2020年北京市房山区中考数学二模试卷(解析版)

2020年北京市房山区中考数学二模试卷一．选择题（共8小题）1．在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标．过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将820000000用科学记数法表示为（）A．8.2×109B．0.82×109C．8.2×108D．82×1072．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．正方体D．圆柱3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A．|b|＜a B．﹣a＜b C．a+b＞0D．|a|＞b4．《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.556．如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则的值是（）A．B．C．D．7．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③8．2020年是5G爆发元年，三大运营商都在政策的支持下，加快着5G建设的步伐．某通信公司实行的5G畅想套餐，部分套餐资费标准如下：套餐类型月费（元/月）套餐内包含内容套餐外资费国内数据流量（GB）国内主叫（分钟）国内流量国内主叫套餐112830200每5元1GB，用满3GB后每3元1GB，不足部分按照0.03元/MB收取0.19元/分钟套餐215840300套餐319860500套餐423880600小武每月大约使用国内数据流量49GB，国内主叫350分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（）A．套餐1B．套餐2C．套餐3D．套餐4二．填空题（共8小题）9．若分式的值为0，则x 的值是．10．如图，扇形AOB，通过测量、计算，得的长约为cm．（π取3.14，结果保留一位小数）11．如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣3，﹣2），“炮”位于点（﹣2，0），则“兵”位于的点的坐标为．12．如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式．13．如果m+n＝4，那么代数式（+2n）•的值为．14．已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差是S2，那么另一组数据x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，x n﹣3的方差是．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x 尺，则可列方程为．16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三．解答题（共12小题）17．计算：﹣（）﹣1+4sin30°+|﹣1|．18．解不等式组：．19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0．（1）当k＝1时，求此方程的根；（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD．（1）求证：四边形DBEF是矩形；（2）若AB＝5，cos∠ABD＝，求DF的长．22．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣1交于点A （3，m）．（1）求k的值；（2）已知点P（n，0）（n＞0），过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝x﹣1于点B，交函数y＝（x＞0）于点C．①当n＝4时，判断线段PC与BC的数量关系，并说明理由；②若PC≤BC，结合图象，直接写出n的取值范围．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6，求OF的长．24．GDP是指一个国家（或地区）在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量经济状况的最佳指标．截止2020年4月27日，对除西藏外的30个省区市第一季度有关GDP的数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．各省区市GDP数据的频数分布直方图，如图1（数据分成6组，各组是0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20，20＜x≤24）；b．2020年第一季度GDP数据在这一组的是：4.6 4.95.0 5.1 5.3 5.46.37.47.57.87.8c．30个省区市2020年第一季度及2019年GDP增速排名统计图，如图2；d．北京2020年第一季度GDP数据约为7.5千亿，GDP增速排名为第22．根据以上信息，回答下列问题：（1）在30个省区市中，北京2020年第一季度GDP的数据排名第．（2）在30个省区市2020年第一季度及2019年GDP增速排名统计图中，请在图中用“〇”圈出代表北京的点．（3）2020年第一季度GDP增速排名位于北京之后的几个省份中，2019年GDP增速排名的最好成绩是第．（4）下列推断合理的是．①与2019年GDP增速排名相比，在疫情冲击下，2020年全国第一季度增速排名，部分省市有较大下滑，如D代表的湖北排名下滑最多．②A、B、C分别代表的新疆、广西、青海位于西部地区，多为人口净流出或少量净流入，经济发展主要依靠本地劳动力供给，疫后复工复产效率相对较高，相对于2019年GDP 增速排名位置靠前25．已知线段AB＝6cm，点M是线段AB上一动点，以AB为直径作⊙O，点C是圆周上一点且AC＝4cm，连接CM，过点A做直线CM的垂线，交⊙O于点N，连接CN，设线段AM的长为xcm，线段AN的长为y1cm，线段CN的长为y2cm．小华同学根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 4.47 5.24 5.86 5.96 4.72 4.00y2/cm 6.00 5.86 5.23 3.98 2.46 1.060请你补全表格的相关数值，保留两位小数．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象（函数y2的图象如图，请你画出y1的图象）（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△CAN是等腰三角形时，AM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．27．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．28．过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．（1）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2．①在图中画出一条Rt△ABC的形内弧；②在Rt△ABC中，其形内弧的长度最长为．（2）在平面直角坐标系中，点D（﹣2，0），E（2，0），F（0，1）．点M为△DEF形内弧所在圆的圆心．求点M纵坐标y M的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点M（2，2），点G为x轴上一点，点P为△OMG最长形内弧所在圆的圆心，求点P纵坐标y P的取值范围．2020年北京市房山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标．过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将820000000用科学记数法表示为（）A．8.2×109B．0.82×109C．8.2×108D．82×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：820000000用科学记数法表示为：8.2×108．故选：C．2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．正方体D．圆柱【分析】由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：B．3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A．|b|＜a B．﹣a＜b C．a+b＞0D．|a|＞b【分析】根据数轴确定a、b的范围，根据绝对值的性质、实数的大小比较法则、有理数的加法法则判断．【解答】解：由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3，∵|b|＞0，a＜0，∴|b|＞a，A选项说法错误；∵﹣4＜a＜﹣3，∴3＜﹣a＜4，∴﹣a＞b，B选项说法错误；∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0，∴a+b＜0，C选项说法错误；∵﹣4＜a＜﹣3，∴3＜|a|＜4，∴|a|＞b，D选项说法正确；故选：D．4．《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．5．李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.55【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7，即众数是1.7；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，所以中位数是1.6．故选：B．6．如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△ABE，∴，∵AD＝2DE，∴，∵AB＝CD，∴，∴FC＝2DF，∵AB∥CD，∴△GFC∽△GBA，∴，故选：A．7．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．8．2020年是5G爆发元年，三大运营商都在政策的支持下，加快着5G建设的步伐．某通信公司实行的5G畅想套餐，部分套餐资费标准如下：套餐类型月费（元/月）套餐内包含内容套餐外资费国内数据流量（GB）国内主叫（分钟）国内流量国内主叫套餐112830200每5元1GB，用满3GB后每3元1GB，不足部分按照0.03元/MB收取0.19元/分钟套餐215840300套餐319860500套餐423880600小武每月大约使用国内数据流量49GB，国内主叫350分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（）A．套餐1B．套餐2C．套餐3D．套餐4【分析】根据题意和表格中的数据，可以计算出各个套餐下，小武的花费情况，然后比较大小，即可解答本题．【解答】解：由题意可得，如果小武选择套餐1，需要缴费：128+5×3+（49﹣30﹣3）×3+（350﹣200）×0.19＝219.5（元），如果小武选择套餐2，需要缴费：158+5×3+（49﹣40﹣3）×3+（350﹣300）×0.19＝200.5（元），如果小武选择套餐3，需要缴费：198元，如果小武选择套餐4，需要缴费：238元，∵198＜200.5＜219.5＜238，∴若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是2，故选：C．二．填空题（共8小题）9．若分式的值为0，则x的值是﹣1．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由分式的值为0，得x+1＝0且x﹣1≠0．解得x＝﹣1，故答案为：﹣1．10．如图，扇形AOB，通过测量、计算，得的长约为πcm．（π取3.14，结果保留一位小数）【分析】先经过测量得到OA＝cm，∠AOB＝60°，然后根据弧长公式计算的长度．【解答】解：经测量得OA＝cm，∠AOB＝60°，所以的长度＝＝π（cm）．故答案为π．11．如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣3，﹣2），“炮”位于点（﹣2，0），则“兵”位于的点的坐标为（﹣5，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（﹣3，﹣2），即可得出原点的位置，进而得出“兵”位于的点的坐标．【解答】解：如图所示：“兵”位于的点的坐标为：（﹣5，1）．故答案为：（﹣5，1）12．如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．【分析】根据面积的和差，可得答案．【解答】解：由面积相等，得（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．13．如果m+n＝4，那么代数式（+2n）•的值为8．【分析】先把括号内通分，再约分得到原式＝2（m+n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】解：原式＝•＝•＝2（m+n），当m+n＝4时，原式＝2×4＝8．故答案为8．14．已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差是S2，那么另一组数据x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，x n﹣3的方差是S2．【分析】根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，x n的方差是S2，∴数据x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，x n﹣3的方差是S2；故答案为：S2．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x 尺，则可列方程为x2+62＝（20﹣x）2．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+62＝（20﹣x）2．故答案为x2+62＝（20﹣x）2．16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．．【分析】先根据作图得出OB＝OC＝CD，即△OCD为等边三角形，据此可得∠COD＝60°，再根据圆周角定理知∠DAC＝∠COD＝30°，从而得出答案．【解答】解：如图，连接OD、OC，由作图知，OB＝OC＝CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD＝60°，∴∠DAC＝∠COD＝30°，综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．三．解答题（共12小题）17．计算：﹣（）﹣1+4sin30°+|﹣1|．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：﹣（）﹣1+4sin30°+|﹣1|＝3﹣5+4×+﹣1＝3﹣5+2+﹣1＝4﹣4．18．解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3（x+1）＜2x，得：x＜﹣3，解不等式＜x+2，得：x＞﹣5，则不等式组的解集为﹣5＜x＜﹣3．19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，证明EB＝ED，根据等腰三角形的三线合一证明结论．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴EB＝ED，∵EB＝ED，F是BD中点，∴EF平分∠BED．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0．（1）当k＝1时，求此方程的根；（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】（1）把k＝1代入kx2﹣4x+3＝0．，得到关于x的一元二次方程，解之即可；（2）根据判别式公式，令△＞0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：（1）把k＝1代入kx2﹣4x+3＝0得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1；（2）根据题意得：△＝（﹣4）2﹣4×3k＝16﹣12k＞0，解得：k＜，又k≠0，即k的取值范围为k＜且k≠0．21．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD．（1）求证：四边形DBEF是矩形；（2）若AB＝5，cos∠ABD＝，求DF的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出CE＝CD，CF＝CB，再根据矩形的判定证明即可．（2）连接AC，利用菱形的性质得出AC，进而得出DF即可．【解答】证明：（1）∵CE＝CD，CF＝CB，∴四边形DBEF是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB．∴CE＝CF，∴BF＝DE，∴四边形DBEF是矩形．（2）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OD＝OB，OC＝OA，由（1）得四边形DBEF是矩形，∴DF⊥BD，∴AC∥DF，∴OC＝DF，∵AB＝5，cos∠ABD＝，∴OB＝3，∴OA＝OC＝4，∴DF＝8．22．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣1交于点A （3，m）．（1）求k的值；（2）已知点P（n，0）（n＞0），过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝x﹣1于点B，交函数y＝（x＞0）于点C．①当n＝4时，判断线段PC与BC的数量关系，并说明理由；②若PC≤BC，结合图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）将A点代入y＝x﹣1中求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值；（2）①当n＝4时，分别求出B、C两点的坐标即可判断线段PC与BC的数量关系；②根据图象可求出n的范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣1，∴m＝3﹣1＝2，∴A（3，2），将A（3，2）代入y＝，∴k＝3×2＝6；（2）①当n＝4时，如图，P（4，0），把x＝4代入y＝x﹣1，得y＝4﹣1＝3，∴B（4，3），把x＝4代入y＝，得y＝＝，∴C（4，），∴PC＝，BC＝3﹣＝，∴PC＝BC；②由图可知，当PC≤BC时，n的取值范围是0＜n≤1或n≥4．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6，求OF的长．【分析】（1）连接CD、OD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC＝90°，则根据斜边上的中线性质得到EA＝ED，所以∠1＝∠A，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）证明△BCD∽△BAC，利用相似比计算出BD＝，再证明OE为△CAB的中位线得到OF∥BD，然后利用相似比计算OF的长．【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连接CD、OD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵E为Rt△ADC的斜边AC的中点，∴EA＝ED，∴∠1＝∠A，∵OB＝OD，∴∠B＝∠2，而∠B+∠A＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠DBC＝∠CBA，∠BDC＝∠BCA，∴△BCD∽△BAC，∴BD：BC＝BC：BA，∴BD＝＝，∵OB＝OC，EC＝EA，∴OE为△CAB的中位线，∴OF∥BD，∴OF：BD＝OC：CB，∴OF＝BD＝．24．GDP是指一个国家（或地区）在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量经济状况的最佳指标．截止2020年4月27日，对除西藏外的30个省区市第一季度有关GDP的数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．各省区市GDP数据的频数分布直方图，如图1（数据分成6组，各组是0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20，20＜x≤24）；b．2020年第一季度GDP数据在这一组的是：4.6 4.95.0 5.1 5.3 5.46.37.47.57.87.8c．30个省区市2020年第一季度及2019年GDP增速排名统计图，如图2；d．北京2020年第一季度GDP数据约为7.5千亿，GDP增速排名为第22．根据以上信息，回答下列问题：（1）在30个省区市中，北京2020年第一季度GDP的数据排名第22．（2）在30个省区市2020年第一季度及2019年GDP增速排名统计图中，请在图中用“〇”圈出代表北京的点．（3）2020年第一季度GDP增速排名位于北京之后的几个省份中，2019年GDP增速排名的最好成绩是第6．（4）下列推断合理的是①②．①与2019年GDP增速排名相比，在疫情冲击下，2020年全国第一季度增速排名，部分省市有较大下滑，如D代表的湖北排名下滑最多．②A、B、C分别代表的新疆、广西、青海位于西部地区，多为人口净流出或少量净流入，经济发展主要依靠本地劳动力供给，疫后复工复产效率相对较高，相对于2019年GDP 增速排名位置靠前【分析】（1）根据题目的d点信息回答便可；（2）根据题目的d点信息找到对应点解答；（3）观察2020后第一季度GDP增速排名位于第22位后面的，而2019年增速位于前面的点进行解答；（4）根据题意，结合图形分析解答．【解答】解：（1）根据题意得，北京2020年第一季度GDP数据约为7.5千亿，GDP增速排名为第22，（2）根据题意得，（3）由下图可知，2020年第一季度GDP增速排名位于北京之后的几个省份中，2019年GDP增速排名的最好成绩是第6位，故答案为：6；（4）①由图2知，湖北2019年GDP增速为第6位，2020年第一季度GDP增速为第30位，排名下滑最多．故①的推断合理；②A、B、C三地2019年GDP增速位于13位之后，而2020年第一季度GDP增速位于8位之前，相对于2019年GDP增速排名位置靠前，故②的推断合理；25．已知线段AB＝6cm，点M是线段AB上一动点，以AB为直径作⊙O，点C是圆周上一点且AC＝4cm，连接CM，过点A做直线CM的垂线，交⊙O于点N，连接CN，设线段AM的长为xcm，线段AN的长为y1cm，线段CN的长为y2cm．小华同学根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 4.47 5.24 5.86 5.96 5.48 4.72 4.00y2/cm 6.00 5.86 5.23 3.98 2.46 1.060请你补全表格的相关数值，保留两位小数．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象（函数y2的图象如图，请你画出y1的图象）（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△CAN是等腰三角形时，AM的长度约为 1.28或3cm．【分析】（1）先判断出BN＝CN，再利用勾股定理求出BC，进而得出BD，再用勾股定理求出OD，进而求出DN，再用勾股定理求出BN，最后用勾股定理求出AN，即可得出结论；（2）根据表格先秒点，再连线即可得出结论；（3）分三种情况，借助表格和图象即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接BN，∵AM＝x＝4，AC＝4，∴AM＝AC，∴AN⊥CM，∴∠CAN＝∠BAN，∴CN＝BN，连接BC，∵AB为直径，∴∠ANB＝∠ACB＝90°，根据勾股定理得，BC＝＝2，连接ON交BC于D，∴BD＝BC＝，∠ODB＝∠NDB＝90°，在Rt△ODB中，OD＝＝2，∴DN＝ON﹣OD＝1，在Rt△BDN中，根据勾股定理得，BN＝＝，在Rt△ABN中，根据勾股定理得，AN＝＝≈5.48，故答案为：5.48；（2）描点，连线，如图2所示，；（3）当△CAN是等腰三角形时，①当AC＝CN＝4时，由图象结合表格得，AM＝x＝3，②当CN＝AN时，∴y1＝y2，由图象知，AM＝x≈1.28，③当AN＝AC＝4时，AM＝x＝6，此时，点N与点C重合，不能构成三角形，故答案为：1.28或3．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．【分析】（1）按照抛物线的对称轴计算公式求得答案即可；（2）由抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4，抛物线对称轴x＝﹣1，可得点A和点B的坐标，将点B坐标代入抛物线解析式可得c与a的关系式，则可得点C 的坐标，根据点C向上移动1个单位得到点D，可得点D的纵坐标；（3）分四种情况：①当a＞0时，②当a＜0时，③当a＜﹣1时，④当﹣1＜a＜0时，分别画图结合相关计算可得答案．【解答】解：（1）抛物线对称轴x＝﹣＝﹣1；（2）∵抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4，抛物线对称轴x＝﹣1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；把（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得：a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴C（0，﹣3a），∴D（0，﹣3a+1），∴点D纵坐标为：﹣3a+1；（3）①当a＞0时，将点P（﹣4，4）代入抛物线y＝ax2+2ax﹣3a得：4＝16a﹣8a﹣3a，∴a＝．此时点D坐标为：（0，﹣），点C的坐标为：（0，﹣），∴当a≥时，抛物线与线段PD只有一个公共点，如图所示：②当a＜0时，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4a），当﹣4a＝4时，a＝﹣1，则当a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点，即抛物线的顶点，如图所示：③当a＜﹣1时，抛物线与线段PD只有两个公共点，如图所示：④当﹣1＜a＜0时，抛物线与线段PD没有公共点，如图所示：综上所述，当a≥或a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点．27．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．。