微专题10平面向量的数量积(解析)
2x＝－
x－
2 2
2＋1，当
x＝
2时，A→P·P→Q取
4
2
2
得最大值1. 2
7. －3 解析：如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直 2
平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则点 A(0， 3)，B(－1，0)，C(1，0)，设点 P(x，y)，
则P→A＝(－x， 3－y)，P→B＝(－1－x，－y)，P→C＝(1－x，－y)，所以P→A·(P→B＋P→C)＝(－x， 3
－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2
y－
3 2
2－3，所以当
x＝0，y＝
3时，有最小值为－3.
2
2
2
8. 2 解析：由数量积的定义及余弦定理知，A→B·A→C＝cbcos A＝b2＋c2－a2，同理得
3
2
B→A·B→C＝a2＋c2－b2，C→A·C→B＝a2＋b2－c2，故已知条件化为 b2＋c2－a2＋2(a2＋c2－b2)＝3(a2
(B→O＋O→C)·(D→O＋O→C)＝B→O·D→O＋B→O·O→C＋D→O·O→C＋|O→C|2＝－|B→O|2＋O→C·(B→O＋D→O)＋|O→C|2 ＝－42＋0＋52＝9.
1. 32 解析：设 AB 的中点为 M，则A→C·B→C＝(A→O＋O→C)·(B→O＋O→C)＝A→O·B→O＋O→C·(A→O
所以λ2－2λ＋1≤0，解得2－ 2≤λ≤2＋ 2.
2
2
2
又 0≤λ≤1，
所以2－
2－ 2≤λ≤1，即实数λ的取值范围是 2
2，1 .
2
14. 解析：(1) |a|2＝x2＋m2，|b|2＝(m＋1)2x2＋x2， 因为|a|<|b|，所以|a|2<|b|2， 所以 x2＋m2<(m＋1)2x2＋x2.
2. 6 解析：因为|A→B|＝1，|A→C|＝2，|B→C|＝ 3，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC
为直角，故可建立如图所示的平面直角坐标系，则点 A(0，1)，B(0，0)，C( 3，0)，E( 3， 2
0)．设点 D(x，y)，所以B→D＝(x，y)，A→E＝
3，－1 2
.因为B→D＝2A→E，所以
2
2
＋(λ－1)O→C.由P→A＝O→A－O→P，可得－O→P＝(λ－1)O→C.故(P→A＋P→B)·P→C＝(O→A＋O→B－2O→P)·(O→C
－O→P)＝[O→A＋O→B＋(2λ－2)·O→C]·λO→C＝λO→A·O→C＋λO→B·O→C＋2(λ－1)λ|O→C|2＝2λ(λ－1)·16＝
|D→Bi|2 最小时，A→Bi·A→Bj最大，所以 i＝4 或 5，此时|D→Bi|2＝
7 7
2＝17，则A→Bi·A→Bj的最大值为
19－1＝132. 77
13. 解析：(1) 当λ＝1时，A→P＝1A→B，
3
3
|C→P|2＝(C→A＋A→P)2＝|C→A|2＋2C→A·A→P＋|A→P|2
＝|C→A|2＋2|C→A|·|A→P|cos(180°－60°)＋|A→P|2
P→A·P→B cos∠APB＝|P→A|·|P→B|
＝－ 8 ＝－4 17.
34× 2
17
－5，0 1. 3 ∪(0，＋∞)
解析：由题意得 a·(a＋λb)>0 且λ≠0，即λ>－5且λ≠0.
3
2. π 解析：因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－a·b－2|b|2＝0.设 a 与 4
＝
2x＋y
，化简得 2x＋y＝2－xy，则 y＝2－2x，x∈
1，1 3
→→ ，则AP·AQ＝2x＋y＝2x
4＋y2· x2＋1
1＋x
＋2－2x＝2(1＋x)＋ 4 －4≥2 2（1＋x）· 4 －4＝4 2－4，当且仅当 x＝ 2－1 时取
1＋x
1＋x
1＋x
等号，所以A→P·A→Q的最小值是 4 2－4.
1. 3 解析：建立如图所示的平面直角坐标系．令点 B(xB，0)，C(xC，yC)，D(0，1)，
→
→
→→
xC－xB＝ 3（－xB），
所以BC＝(xC－xB，yC)，BD＝(－xB，1)．因为BC＝ 3BD，所以
所以
yC＝ 3，
→
→
→→
xC＝(1－ 3)xB，yC＝ 3.所以AC＝((1－ 3)xB， 3)，AD＝(0，1)，则AC·AD＝ 3.
3
8
＝3×4×1＝3. 82
12. 132 7
解析：在△AB1B8 中，∠B1AB8＝π3，AB1＝6，AB8＝4，由余弦定理可得 B1B8
＝
62＋42－2×6×4×cosπ ＝ 2 3
7.取
B1B8
的中点为
D
，
则
|
→ AD
|
＝
A→B1＋A→B82 ＝ 2
36＋16＋24＝ 19.A→Bi·A→Bj＝(A→D＋D→Bi)·(A→D－D→Bi)＝|A→D|2－|D→Bi|2＝19－|D→Bi|2，则当 4
x＝
3， 即点
y＝－2，
D( 3，－2)，所以A→C＝( 3，－1)，A→D＝( 3，－3)，所以A→C·A→D＝ 3× 3＋(－1)×(－3) ＝6.
题组三 向量的夹角及应用 1. 90° 解析：由A→O＝1(A→B＋A→C)可知 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径．又因 2
为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以A→B与A→C的夹角为 90°.
3. 8 解析：过点(－2，0)且斜率为2的直线方程为 y＝2(x＋2)与抛物线方程联立方程
3
3
组得
y＝2（x＋2），
3
即
y2－6y＋8＝0，即点
M(1，2)，N(4，4)．又
F(1，0)，所以F→M＝(0，
y2＝4x，
2)，F→N＝(3，4)，所以F→M·F→N＝0×3＋2×4＝8.
4. 3 解析：由题意得 BC＝ 3，C→D·C→B＝1(C→B＋C→A)·C→B＝1|C→B|2＝3.
22
2
2
22
＝ （a＋a）2＋3a2＝ 3，解得 a＝1，所以点 A(0， 3)，C(1，0)，D(－1，－ 3)，而D→A＝
24
22
(1，3 3)，D→C＝(3， 3)，所以D→A·D→C＝1×3＋3 3× 3＝3＋9＝3.
22
22
22 2 2 44
－2，2 10. 3
解析：A→O·B→C＝1(A→C＋A→B)·(A→C－A→B)＝1(b2－c2)，又 2b2－4b＋c2＝0，
λ)×(0，2)＝(0，2－2λ)．因为B→Q＝A→Q－A→B＝(0，2－2λ)－(1，0)＝(－1，2－2λ)，C→P＝A→P
－A→C＝(λ，0)－(0，2)＝(λ，－2)，所以B→Q·C→P＝(－1，2－2λ)·(λ－2)＝－λ－2(2－2λ)＝－2， 解得λ＝2.
3
2. 4 2－4 解析：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面 直角坐标系，设 P(2，y)，y∈[0，1]，Q(x，1)，x∈[0，2]．因为∠PAQ＝45°，所以 22＝|A→A→PP|··A|A→→QQ|
3
3
3
C→D·A→B＝2|A→D|2－|A→D|·|A→B|·cos θ－2|C→D|·|A→D|cos(180°－θ)＋|C→D|·|A→B|·cos 180°＝2×32－
3
3
3
3×4cos θ＋2×2×3cos θ－2×4＝－2－8cos θ＝－3，所以 cos θ＝1.A→D·A→B＝|A→D|·|A→B|cos θ
2. －4 17 解析：由题意可得直线 OM 的方程为 y＝1x，设点 P(2y，y)，则P→A＝(1－
17
2
2y，7－y)，P→B＝(5－2y，1－y)，所以P→A·P→B＝(1－2y，7－y)·(5－2y，1－y)＝5y2－20y＋12
＝－8，解得
y＝2，所以点
P(4，2)，P→A＝(－3，5)，P→B＝(1，－1)，所以
＝62－2×6×2×1＋22＝28， 2
所以|C→P|＝2 7.
(2) 设等边三角形的边长为 a，则C→P·A→B＝(C→A＋A→P)·A→B＝(C→A＋λA→B)·A→B＝－1a2＋λa2， 2
P→A·P→B＝P→A·(A→B－A→P)＝－λA→B·(A→B－λA→B)＝－λa2＋λ2a2，
所以－1a2＋λa2≥－λa2＋λ2a2， 2
2
2
2
2
5. 25 13
解析：由题意得 AB⊥AC，所以 BC＝13，所以B→|AB→·CB→|C＝||B→B→AC||2＝2153.
6. 1 解析：设|A→P|＝x，0≤x≤2 2，所以A→P·P→Q＝A→P·(P→A＋A→D＋D→Q)＝A→P·P→A＋ 2
A→P·A→D＋A→P·D→Q＝－x2＋x×2×cos π ＝－x2＋
4
4
16
2
A→D·A→B＝22.
2. 9 解析：在平面四边形 ABCD 中，O 为 BD 的中点，且 OA＝3，OC＝5，所以O→B
＋O→D＝0.若A→B·A→D＝－7，则(A→O＋O→B)·(A→O＋O→D)＝|A→O|2＋A→O·O→D＋A→O·O→B＋O→B·O→D＝
|A→O|2－O→A·(O→D＋O→B)－|O→B|2＝32－|O→B|2＝－7，所以|O→B|2＝16，所以|O→B|＝|O→D|＝4.B→C·D→C＝
1 2
2－12＝－3.故F→D·F→E的值是－3.
4
4
题组二 利用“建系法”求平面向量的数量积 1. 2 解析：以 A 为原点，AB 所在的方向为 x 轴，AC 所在的方向为 y 轴，建立平面 3
平面向量的数量积与向量积的几何解释实例分析
平面向量的数量积与向量积的几何解释实例分析在数学中，向量是用来表示大小和方向的量，它常常用箭头来表示。
平面向量是二维向量，由横坐标和纵坐标组成。
而向量的数量积和向量积是两种重要的运算，它们在几何中有着重要的解释和应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是指两个向量相乘后再相加的结果。
设有两个平面向量a⃗a⃗=(a⃗₁, a⃗₂)和a⃗a⃗=(a⃗₁, a⃗₂)，其数量积的计算公式为：a⃗a⃗⋅a⃗a⃗=a⃗₁a⃗₁+a⃗₂a⃗₂数量积的几何解释是两个向量的夹角关系和向量之间的投影关系。
根据几何解释，两个向量的数量积等于其中一个向量在另一个向量上的投影长度与该向量的模长的乘积。
例如，有两个向量a⃗a⃗=(3, 4)和a⃗a⃗=(−2, 5)，它们的数量积为：a⃗a⃗⋅a⃗a⃗=3(−2)+4(5)=−6+20=14这意味着向量a⃗a⃗和a⃗a⃗的数量积为14。
从几何解释来看，向量a⃗a⃗在向量a⃗a⃗上的投影长度乘以向量a⃗a⃗的模长也等于14。
数量积的应用非常广泛。
在物理学中，数量积可用于计算力的功和角动量的大小。
在几何学中，数量积可用于计算向量的夹角和判断两个向量之间的正交性。
在工程学和计算机图形学中，数量积可用于计算向量的投影和用于模拟光线和阴影的效果。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积，也叫叉积或外积，是指通过两个向量构成一个新的向量，新向量的模长等于平行四边形的面积，并且新向量垂直于原来的两个向量所在的平面。
设有两个平面向量a⃗a⃗=(a⃗₁, a⃗₂)和a⃗a⃗=(a⃗₁, a⃗₂)，其向量积的计算公式为：a⃗a⃗×a⃗a⃗=a⃗₁a⃗₂−a⃗₂a⃗₁向量积的几何解释是平行四边形的面积和右手定则。
根据几何解释，两个向量的向量积的模长等于由这两个向量构成的平行四边形的面积。
例如，有两个向量a⃗a⃗=(3, 4)和a⃗a⃗=(−2, 5)，它们的向量积为：a⃗a⃗×a⃗a⃗=3(5)−4(−2)=15+8=23这意味着向量a⃗a⃗和a⃗a⃗的向量积是一个长度为23的向量。
高一数学微专题++妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(解析版)
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2 ②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)【典型例题】题型一：定值问题1(2024·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA ·CA =4，BF ·CF =-1，则BE ·CE 的值是()A.4B.8C.78D.34【答案】C【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以BF =BD +DF ，CF =CD +DF =-BD +DF ，BA =BD +DA =BD +3DF ，CA =CD +DA =-BD +3DF ，所以BF ⋅CF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD2=-1，BA ·CA =BD +3DF ⋅-BD +3DF =9DF 2-BD2=4，可得DF 2=58，BD 2=138，又因为BE =BD +DE =BD +2DF ，CE =CD +DE =-BD +2DF所以BE ·CE =BD +2DF ⋅-BD +2DF =4DF 2-BD 2=4×58-138=78，故选：C ．2(2024·贵州毕节·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA ⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC-AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC24=7，BE ⋅CE =12BC -23AD ⋅-12BC -23AD =49AD 2-14BC 2=16FD 2-BC 24=2，因此FD 2=1,BC 2=8，BF ⋅CF =12BC -FD ⋅-12BC -FD =4FD 2-BC24=4×1-84=-1.故选：B .3(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1,AD =2，点E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE=A.32B.-32C.34D.-34【答案】A【解析】取HF 中点O ，则EF ⋅FG =EF ⋅EH =EO 2-OH 2=1-122=34, GH⋅HE =GH ⋅GF =GO 2-OH 2=1-12 2=34，因此EF ⋅FG +GH ⋅HE =32，选A .题型二：范围与最值问题1(2024·山东潍坊·高三统考期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1] B.0,2C.[1，2]D.-1,1【答案】A【解析】如下图所示：考虑P 是线段AB 上的任意一点，PM =PO +OM ，PN =PO +ON =PO -OM ，圆O 的半径长为1，由于P 是线段AB 上的任意一点，则PO∈1,2 ，所以，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2∈0,1 .故选：A .2(2024·陕西榆林·统考三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为()A.-30 B.-27C.-15D.-9【答案】B【解析】由题意，四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，可得∠DAC =60°，在△ABC 中，由余弦定理得到AC =63，连接AC 和BD 交于点O ，则点O 为AC 的中点，连接OA ，OC ，OP ，则PA =PO +OA ，PC =PO +OC =PO -OA，所以PA ⋅PC =PO +OA ⋅PO -OA =PO 2-OA 2=PO2-27≥-27．故选：B .3(2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4 B.1,4C.0,9D.1,9【答案】C【解析】由题可知，AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，∠B =90°，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12×3×4=12×3+4+5 r ，解得r =1，设内切圆圆心为O ，因为PQ 是△ABC 内切圆的一条直径，所以OP =1，OQ =-OP ，则MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP ，所以MP ⋅MQ =MO +OP MO -OP =MO 2-OP 2=MO2-1，因为M 为△ABC 边上的动点，所以MO min =r =1；当M 与C 重合时，MOmax =10，所以MP ⋅MQ的取值范围是0,9 ，故选：C题型三：求参问题以及其它问题1(2024·浙江杭州·高一校联考期中)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C.则()A.∠ABC =90°B.∠BAC =90°C.AB =ACD.AC =BC【答案】D【解析】如图，取BC 的中点D ，由极化恒等式可得：PB ⋅PC =PD 2-BD 2 ，同理，P 0B ⋅P 0C =P 0D 2 -BD 2，由于PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则PD ≥P 0D ，所以P 0D ⊥AB ，因为P 0B =14AB ，D 是BC 的中点，于是AC =BC .故选：D .2(2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中)在△ABC 中，AC =2BC =6，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =2，若CM ⋅CN的最小值为3，则cos ∠ACB =．【答案】2-2109【解析】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO ⊥AB 于O ，如图，PM =12MN =1，依题意，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-PM 2=CP 2-1，因CM ⋅CN 的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此CO =2，在Rt △AOC 中，cos ∠OCA =CO CA=13，sin ∠OCA =223，在Rt △BOC 中，cos ∠OCB =CO CB =23，sin ∠OCB =53，所以cos ∠ACB =cos (∠OCA +∠OCB )=cos ∠OCA cos ∠OCB -sin ∠OCA sin ∠OCB =2-2109.故答案为：2-21093(2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)在△ABC 中，AC =2BC =4，∠ACB 为钝角，M ,N 是边AB 上的两个动点，且MN =1，若CM ⋅CN 的最小值为34，则cos ∠ACB =．【答案】1-358【解析】取MN 的中点P ，取PN =-PM ，PN =PM =12，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP +PN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-14，因为CM ⋅CN 的最小值34，所以CP min =1．作CH ⊥AB ，垂足为H ，如图，则CH =1，又BC =2，所以∠B =30°，因为AC =4，所以由正弦定理得：sin A =14，cos A =154，所以cos ∠ACB =cos 150°-A =-32cos A +12sin A =-32×154+12×14=1-358．故答案为：1-358.【过关测试】一、单选题1(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)在△ABC 中，A =90°，AB =4，AC =43，P ，Q 是平面上的动点，AP =AQ =PQ =2，M 是边BC 上的一点，则MP ⋅MQ的最小值为()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】取PQ 的中点N ，则MP =MN +NP ,MQ =MN +NQ =MN -NP ，可得MP ⋅MQ =MN +NP ⋅MN -NP =MN 2-NP 2=MN2-1，∵MN =MA +AN ≥MA -AN ，当且仅当N 在线段AM 上时，等号成立，故MN ≥MA -AN =MA-3 ，显然当AM ⊥BC 时，MA取到最小值23，∴MN ≥MA-3 ≥23-3 =3，故MP ⋅MQ =MN2-1≥3-1=2.故选：B .2(2024·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习)已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为()A.-2 B.-8C.-1D.0【答案】A【解析】如图AB 为棱长为2的正方体外接球的一条直径，O 为球心，P 为正方体表面上的任一点，则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任一点P 的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1，AB 的长为正方体的对角线长，为23，我们将三角形PAB 单独抽取出来如下图所示：PA ⋅PB =(PO +OA )⋅(PO +OB )=(PO +OA )⋅(PO -OA )=PO |2- OA |2=|PO |2-232 2=|PO |2-3，所以PA ⋅PB 的最小值为12-3=-2.故选：A .3(2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)已知点P 在棱长为4的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为( )．A.-8 B.-4C.-1D.0【答案】A【解析】由题意知：正方体的外接球的球心为O ，正方体的外接球的直径AB =42+42+42=43，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB，且|OA |=|OB|=23，故PA ⋅PB =(OA -OP )⋅(OB -OP )=OA ⋅OB -(OA +OB )⋅OP +OP 2=-OA 2+OP 2=OP2-12，当OP 与正方体的棱长平行时，此时OP 最小，故OP≥2，所以PA ⋅PB的最小值4-12=-8．故选：A4(2024·贵州贵阳·统考一模)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =π2,BD=2DC ，则AB ⋅AD=()A.9B.18C.6D.12【答案】D【解析】由BD =2DC 可得：DC =13BC ，所以AC -AD =13BC =13AC -AB ，所以AD =13AB +23AC ，AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC ，因为AB =6,AC =3,∠BAC =π2，所以AB ⋅AD =13AB 2+23AB ⋅AC =13×36=12.故选：D .5(2024·贵州贵阳·统考模拟预测)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =2π3,BD=2DC ，则AB ⋅AD =()A.18B.9C.12D.6【答案】D【解析】∵BD =2DC =2(BC -BD )，即BD =23BC ，∴AD =AB +BD =AB +23BC =AB +23AC -AB =13AB+23AC ，∴AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC =13×62+23×6×3×cos 2π3=6.故选：D6(2024·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如△ACD )为等腰直角三角形，点O 为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB ⋅AO的值为()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】如图：连接OD因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以∠ADO =∠ODB =45°，OD =2，AD=4，∠ADB =90°.所以AB ·AO =AD +DB ·AD +DO =AD 2+AD ·DO +DB ·AD +DB ·DO=42+4×2×cos 3π4+0+2×2cos π4=14.故选：A7(2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD 中，AC =4，BA⋅BC =12，E 为AC 中点.BE =2ED ，求DA ⋅DC 的值()A.0B.12C.2D.6【答案】A【解析】∵AC =4，E 为AC 中点，∴AE =CE =2，∵BA ⋅BC =BE +EA ⋅BE +EC =BE +EA ⋅BE -EA =BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴BE =4，∴DE =12BE =2，∴DA ⋅DC =DE +EA ⋅DE +EC =DE +EA ⋅DE -EA =DE 2-EA2=4-4=0.故选：A .8(2023·贵州·校联考二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AC=4，BA ⋅BC=12，E 为AC 的中点，BE =λED ，DA ⋅DC =-209，则λ的值为()A.2B.3C.43D.32【答案】B【解析】∵AC=4，E 为AC 的中点，∴|AE |=|CE|=2，∵BA ⋅BC =(BE +EA )⋅(BE +EC )=(BE +EA )⋅(BE -EA )=BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴|BE|=4，∵BE =λED ,∴|DE |=1λ|BE |=4λ，∴DA ⋅DC =(DE +EA )⋅(DE +EC )=(DE +EA )⋅(DE -EA )=|DE |2-|EA |2=16λ2-4=-209，解得：λ=3.故选：B .9(2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测)已知△ABC 是边长为1的正三角形，BD =2DC ，AB +AC=2AE ，则AE ⋅AD =()A.34B.32C.38D.1【答案】A【解析】由AB +AC =2AE ，可知E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，如图所示：因为BD =2DC ，根据上图可知AD =AE +ED =AE +16BCAE ⋅AD =AE ⋅AE +16BC =AE 2=34故选：A10(2024·四川绵阳·统考二模)如图，在边长为2的等边△ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点(靠近点B )，点F 为BC 的中点，则FE ⋅EC=()A.-34B.-56C.34D.12【答案】B【解析】由已知，BA =2，BC =2，∠ABC =60°，所以BA ⋅BC =BA ⋅BC cos ∠ABC =2×2×12=2.由已知D 是AC 的中点，所以BD =12BA +BC，BE =13BD =16BA +BC ，BF =12BC .所以FE =BE -BF =16BA +BC -12BC=16BA -13BC ，EC =BC -BE =BC -16BA +BC =-16BA +56BC ，所以，FE ⋅EC =16BA -13BC ⋅-16BA +56BC =-136BA 2+736BA ⋅BC -518BC 2=-136×4+736×2-518×4=-56.故选：B .11(2024·江西南昌·高一南昌二中校考开学考试)已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB =120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在线段AB 上(不包含两个端点)，则CM ⋅CN的取值范围是()A.-12,1B.-1,1C.-34,0D.-1,0【答案】C【解析】∵∠AOB =120°，∴点C 在线段AB 上，且OC ∈12,1，∴CM ⋅CN =OM -OC ⋅ON -OC =OM ⋅ON -OM +ON ⋅OC +OC 2=-1+OC 2=-1+OC2，∵OC ∈12,1 ，∴CM ⋅CN ∈-34,0 .故选：C .二、填空题12(2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE的值是.【答案】58【解析】因为BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC -AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=5，BF ⋅CF =12BC -13AD ⋅-12BC-13AD =4FD 2-BC24=-2，因此FD 2=78,BC 2=232，BE ⋅CE =12BC -ED ⋅-12BC -ED =4ED 2-BC 24=16FD 2-BC 24=58.故答案为：58.13(2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,BA ⋅CA =15，BE ⋅CE =5，则BF ⋅CF=.【答案】-1【解析】∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BE =BD +DE =BD +2DF ,CE =-BD +2DF ，BA =BD +3DF ,CA =-BD +3DF ，∴BE ⋅CE =4DF 2-BD2=5，BA ⋅CA =9DF 2-BD 2=15，∴DF 2=2,BD2=3，又∵BF =BD +DF ,CF =-BD +DF ，∴BF ⋅CF =DF 2-BD 2=-1，故答案为：-1．14(2024·江苏盐城·统考一模)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BE ⋅CE =2，BC =2，则BF ⋅CF =．【答案】-14/-0.25【解析】因为BE ⋅CE =BD +DE ⋅CD +DE =BD +DE ⋅-BD +DE=DE 2-BD2=2，又D 是BC 的中点，且BC =2，所以BD =1，代入上式得DE 2=3，所以DE=3，因为E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以DF =32，则BF ⋅CF =BD +DF ⋅CD +DF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD 2=34-1=-14，故答案为：-14.15(2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是.【答案】0,14【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2=PO 2-14，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，OP min =12，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，OP max =22，即12≤OP ≤22，因此，PM ⋅PN =PO 2-14∈0,14.故答案为：0,14.16(2024·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为.【答案】99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则DG =83，GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°.BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP=12×sin60°=63，所以BE ⋅BFmin =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BF max =157-9=148，即BE ⋅BF 的取值范围为99,148 .故答案为：99,14817(2024·全国·高三专题练习)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的最小值为，最大值为.【答案】99148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ,BP ，如图所示：则DG =83,GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°，BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP =12×sin60°=63，所以BE ⋅BF min =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BFmax =157-9=148，故答案为：99；148.18(2024·浙江杭州·高二校联考期中)在△ABC 中，AB =4,BC =5,AC =6，点M 为△ABC 三边上的动点，PQ 是△ABC 外接圆的直径，则MP ⋅MQ的取值范围是【答案】-9,0【解析】根据向量关系可得MP ⋅MQ =MO 2-R 2，即判断MO 2-R 2的取值范围即可，由图可知MO 的最大值为R ，最小值为R 2-9.设外接圆的圆心为O ，半径为R ，可得MP ⋅MQ =MO +OP ⋅MO +OQ =MO 2+MO ⋅OP +OQ +OP ⋅OQ =MO2-R 2，∵M 为△ABC 三边上的动点，可知MO的最大值为O 到三角形顶点的距离，即为半径R ，且MO的最小值为O 到AC 边的距离，过O 作OM 0⊥AC ，垂足为M 0，则OM 0 =R 2-32=R 2-9，∴MP ⋅MQ的最大值为R 2-R 2=0，最小值为OM 0 2-R 2==R 2-9-R 2=-9，故MP ⋅MQ的取值范围是-9,0 .故答案为：-9,0 .19(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知正△ABC 的边长为2，PQ 为△ABC 内切圆O 的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为.【答案】0,1【解析】先由正△ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ ，再结合OQ =-OP ，可得到MP ⋅MQ =MO 2-OP 2=MO 2-13，再根据图像利用临界值法，求出MP ⋅MQ的取值范围.如图所示，O 为正△ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在△BDO 中，BD =1，∠OBD =30°，可求得内切圆半径OD =33.又PQ 为圆O 的直径, ∴OQ =-OP，利用向量的线性表示可得，MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP，∴MP ⋅MQ =(MO +OP )(MO -OP )=MO 2-OP 2=MO 2-13，又M 为△ABC 边上的动点，由图可知，当M 为△ABC 边的中点时，MO 最小为33，即MP ⋅MQ min =0；当M 为△ABC 的顶点时，MO 最大为233，即MP ⋅MQ max =1.∴MP ⋅MQ的取值范围为0,1 .故答案为：0,1 .20(2024·全国·高一假期作业)设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C，则三角形ABC 形状为.【答案】C 为顶角的等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D ，如图所示：PB ⋅PC =PD +12BC ⋅PD -12BC =PD 2-14BC 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-14BC 2，∵PB ⋅PC≥P 0B ⋅P 0C ，∴PD 2-14BC 2≥P 0D 2-14BC 2∴PD ≥P 0D∴P 0D ⊥AB ，设O 为AB 的中点，∴P 0B =12OB ⇒P 0D ⎳OC ⇒OC ⊥AB ,∴AC =BC 即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：C 为顶角的等腰三角形．21(2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测)设直角△ABC ，P 0是斜边AB 上一定点．满足P 0B =16AB =1，则对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则斜边AB 上的高是．【答案】22【解析】取BC 中点D ，则PB ⋅PC =PD +DB PD +DC =PD 2+PD ⋅DC +DB +DC ⋅DB =PD 2-DB 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-DB 2，又PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，故PD 2≥P 0D 2，即PD ≥P 0D 恒成立，所以DP 0⊥AB .作CE ⊥AB ，则P 0为EB 中点，故EB =2P 0B =2，所以AE =4.又因为直角△ABC ，故CE 2=AE ⋅EB =8，所以CE =22，即斜边AB 上的高是22故答案为：2222(2024·河北保定·高一校联考期中)已知点P 在棱长为1的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为．【答案】-12/-0.5【解析】由题意，正方体外接球的直径AB =3，设点O 为正方体外接球的球心，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB 且OA = OB =32，则PA ⋅PB =OA -OP ⋅OB -OP =OA ⋅OB -OA +OB ⋅OP +OP 2=OP 2-322由OP ≥12，所以PA ⋅PB 的最小值为12 2-32 2=-12．故答案为：-1223(2024·天津和平·统考二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，则AD +AB 在AB 上的投影向量为(用AB 表示)；若点M ,N 分别是边BC ,CD 上的点，且满足BM BC =CNCD，则AM ⋅AN 的取值范围是.【答案】 54AB2,5【解析】在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，建立如图所示的直角坐标系，则B 2,0 ，A 0,0 ，D 12,32，C 52,32 ，AB =(2,0)，AC =52,32 ，AD =12,32 ，所以AD +AB =AC =52,32，所以(AD +AB )⋅AB =52×2+32×0=5，AB =2，所以AD +AB 在AB 上的投影向量为AD +AB ⋅AB AB ⋅ABAB=54AB ；设BM BC =CNCD=λ，λ∈0,1 ，则BM =λBC ，CN =λCD ，所以M 2+λ2,3λ2 ,N 52-2λ,32 ，所以AM ⋅AN =2+λ2,3λ2 ⋅52-2λ,32 =-λ2-2λ+5，因为λ∈0,1 ，函数y =-λ2-2λ+5的对称轴为λ=-1，所以y =-λ2-2λ+5在0,1 上单调递减，所以λ∈0,1 时，y =-λ2-2λ+5∈2,5 ，即AM ⋅AN 的取值范围是2,5 .故答案为：54AB；2,524(2024·天津南开·高三校考阶段练习)如图在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =8，AB =12，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若CE =3，则EA ⋅EB =；若CE =λCF 0≤λ≤1 ，则EA ⋅EB的最小值为.【答案】 13-36【解析】因为∠ABC =90°，BF =12AB =6，BC =8，则CF =BC 2+BF 2=10，当CE =3时，EF =7，此时EA ⋅EB =EF +FA ⋅EF +FB =EF -FB ⋅EF +FB =EF 2-FB2=72-62=13；EF =CF -CE =1-λ CF ，则EA ⋅EB =EF 2-FB 2=1-λ 2CF2-36≥-36，当且仅当λ=1时，等号成立，故EA ⋅EB的最小值为-36.故答案为：13；-36.。
平面向量的数量积(解析版)
考点36 平面向量的数量积【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题. 【基础知识回顾】 1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向； 当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影． (2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．4．向量数量积的运算律(1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a||b|. 特别地，a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a||b|. 6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a |＝x 21＋y 21； (2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.1、已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 【答案】 C【解析】 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2、.已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B.1C. 2D.2【答案】 A【解析】由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2， 又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1， 即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝12.3、（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知向量，则在方向上的投影为（ ）23-t 1）（+(,1),(0,4),a a b a b λ=-=⊥a b -aAB ．2C D【答案】B【解析】由，，得， 由，得，解得，所以，故在方向上的投影为． 故选：B ．4、（2021·山东济宁市·高三二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点和点．若点在的角平分线上，且，则（ ）A ．B ．C ．2D ．6【答案】A 【解析】如图所示：因为，所以，即有，， 所以点的坐标为，即，又 因此． 故选：A5、（多选题）设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ∴b B ．若a ∴b ，则|a ＋b|＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |(),1a λ=()0,4a b -=(),3b λ=-a b ⊥230a b λ⋅=-=3λ=±2a =a b -a ()422a b a a-⋅==xOy O )1M-()0,1N P MON ∠4OP =OP MN ⋅=2-6-tan 3xOM ∠=30xOM ∠=60NOP ∠=30xOP ∠=P ()2OP =()2()MN =-(23222OP MN ⋅=+⨯=-【答案】 ABD【解析】 对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ∴b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题； 对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |， 得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题． 对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0， 因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |， 所以D 不正确． 故选ABD.6、（多选题）设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( ) A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 B ．|a |－|b |＜|a －b |C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2 【答案】 BD【解析】 由于b ，c 是不共线的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 相减的结果应为向量，故A 错误； 由于a ，b 不共线，故a ，b ，a －b 构成三角形，因此B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，故C 中两向量垂直，故C 错误； 根据向量数量积的运算可以得出D 是正确的． 故选BD.7、已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．【答案】 λ<12且λ≠－2【解析】∴〈a ，b 〉∴(0，π2)，∴a ·b >0且a ，b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12．当a ，b 同向时，由a ＝λb (λ>0)得λ＝－2．∴λ<12且λ≠－2．8、已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________． 【答案】 －25 【解析】 如图，根据题意可得∴ABC 为直角三角形， 且∴B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25．考向一 平面向量的数量积的运算例1、（1）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．（2）．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．【答案】： 1．29182．1 1【解析】：1．法一 取BA →，BC →为一组基底， 则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，∴AE →·AF →＝＝712||－2518BA →·BC →＋23|BC →|2 ＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918．法二 CO ⊥AB 于O ，建立如图所示的平面直角坐标系，⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→→BC BA BA BC 12732→BA 2则A ，B ，C ，D ， 所以E ，F ， 所以AE →·AF →＝＝109＋12＝2918． 2．法一 如图，DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB →＝DA →2＝1， DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·DC → ＝DA →·DC →＋AE →·DC →＝AE →·DC →＝|AE →|·|DC →|≤|DC →|2＝1．法二 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1． 因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1．法三 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1．当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1．变式1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.【答案】 12 【解析】方法一 (几何法)⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,23⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,65⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,3233,35因为AB →·AC →＝2AB →·AD →， 所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →， 所以AB →·DC →＝AB →·AD →，因为AB ∴CD ，CD ＝2，∴BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →|·|AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC → ＝(22)2＋22×2cos π4＝12.方法二 (坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n ,0)，其中m >0，n >0， 则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n ,0)·(m ＋2，m )＝2(n ,0)·(m ，m )， 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b 满足3a =，2b = ，4a b +=，则a b -=___________. 10【解析】由已知：3a =，2b = ，4a b +=，所以224a b +=，展开得到22216a a b b +⋅+=，所以23a b ⋅=，所以222210a b a a b b -=⋅+=-， 所以10a b -=； 10．变式3、 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为【答案】1或－14【解析】 ∵AP →＝AB →＋λAC →⇒BP →＝AP →－AB →＝λAC →，∴BP →·CP →＝λAC →·(AP →－AC →)＝λAC →·AP →－λAC →2＝λ(λ－1)AC →2＋λAB →·AC →＝4λ(λ－1)＋λ＝1，故λ＝1或－14.方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.考向二 平面向量的夹角问题例2、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()313a b a b -⋅+=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】()()2232313a b a b aa b b -⋅+=+⋅-=-，即21113a b ⋅-=-，得1a b ⋅=-，则1cos 2a ba b θ⋅==-⋅，0θπ≤≤，23πθ∴=. 故选：C.变式1、（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由得，从而可求，然后根据向量夹角公式可解. 【详解】 解：，，，即，，， 2,4a b ==()4b a b ⊥-a b 6π4π23π34π()4b a b ⊥-()40b a b -=a b ()4b a b ⊥-2,4a b ==()40b a b ∴-=22440a b b a b b -=-=4a b∴=4cos ,2a b a b a b∴<>===⨯所以向量与的夹角为， 故选：B.变式2、（2021·山东济南市·高三一模）已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由，得，所以，即， 所以，由，得，故选：C.变式3、（2019春•泉州期末）ABC ∆中，AB c =，BC a =，CA b =，在下列命题中，是真命题的有( ) A ．若0a b >，则ABC ∆为锐角三角形 B ．若0a b =．则ABC ∆为直角三角形C ．若a b c b =，则ABC ∆为等腰三角形D ．若()()0a c b a b c +-+-=，则ABC ∆为直角三角形 【答案】BCD ．【解析】如图所示，ABC ∆中，AB c =，BC a =，CA b =， ①若0a b >，则BCA ∠是钝角，ABC ∆是钝角三角形，A 错误； ②若0a b =，则BC CA ⊥，ABC ∆为直角三角形，B 正确； ③若a b c b =，()0b a c -=，()0CA BC AB -=，()0CA BC BA +=，取AC 中点D ，则CA BD ，所以BA BC =，即ABC ∆为等腰三角形，C 正确， ④若()()0a c b a b c +-+-=，则22()a c b =-，即2222b c a b c +-=，即222cos 2||||b c a A b c +-=-， 由余弦定理可得：cos cos A A =-，即cos 0A =，即2A π=，即ABC ∆为直角三角形，即D 正确，综合①②③④可得： 真命题的有BCD ，a b 4π,,a b c 0a b c ++=a b 6π3π23π56π0a b c ++=a b c +=-a b c +=-22221a b a a b b +=+⋅+=12a b ⋅=-1cos ,2a b a b a b ⋅=<>=-2,3a b π<>=变式4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,327,a b a b ==-=且则向量a 与向量b 夹角的大小是_______. 【答案】6π【解析】 由27a b -=得223|44|7144372a ab b a b a b -⋅+=∴-⋅+⨯=∴⋅=332cos ,,.2613a b a b π∴==∴=⨯变式5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a 、b ,满足a b =,()2a b b +⊥,则a 与b 的夹角为___________. 【答案】120【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意a b =,()2a b b +⊥,， 可得2(2)2cos 0a b b a b bθ+⋅=+=，所以1cos 2θ=-， 再由0180θ≤≤可得，120θ=， 故答案是120.变式6、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61． (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 【解析】：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴ 4|a |2－4a·b －3|b |2＝61．又|a |＝4，|b |＝3，∴ 64－4a·b －27＝61，∴ a·b ＝－6．∴ cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12．又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3．(2) 可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴ |a ＋b |＝13．(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3．又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝33．方法总结：求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a·b 及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝a ·b|a ||b |求得．(2)公式法：若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22，〈a ，b 〉∈[0，π]． 考向三 平面向量中的垂直例1、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量，，，且，则实数的值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由已知得，又，所以，解得， 故选：C.变式1、（2019秋•南通期末）在ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，若ABC ∆是直角三角形，则k 的值可以(2,1)a =(0,)b m (2,4)c =()a b c -⊥m 4321(21)a b m -=-，()a b c -⊥()22+140m ⨯-⨯=2m =是()A ．1-B ．113C D 【答案】BCD ．【解析】ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =， ①当90A ∠=︒时，0AB AC =， 即2130k ⨯+=，解得23k =-；②当90B ∠=︒时，(1,3)BC AC AB k =-=--，且0AB BC =； 即2(1)3(3)0k ⨯-+⨯-=，解得113k =； ③当90C ∠=︒时，0AC BC =，即1(3)0k k -+-=，整理得2310k k --=，解得k =k =综上知，k 的取值为23-或113变式2、(2019·黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟)已知向量|OA ―→|＝3，|OB ―→|＝2，OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，若OA ―→与OB ―→的夹角为60°，且OC ―→⊥AB ―→，则实数m n 的值为( )A.16B.14 C ．6D ．4【答案】A【解析】∵向量|OA ―→|＝3，|OB ―→|＝2，OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，OA ―→与OB ―→的夹角为60°，∴OA ―→·OB ―→＝3×2×cos 60°＝3，∴AB ―→·OC ―→＝(OB ―→－OA ―→)·(m OA ―→＋n OB ―→) ＝(m －n )OA ―→·OB ―→－m |OA ―→|2＋n ·|OB ―→|2 ＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0， ∴m n ＝16，故选A.变式3、[2018·连云港期中]已知向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(sin(θ＋π3)，1)，θ∈R.(1)若a ⊥b ，求tan θ的值；(2)若a ∥b ，且θ∈ (0，π2)，求θ的值【解】 (1)依题意，得：a·b ＝0，即sin(θ＋π3)＋2sin θ＝0，展开，得：sin θcos π3＋cos θsin π3＋2sin θ＝0，化简，得：52sin θ＋32cos θ＝0，解得：tan θ＝－35(2)∵a ∥b ，∴2sin θsin(θ＋π3)＝1，展开得：2sin θ(sin θcos π3＋cos θsin π3)＝1，即：2sin 2θ＋23sin θcos θ＝2， 即：1－cos2θ＋3sin2θ＝2，化为：sin(2θ－π6)＝12，∵θ∈(0，π2)，∴2θ－π6∈(－π6，5π6)，∴2θ－π6＝π6，解得：θ＝π6.方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
高考复习：平面向量的数量积含解析答案(教师版+学生版)
5.3平面向量的数量积与平面向量应用知识梳理：1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.考点一：平面向量的数量积的运算例1（1）.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.（2）．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．（3）.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．考点二：平面向量数量积的性质例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，求2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值(2)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，求实数λ的值．变式训练1：(1)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，求|b |的值. (2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值例3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值； (2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．变式训练2(2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．课堂练习：1．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝k e1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．2．在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________．3．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则实数k的取值范围是________．4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．5．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO·BC＝________.6.已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．5.3平面向量的数量积与平面向量应用作业1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ―→·EM ―→的取值范围是________．6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b .10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．11．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．11．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA ―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24.法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，A (0,33)，从而M (－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24.答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a 25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：351．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2a ，b ＝0，可得a ，b ＝12，又因为0≤a ，b ≤π，所以a ，b ＝π3.答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．解析：(a ＋b )2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7平面向量的数量积与平面向量应用举例知识梳理：1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.解析：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 21＋8e 1·e 2＝4＋8×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝0. 答案：02．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.解析：如图，依题意向量BC ，BA 所成角为2π3，|BC |＝|BA |＝23，AC ＝BC －BA ，EF ―→＝13BC ＋BA ，EF ·AC ＝⎝⎛⎭⎫13BC ＋BA ·(BC －BA )＝13|BC |2＋23BC ·BA －|BA |2＝－12. 答案：－12考点一：平面向量的数量积的运算1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b＝(3,1)，则a ·b ＝________.解析：法一：由a ·⎝⎛⎭⎫a －12b ＝5，得a 2－12a ·b ＝5， 即5－12a ·b ＝5，所以a ·b ＝0.法二：由a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，得b ＝(－4,2)，所以a ·b ＝0 答案：02．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．解析：由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.答案：－233.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB ＝(2，0)，AE ＝(2，1)，AD ＝(0,2)．设AF ＝(x,2)，x ＞0，则AB ·AF ＝2x ＝2，解得x ＝1.所以F (1,2)，BF ＝(1－2，2)，于是AE ·BF ＝ 2.答案： 24．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC ―→|的最小值是________． 解析：∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC |＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC |min ＝ 6. 答案： 6考点二：平面向量数量积的性质题型二 求向量的模与夹角例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值为．(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为． 答案 (1)－126 (2)32 (3)712解析 (1)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.(2)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. (3)由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0， 即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时， ∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.考点三：向量数量积的综合3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)， 又C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC ＋OD ＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22， 所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，当t ＝22时，其最小值为12， 即|OC ＋OD |的最小值为22. (2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0≤α≤3π2， 则CE ＝OE －OC ＝⎝⎛⎭⎫0，－12－(cos α，sin α) ＝⎝⎛⎭⎫－cos α，－12－sin α. 又D ⎝⎛⎭⎫12，0，E ⎝⎛⎭⎫0，－12，所以DE ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12， 故CE ·DE ＝12⎝⎛⎭⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎡⎦⎤14－22，14＋22.[典例] (2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.课堂练习：1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题得|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos2π3＝－12，所以a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k |e 1|2＋(1－2k )·e 1e 2－2|e 2|2＝k ＋2k －12－2＝0，解得k ＝54.答案：542．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．解析：由题意得AB ·AC ＋AB ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＝|AB |2＝4，所以AB ＝2.答案：23．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________． 解析：因为a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )，所以a ＋b ＝(3，k ＋2)，所以|a ＋b |＝32＋(k ＋2)2＝13＋4k ＋k 2≤5，解得－6≤k ≤2 答案：[－6,2]4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ·BC ―→的值为________．解析：BD ·BC ＝BD ·(BA ＋AC )＝BD ·BA ＋BD ·AC＝BD ·BA ＝|BD |·|BA |·cos ∠ABD ＝|BD |2. 在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝7，又S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×2×3×sin 60°＝332，所以12AC ·BD ＝332，所以BD ＝3217， 所以BD ·BC ＝|BD |2＝277. 答案：2775．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2 ＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2. 又|a |＝3|b |，所以a ，b＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13. 答案：－136．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 解析：取BC 边的中点D ，连接AD ，则AO ·BC ＝(AD ＋DO )·BC ＝AD ·BC ＋DO ·BC ＝AD ·BC ＝12(AB ＋AC )·(AC －AB )＝12(AC 2－AB 2)＝12(62－102)＝－32.答案：－32 作业1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，从而5－6e 1·e 2－8＝0，所以e 1·e 2＝－12，故〈e 1·e 2〉＝2π3.答案：2π32．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.解析：由条件得|AB ＋AC |＝|AC －AB |，故AC ·AB ＝0，即AC ⊥AB ，故|BC |＝2，∠ABC ＝60°，从而原式＝1×2×cos 60°2＝12.答案：123．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)． 答案：(3,0)4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.解析：如图，CD ＝CB ＋BD .又∵BD ＝2DA ，∴CD ＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB )，即CD ＝23CA ＋13CB ，∵∠C ＝π2，∴CA ·CB ＝0，∴CD ·CA ＝⎝⎛⎭⎫23 CA ＋13 CB ·CA ＝23CA 2＋13CB ·CA ＝6. 答案：65．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ―→·EM ―→的取值范围是________．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 答案：⎣⎡⎦⎤12，326．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝22|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 答案：3 27．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)， b －c ＝(1，－2－y )．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2. 答案：8 28．(2013·山东高考)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0， 即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λ2AB ＋2AC ＋(λ－1) AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：7129．(2014·泰州期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1)求|a |2＋|b |2的值； (2)若a ⊥b ，求θ； (3)若θ＝π20，求证：a ∥b .解：(1)因为|a |＝cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]，|b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，所以|a |2＋|b |2＝2. (2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin [(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0， 所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z .(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b .10．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0.∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝⎛⎭⎫34，32，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3.∴p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.5．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝－1＋cos2x ＋23sin x cos x＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin(2x ＋π6)－1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1，∴sin(2C ＋π6)＝1，∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7.将ab ＝23代入可得a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或4.∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3. ∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)m ∥n ⇒2sin B ·(2cos 2B2－1)＋3cos2B ＝0⇒sin2B ＋3cos2B ＝0⇒2sin(2B ＋π3)＝0(B 为锐角)⇒2B ＝2π3⇒B ＝π3.(2)cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ⇒ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4⇒ac ≤4.S △ABC ＝12a ·c ·sin B ≤12×4×32＝ 3.故S △ABC 的最大值为 3.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.解析：法一：由题知，CM ·CB ＝(CB ＋BM )·CB ＝2CB ＋ 23BA ―→·CB ＝36＋23×6×6×cos 120°＝24.法二：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，A (0,33)，从而M (－1,23)，所以CM ＝(－4,23)，CB ＝(－6,0)．因此CM ·CB ＝(－4)×(－6)＋23×0＝24.答案：242．(2013·盐城二模)若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解析：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a 25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35.答案：351．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2a ，b ＝0，可得a ，b ＝12，又因为0≤a ，b ≤π，所以a ，b ＝π3.答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．解析：(a ＋b )2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7.答案：7。
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳平面向量是数学中重要的概念之一，而其中的数量积（也叫点积或内积）与向量积（也叫叉积或外积）是平面向量运算中常用的两种运算方法。
本文将详细解析这两种运算，并对其进行归纳总结。
一、平面向量的数量积数量积，记作A·B，是两个向量A和B的数量上的乘积。
具体计算公式如下：A·B = |A| * |B| * cosθ其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模（即长度），θ表示A和B 之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)这些性质使得数量积在计算中更加方便。
数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量的模的乘积。
通过数量积，我们可以计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直以及计算向量的模等。
二、平面向量的向量积向量积，记作A×B，是两个向量A和B的向量上的乘积。
具体计算公式如下：A×B = |A| * |B| * sinθ * n其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位法向量，并满足右手法则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C3. 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)这些性质使得向量积在计算中更加灵活。
向量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量所在平面上的投影的长度乘以一个单位法向量。
通过向量积，我们可以计算平行四边形的面积、判断两个向量是否平行以及计算平行四边形的对角线等。
三、数量积与向量积的关系数量积和向量积之间存在一定的关系：A×B = |A| * |B| * sinθ * n由此可得到以下等式：|A×B| = |A| * |B| * sinθ此等式表明，向量积的模等于数量积的模乘上夹角的正弦值。
平面向量的数量积(解析版)
专题二 平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°．(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0．投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θb |b |＝(a ·b )b |b |2． (2)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．3．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．4．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2．(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2．考点一 求平面向量数量积【方法总结】平面向量数量积的两种求法(1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >．若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解；(2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0答案 B 解析 a·(2a －b )＝2|a|2－a·b ＝2×1－(－1)＝3．(2)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172答案 D 解析 由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172． (3)如图，已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且|AB →－AC →|＝23，|AB →＋AC →|＝26，点D 是△ABC 中边BC 的中点，则AB →·BD →＝________．答案 －3 解析 由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0得BC →与∠A 的平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →．又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝|AB →||BD →|cos(π－B )＝AD 2＋BD 2·3·(－cos B )＝33×(－33)＝－3． (4)(2016·天津)如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118答案 B 解析 由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2．因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18． (5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C 解析 连接OA ．在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON→－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6．(6)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A ．16B ．12C ．8D ．－4答案 A 解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3)．设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16． (7)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA→＝________．答案 4 解析 由题意可建立如图所示的坐标系．可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB→＋CP →·CA →＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．(8)如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP→＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－12答案 B 解析 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC →＝12OA →＋12OB →，所以OP →＝12OC →＝14(OA →＋OB →)，则AP →＝OP →－OA →＝14OB →－34OA →，所以AP →·OP →＝14(OB →－3 OA →)·14(OA →＋OB →)＝116(OB →2－3OA →2)＝116． 法二：以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0，1)，B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP →＝⎝⎛⎭⎫12，14，AP →＝⎝⎛⎭⎫12，－34，故AP →·OP →＝12×12－34×14＝116．(9)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案 1 解析 因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1． (10)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝________．答案 5 解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →．(AB→＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5．(11)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，DC ＝2，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，若向量AB →与DC →的夹角为60°，则AB →·EF →的值为________．答案 7 解析 EF →＝EA →＋AB →＋BF → ①，EF →＝ED →＋DC →＋CF → ②，由AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，有2EA →＋ED →＝0，，2BF →＋CF →＝0，，①×2＋②得2AB →＋DC →＝3EF →，所以EF →＝23AB →＋13DC →，则AB →·EF →＝AB →·(23AB →＋13DC →)＝23AB →2＋13AB →·DC →＝23×32＋13×3×2cos 60°＝7． (12)如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD →·BC →＝m ，AC →·BD →＝n ．若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1答案 D 解析 AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(－AB →＋AD →)＝－AB →2＋AB →·AD →－AB →·BC →＋AD →·BC →＝－AB →2＋AB →·(AD →－BC →)＋m ＝－AB →2＋AB →·(AB →＋BC →＋CD →－BC →)＋m ＝AB →·CD →＋m ．又EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF →＝AB →＋DC →，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB →·DC →，所以AB →·DC →＝－12，则AB →·CD →＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D ． (13)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ．记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3答案 C 解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3．∴I 3<I 1<I 2．(14)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－3 D ．－4答案 C 解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点，∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝⎛⎭⎫－12－12×4＝－3．【对点训练】1．已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________．1．答案 1＋2 解析 因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋ 2|a |·|b |cos 45°＝1＋2．2．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________． 2．答案 6 解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝6． 3．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．23．答案 A 解析 ∵|a |cos<a ，b >＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos<a ，b >＝3×4＝12．4．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6B ．10C ．5D ．104．答案 D 解析 ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝ 10，故选D ．5．(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．55．答案 A 解析 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．6．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 6．答案 A 解析 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32． 7．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10，记m i ＝AB 2→·AP i → (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．180B ．603C ．45D ．1537．答案 A 解析 由题意可知，∠B 2AC 3＝30°，∠AC 3B 3＝60°，∴AB 2→⊥B 3C 3→，即AB 2→·B 3C 3→＝0．则m i＝AB 2→·AP i →＝AB 2→·(AC 3→＋C 3P i →)＝AB 2→·AC 3→＝23×6×32＝18，∴m 1＋m 2＋…＋m 10＝18×10＝180． 8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C ．23D ．328．答案 D 解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32． 9．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________．9．答案 13解析 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2)．因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝⎛⎭⎫13，43，所以DE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13． 10．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________．10．答案 6 解析 如图，设BC 的中点为D ，则AD ⊥BC ，∴|AP |cos ∠P AD ＝AD ，AB →＋AC →＝2AD ―→．∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴AD ＝3，∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2×|AD →|×|AP →|×cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝2×(3)2＝6．11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．26911．答案 B 解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 12．答案 C 解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形，又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°，∴CA →·CB →＝|CA→||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3． 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A ．23B ．32C ．33D ．3 13．答案 D 解析 ∵在△ABC 中，AD ⊥AB ，∴AB →·AD →＝0，AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝AB →·AD →＋BC →·AD →＝BC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3(AD →－AB →)·AD →＝ 3 AD →·AD →－ 3 AB →·AD →＝3．14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．14．答案 5 解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝⎛⎭⎫12，32．设C (a ，0)．∵AC →·AB →＝－1，∴⎝⎛⎭⎫a －12，－32·⎝⎛⎭⎫－12，－32＝－12⎝⎛⎭⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4．∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12(BA →＋BC →)＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12，32＋(4，0)＝⎝⎛⎭⎫32，36．∴BO →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32，36·⎝⎛⎭⎫72，－32＝5． 15．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．615．答案 A 解析 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC ∵O 为△ABC 的外接圆圆心．∴S 、T 为AB ，AC 的中点，且AS →·SO →＝0，AT →·TO →＝0，AO →＝AS →＋SO →，AO →＝AT →＋TO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝AO →·AB →＋AO →·AC →＝(AS →＋SO →)·AB →＋(AT→＋TO →)·AC →＝AS →·AB →＋SO →·AB →＋AT →·AC →＋TO →·AC →＝12AB →·AB →＋12AC →·AC →＝12|AB →|2＋12|AC →|2＝8＋2＝10．故选A ． 优解：不妨设∠A ＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B (4，0)，C (0，2)，则O 为BC 的中点O (2，1)，∴AB →＋AC →＝2AO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝2|AO →|2＝2(4＋1)＝10．故选A ．16．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是 ( )A ．112B ．132C ．6D ．7 16．答案 B 解析 不妨设AM →＝23AB →＋13AC →，AN →＝13AB →＋23AC →，所以AM →·AN →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →) ＝29AB 2→＋59AB →·AC →＋29AC 2→＝29(AB 2→＋AC 2→)＋59AB →·AC →＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B ． 17．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________．17．答案 －9 解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2，∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6，∴CA →⊥AB →，即A ＝π2， 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则P A →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，此时P (2，1)，AP →＝(2，1)，此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9．18．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______． 18．答案 ±43 解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2．∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±43．19．(2013·全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________．19．答案 2 解析 因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB ) ＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2． 20．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．3C ．2D ．2320．答案 C 解析 因为AC →＝AB →＋AD →，所以AC →·AB →＝(AB →＋AD →)·AB →＝|AB →|2＋AD →·AB →＝1＋|AD →||AB →|cos 60°＝2．21．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．1221．答案 C 解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝(AB →＋23AD →)·(12AB →－13AD →)＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24．22．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．622．答案 C 解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－ 3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，故选C ． 23．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________． 23．答案 2 解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，∴AD →·AB →＝8×5×1120＝22，∴AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2． 25．在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________．25．答案 －7 解析 ∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，∴AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →＋DB →＝AC →－BD →，BC →＋AD →＝BD →＋DC →＋AC →＋CD →＝AC →＋BD →，∴(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝(AC →－BD →)(AC →＋BD ―→)＝AC →2－BD →2＝9－16＝－7．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO →·AE → ＝8，则AC →·BD →＝( )A ．－9B ．－293C ．－10D ．－32326．答案 解析 由DC →＝13AB →，可得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，AO →＝34AC →＝34 (AD →＋13AB →) ＝34AD →＋14AB →，又E 是BD 的中点，所以AE →＝12AD →＋12AB →，则AO →·AE →＝(34AD →＋14AB →)(12AD →＋12AB →)＝38AD 2→＋18AB 2→＋12AD →·AB →＝32＋92＋12AD →·AB →＝8，则AD →·AB →＝4，则AC →·BD →＝(AD →＋13AB →)·(AD →－13AB →)＝AD 2→－13AB 2→－23AD →·AB →＝4－13×36－23×4＝－323． 27．设△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，若P A →＋PB →＝CP →，则P A →·PB →＝( )A ．－92B ．－32C ．3D ．9 27．答案 A 解析 由题意P A →＋PB →＝CP →，△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，故P A →，PB →两向量的和向量的模是3，由向量加法的平行四边形法则知，P A →，PB →的夹角为120°，所以P A →·PB →＝3×3×cos 120°＝9×⎝⎛⎭⎫－12＝－92．故选A ． 28．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →＝( )A ．1B ．2C ．tD ．2t28．答案 A 解析 因为BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AC →|·|AD →|cos ∠CAD －|AC →|·|AB →|cos ∠CAB ．又AC 为圆的直径，所以连接BC ，DC (图略)，则∠ADC ＝∠ABC ＝π2，所以cos ∠CAD ＝|AD →||AC →|，cos ∠CAB ＝|AB →||AC →|，则AC →·BD ―→＝|AD →|2－|AB →|2＝t ＋2－(t ＋1)＝1，故选A ．考点二 已知平面向量数量积，求参数的值或判断多边形的形状 【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若BQ ·CP ＝－2，则λ等于( )A ．13B ．23C ．43D ．2答案 B 解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB→2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23． (2)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( )A ．12B ．1±22C ．1±102 D ．－3±222答案 A 解析 ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ) AC －AB ]·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1) AB ·AC ＋(1－λ)| AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12．(3)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF ．若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B 解析 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝(12BC →－BA →)(BC →＋1λBA →)＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B ． (4)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13答案 A 解析 法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos π3＝2，BD →·CP →＝(BA →＋BC →) ·(BP →－BC →)＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →]＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2，0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x ，0)，由BD →·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1．∵AP →＝λAB →，∴λ＝12．故选A ．(5)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C 解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．(6)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．非等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形答案 C 解析 因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB →|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝3B ＝π，所以B ＝π3，故△ABC 是等边三角形．(7)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形 答案 C 解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．(8)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6．则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A ．23B ．－23C ．56D ．－56答案 B 解析 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23．考点三 平面向量数量积的最值(范围)问题 【方法总结】数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________．答案 1＋2 解析 依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋2． (2)(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．答案 12 解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ．即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12．∴a ·b 的最大值为12．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．(4)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t(0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时等号成立．∴PB →·PC →的最大值等于13．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 另解：设圆心为O ，AB 的中点为D ，由题得AB ＝2×2×sin π6＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由题得⎩⎪⎨⎪⎧P A →＋PC →＝2PM →，PC →－P A →＝AC →，两方程平方相减并化简得PC →·P A →＝PM →2－14AC →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213． (6)(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132 解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．在四边形ABCD 中，作AO⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． (7) (2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2，6) B ．(－6，2) C ．(－2，4) D ．(－4，6)答案 A 解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2，0)，且－1<x <3．所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6)．另解 AB →的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB →的取值范围是(－2，6)，故选A ．(8)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92 解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，∵|PO→|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC→|＝32时，等号成立，故最小值为－92． 【对点训练】1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则P A →·PB →的最大值为( ) A ．9 B ．16 C ．18 D ．251．答案 B 解析 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴P A →·PB →＝ (PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12，∴P A →·PB →的最大值为16．2．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且 满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤32，2B ．⎝⎛⎭⎫32，2C ．⎣⎡⎭⎫32，2D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 2．答案 C 解析 以等腰直角三角形的直角边BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立平面直 角坐标系如图所示，则B (0，0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2，设M (a ，2－a )，则0＜a ＜1，N (a ＋1，1－a )，∴BM →＝(a ，2－a )，BN →＝(a ＋1，1－a )，∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2，∵0＜a ＜1，∴当a ＝12时，BM →·BN →取得最小值32，又BM →·BN →＜2，故BM →·BN →的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2．3．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动， 则ME →·MC →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤716，12B ．⎣⎡⎦⎤716，1C ．⎣⎡⎦⎤12，1 D ．[0，1] 3．答案 B 解析 如图，以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (0，1)，C (1，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12．设M (0，m )(0≤m ≤1)，则ME →＝⎝⎛⎭⎫12，12－m ，MC →＝(1，－m )．ME →·MC →＝12－m ⎝⎛⎭⎫12－m ＝m 2－12m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m －142＋716，由于m ∈[0，1]，则当m ＝14时，ME →·MC →取得最小值716；当m ＝1时，ME →·MC →取得最大值1．所以ME →·MC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤716，1．4．在△ABC 中，满足AB →⊥AC →，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值为________．4．答案 －12解析 ∵|AB →|＝|AC →|＝2，∴|AM →|＝1．设|OA →|＝x ，则|OM →|＝1－x ，而OB →＋OC →＝2OM →，∴OA →·(OB →＋OC →)＝2OA →·OM →＝2|OA →|·|OM →|cos π＝－2x (1－x )＝2x 2－2x ＝2⎝⎛⎭⎫x －122－12，当且仅当x ＝12时，OA →·(OB →＋OC →)取得最小值，最小值为－12．5．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－725．答案 C 解析 由AP →＝1a AC →＋a －1a AD →知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (0，2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，33x ，则P A →＝⎝⎛⎭⎫－x ，2－33x ，PB →＝⎝⎛⎭⎫23－x ，－33x ，PC →＝⎝⎛⎭⎫－x ，－33x ，∴PB →＋PC →＝⎝⎛⎭⎫23－2x ，－233x ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎝⎛⎭⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－258．6．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边， 在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC →·OB →的取值范围是________．6．答案 (0，3] 解析 设∠BAO ＝θ，θ∈(0°，90°)，则B (0，2sin θ)，C (2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120° －θ))，则OC →·OB →＝(0，2sin θ)·(2cos θ＋2cos(120°－θ)，2sin(120°－θ))＝2sin θ·2sin(120°－θ)＝23sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sin(2θ－30°)＋1．因为θ∈(0°，90°)，所以OC →·OB →∈(0，3]．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为________；DE ·DC 的最大 值为________．7．答案 1 1 解析 方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)， B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1．因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1．方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1．8．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．[]0，1 8．答案 C 解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1．又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1， 1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12， EC ＝(1－x ，1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12．因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32．9．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ， AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE →·CD →的取值范围为________．9．答案 [－1，0] 解析 以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0，1)，B (0，0)，C (1，0)，D (1，1)．当E 在DA 上时，设E (x ，1)，其中0≤x ≤1，∵DE →＝(x －1，0)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )，其中0≤y ≤1，∵DE →＝(－1，y －1)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE →·CD →的取值范围为[－1，0]；当E 在BC 上时，设E (x ，0)，其中0≤x ≤1，∵DE →＝(x －1，－1)，CD →＝(0，1)，∴DE →·CD →＝－1．综上所述，DE →·CD →的取值范围为[－1，0]．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．10．答案 9 解析 设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1，0≤μ≤1．AM ＝AD＋12DC ＝12AB ＋AD ．所以AM ·AN ＝1)2AB AD （＋·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ．所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．11．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．11．答案 2 解析 在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，所以|AB →|·|AD →|·cos A ＝－1，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0，0)，B (2，0)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32．设M ⎝⎛⎭⎫x ，32，－12≤x ≤32，因为MA →＝⎝⎛⎭⎫－x ，－32，MB →＝⎝⎛⎭⎫2－x ，－32，所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14．设f (x )＝(x －1)2－14，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－12，32，所以当x ＝－12时，f (x )取得最大值2．12．如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，1B ．⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1，1] D ．[－1，0]12．答案 C 解析 ∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝2．如图所示，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为O ，则P A →＝PO →＋OA →，OA →·BD →＝0，∴P A →·BD →＝(PO →＋OA →)·BD →＝PO →·BD →．∴当点P 与点B 重合时，P A →·BD →取得最大值，即P A →·BD →＝PO →·BD →＝12×2×2＝1；当点P 与点D 重合时，P A →·BD →取得最小值，即P A →·BD →＝－12×2×2＝－1．∴P A →·BD →的取值范围是[－1，1]．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－13213．答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2．由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1．所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC→＋BE →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·CF →＝|AB →|·|BC →|cos 120°＋|BE →|·|BC →|－|AB →|·|CF →|＋|BE →|·|CF →|cos 60°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE →·BF →的最小值是46－13．14．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为点积或内积，是向量分析中的一项重要运算。
它能够通过计算两个向量之间的夹角以及它们长度的乘积来得到一个标量值。
本文将详细介绍平面向量的数量积的定义、性质以及在几何和物理学中的应用。
1. 定义平面向量的数量积定义为两个向量的模长乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
设有向量A和向量B，它们的数量积表示为A·B。
2. 计算公式设向量A的坐标表示为A = (x1, y1)，向量B的坐标表示为B = (x2, y2)，则向量A和向量B的数量积计算公式如下：A·B = x1 * x2 + y1 * y23. 性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：A·B = B·A- 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C，其中C为另一个向量- 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为标量- 长度与夹角之间的关系：A·B = |A| * |B| * cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角4. 几何解释平面向量的数量积在几何学中有着重要的意义，它可以帮助我们判断两个向量之间的相对方向以及它们之间的夹角大小。
具体来说：- 若A·B > 0，表示向量A和向量B之间的夹角为锐角；- 若A·B < 0，表示向量A和向量B之间的夹角为钝角；- 若A·B = 0，表示向量A和向量B之间的夹角为直角。
5. 物理应用平面向量的数量积在物理学中也具有广泛的应用。
以下是一些例子：- 力的正交分解：当一个力作用于物体上的某一点时，可以将该力分解为两个正交的力，其中一个力与位移方向相同，被称为平行力；另一个力与位移方向垂直，被称为法向力。
这种分解可以使用数量积来实现。
- 功的计算：当一个力作用于物体上并使其沿着某一位移方向移动时，功可以通过力和位移的数量积来计算。
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量的数量积(经典导学案及练习答案详解)
§5.3 平面向量的数量积学习目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ∥b 的充要条件 a ＝λb (λ∈R ) x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3， cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1， 解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135 B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝(1，3)·(3，4)32＋42＝1525＝35.教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案 1解析由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(7，2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.方法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝(7a＋2b)2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋(－sin β)2＝1， 所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2 ＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋(1＋3)2＋2×1×(1＋3)cos θ， 解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋(1＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×(1＋3)＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[](a ＋b )2－(a －b )2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋(－3)2＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2， 故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中， BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ， ∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ， DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。