2018年秋北师大版八年级上册数学第一章勾股定理同步练习含答案
第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时认识勾股定理
1．若△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）若a=6，c=10，则b= ；
（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.
3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.
4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.
A．30 cm2
B．130 cm2
C．120 cm2
D．60 cm2
5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.
6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要
从树底开始爬多高？
7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.
参考答案：
1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．
C F
60cm．
3．
13
4．D．
5．25km．
6．4．
7．3 cm．
1.1 探索勾股定理
第2课时验证勾股定理
1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？
2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.
①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？
④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
参考答案
1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,
S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×
2
1
×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2
（2）如图（图见题干中图）
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×2
1
×4×7=121－56=65=42+72
2.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方
形.
②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.
④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.
因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.
由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.
1.2 一定是直角三角形吗
1.如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对
2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为
3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：
AB CD AD BC 2222+=+。
4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：
BC AB AC AB AD 2222=++⋅。
5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：
BD CD AD 2222+=。
D C
O A
B
D A
B C
6. 已知：AB AC CD BC ==，，求证：AD AB BC 2
2
2
2=+。
7 已知：∆ABC 中，AD
为BC
中线，求证：AB AC BD AD 22222+=+()。
8.如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。
9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知：AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长。
A
B D C
9.已知：如图，∆ABC 中，AB=AC =10，BC =16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A 。
求：BD 的长。
分析：因为∆ABC 中，AB=AC ，可作AE ⊥BC 于E ，构造直角三角形，由已知条件，AE ，CE ，可求。
根据勾股定理可列方程式求解。
1.3 勾股定理的应用
1．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为
线，中心O 为点）是（ ）．
A . 2m
B ．3m
C ．6m
D ．9m
2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2 m ，坡角∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝6 m ． 当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝ m 时，有DC 2＝AE 2＋BC 2．
3．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．
4．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的
半径为6
cm，那么最短路径AB长( )．
A．8
B．6
C．平方后为208的数
D．10
5．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．A．24cm
B．32cm
C．40 cm
D．45
6．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少米后，他与神仙百货的距离为340 m？
A．100
B．180
C．220
D．260
7. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m,8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形
．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
8．飞机在空中水平飞行
．．．．，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000 m处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000 m，则飞机速度是多少？
参考答案
1.C
14
2.
3
3. 15
4.D
5.C
6.C
7. 周长=8+8+
8.150 m/s.。
2018年秋北师大版八年级上册数学第一章勾股定理同步练习含答案
第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理1.若4ABC 中，/ C=90° ,(1)若a=5, b=12,则c=(2)若a=6, c=10,贝^ b二(3)若a ： b=3 : 4, c=10,则a=2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为 2 m,宽为1.5 m,现需要在相对白勺顶点间用一块木棒加固，木板的长为3.直角三角形两直角边长分别为5 cm, 12 cm,则斜边上的高为4.等腰三角形的腰长为13 cm,底边长为10 cm,则面积为（）.2A.30 cmB.130 cm2C.120 cm2 2D.60 cm5.轮船从海中岛A出发，先向北航行9km,又往西航行9 km,由于遇到冰山，只好又向南航行4 km,再向西航行6 km,再折向北航行2 km, 最后又向西航行9 km,到达目的地B,求AB两地间的距离.6. 一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断要从树底开始爬多高?7.折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的F点处,AB=8 cm, BC=10 cm,求EC 的长.参考答案:1.(1) 13;⑵ 8; (3) 6, 8.2.2.5m.1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五” .你知道它的意思吗?它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52(1)请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢?(2)请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为 AC=7, BC=4,请你研究这个直角三角形的斜边 AB 的长的平方是否等于2.下图甲是任意一个直角三角形 ABC,它的两条直角边的边长分别为 a 、b,斜边长为c. 如图乙、内那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三角形，放在边长为a+b 的正方 形内.3. —cm4. 13 D.5. 25km.6. 4.7. 3 cm.42+72?①图乙和图丙中(1) (2) (3)是否为正方形？为什么？②图中(1) (2) (3)的面积分别是多少？③图中(1) (2)的面积之和是多少？④图中(1) (2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系？为什么?由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？1.(1)边长的平万即以此边长为边的正1故可通过面积验证.分别以这个直角三角形 向外做正方形，如右图：AC=4, BC=3,S 正方形 ABED = S 正方形 FCGH — 4S RtAABC1 . 1=(3+4)2-4X -X3X 4=72 — 24=252即 AB 2=25,又 AC=4, BC=3,AC 2+BC 2=42+32=25• ・AB 2=AC 2+BC 2(2)如图(图见题干中图)2— 2 4 C / 2 . r\2 S 正方形 ABED = S 正方形 KLCJ — 4S RtAABC =(4+7)X 1 X4X 7=121 — 56=65=42+72 2 里甲 国乙 图丙2.①图乙、图丙中(1) (2) (3)都是正方形.易得(1)是以a为边长的正方形,(2) 是以b为边长的正方形，(3)的四条边长都是c,且每个角都是直角，所以(3)是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,（2）的面积为b2,（3）的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图内都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b）2减去四个RD ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理 .1.2 一定是直角三角形吗1.如图在ABC中，BAC = 90 , AD BC于D,则图中互余的角有A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4,则斜边长为3.已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O,且BD垂直AC,求证:_2 ____ 2 _2 ____ 2AB CD AD BC 。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理 含答案
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为( )A.4B.8C.16D.642、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A. B.3 C.6 D.93、某水库大坝高20米，背水坝的坡度为1：，则背水面的坡长为（）A.40米B.60米C.30 米D.20 米4、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，EF//BC交AC，CF于M，F，若EM=3，则CE2+CF2的值为( )A.36B.9C.6D.186、如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A.2B.8C.2D.27、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1m），却踩伤了花草A.4B.6C.7D.88、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形的面积为（）A.4 cm 2B.9 cm 2C.18 cm 2D.36 cm 29、在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，用四边形覆盖如图所示，被覆盖的网格线中，竖直部分的线段的长度之和记作m，水平部分的线段的长度之和记作n，则m﹣n=（）A.0B.0.5C.﹣0.5D.0.7510、如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A.9B.C.D.1211、如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（）A. B. C. D.12、已知，△ABC的三边分别为a，b，c，其对角分别为∠A，∠B，∠C.下列条件能判定△ABC一定不是直角三角形的是（）A.a：b：c＝：：B.b 2﹣a 2＝c 2C.∠A：∠B：∠C ＝2：3：5D.∠B＝∠A+∠C13、已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（）A.169B.119C.13D.14414、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A.5B.4C.D.15、一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（）A.13B.12C.15D.10二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，A是双曲线y= (k>0，x>0)上一点，B是x轴正半轴上一点，以AB 为直角边向右构造等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD为斜边向上构造等腰直角三角形ADE，若点C，点E恰好都落在该双曲线上，△ABC与△ADE的面积之和为28，则k=________17、如图，在中，,两条直角边的长分别是6和8，则斜边AB的中线CD的长为________.18、在直角三角形中，斜边=2，则=________19、如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2017个三角形的面积为________.20、如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．21、顺次连接正方形各边中点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比是________．22、若等边三角形ABC的边长为a，且三角形内一点P到各边的距离分别是h a ， hb， hc，则ha+hb+hc=________．23、如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分別以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是________.24、如图所示，在矩形中，，．矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形．若点的对应点落在边上，则的长为________．25、在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，则AB=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．28、某工厂准备翻建新的大门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线.已知厂门的最大宽度AB=12m，最大高度OC=4m，工厂的运输卡车的高度是3m，宽度是5.8m.现设计了两种方案.方案一：建成抛物线形状（如图1）；方案二：建成圆弧形状（如图2）.为确保工厂的卡车在通过厂门时更安全，你认为应采用哪种设计方案？请说明理由.29、如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE= c，这时我们把关于x的形如ax²+ cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题：Ⅰ写出一个“勾系一元二次方程”；Ⅱ求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+ cx+b=0必有实数根；Ⅲ若x=−1是“勾系一元二次方程”ax²+ cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是，求△ABC面积.30、一游泳池长48m，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3m/秒，小朱为3.1m/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14m．按各人的平均速度计算，谁先到达终点？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、A4、D5、A6、D7、D8、C9、A11、B12、A13、A14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)
北师大版八年级数学上【1】勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2＝c2；=D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠C，则a2＋b2＝c2．=2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．cb+ D.+ C. ca<bba>a=+ B. c2c22+a=b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121B．120C．90D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42 或 32 D．37 或 337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A2d（B d（C）2d（D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是． 二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AE 重合， AC B你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15， 小汽车 小汽车 B C 观测点所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案:260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。
2018年北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》测试题含答案
2018-2019学年八年级数学上册第一章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项 ） 1 •下列各组数，能构成直角三角形的是 （ ）A . 4, 5, 6B • 12, 16, 20C . 5, 10, 13D . 8, 39, 402.如图，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90° BC = 2.5cm , AC = 1.5cm ，贝U AB 的长为（）A . 3.5cmB . 2cmC . 3cmD . 4cm3.如图，有一块边长为 24米的正方形绿地，在绿地旁边 B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“■”填上适当的数字是（ ）A . 3米B . 4米C . 5米D . 6米4. 在△ ABC 中，AB = 12, BC = 16, AC = 20,则厶 ABC 的面积为（ ）A . 96B . 120C . 160D . 200 5.如图，等腰三角形底边BC 的长为10cm ,腰长AB 为13cm ，则腰上的高为（）A . 12cmB.60cm介120 c.：jy cmD.6.如图所示为一种“羊头”形图案， 其作法是：从正方形①开始, 向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②, 类推，若正方形①的面积为 64，则正方形⑤的面积为（ ）以它的一边为斜边,”，依此i s24米13二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.在 Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° BC = 9, AC = 12,贝U AB =____________A . 2B . 4C . 8D . 16①8•如图，一架长为4m 的梯子，一端放在离墙脚 2.4m 处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚 _________ m .半径画弧，交 AB 于点D ，贝U BD =12.在△ ABC 中，若 AC = 15, BC = 13, AB 边上的高 CD = 12,则厶ABC 的周长为 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.如图，/ B =Z OAF = 90° BO = 3cm , AB = 4cm , AF = 12cm ，求: (1) A0, FO 的长； (2) 图中半圆的面积.AD = 4cm ，则/ ADB10.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° AC = 6, BC = 8，以点A 为圆心, AC 长为11.如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为 16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度4cm , 3cm, 12cm ，现有一长为 h 的取值范围为 ______________9.如图，在△ ABC 中,边上的中线14. 一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多远？15. 已知一个直角三角形的周长是12cm,两直角边长的和为7cm，则此三角形的面积是多少？216.如图，在Rt△ ABC 中，/ ABC = 90° AB= 16cm,正方形BCEF 的面积为144cm , BD丄AC于点D，求BD的长.17.由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：⑴如图①，A, B, C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的位置关系，并说明理由；⑵在图②中画出一个面积为10的正方形.四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，铁路上A, B两点相距25km , C, D为两村庄，AD丄AB于点A, BC丄AB 于点B.已知AD = 15km , BC = 10km，现要在铁路AB旁建一个货运站E（A, E , B在同一条直线上），使得C, D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多少千米处？19. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD）,经测量, 在四边形ABCD 中，AB= 3m, BC = 4m, CD = 12m, DA = 13m,/ B= 90° 连接AC.100元，试问铺满这块空（1）△ ACD是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米地共需花费多少元？20. 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD = 80cm ，高AB = 60cm ，水深AE = 40cm.在水面上紧贴内壁 G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG = 60cm ,一只蚂蚁想从鱼缸外的 A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 G 处吃面包屑.(1) 该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭 头标注； (2) 求蚂蚁爬行的最短路线长.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° AB = 10cm , AC = 6cm ，动点 P 从点 B 出发 沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为ts.⑴求BC 边的长；(2)当厶ABP 为直角三角形时，求 t 的值.r___ 1__ . 1UF 122•图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a, b,斜边长为c. 如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为 a + b的正方形内.(1) 图乙、图丙中①②③都是正方形.由图可知：①是以_____________ 为边长的正方形，②是以________ 为边长的正方形，③的四条边长都是____________ ，且每个角都是直角，所以③是以________ 为边长的正方形；(2) 图乙中①的面积为________ ，②的面积为__________ ，图丙中③的面积为__________ :(3) 图乙中①②面积之和为___________ ;⑷图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？六、(本大题共12分)23.在△ ABC 中，BC= a，AC = b，AB= c，若/ C= 90° 如图①，则有a2+ b2= c2; 若厶ABC 为锐角三角形时，小明猜想：a2+ b2> c2,理由如下：如图②，过点A作AD丄CB于点D，设CD = x.在Rt△ ADC 中，AD2= b2—x2,在Rt△ ADB 中，AD2= c2—(a—x)2，A a2 + b2= c2+ 2ax. •/ a> 0，x>0，A 2ax>0，A a2+ b2>c2，•••当△ ABC 为锐角三角形时，a2+ b2> c2.所以小明的猜想是正确的.(1) 请你猜想，当厶ABC为钝角三角形时，a2+ b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC 边上的高);(2) 证明你猜想的结论是否正确.参考答案与解析1. B2.B3.D4.A5.C6. B 解析：第一个正方形的面积是 64 ;第二个正方形的面积是 32;第三个正方形的 面积是16,,第 n 个正方形的面积是2^^1 ,•••正方形⑤的面积是 624 = 4.故选 B.7. 15 8.3.2 9.90 ° 10.411.3cm < h < 4cm2 2 212. 32 或 42 解析：T AC = 15, BC = 13, AB 边上的高 CD = 12,二 AD = AC — CD , 即 AD = 9, BD 1 2= BC 2— CD 2,即卩 BD = 5.如图①，CD 在厶 ABC 内部时，AB = AD + BD = 9+ 5 = 14,此时，△ ABC 的周长为14+ 13+ 15= 42;如图②，CD 在厶ABC 外部时，AB = AD — BD= 9— 5= 4,此时，△ ABC 的周长为 4+ 13+ 15= 32.综上所述，△ ABC 的周长为 32 或 42.11 48•AC = 20cm.（3 分）•/ BD 丄 AC ,「. S ^ABC =^AB BC = ；BD AC ,• BD =cm.（6 分）2 2517. 解：（1）如图①，连接 AC ,由勾股定理，得 AB 2=32 + 22= 13, BC 2= 42+ 6^ 52, AC 2 = 12 + 82 = 65 , • AB 2 + BC 2 = AC 2 , ABC 是直角三角形，且/ABC = 90° , •AB 丄 BC.（3 分）图②图①13.解：（1） •••在 Rt △ ABO 中，/ B = 90°, BO = 3cm , AB = 4cm ,「. AO 2= BO 2 + AB 2 =25,• AO = 5cm.（1 分）在 Rt △ AFO 中，由勾股定理得 FO 2= AO 2+ AF 2= 132, • FO = 13cm.（3 分）14.解：作出图形，因为东北和东南方向的夹角为 90°所以△ ABC 为直角三角形.（2 分）在 Rt △ ABC 中，AC = 16X 0.5= 8（km ）, BC = 30X 0.5 = 15（km ），贝U AB 2= AC 2+ BC 2= 172, 解得 AB = 17km.（5 分）答：它们离开港口半小时后相距 17km.（6分）15. 解：设两条直角边长分别为 acm , bcm ,斜边长为ccm.由题意可知a + b + c = 12①， a + b = 7②，a 2 + b 2= c 2③，（2 分）• c = 12— （a + b ） = 5, （a + b ）2= a 2+ b 2+ 2ab = 49, 2ab = 49 —25 = 24,「. ab = 12, （4 分）• S = ^ab = 1X 12= 6（cm 2）. （6 分）216. 解：T •正方形 BCEF 的面积为 144cm ,• BC = 12cm.v/ ABC = 90°, AB = 16cm ,（2） •••面积为10的正方形可以表示为 32+ 12= 10,二四边形ABCD 即为所求，如图②所 示.（6分）18. 解：设 AE = xkm ，贝U BE = （25 — x ）km.（2 分）根据题意列方程，得 152+ x 2= （25 — x ）2 + 102,解得x = 10.（7分）故E 站应建立在离 A 地10km 处.（8分） 19. 解：（1）在 Rt △ ABC 中，•/ AB = 3m , BC = 4m , / B = 90° AB + CB = AC , A AC =5m.（2 分）在厶 ACD 中，AC = 5m , CD = 12m , DA = 13m , A AC 2 + CD 2= AD 2,A ^ ACD 是直角三角形，且/ ACD = 90°.（4分）（2） S ^ABC = 1 X 3 X 4 = 6（皿2） , S A ACD = ? X 5 X *12 = 30（m 2） , A S 四边形 ABCD = 6 + 30 = 36（m ）, （6分）费用为36 X 100= 3600（元）.故铺满这块空地共需花费 3600元.（8分）20. 解：（1）如图，作点 A 关于BC 的对称点 A 连接A'G 交BC 于点Q ,连接 AQ ,蚂蚁沿着A T Q T G 的路线爬行时，路程最短. （5分）⑵图中半圆的面积为2仃2）图① 图②（6分）1 169 169 n(2)•••在Rt A A'EG 中，A'E = 2AB —AE = 80cm, EG = 60cm,A 由勾股定理得A'G = 100cm, (7 分)A最短路线长为AQ+ QG = A Q+ QG = 100cm.(8 分)21.解：(1) •••在Rt△ ABC 中，BC2= AB2—AC2= 102—62= 64, A BC= 8cm.(2 分)(2)由题意知BP= 2tcm，分两种情况进行讨论：①当/ APB为直角时，点P与点C重合，如图①，BP = BC= 8cm，即t = 4; (4分)②当/ BAP为直角时，如图②，BP= 2tcm, CP = (2t—8)cm, AC= 6cm.在Rt△ ACP 中，AP2= 62+ (2t—8)2，在Rt△ BAP 中，AB2+ AP225=BP2, (6 分)A 102+ [62+ (2t—8)勺=(2t)2，解得t= 22 23 24 25.故当△ ABP 为直角三角形时，t= 4或学.（9分）22解：（1）a b c c（2 分）（2）a2b2c2（4 分）2 2（3） a + b（5 分）（4）由图乙和图丙可知大正方形的边长为a+ b,则面积为（a +b）2,图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a、宽为2 2 2 」，一. _____________ 2 2 1b的长方形，（7分）根据面积相等得（a + b）= a + b +2ab,由图丙可得（a+ b）= c + 4X^ab. 所以a2 + b2= c2.（9 分）23（1）解：当△ ABC为钝角三角形时，a2+ b2与c2的大小关系为a2+ b2v c2.（3分）（2）证明：如图，过点A作AD丄BC于点D.（5分）设CD = x.在Rt△ ADC中，AD2= b2 —x2,在Rt△ ADB 中，AD2= c2—（a+ X）2,A a2+ b2= c2—2ax.（8 分）•/ a> 0, x> 0, A 2ax> 0, A a2+ b2v C2,A当厶ABC 为钝角三角形时，a2+ b2v c2.（12 分）4。
八年级上《1.3勾股定理的应用》同步练习(含答案解析)
2018-2019学年度北师大版数学八年级上册同步练习1.3 勾股定理的应用（word解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共10小题）1．如图，CD是一平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=12，则CE的值为（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（）A．0.9米B．1.3米C．1.5米D．2米3．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（）A．880米B．1100米C．1540米D．1760米4．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形5．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC=12米，AB=AC=6.5米，则中柱AD（D为底边BC的中点）的长是（）A．6米B．5米 C．3米D．2.5米6．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm8．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（）A．B．2C．3D．49．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米二．填空题（共6小题）11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长海里．12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了cm．14．一架长25m的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端沿墙下滑了4m，那么梯足将滑动．15．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．16．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是．三．解答题（共4小题）17．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B 处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，AD⊥BC于点D，求AD的长．18．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？19．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？2018-2019学年度北师大版数学八年级上册同步练习：1.3 勾股定理的应用（word解析版）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】证明△AEC∽△BED，可得=，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：由镜面反射对称可知：∠A=∠B=∠α，∠AEC=∠BED．∴△AEC∽△BED．∴=，又∵若AC=3，BD=6，CD=12，∴=，求得EC=4．故选：B．2．【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE的长即可．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.9，∴CD=2.4．在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，∴EC=0.7，∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．故选：B．3．【分析】利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离．【解答】解：∵小明家到书店所用的时间为=10分钟，又∵小明的速度为=110米/分钟，故小明家距离书店的距离为110×10=1100米．故选：B．4．【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选：D．5．【分析】首先证明AD⊥BC，再利用勾股定理计算即可；【解答】解：∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===2.5，故选：D．6．【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．【解答】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为=3cm．这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．盒内可放木棒最长的长度是=7cm．故选：B．7．【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长【解答】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC===15（cm），则这只铅笔的长度大于15cm．故选：D．8．【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．【解答】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ=6π，以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π，设展开后的圆心角是n°，则=6π，解得：n=180，即展开后∠BAC=×180°=90°，AP=AC=3，AB=6，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，由勾股定理得：BP=，故选：C．9．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽=2+3+2+3=10cm，AB为对角线．AB==2cm．故选：B．10．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．二．填空题（共6小题）11．【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP •cos∠A=2海里．【解答】解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=60°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×=2海里．故答案为2．12．【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【解答】解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m．13．【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm；∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．14．【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为=24m，顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为=15m，15m﹣7m=8m．故答案为：8m．15．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．故答案为20．16．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种，分别求出，选取最短的路程．【解答】解：如图①：AM2=AB2+BM2=16+（5+2）2=65；如图②：AM2=AC2+CM2=92+4=85；如图③：AM2=52+（4+2）2=61．∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是：61．故答案为：61．三．解答题（共4小题）17．【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长．【解答】解：如图所示．则∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=100海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x海里，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=100+x，解得x=50，∴AD=x=50海里．18．【分析】（1）如图1，设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=r，BC=2r．根据圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值；（2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值；（3）利用（1）（2）的数据进行解答．【解答】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=r，BC=2r则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：（）（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：=；（3）∵=∴第二种包装的空间利用率大．19．【分析】首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．【解答】解：根据题意得：AB=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．…（1分）∴AC2+AB2=BC2．∴AC2=BC2﹣AB2=302﹣242=324∴AC=18．…（4分）∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时．…（6分）20．【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．【解答】解：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7，∴AC===2.4（米），答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2=A′B′2，即1.52+B′C2=2.52，∴B′C=2（m），∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．。
北师大版八年级数学上册同步练习附答案
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.FC参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8． 2．2.5m ． 3．1360cm ． 4．D ． 5．25km ． 6．4． 7．3 cm ．1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：BC AB AC AB AD 2222=++⋅。
D CO ABD AB C5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2222+=。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 1.1.2验证勾股定理及其简单应用 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 1.1.2 验证勾股定理及其简单应用同步练习题一、选择题1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是(C)A B C D2．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m的木梯，准备把梯子架到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A)A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m3．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(B)A．8米 B．10米 C．12米 D．14米4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(A)A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米5．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200 m，他在水中实际游了520 m，那么该河的宽度为(C)A．440 m B．460 m C．480 m D．500 m6．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片，使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为(D)A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题7．如图，从电线杆离地面12 m 处向地面拉一条长为13 m 的钢缆，则地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离为5_m ．8．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了48米，乙往南偏东45°方向走了36米，这时两人相距60米．9．已知在△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，则BC 的长是21或9． 10．已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为92．11．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道(上方是一个半圆)，则卡车的外形高必须低于4.1米．12．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76．三、解答题13．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.试说明：BC2－AC2＝BD2＋AD2.解：在Rt△ABC中，BC2－AC2＝AB2，同理，在Rt△ABD中，BD2＋AD2＝AB2，所以BC2－AC2＝BD2＋AD2.14．如图是某宾馆的一段楼梯，楼梯高5 m，楼梯的最高点B与最低点A的距离是13 m，且楼梯宽度为2 m．若要给此段楼梯铺地毯，已知地毯单价为50元/m2，问铺完该楼梯表面至少需要多少钱？解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 m，AB＝13 m，所以AC2＝AB2－BC2＝144.所以AC＝12 m.楼梯横向长度等价于AC 的长度，纵向长度等价于BC 的长度， 所以地毯的长度为12＋5＝17(m)， 地毯的面积为17×2＝34(m 2)．所以购买这种地毯至少需要50×34＝1 700(元)．15．如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC ＝20 cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝16 cm ，BD ＝12 cm.(1)求证：CD⊥AB；(2)求该三角形的腰的长度．解：(1)证明：在△BCD 中，因为BD 2＋CD 2＝122＋162＝400＝BC 2， 所以△BCD 是直角三角形，其中∠BDC＝90°.所以CD⊥AB. (2)设AB ＝AC ＝x cm ，则AD ＝(x －12)cm. 因为CD⊥AB，所以在△ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2， 即(x －12)2＋162＝x 2， 解得x ＝503.所以该三角形的腰的长度为503cm. 16．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2.证明：延长ED 到点G ，使DG ＝DE ，连接FG ，CG. 在△EDF 和△GDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DF ，∠EDF ＝∠FDG＝90°，DE ＝DG ，所以△EDF≌△GDF(SAS)． 所以EF ＝FG.因为D 为斜边BC 的中点，所以BD ＝DC. 在△BDE 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DC ，∠BDE ＝∠CDG，DE ＝DG ，所以△BDE≌△CDG(SAS)． 所以BE ＝CG ，∠B ＝∠BCG. 所以AB∥CG.所以∠GCA＝180°－∠A＝180°－90°＝90°. 在Rt △FCG 中，由勾股定理，得 FG 2＝CF 2＋CG 2＝CF 2＋BE 2， 所以EF 2＝FG 2＝BE 2＋CF 2.17．如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA ＝CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE ＝AB ，连接DE 并延长交AB 于点F.(1)求证：DE⊥AB；(2)若已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设EF ＝x ，则△ABD 的面积用代数式可表示为S △ABD＝12c(c ＋x)，你能借助本题提供的图形，证明勾股定理？试一试吧．解：(1)证明：因为AC⊥BD， 所以BC 2＝AB 2－AC 2，EC 2＝DE 2－CD 2， ∠BAC ＋∠ABC＝180°－90°＝90°. 又因为DE ＝AB ，CA ＝CD ， 所以BC 2＝EC 2，即BC ＝EC. 所以△ABC≌△DEC(SSS)． 所以∠BAC＝∠EDC. 所以∠EDC＋∠ABC＝90°.所以∠DFB＝180°－(∠EDC＋∠ABC)＝90°， 即DE⊥AB. (2)由题意，知S △ABD ＝S △BCE ＋S △ACD ＋S △ABE ＝12a 2＋12b 2＋12cx.因为S △ABD ＝12c(c ＋x)，所以12a 2＋12b 2 ＋12cx ＝12c(c ＋x)．所以a 2＋b 2＝c 2.。
八年级数学上册《第一章 勾股定理的应用》练习题-带答案(北师大版)
八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.一艘轮船以16海里∕时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口A出发向东南方向航行.离开港口1小时后，两船相距( )A.12海里B.16海里C.20海里D.28海里2.小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A.6mB.8mC.10mD.12m3.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需( ).A.6秒B.5秒C.4秒D.3秒4.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米6.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是( )A.5≤h≤12B.5≤h≤24C.11≤h≤12D.12≤h≤247.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160km，BC＝120km，则A，C 两村之间的距离为( )A.250kmB.240kmC.200kmD.180km8.如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC＝5，BC＝12，OD等于( )A.2B.3C.1D.1二、填空题9.如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1：2，那么，两正方形的面积分别为．10.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．11.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．12.如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为________，小正方形的面积为________．13.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是．14.等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.三、解答题15.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，请算出旗杆的高度．16.如图①，一架梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上.如图②所示，测得BD＝0.5m，求梯子顶端A下滑的距离.17.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？18.如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？19.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？20.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒(t＞0).(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值.参考答案1.C.2.D.3.C4.A.5.B6.C.7.C.8.A.9.答案为：12，24．10.答案为：8．11.答案为：10．12.答案为：13，1.13.答案为：17m．14.答案为：7或25.15.解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理得x2＋52＝(x＋1)2解得：x＝12；答：旗杆的高度为12米．16.解：在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝1.5m故AC＝2m在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝(1.5＋0.5)＝2m 故EC＝1.5m故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5m答：梯子顶端A下落了0.5m.17.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.18.解：过B作BD⊥公路于D．∵82＋152＝172∴AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．∵∠1＝30°∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°．在Rt△BCD中∵∠BCD＝60°∴∠CBD＝30°∴CD＝0.5BC＝0.5×15＝7.5(km)．∵7.5÷2.5＝3(h)∴3小时后这人距离B送奶站最近．19.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．20.解：(1)设存在点P，使得PA＝PB此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2即：(4﹣2t)2＋32＝(2t)2解得：t ＝∴当t ＝时，PA ＝PB ；(2)当点P 在∠BAC 的平分线上时，如图1，过点P 作PE ⊥AB 于点E 此时BP ＝7﹣2t ，PE ＝PC ＝2t ﹣4，BE ＝5﹣4＝1在Rt △BEP 中，PE 2＋BE 2＝BP 2即：(2t ﹣4)2＋12＝(7﹣2t)2解得：t ＝83∴当t ＝83时，P 在△ABC 的角平分线上.。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理 含答案
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知锐角三角形的两边长分别3、4，则第三边长x的取值范围是（）A.1＜x＜7B.1＜x＜5C. ＜x＜5D.1＜x＜2、如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A.15mB.C.20mD.3、如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点B落在点B'处,则重叠部分的面积为( )A.12B.10C.8D.64、下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.20 30，40，B.5，12，13C.5，9，12D.3，4，65、如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E在边AD上，点G在边BC上，点F、H在对角线BD上，若四边形EFGH是正方形，则AE的长是（）A.5B.C.D.6、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC= ，若AD=4，CD=2，则BD的长为（）A.6B.C.5D.7、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S 2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A.86B.64C.54D.488、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3。
以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是A.-2B.-2C.1-2D.2 -19、直角三角形两条边长分别是6和8，则连接两条直角边中点的线段长是（）A.3B.5C.4或5D.5或310、如图，将边长为4的正△ABC沿EF折叠，使A点落在边BC上G点，且BG=1，CF=( ）A. B. C. D.11、如图，在中，，为上一点，连接，将沿翻折，点恰好落在上的点处，连.若，，则的长度为（）A. B. C. D.12、如图，在矩形OABC中，0A=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是( )A.(4，8)B.(5，8)C.( ，)D.( ，)13、直角三角形中，两直角边长分别是9和12，则斜边上的中线是（）A.30B.15C.D.14、如图，在中，，，为的平分线，将沿直线翻折得，则的长为（）A.4B.5C.6D.715、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E是BC上一点，且AE=AD，过点D 作DF⊥AE于F.则tan∠CDF的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、的三边分别是6,8,10，则这个三角形的最大内角的度数是________.17、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6cm，PO=10cm，则△PDE的周长是________cm．18、已知直角三角形两直角边长分别是5cm、12cm，其斜边上的高是________．19、将面积为2π的半圆与两个正方形拼接成如图所示的图形，则这两个正方形面积的和为________.20、已知两线段长分别为6cm，10cm，则当第三条线段长为________ cm时，这三条线段能组成直角三角形．21、如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过________米.22、如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留）23、如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。