14-18年北清自招博雅领军数学真题-平面几何
北大博雅15.2.在内切圆半径为1的直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于（ ）A.前三个答案都不对北大博雅15.3.正方形ABCD 内内一点P 满足::1:2:3AP BP CP =，则APB ∠等于（ ） A.120︒ B.135︒ C.150︒ D.前三个答案都不对北大博雅2015.7.椭圆22221x y a b+=的一条切线与,x y 轴交于,A B 两点，则三角形AOB 的面积的最小值为______北大博雅2015.9.平面区域{}(,)x y xy 的面积为______清华领军2015.3.设A B 、是抛物线2y x =上两点，0是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A.||||2OA OB ⋅≥ B.||||OA OB +≥C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D.0到直线AB 的距离小于等于1 清华领军2015.6.AB △的三边分别为a b c 、、，若π2,3c C =∠=，且sin sin()2sin20C B A A +--=，则有（ ）A.2b a = B.ABC △的周长为2+C.ABC △D.ABC △清华领军2015.8.已知222222{(,)|},{(,)|()()}A x y x y r B x y x a y b r =+==-+-=，已知11{(,),A B x y ⋂=1(,x2)}y ，则（ ）A.22202a b r <+<B.1212()()0a x x b y y -+-=C.12x x a +=，12y y b +=D.221122a b ax by +=+ 清华领军2015.13.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）A.若4S =，则k 的值唯一B.若12S =，则k 的值有2个C.若D 为三角形，则203k <≤D.若D 为五边形，则4k >清华领军2015.14.ABC △的三边长是2，3，4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ）A.0B.-15C.212-D.292- 清华领军2015.16.过ABC △的垂心作直线将ABC △分成两部分，则这两部分的面积之比为（ ） A.最小值为34 B.最小值为45 C.最大值为43 D.最大值为54清华领军2015.17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）A.105种B.225种C.315种D.420种 同时分入排列组合清华领军2015.22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） A.cos sin ρθθ1=+B.12sin ρθ=+C.12cos ρθ=-D.112sin ρθ=+清华领军2015.24.ABC △的三边分别为,,a b c ，若ABC △为锐角三角形，则（ ） A.sin cos A B > B.tan cot A B > C.222a b c +> D.333a b c +>1,2,)n ，总存在两个不同的点A.3 B.4 C.5 D.6 分类存疑北大博雅2016.2.已知三角形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题： （1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在； （3）以,,222a b b c c a+++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在， 其中正确命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.前三个答案都不对 2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0>； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
北大博雅2016.3.设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（ ）A.前三个答案都不对 3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE =【评析】非常简单的几何计算。
北大博雅2016.10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（ ）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对 10.【解答】A如图BAF CAE ∠=∠，于是AE AF ⊥。
又因为BAD ACD ∠=∠，于是AD BC ⊥。
故2AD DE DF DB DC =⋅=⋅，解得DC =9，从而BC =11。
【评析】利用相似三角形进行运算，较为基础。
北大博雅2016.11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BD =，10AL =，则BL 的长为（ ）A.24B.25C.26D.前三个答案都不对 11.【解答】B如图，设BK 与小圆交于M ，连接ML ，CD 为两圆在K 处的公切线。
由弦切角定理，得DKM BAK KLM ∠=∠=∠，又KLA KML ∠=∠，于是可得AKL BKL ∠=∠，因此由角平分线定理可得：::AL BL AK BK =，从而可得BL =25。
【评析】综合了弦切角定理和角平分线定理的几何计算题，基本是在考察学生初中阶段的几何储备，初中阶段没有学习过简单的数学竞赛，此类题可能会感到吃力。
北大博雅2016.17.在圆内接四边形ABCD 中，6,30BD ABD CBD =∠=∠=︒，则四边形ABCD 的面积等于（ ）A.D.前三个答案都不对 17.【解答】B如图，连接AC ，根据题意有CD AD AC =且，则由托勒密定理可得AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅，即()AD AB BC AD ⋅+=，于是AB BC +=()32ABCD ABD CBD S S S AB BC ∆∆=+=+=清华领军2016.1.椭圆22221x y a b +=，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点。
若||MN （ ）A.1.【解答】C.设点P 的坐标为（x 0，y 0），则过P 平行于1l 的直线为3l :()0012y y x x -=-，过P 平行于2l 的直线为4l ：()0012y y x x -=--，分别联立1l 和4l ，2l 和3l 解得M 000022,24x y x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭, N 000022,24x y y x --⎛⎫⎪⎝⎭。
结合P 在椭圆22221x y a b +=上有：MN ，由MN 为常数即知221404b a-=2，故选C【评析】本题考查解析几何知识，较为简单。
也可采用特殊值法：将P 取为两特殊点(a ,0)及（0,b ），此时易知MN的长度分别为2a 及2b ，由22ab =2=。
清华领军2016.10.AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，,OC AB PA OC M ⊥=，PB 交OC 延长线于N .A.OMBP 共圆B.AMBN 共圆C.AOPN 共圆10.【解答】AC.由垂径定理知AB 关于OC 对称，又圆心角等于二倍圆周角12MOB AOB MPB ∠=∠=∠，OMBP 四点共圆，A 正确。
容易举出反例知B 错误。
由对称性AON BON APN ∠=∠=∠，因此AOPN 四点共圆，C 正确。
【评析】属于简单的平面几何问题，但在高中内容中较少涉及到这类问题，在准备自主招生考试时应适当补充相关知识。
清华领军2016.14.O 在ABC △内::4:3:2AOB BOC AOC S S S =△△△，AO AB AC λμ=+则??λμ==14.【解答】29 49延长AO 与BC 交于点P ，则BP ：CP=0:2:1AOB A C S S ∆∆=。
因此，1233AP AB AC =+，又OP ：AP=()()::3:4+3+2=1:3BOC ABC BOC AOB BOC COA S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=++=，知 224399AO AP AB AC ==+，综上2=9λ，49μ=。
清华领军2016.24.已知抛物线2:4,(1,0)E y x F =过F 作弦交E 于,A B ，M 为AB 中点，则下列说法正确折是A.以AB 为直径的圆与32x =-始终相离B.||AB 最小值为4C.||AM 最小值为2D.以BM 为直径的圆与Y 轴有且仅有一个交点24. 【解答】ABC取AB 中点M ，E : y 2=4x 的准线l:x=-1，则d (M ,l )=()(),,222d A l d B l AF BF AB++==，因此以AB 为直径的圆与l :x =-1相切，与32x =-相离，A 正确；()()2,2,4AB d M l d F l =≥=，当且仅当AB 与x 轴垂直时取等，B 正确；22ABAM =≥，C 正确；设B 的坐标为（b 2,2b ）,0b ≠,BF 方程应为()()2121b y b x -=-，与24y x =联立解得A (21b ,2b -)，有M (22122b b +,1b b -)，BM 中点到y 轴的距离为223144b b+，而2222131122424b b BM b b ⎛⎫==++≠+ ⎪⎝⎭，因此D 错误。
清华领军2016.26.p 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 为左右焦点，下列说法正确的是______A.a 时，满足1290F PF ∠=︒的P 点有2个 B.a >时，满足1290F PF ∠=︒的P 点有4个 C.124PF F C a <D.1222PF F a S ≤26. 【解答】ABCD设点P 坐标为(x ,y ), 22212901y y F PF x y c x c x c∠=⇔⋅=-⇔+=-+，结合22221x y a b +=，解得2,b x y a c ==±=时，x =0, 2b yc =±，有两个符合条件的P 点，A 正确；a >时，2220a b ->，x ，y 各有两解，因此满足条件的P 点有4个，B 正确。
14-18年北清自招博雅领军数学真题-数论基础与整除
北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。
如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。
【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。
北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。
[2014-2018]北京高考数学真题分类汇编 专题九 解析几何
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专题九 解析几何1．（2018.7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2018.12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是 ． 3．（2018.14）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．4．（2018.19）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．5．（2017.4）若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．96．（2017.9）若双曲线x 2−y 2m =1的离心率为√3，则实数m ＝ ．7．（2017.18）已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P （1，1）．过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点． 8.（2016.13）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ ．9. （2016.19）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |•|BM |为定值．10. （2015.10）已知双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）的一条渐近线为√3x +y ＝0，则a ＝ ．11. （2015.19）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，点P （0，1）和点A （m ，n ）（m ≠0）都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．12.（2014.6）若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−1213. （2014.11）设双曲线C 经过点（2，2），且与y 24−x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．14.（2014.19）已知椭圆C ：x 2+2y 2＝4， （1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．专题九 解析几何答案部分1. 解：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√1+m 2=√2√m +1，tan α=1m =y x， ∴当sin （θ+α）＝﹣1时， d max ＝12√m +1≤3．∴d 的最大值为3． 故选：C ．2. 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z ＝2y ﹣x ，则y =12x +12z ， 平移y =12x +12z ，由图象知当直线y =12x +12z 经过点A 时， 直线的截距最小，此时z 最小， 由{x +1=y y =2x 得{x =1y =2，即A （1，2），此时z ＝2×2﹣1＝3， 故答案为：33. 解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（c2，√3c2），可得：c 24a 2+3c 24b2=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m=√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m2=2． 故答案为：√3−1；2．4. 解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2＝2px 经过点 P （1，2），∴4＝2p ，解得p ＝2， 设过点（0，1）的直线方程为y ＝kx +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立方程组可得{y 2=4xy =kx +1，消y 可得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，∴△＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＞0，且k ≠0解得k ＜1， 且k ≠0，x 1+x 2=−2k−4k2，x 1x 2=1k2，又∵P A 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，﹣2），即k ≠﹣3， 故直线l 的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）； （Ⅱ）证明：设点M （0，y M ），N （0，y N ）， 则QM →=（0，y M ﹣1），QO →=（0，﹣1）因为QM →=λQO →，所以y M ﹣1＝﹣y M ﹣1，故λ＝1﹣y M ，同理μ＝1﹣y N ， 直线P A 的方程为y ﹣2=2−y11−x 1（x ﹣1）=2−y 11−y124（x ﹣1）=42+y 1（x ﹣1）， 令x ＝0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，因为1λ+1μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=4−2×4−2kk 2−4−2k k= 2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．5. 解：x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x的可行域如图：由可行域可知目标函数z ＝x +2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由{x =3x =y ，可得A （3，3），目标函数的最大值为：3+2×3＝9． 故选：D ．6. 解：双曲线x 2−y 2m =1（m ＞0）的离心率为√3，可得：√1+m1=√3，解得m ＝2． 故答案为：2．7. 解：（1）∵y 2＝2px 过点P （1，1）， ∴1＝2p ， 解得p =12， ∴y 2＝x ，∴焦点坐标为（14，0），准线为x =−14，（2）证明：设过点（0，12）的直线方程为y ＝kx +12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴直线OP 为y ＝x ，直线ON 为：y =y 2x 2x ， 由题意知A （x 1，x 1），B （x 1，x 1y 2x 2），由{y =kx +12y 2=x，可得k 2x 2+（k ﹣1）x +14=0，∴x 1+x 2=1−k k2，x 1x 2=14k2∴y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−kk22×14k 2x 1=2kx 1+（1﹣k ）•2x 1＝2x 1，∴A 为线段BM 的中点．8. 解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y ＝±x ， 即a ＝b ，∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB ＝2√2，即c ＝2√2， 则a 2+b 2＝c 2＝8，即2a 2＝8， 则a 2＝4，a ＝2， 故答案为：29. 解：（Ⅰ）由题意可得e =ca =√32， 又△OAB 的面积为1，可得12ab ＝1，且a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝1，c =√3， 可得椭圆C 的方程为x 24+y 2＝1；（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P （x 0，y 0）， 可得x 02+4y 02＝4，若P （0，﹣1），可得P A 与y 轴交于点M （0，﹣1），直线PB 与x 轴交于点N （0，0）， 可得|AN |•|BM |＝4； 直线P A ：y =y 0x 0−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−2y 0x 0−2， 则|BM |＝|1+2yx 0−2|；直线PB ：y =y 0−1x 0x +1，令y ＝0，可得x =−x0y 0−1， 则|AN |＝|2+xy 0−1|．可得|AN |•|BM |＝|2+x 0y 0−1|•|1+2y0x 0−2|＝|(x 0+2y 0−2)2(x 0−2)(y 0−1)|＝|x 02+4y 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝|8+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝4，即有|AN |•|BM |为定值4．证法二：设P （2cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π）， 直线P A ：y =sinθ2cosθ−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−sinθcosθ−1，则|BM |＝|sinθ+cosθ−11−cosθ|；直线PB ：y =sinθ−12cosθx +1，令y ＝0，可得x =−2cosθsinθ−1， 则|AN |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|．即有|AN |•|BM |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|•|sinθ+cosθ−11−cosθ|＝2|sin 2θ+cos 2θ+1+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝2|2+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝4．则|AN |•|BM |为定值4． 10. 解：双曲线x 2a 2−y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa，由题意可得1a =√3，解得a =√33．故答案为：√33．11. 解：（Ⅰ）由题意得出{b =1c a =√22a 2=b 2+c 2解得：a =√2，b ＝1，c ＝1 ∴x 22+y 2＝1，∵P （0，1）和点A （m ，n ），﹣1＜n ＜1 ∴P A 的方程为：y ﹣1=n−1m x ，y ＝0时，x M =m1−n ∴M （m 1−n，0）（II ）∵点B 与点A 关于x 轴对称，点A （m ，n ）（m ≠0） ∴点B （m ，﹣n ）（m ≠0）∵直线PB 交x 轴于点N ， ∴N （m 1+n，0），∵存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，y Q ）， ∴tan ∠OQM ＝tan ∠ONQ ， ∴y Q x M=x N y Q，即y Q 2＝x M •x N ，m22+n 2＝1y Q 2=m 21−n 2=2， ∴y Q =±√2，故y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，√2）或Q （0，−√2）12. 解：对不等式组中的kx ﹣y +2≥0讨论，可知直线kx ﹣y +2＝0与x 轴的交点在x +y ﹣2＝0与x 轴的交点的右边，故由约束条件{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0作出可行域如图，当y ＝0，由kx ﹣y +2＝0，得x =−2k ， ∴B （−2k ，0）． 由z ＝y ﹣x 得y ＝x +z ．由图可知，当直线y ＝x +z 过B （−2k，0）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小． 此时z min =0+2k =−4，解得：k =−12． 故选：D ．13. 解：与y 24−x 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y 24−x 2＝m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m =224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y 24−x 2＝﹣3，即x 23−y 212=1，对应的渐近线方程为y ＝±2x ， 故答案为：x 23−y 212=1，y ＝±2x ．14. 解：（1）由x 2+2y 2＝4，得椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1．∴a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2． 因此a ＝2，c =√2． 故椭圆C 的离心率e =c a =√22； （2）直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切． 证明如下：设点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0． ∵OA ⊥OB ，∴OA →⋅OB →=0，即tx 0+2y 0＝0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0＝t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程，得t =±√2．故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即（y 0﹣2）x ﹣（x 0﹣t ）y +2x 0﹣ty 0＝0． 圆心O 到直线AB 的距离d =00√(y0−2)2+(x 0−t)2．又x02+2y02=4，t=−2y0 x0．故d=|2x0+2y02x0|√x02+y02+02x02+4=|4+x02x0|√0422x02=√2．此时直线AB与圆x2+y2＝2相切．。
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证：3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。
2018年清华北大自招真题
值为（ ）
A. 63
B. 1009
C. 2018
D. 前三个答案都不
对
【解答】D
【考点】数列问题以及基本不等式的应用
【解析】令 x = k + r(k Z且0 k n −1, 0 r 1) ，当 k = 0 时 x[x] = 0 ； k 1时，则
k2 x[x] = (k + r)k k 2 + k ， x[x] 有 k 个取值；
x2 − 2a x − a − 2ax +1 = 0 (x − a)2 − 2a x − a +1− a2 = 0 ( x − a − a)2 = 2a2 −1
，
2a2
−1
0
x − a = a
2a2 −1 0
2a2
−1
，要使原方程有三个互不相等实根，则
a
2019 2018
−1=
2018
，
−a1
+
a2
−
a3
+
... −
a2017
+
a2018
=
(1−
1)(1− 1
1 )(1 − 2
1)...(1− 3
1) 2018
−1
=
−1
，
两式相加即得
a2
+
a4
+ ... +
a2018
=
2018 −1 2
=
2017 2
.
6. 已知实数 A,b,c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（-3， 2），点 N 的坐标为（2，3），过点 P 作直线 Ax+by+c=0 的垂线，垂足为点 M，则 M,N 间的 距离的最大值与最小值的乘积是（ ）
清华大学2018自主招生、领军计划笔试真题.doc
清华大学2018自主招生、领军计划笔试真
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清华大学2018自主招生、领军计划笔试真题
清华大学2018年自主招生及领军计划笔试真题，供2019及2020届考生参考学习。
6月10日，清华大学2018年自主招生考试全面启动，2018年清华大学自主招生、领军计划依然在全国设置多个考点，考生可就近选择。
自主招生测试为初试和复试。
一、笔试时间
初试时间为6月10日上午9:00-12:00，共3个小时。
二、笔试模式
初试采用笔试形式，理科类：数学、物理、化学;文科类：数学、语文、历史。
清华理科笔试都是选择，共75题，数学35道题，物理20道，化学20道。
时间是数学90分钟，理化90分钟。
三、笔试难度
题目比高考难多了，这是真正看“水平”的。
基本是对学竞赛的有优势。
尤其理化有大学内容，没学竞赛的，有很多题可
能“看不懂”!
数学尚可，物理很难，全是大学知识，化学有些简单题。
四、笔试真题
化学：涉及空气污染的比较多，还有大学的有机化学，如：哪些气体会导致空气污染，测出其中含量?地球的臭氧含量以及造成大气污染的元素?化学有一道是高考原题。
物理：涉及热力学知识点是“理想气体”，难度偏大。
14-18年北清自招龅牙领军数学真题-函数的性质与图像
清华领军2015.4.设函数()f x 的定义域为（-1，1），且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(1,1)x y ∈-、，且()f x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.减函数D.有界函数清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了导数类清华领军2015.23.设函数2sin π()1xf x x x =-+，则（ ）A.4()3f x ≤B.|()|5||f x x ≤C.由线()y f x =存在对称轴D.曲线()y f x =存在对称中心清华领军2015.30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)0y x y x x +++-=，则（ ） A.L 是轴对称图形 B.L 是中心对称图形 C.22{(,)|1}L x y x y ⊂+≤ D.11(,)|22L x y y ⎧⎫⊂-≤≤⎨⎬⎩⎭同时分入函数的极值类清华领军2017.15.已知2()f x x ax b =++在(1,1)x ∈-上有两个零点。
求22a b -的取值范围。
A.(0,)+∞B.(0,2)C.(,2)-∞D.(2,2)-清华领军2017.21.满足35(3)40x y x x y ++++=的(,)x y （ ） A.在一条直线上 B.在一条抛物线上 C.为有限个 D.为无限个 分类存疑北大自招2016.1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。
1.【解答】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭要求()212log 2x x -++的单调增区间，由12log x 是在()0,+∞上的减函数，故即解2201,2122x x x x ⎧-++>⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪>⎝⎭⎪⎩北大自招2016.5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381nnnx y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。
2014北约自主招生数学试题及解答
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。
[2014-2018]北京高考数学(文)真题分类汇编 专题九 解析几何
专题九解析几何1．（5分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．2．（5分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．3．（5分）若双曲线1（a＞0）的离心率为，则a＝．4．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．5．（14分）已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k 的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线P A与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（，）共线，求k．6．（5分）若双曲线x21的离心率为，则实数m＝．7．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是．8．（5分）已知点P在圆x2+y2＝1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．9．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．10．（5分）圆（x+1）2+y2＝2的圆心到直线y＝x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．211．（5分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y＝0，一个焦点为（，0），则a＝，b＝．12．（14分）已知椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．13．（5分）已知（2，0）是双曲线x21（b＞0）的一个焦点，则b＝．14．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z＝2x+3y的最大值为7．15．（14分）已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C 交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．417．（5分）设双曲线C的两个焦点为（，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．18．（14分）已知椭圆C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB 长度的最小值．专题九解析几何答案部分1.解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．2.解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，∴x＝1，代入到y2＝4ax，可得y2＝4a，显然a＞0，∴y＝±2，∵l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，∴44，解得a＝1，∴y2＝4x，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）3.解：双曲线1（a＞0）的离心率为，可得：，解得a＝4．故答案为：4．4.解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝2y﹣x，则y x z，平移y x z，由图象知当直线y x z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即A（1，2），此时z＝2×2﹣1＝3，故答案为：35.解：（Ⅰ）由题意可知：2c＝2，则c，椭圆的离心率e，则a，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，△＝（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2，x1x2，∴|AB|，∴当m＝0时，|AB|取最大值，最大值为；（Ⅲ）设直线P A的斜率k P A，直线P A的方程为：y（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）＝0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，x1•x C，x C，则y C（2），则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则（，），（，），由与共线，则，整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，则直线AB的斜率k1，∴k的值为1．6.解：双曲线x21（m＞0）的离心率为，可得：，解得m＝2．故答案为：2．7.解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．8.解：设P（cosα，sinα）.（2，0），（cosα+2，sinα）．则•2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα＝1时取等号．故答案为：6．9.解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a＝2，e，则c，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，则直线AM的斜率k AM，直线DE的斜率k DE，直线DE的方程：y（x﹣x0），直线BN的斜率k BN，直线BN的方程y（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则|EH|，则，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．10.解：∵圆（x+1）2+y2＝2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2＝2的圆心到直线y＝x+3的距离为：d．故选：C．11.解：∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y＝0，一个焦点为（，0），∴，解得a＝1，b＝2．故答案为：1，2．12.（1）解：∵椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a＝2，b＝1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，P A所在直线方程为y，取x＝0，得；，PB所在直线方程为，取y＝0，得．∴|AN|，|BM|＝1．∴．∴四边形ABNM的面积为定值2．13.解：双曲线x21（b＞0）的焦点为（，0），（，0），由题意可得2，解得b．故答案为：．14.解：由z＝2x+3y，得y，平移直线y，由图象可知当直线y经过点A时，直线y的截距最大，此时z最大．即A（2，1）．此时z的最大值为z＝2×2+3×1＝7，故答案为：7．15.解：（1）∵椭圆C：x2+3y2＝3，∴椭圆C的标准方程为：y2＝1，∴a，b＝1，c，∴椭圆C的离心率e；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1＝（1﹣y1）（x﹣2），令x＝3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM＝1，又∵直线DE的斜率k DE1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1（x﹣2），令x＝3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，∵k BM﹣1＝0，∴k BM＝1＝k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．16.解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO AB＝m，故有m≤6，故选：B．17.解：∵双曲线C的两个焦点为（，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c，a＝1，∴b＝1，∴C的方程为x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．18.解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，∴a＝2，b，c，∴椭圆C的离心率e；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴0，∴tx0+2y0＝0，∴t，∵，∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2＝x02+y024＝x0244（0＜x02≤4），因为4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．。
清华大学2018年自主招生曁领军计划真题
清华大学 2018年领军计划测试题注:2018领军数学试题均为不定项选择,以下题目为回忆版本,部分问题选项缺失。
1. ,,p q r 均为素数，且pqrp q r++为整数，则（ ）A. ,,p q r 中一定有一个是2B. ,,p q r 中一定有一个是3C. ,,p q r 中一定有两个数相等D.pqrp q r++也为素数【答案】DA 项：举反例：3,5,7p q r ===，此时7pqrp q r=++；B 项：举反例：2,5,7p q r ===，此时5pqrp q r=++；C 项：由A 、B 知C 项不对；D 项：由题意p q r ++为pqr 的因子，而pqr 的因子只有1,,,,,,,p q r pq pr qr pqr ,结合大小关系，可知///p q r pq pr qr pqr ++=，不妨设p q r ≤≤，若p q r pqr ++=，则3pqr p q r r =++≤，从而3pq ≤，这是不可能的，故只能//p q r pq pr qr ++=这意味着//pqrp q r p q r=++，均为素数，则D 正确。
2. ,,,,a b c d e 均为素数，且平均数为13，则（ ） A. 中位数最大为17 B. 中位数最大为19 C. 中位数最小为5 D. 中位数最小为7【答案】B平均数为13的五个数之和为65，设中位数的最大值为x ，则有365x <，从而知x 最大为19，又3,5,19,19,19满足要求，故最大值为19；对于最小值，可构造出3,3,3,3,53使得中位数为3，而易证中位数为2不成立，因此最小值为3。
3. 整数,,x y z 满足5x y z ++=，问这样的(),,x y z 有几组（ ） A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 【答案】C解法一：若,,x y z 中有两个零，共2326C ⋅=组解；若,,x y z 中只有一个零，共11234248C C ⋅⋅=组解；若,,x y z 均非零，共234248C ⋅=组解。
2014年自主招生北约模拟试题及解析
(2)设 M 为线段 AB 的中点，P 为奇质数，且点 M 到 x 轴的 距离和点 M 到准线 l 的距离均为非零整数， 求证点 M 到坐 标原点 O 的距离不可能是整数.
E O B F
M x
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
【题 13】函数 y f ( x) ， x N ， y N ，满足：
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)参考答案
【题 01】复数 Z1、Z2 满足|Z1|=2、|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为 60° ，则 A.
Z1 Z 2 ( Z1 Z 2
).
133 7
B. 5
C.
1 5
D. 133
x2 y 2 【题 06】 如图所示， 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的左焦点 F 引圆 x2 y 2 a 2 的切线， 切点为 T． 延 a b 长 FT 交双曲线的右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则 | MO | | MT | 与 b a 的
则
1 sin 2 ) 0 ， 2
m
的取值范围是(
). C．[-1，1] D．[-1，6]
A．[-6，1] B． [4， 8] 【解析】选 A.由题意知 λ+2=2m①
2 cos2 m 2 sin ② 2 由①得 2 ， m m 2 2 2 由①②得 4m 9m 2 sin cos 4 sin 2 sin 3 ， 1 故-6≤4m2-9m≤-2，即 ≤m≤2. 4 2 从而 2 [ 6,1] . m m