高中数学必修4优质学案(第三辑)平面向量基本定理 Word版含解析
人教A版高中数学必修4精选优课教案2.3平面向量的基本定理及坐标表示(通用)
2．3．1-----2.3.2平面向量基本定理、正交分解及坐标表示一、教材分析：本节课是在学生学习了向量的概念及表示向量的线性运算后对向量知识的进一步学习。
平面向量基本定理和坐标表示及综合前面的向量知识，同时又是后续向量的坐标运算奠定了基础，起到了承前启后的作用。
过程与方法借助于由特殊到一般的方式得出平面向量基本定理及坐标表示的过程，培养分析问题和解决问题的能力。
二、学习目标1、理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。
2、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示了。
情感态度价值观1、感受数学的精确性、概括性和同一性。
2、体会数形结合的思想三、重点、难点教学重点：平面向量的基本定理及坐标表示教学难点：平面向量的基本定理。
教学方法：引导探究式教学手段：多媒体教学四、教学过程：(一)复习提问：1．向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）。
2．实数与向量的积3．向量共线定理设计意图：为让学生更好的理解问题做好铺垫。
（二）引入新知设计意图：使学生自然进入探索新知环节（二）新课讲解1AB u r ，， 问题：已知非零向量那么对于同一平面内的任意向量是否能用线性表示？a a 2， 问题：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示 又该如何具体表示呢？121233 、，问题：已知向量求作向量2e e e e向量的合成 向量的分解问题4、对于平面内任意向量，是不是都可以用 e 1 e 2 来表示呢教师引导学生思考问题，引出本节课的教学内容并用幻灯片演示分解过程向量的合成与分解是互逆过程，向量的合成适用平行四边形法则，分解当然也适合平行四边形法则，进而引导学生用平行四边形分解向量。
设计意图：通过幻灯片演示分解过程；使学生理解平面内任意向量都可以按向量e1、e2进行分解 经过之前几节课的学习，学生已经基本掌握了向量的线性运算及加减法元算，此处的思考题意在使学生更深入地思考：是否任意的向量都可以用任意的两个向量来表示，进而说明了平面向量基本定理的必要性。
高中数学必修四北师大版 2.3.2平面向量的基本定理3 学案
课 题 2.3.2平面向量的基本定理学习目标： 1.知识与技能（1）理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义. （2）在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. （3）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 2.过程与方法通过共线向量和平面向量基本定理，感受和认识不同维度中，向量的表示. 3.情感、态度与价值观通过学习让学生进一步体会数学和生活的联系. 学习重难点：平面向量的基本定理学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式. 学习过程一、课前预习指导： 平面向量基本定理(1)定理：如果21,e e 是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的_____向量a ，_________实数21,λλ，使a ＝_____________.(2)基底：把_______的向量21,e e 叫做表示这一平面内_______向量的一组基底． 二、新课学习问题探究一 向量的合成如图，给定平面内任意两个向量21,e e ，请你作出向量3212e e +、212e e -问题探究二 向量的分解如图，21,e e 是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成2211e e λλ+的形式，请通过作图探究a 与21,e e 之间的关系．问题探究三 向量分解的唯一性如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填对应说法的序号)①λe 1＋μe 2 (λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量2111e e μλ+与2212e e μλ+共线，则有且只有一个实数λ，使得2111e e μλ+＝λ（2212e e μλ+）④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.学后检测1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_______．(写出所有满足条件的序号)例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.学后检测2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.四、课堂小结五、课后作业 六．板书设计七．教（学）后反思。
数学人教A版必修4课堂导学案：2.3.1平面向量基本定理
课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理【例1】 如右图所示，在平行四边形ABCD 中，AH=HD ，BF=MC=41BC ，设=a ,=b ,以a ,b 为基底表示AM 、MH 、MF 、MD .思路分析：本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=41b ，这样可表示，又 =21b ，这样又可表示，进一步可表示MH ，进一步表示. 解：由于BF =41BC=41AD.∴BF =41b .在△ABF 中,AF =AB +BF =a +41b ;又∵BF =MC=41BC ，∴FM =21BC.∴FM =21b . 则=+=a +41b +21b =a +43b . 又∵AH=HD ， ∴AH =21b . ∴=-=21b -(a +43b ) =-a -41b . 又∵HD=21b , ∴HD MH MD +==-a -41b +21b =-a +41b . 温馨提示根据平面向量基本定理表示向量时，如果所给向量无法直接用基底进行表示时，可先将目标向量分解成可以用基底表示的向量，再进一步用基底表示.2.平面向量基本定理再理解【例2】 设两非零向量e 1和e 2不共线.（1）如果=e 1+e 2,=2e 1+8e 2,=3(e 1,-e 2),求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将e 1,e 2看作一组基底表示我们需要的向量，如AB ，BD =BC +CD =2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5e 1+5e 2然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量k e 1+e 2,e 1+k e 2都是用基底e 1,e 2表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（k e 1+e 2）=λ(e 1+k e 2),解出k 值即可.（1）证明：∵=e 1+e 2,=+=2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=5AB , ∴、BD 共线.又有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线.（2）解：∵k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，∴存在λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2),则（k-λ）e 1=(λk -1)e 2.由于e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎨⎧=-=-,01,0k k λλ则k=±1.温馨提示题目中已给出一组基底e 1,e 2，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e 1,e 2表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.3.平面向量基本定理的应用【例3】 如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ）A.若实数λ1 、λ2使λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量a 都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2,其中λ1、λ2∈RC.λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈RD.对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对思路分析：要深刻理解平面向量基本定理.A 正确；B 错，这样的a 只能与e 1,e 2在同一平面内，不能是空间任一向量.C 错，λ1e 1+λ2e 2在α内.D 错，这样的λ1,λ2是唯一的，而不是无数对，故选A.答案：A温馨提示应用平面向量基本定理要注意以下几点：（1）e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量；（2）基底的选取不唯一；（3）该平面内的任意向量a 都可用e 1,e 2线性表示，而且这种表示是唯一的.各个击破类题演练1如右图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，且BC=3AD ，设=a ,=b ，以a 、b 为基底表示、、.解：∵AD ∥BC 且AD=31BC ， ∴=31b , =21=61b . ∵BF =21, ∴BF =21b ， ∴=+=-+(+)=--+=-61b -a +21b =31b -a ， )(-+=+==--=-21b -(61b -a )=-32b +a . 变式提升1如右图所示，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知=c ，=d ，试用c 、d 表示和.解：设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：=21b ，=21a . 从△ABN 和△ADM 中可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(,31)1(,21c a b d b a ①×2-②,得a =32(2d -c ). ②×2-①,得b =32(2c -d ). 即：=32(2d -c ),=32(2c -d ). 类题演练2e 1,e 2是两个不共线向量，且AB =2e 1+k e 2, CB =e 1+3e 2, CD =2e 1-e 2,若A 、B 、D 三点共线，由k 的值为. 解析：AD =AB +BC +CD =2e 1+k e 2-e 1-3e 2+2e 1-e 2=3e 1+(k-4)e 2.∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ使=λ,即3e 1+(k-4) e 2=λ(2e 1+k e 2).∴⎩⎨⎧=-=.44,23λλk ∴k=-8.答案：-8变式提升2(2005山东理,7)已知向量a 、b ,且=a +2b ,=-5a +6b ,=7a -2b ,则一定共线的三点是（ ）A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D 解析：CD BC BD +==-5a +6b +7a -2b=2a +4b =2.∴A 、B 、D 共线.答案：A类题演练3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（ ）A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：平面内向量的基底不唯一，只要在同一平面内，任一组不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量共线，故不可作为基底中的向量.故选②③.答案：B变式提升3已知向量a 和b 不共线，实线x,y 满足向量等式（2x-y ）a +4b =5a +(x-2y)b ,则x+y 的值等于（ ）A.-1B.1C.0D.3解析：由平面向量基本定理得⎩⎨⎧-==-,24,52y x y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 所以x+y=1.故选B. 答案：B。
北师大版数学高一-必修4学案 2.3平面向量基本定理
3.2 平面向量基本定理问题导学1．用基底表示向量活动与探究1 如图所示，在ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →．迁移与应用设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．用基底表示向量的方法技巧(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算； (2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化； (3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等； (4)充分利用首尾相接的各向量之和为0； (5)注意a ，b 不共线，则0＝0·a ＋0·b 是唯一的；(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想来求解． 2．平面向量基本定理的应用活动与探究2平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ；BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)试用a ，b ，c 表示向量EL →，FM →，GN →；(2)证明：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分．迁移与应用如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b ．(1)用a ，b 表示AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．利用平面向量基本定理解决几何问题：(1)平面向量的基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底．将相关量表示为向量形式，通过向量运算解答问题．(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等． 当堂检测1．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于( )．A ．3B ．－3C ．0D ．22．已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )． A ．b ＋12a B ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )．A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列向量表达式：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0． 其中正确的序号为________．5．已知O 是直线AB 外一点，存在实数x ，y 使得OC →＝xOA →＋yOB →，且x ＋y ＝1．求证：A ，B ，C 三点共线．课前预习导学 【预习导引】 a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底预习交流1 提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．预习交流2 提示：可能不同．预习交流3 B 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 于是有⎩⎨⎧ c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d ).即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．迁移与应用 解：MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →) ＝13a ＋13b .活动与探究2 解：(1)如题图， ∵OE →＝12a ，OL →＝12(b ＋c )，∴EL →＝OL →－OE →＝12(b ＋c －a )． 同理：FM →＝12(a ＋c －b )，GN →＝12(a ＋b －c )．(2)设线段EL 的中点为P 1， 则OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝14(a ＋b ＋c )． 设FM ，GN 的中点分别为P 2，P 3，同理可求得OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝14(a ＋b ＋c )．∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→.即EL ，FM ，GN 交于一点，且互相平分． 迁移与应用(1)解：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)知，BE →＝23BF →，∴BE →，BF →共线．又BE →，BF →有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线． 【当堂检测】 1．A 2．B 3．A 4．①②③④5．证明：由x ＋y ＝1，OC →＝xOA →＋yOB →， 得OC →＝xOA →＋(1－x )OB →，所以OC →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BC →＝xBA →. 所以A ，B ，C 三点共线．。
高中数学必修四导学案：2.2.1平面向量基本定理
2.2.1平面向量基本定理
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；
（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
（二）过程与方法：
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（三）情感、态度与价值观：
通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节课的教学，培养学生积极探索的良好学习品质．
学习重点
平面向量基本定理的应用
学习难点
平面向量在给定基向量上分解的唯一性
☆合作探究
探究一：如图（教材96页），设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 , , .
探究二：设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，请作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量。
试用基底{ }表示 ， ， 和
☆基础练习
1.试在基底{ }下，分解下列向量：（图在教材98页，练习A第一题）
， ， ，
2.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，设 ， ，选择基底
，试写出下列向量在此基底下的分解式：
， ， ，
☆我的收获与困惑
师生反思：
思考（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？
思考（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？
探究三：平面向量基本定理
说明：①e1、e2是两个不共线的向量
②a是平面内的任一向量
③实数 ， 唯一确定
探究四：什么叫做基底？什么叫分解式？
☆典例精析
例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，
数学人教B版必修4示范教案：2.2.1 平面向量基本定理 Word版含解析
示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图： 过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来解决.例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则 OM →＝12(OA →＋OB →)． 这是线段AB 的中点的向量表达式．这个公式很重要，应让学生理解并记忆.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B组2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC中，D、E、L分别是BC、CA、AB的中点，设中线AD、BE相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b . 设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .① 又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .② 由①②，得⎩⎨⎧ －1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎨⎧ m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →. ∴C 、P 、L 三点共线．∴AD 、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB → C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB → 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、CC ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC→的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.6。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.3.2 平面向量基本定理 Word版含答案
3．2 平面对量基本定理明目标、知重点 1.理解平面对量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题．平面对量基本定理(1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底．[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一 平面对量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观看，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 依据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？答 若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面对量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面对量的基底唯一吗？答 同一平面内可以作基底的向量有很多组，不同基底对应向量a 的表示式不相同．不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何学问．要留意将平面几何学问中的性质、结论与向量学问有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .探究点二 平面对量基本定理的证明及应用 (1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系．答 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ，过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →，∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．假如e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．例2 如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →.∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先认真观看所给图形．借助于平面几何学问和共线向量定理，结合平面对量基本定理解决．跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .例3 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →. 解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b由于A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，由于C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .反思与感悟 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，留意方程思想的应用； (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应依据条件机敏应用，娴熟把握． 跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意，得A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.1．假如e 1、e 2是平面α内全部向量的一组基底，那么下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不愿定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有很多对 答案 A解析 A 正确，B 错，这样的a 只能与e 1、e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2确定在平面α内；D 错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有很多对．2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内全部向量的一组基底的序号是______．(写出全部满足条件的序号) 答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．3.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . [呈重点、现规律] 1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．精确 理解平面对量基本定理(1)平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础过关1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B4．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( ) A ．1 B.12C.14D.18 答案 C解析 AN →＝12()AD →＋AE →＝12⎝⎛⎭⎫14AB →＋14AC → ＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →. 解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、力气提升8．已知M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________. 答案 34a ＋34b解析 AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，假如E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，假如O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值． 解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：（1）|λ|=（2）λ>0时，λ与方向；λλ=0时，λ=2．运算定律：结合律：λ(μ)=；分配律：(λ+μ)=，λ(+)=3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.新知梳理：1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟：(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数.3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。
当=，、同向；当=，、反向；统称为向量平行，记作如果=，与垂直，记作⊥。
对点练习：1.设、是同一平面内的两个向量，则有()A.、一定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共线，则+与＝6-2的关系（）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与，与．(填共线或不共线).【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量 2.5+3变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）+2. （2）-+3例2:如图，，不共线，且，用，来表示变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.【课堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()（）A．1B．2C．3D2.如图，正六边形ABCDEF中，=A．B．C．D．3.在中，，，，为的中点，则____________.（用表示）【课时作业】1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ），则（）A．=,=B．=0,=0C．=0,=D．=,=02．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M 是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于()A．1B.12C.14D.183．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)．4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.6如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．7.如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP→＝p，用p表示CQ→.【延伸探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4。
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§平面向量的基本定理及坐标表示
．平面向量基本定理
【课时目标】
.理解并掌握平面向量基本定理.
.掌握向量之间的夹角与垂直．
【知识梳理】
．平面向量基本定理
()定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量，实数λ，λ，使＝.
()基底：把的向量，叫做表示这一平面内向量的一组基底．
.
两向量的夹角与垂直
()夹角：已知两个和，作＝，＝，则＝θ (°≤θ≤°)，叫做向量与的夹角．
①范围：向量与的夹角的范围是．
②当θ＝°时，与.
③当θ＝°时，与.
()垂直：如果与的夹角是，则称与垂直，记作．
【作业反馈】
一、选择题
．若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) ．－，－．＋，＋
．－－．＋，－
．等边△中，与的夹角是( )
．°．°．°．°
．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②
一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③
零向量不可作为基底中的向量．
．①②．②③．①③．①②③
．若＝，＝，＝λ(λ≠－)，则等于( )
．＋λ．λ＋(－λ)
．λ＋＋
．如果、是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )
①λ＋μ(λ、μ∈)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量，使＝λ＋μ的实数λ、μ有无数多对；
③若向量λ＋μ与λ＋μ共线，则有且只有一个实数λ，使λ＋μ＝λ(λ＋μ)；
④若实数λ、μ使λ＋μ＝，则λ＝μ＝.
．①②．②③．③④．②
．如图，在△中，是边上的中线，是上的一点，且＝，连结并延长交于，则
等于( )
二、填空题
．设向量＝－，＝－，＝＋，试用，表示，＝.
．设、是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与＋；②－与－；③
－与－.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)
．在△中，＝，＝.若点满足＝，则＝.
．在平行四边形中，和分别是边和的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈，则λ＋μ＝.
三、解答题
.如图所示，已知△中，为的中点，，为的三等分点，若＝，＝，用，表示，，.
.如图所示，已知△中，点是以为中点的点的对称点，＝，和交于点，设＝，＝.
()用和表示向量、；
()若＝λ，求实数λ的值．
能力提升
.如图所示，
∥，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝＋，则的取值范围是；当＝－时，的取值范围是．。