(完整版)幂的知识点
幂函数知识点
幂函数知识要点一．定义：形如y=x a（是常数）的函数，叫幂函数。
二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示：三．幂函数的性质：n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1)(2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大n<0时,(1)图象都通过(1，1）(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。
注意事项：1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。
函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0<n<1,往右拐;n<0向下滑。
四．例析：分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。
两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。
解：(1)(0,+∞)是递增的又∵1.1<1.4 ∴利用幂函数的性质比较数的大小。
例3．比较的大小。
分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。
启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。
分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。
启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。
五．自测题：1.计算的值（）2．下列命题中正确的是（）A.当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x n的图象关于原点对称，则y=x n在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限3．实数a,b满足0<c<b<1,则下列不等式正确的是（）A．a b<ba B．a-b<b-b C．a-a<b-b D．b b<a a4．在幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在第1象限的图象中(右图)，的大小关系为（）A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>aD．b>c>d>a5．下列函数中是幂函数的是）6．设幂函数y=x n的图象经过(8,4)，则函数y=x n的值域为_______。
八年级上册幂的运算知识点
八年级上册幂的运算知识点在数学学科中，幂指的是数的乘方运算，即一个数的自乘若干次的结果。
在八年级上册数学课程学习中，幂的运算是一个重要的知识点，本文将全面介绍八年级上册幂的运算知识点。
一、幂的定义幂是指一个数自乘若干次得到的结果，其中，第一个数称为底数，第二个数称为指数。
幂的标准写法为 a^n，其中，a是底数，n是指数。
指数为正整数时，表示底数自乘n次的结果；指数为0时，结果为1；指数为负整数时，表示底数自除n次的结果。
二、幂的简化简化幂是指将幂简化为不含指数的形式。
当指数相同的幂相加或相减时，可以通过运用幂运算转化为同一底数幂的运算。
例如：2^3 + 5^3 = (2+5) ^ 33^4 - 2^4 = (3-2) * (3^3+2^3)三、幂的乘方幂的乘方是指同一个底数的幂相乘的运算。
当同一底数幂相乘时，可以将指数相加得到新的指数，例如：4^3 * 4^2 = 4^(3+2) = 4^5四、幂的除法幂的除法是指同一个底数的幂相除的运算。
当同一底数幂相除时，可以将指数相减得到新的指数，例如：9^4 / 9^2 = 9^(4-2) = 9^2五、幂的分配律幂的分配律指幂乘或幂除时，若底数相同，则可以将幂运算中的括号内指数分别与外部指数相乘或相除。
例如：2^3 * (3^4 * 3^2) = 2^3 * 3^(4+2) = 2^3 * 3^6(4^3 / 4^2) ^ 5 = 4^(3*5 - 2*5) = 4^5六、幂的零指数幂的零指数是指任何底数的0次幂等于1，例如：3^0 = 15^0 = 1七、幂的负指数幂的负指数指底数的倒数的任何次幂等于这个数的负指数幂，例如：2^-3 = 1/2^3 = 1/8总之，八年级上册幂的运算知识点包括幂的定义、简化、乘方、除法、分配律、零指数和负指数。
掌握这些知识点，对于解决数学题目具有重要的意义。
希望学生们认真学习，熟练掌握八年级上册幂的运算知识点，做到理论和实践相结合，灵活应用知识。
高一数学幂函数知识点归纳大全
高一数学幂函数知识点归纳大全在高一数学学科中，幂函数是重要的一个知识点。
幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a和n是实数，且a≠0，n≠0。
一、幂函数的定义及性质幂函数的定义就是函数的定义，即y = ax^n，其中a称为幂函数的底数，n称为指数。
幂函数的性质有以下几点：1. 当n为正整数时，幂函数表示乘方运算，例如y = 2x^3表示x的3次方。
2. 当n为负整数时，幂函数表示倒数，例如y = 2x^-2表示x的倒数的平方。
3. 当n为分数时，幂函数表示根式，例如y = 2x^(1/2)表示x的平方根。
4. 当n为零时，幂函数表示常数函数，即y = a，其中a为常数。
二、幂函数图像特征1. 当a>0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向上，且对称于y轴。
2. 当a>0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向上，且不对称于y 轴。
3. 当a<0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向下，且对称于y轴。
4. 当a<0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向下，且不对称于y 轴。
三、幂函数的变换幂函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到其他函数形式。
1. 平移：平移是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右移动。
例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标减2，可以得到y = 2(x-2)^3，实现了向右平移2个单位。
2. 伸缩：伸缩是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右拉长或缩短。
例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标扩大为原来的2倍，可以得到y = 2(2x)^3，实现了横向的伸缩。
3. 翻转：翻转是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右翻转。
例如，对于函数y = 2x^3，将函数的图像上下翻转，可以得到y = -2x^3，实现了关于x轴的翻转。
四、幂函数的应用1. 金融领域：在复利计算中，幂函数常被用于计算投资收益和贷款利息。
2. 自然科学领域：幂函数经常出现在自然界的现象中，如物体的自由落体运动中，下落距离与时间的关系可以用幂函数表示。
(完整版)幂的运算知识点总结
欢迎共阅第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂的乘法数
数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负正数的任何次幂都是正逆运算：
是正整数相加。
即法则：底数不变，指数a a a a a a m n m n m m n n
n )
,m (知识点二：幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方)
()()
,(a a a a m n m m n
mn mn n 逆运算：是正整数即底数不变，指数相乘。
2、积的乘方(ab)
(ab)n n n n n n )
(,b a b a n 逆运算；是正整数再把所得的幂相乘。
即
把每一个因式分别乘方知识点三：同底数幂的除法
同底数幂的除法m
nm a n m n m a a a a a a n 10101095-5n -0n -m n m 1)
0010(02.50000502.0)
1-10(96.6696000)
,
0a (110)0a (1),,,0a (的个数数字前第一个非的负几次方原数字个数的几次方科学记数法是正整数定负整指数幂的意义：规的数的零次幂都等于。
即任何不等于零指数幂的意义：规定是正整数变，指数相减。
即同底数幂相除，底数不。
幂的运算知识点及习题
知识梳理（一）同底数幂的含义同底数幂是指底数______的幂。
注意：在同底数幂中，底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个单项式或一个多项式（二）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数______，指数______．当m、n是正整数时，a m⋅a n = ________ .当m、n、p是正整数时，a m⋅a n⋅a p = ________ .同底数幂乘法法则的逆用：（三）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数______，指数______．a m÷a n =______.【a≠0，m、n是正整数，m>n】a m÷a n÷a p =______.同底数幂的除法的逆用：（四）零指数幂：当a≠0时，a0= ______ ．用文字叙述：____________ 的数的零次幂等于______．（五）负整数指数幂：当a≠0，n是正整数时，a-n= ______ ．用文字叙述：____________ 的数的-n次幂等于__________________ ．（六）幂的乘方：幂的乘方，底数______，指数______．当m、n是正整数时，（a m）n= ________[（a m）n]p= ________(七）积的乘方：把积的每一个因式乘方，再把所得到的幂相乘。
在等式(ab)n= ________说明：n表示一个正整数，a、b可以表示一个数，也可以表示一个代数式。
（ab）n n c⋅（乘法的结合()nabc=律、积的乘方性质）=n n n c b a。
（积的乘方性质）1.下列各式中是同底数幂的是( )A.2³与3²B.a³与（－a）³C.（m-n）⁵或（m-n）⁶D.(a-b)²或（b-a）³2.下列计算中正确的是( )A.X²·x²=2B.y⁷·y⁷=y¹⁴C.x·x³=x³D.3c²·5c³=15c⁵3.计算：a·a²+a³=4.计算：x·x³·x⁴ -X³·x⁵=5.如果x满足方程3³x+1=27×81.求x 的值。
初一幂的运算知识点总结
初一幂的运算知识点总结幂是指一个数的n次方，其中n是一个正整数，表示把这个数连乘n次。
例如，a的n次方可以写作an，其中a是底数，n是指数。
在数学中，幂是一个非常重要的概念，广泛应用在代数、几何、数论等诸多领域。
幂的运算规则1.相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。
即，am * an = am+n。
例如，2的3次方乘以2的4次方等于2的(3+4)次方，即23 * 24 = 27。
2.相同底数的幂相除时，底数不变，指数相减。
即，am / an = am-n。
例如，2的5次方除以2的3次方等于2的(5-3)次方，即25 / 23 = 22。
3.幂的乘方运算，底数不变，指数相乘。
即，(am)n = amn。
例如，(2的3次方)的4次方等于2的(3*4)次方，即(23)4 = 212。
4.如果一个幂的指数为0，则该幂等于1。
即，a0 = 1。
这是因为任何非零数的0次方都等于1。
5.如果一个幂的指数为负数，则可以取倒数，即a-n = 1 / an。
例如，2的-3次方等于1 / 23，即2-3 = 1 / 8。
6.幂的连乘：当多个幂连乘时，幂的乘积等于各个底数的幂的连乘。
即，a1 * a2 * ... * an = a1 * a2 * ... * an。
例如，2的3次方乘以2的4次方再乘以2的5次方等于2的(3+4+5)次方，即23 * 24 * 25 = 212。
幂的实际应用1.幂在几何中的应用：在几何中，幂常常用于计算面积和体积。
例如，计算正方形的面积可以用边长的2次方，计算立方体的体积可以用边长的3次方。
2.幂在物理学中的应用：在物理学中，幂常常用于计算功、能等物理量。
例如，功等于力乘以位移，因此可以用力的1次方和位移的1次方相乘。
3.幂在金融学中的应用：在金融学中，幂常常用于计算利息和复利。
例如，计算复利时，可以用本金乘以利率的n次方来计算未来的资金。
4.幂在计算机科学中的应用：在计算机科学中，幂常常用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度。
七年级幂指数知识点
七年级幂指数知识点在初中数学学习中，幂指数是必须掌握的一个知识点，更是后续数学学习的基础。
在七年级的数学课程中，学生需要熟练掌握幂指数的相关概念、运算以及应用。
本文将详细介绍七年级幂指数知识点，帮助学生掌握这一重要的数学知识。
一、幂的概念在数学中，幂指一个数自乘若干次的结果。
其中，被乘的数称为底数，乘的次数称为指数。
用公式表示：$a^n=a\cdot a\cdot a\cdots a$（共乘n个a）其中，a为底数，n为指数。
例如，$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$，其中2为底数，3为指数，8为幂。
二、幂的运算法则1.同底数幂的乘法法则同一底数的幂，底数不变，指数相加。
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$例如，$2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$。
2.同底数幂的除法法则同一底数的幂，底数不变，指数相减。
$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$例如，$\dfrac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2$。
3.幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$例如，$(2^3)^2=2^{3\cdot 2}=2^6$。
4.幂的整数次方$1^n=1$（任何数的1次方等于1）。
$a^0=1$（任何数的0次方等于1）。
例如，$1^5=1$，$5^0=1$。
5.幂的倒数$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$例如，$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$。
6.幂的多项式$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$其中，$C_n^k$表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
例如，$(2+3)^3=\sum\limits_{k=0}^3C_3^k2^k3^{3-k}=C_3^02^0\cdot 3^3+C_3^12^1\cdot 3^2+C_3^22^2\cdot3^1+C_3^32^3\cdot 3^0=8+36+54+27=125$。
幂的运算知识点及习题
知识梳理（一）同底数幂的含义同底数幂是指底数______的幂。
注意：在同底数幂中，底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个单项式或一个多项式（二）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数______，指数______．当m 、n 是正整数时，a m ⋅ a n = ________ .当m 、n 、p 是正整数时，a m ⋅a n ⋅a p = ________ .同底数幂乘法法则的逆用：（三）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数______，指数______．a m ÷a n = ______.【a ≠0，m 、n 是正整数，m >n 】a m ÷a n ÷a p =______.同底数幂的除法的逆用：（四）零指数幂：当a ≠0时，a 0= ______ ．用文字叙述：____________ 的数的零次幂等于______．（五）负整数指数幂：当a ≠0，n 是正整数时，a -n = ______ ．用文字叙述：____________ 的数的-n 次幂等于 __________________ ．（六）幂的乘方：幂的乘方，底数______，指数______．当m 、n 是正整数时，（a m ）n = ________[（a m ）n ]p = ________(七）积的乘方：把积的每一个因式乘方，再把所得到的幂相乘。
在等式(ab )n = ________说明：n 表示一个正整数，a 、b 可以表示一个数，也可以表示一个代数式。
()n abc =（ab ）n n c ⋅ （乘法的结合律、积的乘方性质）=nn n c b a 。
（积的乘方性质）1.下列各式中是同底数幂的是( )A.2³与3²B.a ³与（－a ）³C.（m-n ）⁵或（m-n ）⁶D.(a-b)²或（b-a ）³2.下列计算中正确的是( )A.X ²·x²=2B.y ⁷·y ⁷=y ¹⁴C.x ·x ³=x³D.3c ²·5c ³=15c ⁵3.计算：a ·a²+a ³=4.计算：x ·x ³·x ⁴ -X³·x ⁵=5.如果x 满足方程3³x+1=27×81.求x 的值。
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幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n pa a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+． 【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()pp p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()pp p p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=． 【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【答案与解析】解：（1）2()m a 2ma =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m ma a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【答案与解析】解：∵ 25mx=，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n ma a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【答案】 解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【答案】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nmn.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n na n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n nnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-g ；（3）22412()()m m xx -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=． 【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n 变成323288(8)(8)mn m n ⨯=⨯，再代入计算.【答案与解析】解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知322,3mmab==，则()()()36322mm m m ab a b b +-⋅＝ ．【答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m ma a -= ③()36933a a = ④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x y x y -=-；()326m m a a -=-；()3618327a a =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >） 要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nn aa-=（a ≠0，n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0n a a -≠是na 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy-=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）.要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a a a --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷- 【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算． 3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【答案与解析】 解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ． 当32m=，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值． 【答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1，∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m=，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【答案与解析】解： ∵ 331133273m-===，∴ 3m =-． ∵ 122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-．∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【答案】解：（1）原式424626b a b c a c--==．（2）原式8236981212888b b c b c b cc---=⨯==． 类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数： （1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067 【答案与解析】 解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯； （3）-0.000135＝41.3510--⨯； （4）0.00067＝46.710-⨯. 【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】 一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )． A. 8c - B. ()15c -C. 15c D.8c2．2nn a a+⋅的值是( )．A. 3n a + B. ()2n n a+C. 22n a+D. 8a3．下列计算正确的是( )．A.224x x x += B.347x x x x ⋅⋅= C. 4416a a a ⋅= D.23a a a ⋅=4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310 B. 1000×1010＝3010 C. 100×310＝510 D. 100×1000＝410 5．下列计算正确的是( )． A.()33xy xy =B.()222455xyx y -=- C.()22439xx -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25mn==，则2m n+＝____________．8. 若()319x aa a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35na=，那么6n a =______． 10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210na =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列计算的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335nn x xx +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n ma b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=.2. 【答案】C ； 【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=. 4. 【答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510. 5. 【答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xyx y -=；()22439x x -=.6. 【答案】C ； 【解析】()333915288,39,315m n m n a b a b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.二.填空题7. 【答案】30；【解析】2226530m n m n+==⨯=g . 8. 【答案】6；【解析】3119,3119,6x aa x x +=+==. 9. 【答案】25；【解析】()2632525n n aa===.10.【答案】5；1； 【解析】338,38,5mma a aa m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【答案】64；9n -；103-； 12.【答案】200； 【解析】()()32322222()8()81000800200n nn n a a aa--=-=-=.三.解答题 13.【解析】 解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）× 14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-.15.【解析】 解：（1）∵3335nn x x x +⋅= ∴ 4335n xx +=∴4n ＋3＝35 ∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n ma b ba b ⋅⋅=∴ 333333915nmnm a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15 ∴n ＝3且m ＝4。