一般常数项级数
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常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
第三节 一般常数项级数
满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。 满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
x 的敛散性。 的敛散性。 n
∞
n
高等数学
xn xn | , 记 un = | 解： 考察正项级数 ∑ | |, n n=0 n
n→ ∞
lim
un +1 un
则交错级数收敛，其和 s ≤ u1 , 余项满足 | Rn | ≤ un+1 则交错级数收敛， 4. 检验条件（1）常用的方法 检验条件（ ）
un+1 是否成立？ ≤ 1 是否成立？ （1）比值法： 考察 ）比值法： un 是否成立？ （2）差值法： 考察 un+1 un ≤ 0 是否成立？ ）差值法：
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定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
高等数学
∑ (1)
∞
n1
= u1 u 2 + u 3 u 4 + L + ( 1) n1 u n + L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
原级数绝对收敛， 从而收敛， 当 | x | < 1 时，原级数绝对收敛， 从而收敛，
xn 发散，且是用比值法判别的， | x | > 1 时， ∑ | | 发散，且是用比值法判别的， n n =1 xn 所以原级数 ∑ n =1 n
∞
∞
发散。 发散。
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
x 的敛散性。 的敛散性。 n
∞
n
高等数学
xn xn | , 记 un = | 解： 考察正项级数 ∑ | |, n n=0 n
n→ ∞
lim
un +1 un
则交错级数收敛，其和 s ≤ u1 , 余项满足 | Rn | ≤ un+1 则交错级数收敛， 4. 检验条件（1）常用的方法 检验条件（ ）
un+1 是否成立？ ≤ 1 是否成立？ （1）比值法： 考察 ）比值法： un 是否成立？ （2）差值法： 考察 un+1 un ≤ 0 是否成立？ ）差值法：
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定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
高等数学
∑ (1)
∞
n1
= u1 u 2 + u 3 u 4 + L + ( 1) n1 u n + L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
原级数绝对收敛， 从而收敛， 当 | x | < 1 时，原级数绝对收敛， 从而收敛，
xn 发散，且是用比值法判别的， | x | > 1 时， ∑ | | 发散，且是用比值法判别的， n n =1 xn 所以原级数 ∑ n =1 n
∞
∞
发散。 发散。
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
常数项级数的应用
常数项级数的应用在数学中，常数项级数是一种由常数项组成的数学级数。
常数项级数在各个领域的应用非常广泛，从物理学到工程学，从经济学到计算机科学。
本文将介绍常数项级数的定义和性质，并探讨其在实际应用中的一些例子。
1. 常数项级数的定义常数项级数是指一个无穷序列的和，其中每一项都是常数。
具体地，常数项级数的一般形式为：$$ S = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \\ldots $$其中，a i表示第i项的常数。
2. 常数项级数的性质常数项级数有许多重要的性质，下面列举其中几个常见的性质。
2.1 收敛与发散常数项级数可能收敛或发散。
当常数项级数的部分和有一个有限的极限值时，我们称该级数收敛。
如果常数项级数的部分和趋向于无穷大，我们称该级数发散。
2.2 收敛级数的性质如果一个常数项级数收敛，那么它有以下性质：•唯一性：常数项级数的和是唯一确定的。
•加法性：如果两个常数项级数收敛，那么它们的和也收敛，并且和的值等于两个级数的和之和。
•数乘性：如果一个常数项级数收敛，那么把每一项乘以同一个常数，所得到的级数也收敛，并且和的值等于原级数的和乘以该常数。
2.3 绝对收敛与条件收敛如果一个常数项级数的每一项的绝对值都收敛，那么我们称该级数是绝对收敛的。
如果一个常数项级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么我们称该级数是条件收敛的。
2.4 收敛级数的收敛方法常数项级数有多种判定方法来确定其是否收敛。
其中一些重要的方法包括比值判别法、根值判别法和积分判别法。
3. 常数项级数的应用常数项级数在实际应用中发挥着重要作用。
下面我们将介绍一些常见的应用。
3.1 数值逼近常数项级数可以用来进行数值逼近。
通过适当选择常数项的值，我们可以使用有限个项的和来近似表达无穷级数。
这在计算机科学、物理学和工程学中非常常见。
3.2 统计学常数项级数在统计学中有广泛的应用。
例如，在统计模型中，我们经常需要计算概率分布的累积分布函数（CDF）。
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数的概念和性质
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为 rn
(lim n
rn
0)
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数 1 ,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
习惯塑造人生
从自己旳经历谈什么事先做起来 • 教育就是养成习惯——叶圣陶.
• 一种人不想做某事，能够找出千万条理由，下 决心做一件事情时，有一条理由就足够了。
1111
发散
四、级数收敛旳必要条件
设收敛级数
S
un ,
n1
则必有 lim
n
un
0.
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数旳一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 (1)n1 n , 其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n 1,
n 1
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为 rn
(lim n
rn
0)
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数 1 ,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
习惯塑造人生
从自己旳经历谈什么事先做起来 • 教育就是养成习惯——叶圣陶.
• 一种人不想做某事，能够找出千万条理由，下 决心做一件事情时，有一条理由就足够了。
1111
发散
四、级数收敛旳必要条件
设收敛级数
S
un ,
n1
则必有 lim
n
un
0.
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数旳一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 (1)n1 n , 其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n 1,
n 1
常数项级数的概念和性质
的说法．从数学的角度上看，这就是
111 248
1 2n
1．
1.1 常数项级数的概念
再如，计算半径为 R 的圆面积 A，具体做法如下：如图所示，作圆的内接正六 边形，算出这六边形的面积 a1 ，它是圆面积 A 的一个粗糙的近似值．为了比较准确 地计算出 A 的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为 a2 ，那么 a1 a2 （即内接正十二边形 的面积）就是 A 的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作 一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为 a3 ，那么 a1 a2 a3 （即内接正二十四边形的面积）是 A 的一个更好的近似值．如此继续下 去，内接正 n 边形的面积就逐步逼近圆的面积，即
高等数学
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以 及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、 工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷 级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋 时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世 纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．
a
；如果| q |
1，则级数 aqn
n0
1 q
n0
发散．
1.1 常数项级数的概念
例 2 证明级数
1 2 3 n 是发散的．
证明 此级数的部分和为
Sn 1 2 3
n n(n 1) ． 2
显然，
lim
n
Sn
，因此所给级数是发散的．
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
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(莱布尼茨定理)
练习题
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还
是条件收敛?
1、
n1
( 1) n1
n 3 n1
；
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
练习题答案
一、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1.
余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别级数 (1)n n 的收敛性.
一、交错级数
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1
1，
1 n
n2
因为
先判断
lim n
n
un
lim
n
1 2
1
1 n
n
e 1 2
由根值判别法，级数 un n1
发散，故
lim
n
un
0，
从而题设级数发散.
小结
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
敛 4.绝对收敛
法 5.交错级数
例4
判定级数
（
n1
1）n
nn1
n+1！
的敛散性.
解
级数为交错级数.un
（
1）n
nn1 ，先判断
n+1！
级数 un =
n1
n1
nn1
n+1 ！是否收敛.
因为
lim
n
un1 un
lim
n
n+1n2 n+1 1！
n+1！
nn1
lim
n
n
n
1
n
n 12 nn 2
lim
n
1
1 n
n
收敛.
（
1）n1
ln
n
n2
n
二、一般常数项级数
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
证明
令
vn
1 2 (un
un
)
(n 1,2, ),
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又 un (2vn un ), un 收敛.
n1
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
例2 判定级数
（1）n1ຫໍສະໝຸດ lnnn2
n
的敛散性.
解 级数为交错级数.令 f (x) ln x ，则
x
f
(
x)
1
ln x2
x
0(
x
3)
即当 x 3 时，f (x) 0 ，所以在[3， ）上，
f (x) 单调减少.于是当 n 3 时，f (n) f (n 1)，
即 un un1，(n 3, 4,L ) ,又利用洛必达法则
有
ln n
ln x
1
lim lim lim 0.
n n x x x x
所以，由莱布尼兹定理知，级数
e
1.
由比值判别法，级数 un 发散，从而题设 n1
级数不是绝对收敛.
又因为
lim un1 u n
n
1
,所以当
n
充分大时，
un1 un
,
故
lim
n
un
0
,从而题设级数发
散.
例5
判定级数
n1
1n
1 2n
1
1 n
n2
的敛散性.
解级数级n1数un为=n交1 21n错1级n1 数n2 ,是u否n 收敛1 n.21n
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例3
判别级数
n1
s
i n
nn
2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
练习题
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还
是条件收敛?
1、
n1
( 1) n1
n 3 n1
；
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
练习题答案
一、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1.
余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别级数 (1)n n 的收敛性.
一、交错级数
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1
1，
1 n
n2
因为
先判断
lim n
n
un
lim
n
1 2
1
1 n
n
e 1 2
由根值判别法，级数 un n1
发散，故
lim
n
un
0，
从而题设级数发散.
小结
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
敛 4.绝对收敛
法 5.交错级数
例4
判定级数
（
n1
1）n
nn1
n+1！
的敛散性.
解
级数为交错级数.un
（
1）n
nn1 ，先判断
n+1！
级数 un =
n1
n1
nn1
n+1 ！是否收敛.
因为
lim
n
un1 un
lim
n
n+1n2 n+1 1！
n+1！
nn1
lim
n
n
n
1
n
n 12 nn 2
lim
n
1
1 n
n
收敛.
（
1）n1
ln
n
n2
n
二、一般常数项级数
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
证明
令
vn
1 2 (un
un
)
(n 1,2, ),
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又 un (2vn un ), un 收敛.
n1
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
例2 判定级数
（1）n1ຫໍສະໝຸດ lnnn2
n
的敛散性.
解 级数为交错级数.令 f (x) ln x ，则
x
f
(
x)
1
ln x2
x
0(
x
3)
即当 x 3 时，f (x) 0 ，所以在[3， ）上，
f (x) 单调减少.于是当 n 3 时，f (n) f (n 1)，
即 un un1，(n 3, 4,L ) ,又利用洛必达法则
有
ln n
ln x
1
lim lim lim 0.
n n x x x x
所以，由莱布尼兹定理知，级数
e
1.
由比值判别法，级数 un 发散，从而题设 n1
级数不是绝对收敛.
又因为
lim un1 u n
n
1
,所以当
n
充分大时，
un1 un
,
故
lim
n
un
0
,从而题设级数发
散.
例5
判定级数
n1
1n
1 2n
1
1 n
n2
的敛散性.
解级数级n1数un为=n交1 21n错1级n1 数n2 ,是u否n 收敛1 n.21n
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例3
判别级数
n1
s
i n
nn
2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.