统计学第七章第八章课后题答案

=1.96 ×0.7906=1.5496 。
n
2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期
3
周的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。
1) 假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差。
2) 在 95% 的置信水平下，求估计误差。
3) 如果样本均值为 120 元，求总体均值 μ的 95% 的置信区间 。
统计学复习笔记
第七章 参数估计
一、 思考题
1． 解释估计量和估计值
在参数估计中， 用来估计总体参数的统计量称为 估计量 。估计量也是随机变 量。如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为 估计值 。
2． 简述评价估计量好坏的标准
（ 1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （ 2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估 计量，有更小方差的估计量更有效。 （ 3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体 的参数。
解：（ 1）已假定总体标准差为 σ =15 元，
则样本均值的抽样标准误差为
σ 15
σx =
=
=2.1429
n 49
2 / 26
（ 2）已知置信水平 1－α=95%，得 Z α/2 =1.96 ，
于是，允许误差是 E = Zα /2 σ =1.96 ×2.1429=4.2000 。 n
（ 3）已知样本均值为 x =120 元，置信水平 1－α =95%，得 Zα /2 =1.96 ，
3． 怎样理解置信区间
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。 置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。 有些新闻媒体报道一些调查结果 只给出百分比和误差 （即置信区间），并不说明置信度， 也不给出被调查的人数， 这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”） ，有 误导读者之嫌。 在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。 这样则可以 由此推算出置信度（由后面给出的公式） ，反之亦然。
4． 从总体中抽取一个 n =100 的简单随机样本， 得到x =81，s=12。 要求：
1） 构建 μ的 90% 的置信区间。 2） 构建 μ的 95% 的置信区间。 3） 构建 μ的 99% 的置信区间。 解：由于是正态总体，但总体标准差未知。总体均值 在 1- 置信水 平下的置信区间公式为
3 / 26
解： 已知 n =100，x =104560，σ= 85414，1- ＝95% ， 由于是正态总体，且总体标准差已知。总体均值 在 1- 置信水
平下的置信区间为
10
x z 22 n 10150.3465610.9±6 12.956 × 85414÷√ 100
105.36 3.92
=
11001.4454,61009.±2816741.144
1） 总体服从正态分布，且已知 σ= 500 ，n = 15 ，x =8900，置信
2) 在 95% 的置信水平下，估计误差是多少？
解： 已知总体标准差σ =5，样本容量 n=4x0，为大样本，样本均值 x =25，
（ 1）样本均值的抽样标准差 σx = σ = 5 =0.7906 n 40
（ 2）已知置信水平 1－α=95%，得 Z α/2 =1.96 ，
σ
于是，允许误差是 E = Zα /2
2） x =119，s =23.89，n =75，置信水平为 98%
3） x =3.149，s =0.974，n =32，置信水平为 90%
解：∵
x
z 22
或x n
∴ 1） 1- ＝95% ，
s
z 22
( n
未知 )
其置信区间为： 25±1.96 ×3.5÷√ 60

= 25
±0.885
2 ） 1- ＝98% ，则 =0.02, /2=0.01, 1- /2=0.99, 查标准
4． 解释 95% 的置信区间的含义是什么
置信区间 95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量 ( 是随机的 ) 覆盖总体 参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有 95%（的区间） 包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个 95%置信区间，就以为该区 间以 0.95 的概率覆盖总体参数。
81± ×12÷√ 100 = 81 ±
1）1- ＝90%，
1.65
其置信区间为 81 ± 1.98
2）1- ＝95% ， 其置信区间为 81 ± 2.352
3) 1- ＝99%，
2.58
其置信区间为 81 ± 3.096
×1.2
5． 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。
1） x = 25，σ= 3.5，n =60，置信水平为 95%
这时总体均值的置信区间为
σ
124.2
x Zα /2
=120± 4.2=
n
115.8
可知，如果样本均值为 120 元，总体均值 95%的置信区间为（ 115.8 ， 124.2 ）元。
3． 从一个总体中随机抽取 n =100 的随机样本，得到 x =104560，
假定总体标准差 σ= 85414，试构建总体均值 μ的 95% 的置信区间。
5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量 n 为
n
( z 22 ) 22 22 E 22
其中：
E z2 n
2. 样本量 n 与置信水平 1- α、总体方差 、估计误差 E 之间的关系为
1 / 26
? 与置信水平成正比， 在其他条件不变的情况下， 置信水平越大， 所 需要的样本量越大；
正态分布表 , 可知 :
2.33
其置信区间为 : 119 ±2.33 ×23.89 ÷√ 75
= 119
±6.345
3) 1- ＝90%，
1.65
其置信区间为 :3.149 ±1.65 ×0.974 ÷√ 32
4 / 26
= 3.149
± 0.284
6． 利用下面的信息，构建总体均值 μ的置信区间：
? 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大； ? 与与总体方差成正比， 样本量与估计误差的平方成反比， 即可以接
受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、 练习题
1． 从一个标准差为 5 的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本 量为 40 的样本，样本均值为 25。
1) 样本均值的抽样标准差 xx 等于多少？