减函数，所以当x ＝e 时，L (x )max ＝L (e)＝2e. 又H (x )＝2x 2－4e x ＋t ＝2(x －e)2＋t －2e 2，所以函数L (x )，H (x )在同一直角坐标系的大致图象如图所示．当t －2e 2＞2e ，即t ＞2e 2＋2e时，方程无解； 当t －2e 2＝2e ，即t ＝2e 2＋2e时，方程有一个根． 当t －2e 2＜2e ，即t ＜2e 2＋2e时，方程有两个根．。
高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算课件新人教B版选修2_2
1 1
1
2
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【做一做 2】 下列求导运算正确的是( A.
1 ′ ������ + ������
)
1
= 1 + ������2
1
B. (log2������)′ = ������ln2 D.(x2cos x)'=-2xsin x
1 + ������
C.(3x)'=3x· log3e
解析： 由求导公式知,B 选项正确. ������ 1 − ������ − 2 = 1 −
3.两函数的和、差、积、商的求导法则,称为可导函数四则运算 的求导法则. 4.若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零) 必可导. 若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如,设 f(x)=sin x+ ������ , ������ (������) = cos x− ������ , 则f(x),g(x)在 x=0 处均不 可导,但它们的和 f(x)+g(x)=sin x+cos x 在 x=0 处可导.
1
2
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知识拓展 对于复合函数的求导应注意以下几点: (1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变 量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中 要特别注意的是中间变量的导数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而(sin 2x)'≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数 的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.如求 y=sin 的导数,设 y=sin
解析：由求导公式可知,①③④⑥正确. 答案：B
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【做一做 2】 下列求导运算正确的是( A.
1 ′ ������ + ������
)
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= 1 + ������2
1
B. (log2������)′ = ������ln2 D.(x2cos x)'=-2xsin x
1 + ������
C.(3x)'=3x· log3e
解析： 由求导公式知,B 选项正确. ������ 1 − ������ − 2 = 1 −
3.两函数的和、差、积、商的求导法则,称为可导函数四则运算 的求导法则. 4.若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零) 必可导. 若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如,设 f(x)=sin x+ ������ , ������ (������) = cos x− ������ , 则f(x),g(x)在 x=0 处均不 可导,但它们的和 f(x)+g(x)=sin x+cos x 在 x=0 处可导.
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知识拓展 对于复合函数的求导应注意以下几点: (1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变 量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中 要特别注意的是中间变量的导数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而(sin 2x)'≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数 的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.如求 y=sin 的导数,设 y=sin
解析：由求导公式可知,①③④⑥正确. 答案：B
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高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修2_2
, × - 2 = 12 .
5 125
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f(x)单调区间的步骤: ①求f'(x); ②解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0); ③确认并指出函数的单调区间. (2)求可导函数f(x)在区间[a,b]上最大(小)值的步骤: ①求出f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将f(x)在区间(a,b)内的极值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与 最小值.
(1)当 a=1 时,f'(x)= 单调减区间为( 2, 2).
2),
(2)当 x∈(0,1]时,f'(x)=
1 . 2
> 0,
所以 f(x)在区间(0,1]上单调递增,故 f(x)在区间(0,1]上的最大值 为 f(1)=a,因此 a=
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 用定积分求平面图形的面积 用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用,几种典型 的平面图形的面积计算如下:
因为 l1⊥l2,所以 2b+1=− 3 , ������ = − 3. 所以直线 l2 的方程为 y=− 3 ������ − 9 .
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1
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专题一
专题二
专题三
专题四
1 ������ = , ������ = 3������-3, 6 (2)解方程组 1 22 得 5 ������ = - 3 ������- 9 , ������ = - 2 , 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 6 ,- 2 . 22 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0), - ,0 3 1 22 所以所求三角形的面积为 S= 2 × 1 + 3
人教B版高中数学课件选修2-2：第一章导数及其应用2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》讲述
求曲线上与直线
求过点 解：设切点为
平行的切线的方程；
且与曲线相切的切线的方程． .
因为点
不在曲线
上
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
第1章
导数及应用
1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等 函数的导 数公式及 导数的运 算法则
内容：基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则
求函数的导数
应用
函数的导数在生活中的应用 求复合函数的导数
本课主要学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则. 以分形与函数的动画为引子，在复习导数的几何意义、四种常 见函数的导数的基础之上，学习基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则。在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数 的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对 于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，平时研究的函数 不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透 彻，就得继续研究导数．层层深入，由易到难，探讨什么是复 合函数、复合函数的构成及复合函数的求导法则等． 为了巩固新知识，探究了 4 个例题，采用例题与变式训练 相结合的方法，一例一练。本课内容是导数的关键部分，对后 面更深地研究导数起着至关重要的作用。为此，通过设置难易 不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.2 1.2.1 基本初等函数的导数公式
在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
跟 踪 训 练
解析：(1)y′＝(x12)′＝12x11；
1 4 －4 －5 (2)y′＝x4′＝(x )′＝－4x ＝－ 5； x
栏 目 链 接
3 3 2 3 (3)y′＝ x ′＝(x )′＝ x－ ＝ . 5 5 5 5 2 5 x
3
5
跟 踪 训 练
栏 目 链 接
答案：D
自 测 自 评
2．曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1,2)处的切线方程为( A．y＝3x－1 C．y＝3x＋5 B．y＝－3x＋5 D．y＝2x
)
栏 目 链 接
答案：A
自 测 自 评
3．下列结论中正确的个数为( )
1 2 ①y＝ln 2，则 y′＝0；②y＝ 2，则 y′|x＝3＝－ ； x 27 1 ③y＝2 ，则 y′＝2 ln 2；④y＝log2x，则 y′＝ . xln 2
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1 3． 若曲线 y＝x－ 在点 2 围成的三角形的面积为 18，则 a＝( A．64 B．32
处的切线与两坐标轴 ) D．8
栏 目 链 接
C．16
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的 求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
跟 踪 训 练
解析： y′＝ 是 y－ ＝ ， ∴k ＝ ，切线方程
cos x y′＝______
－sin x y′＝______
栏 目 链 接
y′＝______ axln a y′＝______ ex
1 y′＝______ xln a
1 y′＝______ x
自 测 自 评
1．下列各式正确的是( 1 A．(logax)′＝x C．(3x)′＝3x
人教版高二数学选修2-2(B版)全册PPT课件
3.1.1 实数系
3.1.3 复数的几何意义
3.2.2 复数的乘法
பைடு நூலகம்
本章小节
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 导数及其应用
人教版高二数学选修2－2(B版)全册 PPT课件
1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导
1.2.3 导数的四则运算法则
1.3.2 利用导数研究函数的极值
1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形
本章小结
第二章 推理与证明
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
2.3.2 数学归纳法应用举例
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
人教版高二数学选修2－2(B版)全 册PPT课件目录
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第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数