28.1锐角三角函数(第二课时)-2014届
28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
2 A＝___4___．
感悟新知
知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
感悟新知
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
感悟新知
知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
感悟新知
知1－练
解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
感悟新知
知1－练
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
感悟新知
知1－练
2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan
28.1锐角三角函数特殊角的锐角三角函数值(教案)2023-2024学年人教版数学九年级下册
3.通过实际例题，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容，通过讲解、示范、练习等环节，帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值，并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力：通过解决实际例题，让学生运用锐角三角函数进行计算和分析，提高数学运算与数据分析能力，为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求，关注学生核心素养的培养，帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识，再开篇直接输出。
2.逻辑推理：通过特殊角的锐角三角函数值的推导，提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析：培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容，引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义，强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答：检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况：评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材：人教版数学九年级下册。
2.课件：包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题：针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解，但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中，我尝试通过一些记忆方法，如编口诀、画图等，帮助学生记忆。从学生的反馈来看，这些方法还是有一定效果的，但还需在后续教学中继续巩固。
28.1.2锐角的余弦和正切教案
c.特殊锐角（30°、45°、60°）的余弦和正切值，要求学生熟练掌握。
d.应用余弦和正切值解决实际问题的方法，如直角三角形中锐角的求解。
举例：在讲解锐角的余弦和正切定义时，通过具体的直角三角形图形，让学生直观地理解邻边、斜边和对边的概念，从而加深对余弦和正切定义的理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角余弦和正切相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体的高度，演示余弦和正切的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角的余弦和正切基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对锐角的余弦和正切的概念掌握程度参差不齐。在导入新课的时候，通过提问日常生活中遇到的问题，我发现有的学生能够迅速联想到直角三角形和角度测量，而有的学生则显得有些迷茫。这让我意识到，在接下来的教学中，需要更加关注学生的基础知识，确保他们对直角三角形的理解是扎实的。
在新课讲授环节，我尽量用简洁明了的语言解释余弦和正切的概念，并通过具体的案例分析让学生看到这些概念在实际中的应用。我发现，当学生能够将抽象的数学概念与具体的实际问题联系起来时，他们的学习兴趣和积极性明显提高。
在实践活动中，分组讨论是一个很好的互动环节，学生们能够互相启发，共同解决问题。但在实验操作中，我也注意到部分学生在具体操作上还存在一些困难，比如在测量和计算时出现了一些错误。这提醒我，在今后的教学中，应该增加更多实际操作的机会，让学生在实践中提高解决问题的能力。
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
28.1锐角三角函数(2) 余弦、正切学案
斜边c对边abC B A28．1锐角三角函数（2） 余弦、正切学案一．知识巩固。
（每个题目5分，合计20分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ，2、 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）A ．53B ．23C ．255D ．523、 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．4、在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则 ∠A 的正弦值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．不变二．新知探究。
（每个题目10分，合计100分）1、类似于正弦的情况， 如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是 ．我们 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，记作 ；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ，记作 。
2、当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=； 当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．(1)CB A436CB A判断题 4、cos x =21=60°． （ ）5、α是锐角，且sin α=23，则α=30°． （ ）6、cos45°－cos15°=cos30°=23． （ ）7、若α为锐角，则2)1(cos -α=cos α－1．（ ） 8、若A 为锐角则0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1． （ ） 9、 若a 为锐角，则sin a +cos a ＞1． （ ） 10、已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AB=15,则AC 的长是( ).A.3B.6C.9D.12三．运用提高。
28.1.1锐角三角函数第二课时.doc
28.1 锐角三角函数（第二课时）一、【教材分析 】1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 、cosA 、tanA 表示知识 sinA直角三角形中两边的比．目标2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．教 能力通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对学 目标 应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 目情感引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良标目标 好的学习习惯．教学 理解余弦、正切的概念．重点教学 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．难点二、【教学流程 】教学 教学问题设计环节【问题 】在 Rt △ ABC 中， ∠C=90 °Bca 情 AbC锐角正弦的定义1.师生活动 二次备课复习引入，巩固旧知识的同时，为新知识作准备 .∠ A 的正弦：景 创2. 当锐角 A 确定时，∠ A 的邻边设与斜边的比， ∠ A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。
sinA ＝A 的对边 aA 的斜边 c【探究 1】 教师类比正弦的情况提出问题，1. 在 Rt △ ABC 和 Rt △ A ’B ’C 中’ 引导学生利用相似三角形的知识∠ C ＝∠ C ’＝ 90°，∠ A ＝∠ A ’ 进行论证（请学生自己完成证明）那么 AC 与 A 'C ' 有什么关系． 结论： 在直角三角形中，当锐角ABA 'B 'B 的度数一定时，不管三角形的你能解释一下吗？大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值.∵∠ C=∠ C’ =90 o，∠A=∠ A ，自’∴Rt△ ABC∽ Rt△A B C ，’ ’ ’主∴ AC AB ，探A'C' A' B'究即 AC A'C 'AB A' B'【探究 2】2.类似于前面的推理情况 ,如图在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，当锐角 A 的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比是定值，∠A 的对边与邻边的比也是确定的吗？3. sin A A的对边 a斜边 ccos A A的邻边b 斜边 ctan A A的对边aA的邻边b教师继续给出直角三角形的边与边的比值假设，每一位学生参与到问题情境的探究中去，通过类比的方式熟练推理论证 .教师点拨、指导、总结出余弦和正切的概念，同时探究出锐角三角函数的定义 .如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，我们把∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦（ cosine），记作cosA，即cos A A的邻边 b斜边 c我们把∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切（ tangent），记作tanA，即tan AA的对边 aA的邻边 b∠A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.尝试应用1如图，在 Rt△ABC 中，∠ C 教师提出问题＝ 90°，BC =6，AB=10，求 sinA，学生独立思考解答对教材知识cosA, tanA 的值 . B 分析：通过勾股定理求解出未知的加固10边 AC 的长，根据正弦，余弦，6 正切的概念求出相应的答案 .解：由勾股定理得A CAC AB2BC2102628因此sin ABC6 3 2、下图中∠ ACB =90°， CD ⊥ AB 10 5AB, 垂足为 D. 指出∠ A 和∠ B 的AC 84对边、邻边 .cos A10 5AB DBBC 6 3tan A84AC强 化 学 生 对几 何 图 形 的认识和变通ACtan ACD总 结 做 题 规ACCD tan BBC律1、如图 ,在 Rt △ ABC 中 ,锐角 A对 内 容 的 升 的 邻 边 和 斜 边 同 时 扩 大 100 教师与学生共同归纳总结锐角三 华理解认识倍 ,tanA 的值（ ） 角函数运用规律。
锐角三角函数第二课时教案
锐角三角函数第二课时教案标题：锐角三角函数第二课时教案正文：一、教学目标通过本课时的学习，学生应能够：1. 理解锐角三角函数的定义及其在平面几何中的应用；2. 熟练计算锐角三角函数的数值，并能运用这些数值解决相关问题；3. 掌握如何绘制锐角的三角函数图像；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重点1. 锐角三角函数的概念和定义；2. 锐角三角函数的性质及其应用。
三、教学难点1. 锐角三角函数图像的绘制；2. 锐角三角函数的应用题解决方法。
四、教学过程1. 导入教师通过问题情境或实例引导学生思考，在直角三角函数的基础上，如何推导出锐角三角函数的定义。
2. 知识讲解2.1 锐角三角函数的定义a) 引入正弦、余弦、正切的定义，解释它们在锐角情境下对应的数学意义；b) 讲解正弦函数和余弦函数的定义：在锐角三角形中，正弦函数（sin）等于对边与斜边的比值，余弦函数（cos）等于邻边与斜边的比值；c) 讲解正切函数的定义：在锐角三角形中，正切函数（tan）等于对边与邻边的比值。
2.2 锐角三角函数的性质及应用a) 探究锐角三角函数的周期性、奇偶性；b) 讲解角度与弧度的转换关系；c) 结合具体问题和实例，展示锐角三角函数在平面几何中的应用。
3. 计算练习教师设计一些计算题目，引导学生进行计算练习，熟悉锐角三角函数的计算方法。
4. 图像绘制4.1 正弦函数和余弦函数的图像绘制a) 提供正弦函数和余弦函数的表格，并鼓励学生通过计算和绘制找出规律；b) 讲解如何绘制正弦函数和余弦函数的图像，强调振幅、周期和相位差的概念。
4.2 正切函数的图像绘制a) 提供正切函数的表格，并鼓励学生通过计算和绘制找出规律；b) 讲解如何绘制正切函数的图像，强调渐近线和周期的概念。
5. 应用问题解析教师提供一些有关锐角三角函数的实际问题，引导学生通过绘制函数图像和计算来解决这些问题，培养学生的问题解决能力。
6. 小结与作业布置对本课时的重点知识进行总结，并布置相关的作业。
九年级数学下册281锐角三角函数第2课时教案
- 8 -
A.B两量河两岸点的距离，在与AB垂直的方向点aAC＝C处测得，ACB那么＝α∠，AB）等于（asinA.α·aαB.·tanaαC.·cosaACaD.αatanBABC在△、如图，3ADBC边中，是上，高的
际问题中的三角形题目，通过三角函数解决具体问题。题，有一定3第的难度，但是题目本身仍然从三角函数概念的角度进行知识的延
的两根，求22的α+cossinα值．
置作教师布.并提出要求业，学生课下独立完.
成，延续课堂
- 11 -
三、【板书设计】
28.1锐角三角函数（第二课时）
A的邻边bAcos余弦：斜边c板演区：A的对边aAtanb的邻边A正切：
A的正弦、余弦、正切都叫做∠A.的锐角三角函数∠
四、【教后反思】
是现实世界直角三角形中边角之间的关系，锐角三角函数在解决中应用最广泛的关系之一。现实问题中有着重要的作用，因此，学好本节中关于锐角的三种三角函数，正切，正弦，余弦的定义是关键。有一些学生往往不注重基本在数学学习中，概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结填空题等一些概念性较强果往往失分于选择题、
用
AAB，=10，求sin.AA,tan的值cos 16 A C 2、下图中∠CDACB⊥°，=90BDDAB指,垂足为.BA的出∠和∠CA.对边、邻边
分析：通过勾股定理求解出未知AC的长，边根据正弦，余弦，正切的概念求出相应的答案.
解：由勾股定理得22228610ACABBC因此36BCsinA5AB1048ACAcos5AB103BC6Atan4AC8
- 9 -
DAC,B∠tan=cos：）求证（1AC=BD；12Csin13(2)若ADBC，求，=12的长。
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A
┌ C
B D
A
C
—— 城 关 镇 中 学
课堂小结
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边 A的对边 = tanA= A的邻边
a c b c
a b
在Rt△ABC中
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
课堂小结
定义中应该注意的几个问题: 1. sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义 的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角 形 )。
ÐA的对边 a tan A = = ÐA的邻边 b
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
问， 使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α,那么 B′ AC A ' C ' BC B ' C ' 和 及 和 有什么关系？ B AB A ' B ' AC A ' C ' ∵∠C=∠C’=90°， A′ ∠A=∠A’=α， A C C′ ∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’， BC AC AB B 'C ' A 'C ' A ' B ' AC A ' C ' BC B ' C ' = ， = . AB A ' B ' AC A ' C ' 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形 的大小如何，∠A对边与斜边的比及对边与邻边的比是一个 固定值。
—— 城 关 镇 中 学
28.1锐角三角函数 （2）
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
学习目标
1.理解在直角三角形中一个锐角的余弦和 正切的定义；
2.了解锐角三角函数的意义； 3.会根据已知条件求一个锐角的各三角函 数值；
4.感受数学与客观世界的联系，体验合作 交流探索数学的乐趣.
作 者： 郭 春 港
A
B
作 者： 郭 春 港
D
C
—— 城 关 镇 中 学
15 3.已知∠A为锐角，sinA＝ ，求cosA、tanA的值。 17
B
巩固训练
17k
A
15k
C B
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，
3 tanA= ，求sinA，cosB的值。 4
作 者： 郭 春 港
A
C
—— 城 关 镇 中 学
能力提升
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时 B 扩大100倍,tanA的值（ C ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB, 垂足为D。 (BC ) (1) tanA = = CD (AD ) AC ( AC) (2) tanB= = CD ( BD) BC
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
斜边 c
B 对 边
问题探究
∠A的对边记作a， ∠B的对边记作b， ∠C的对边记作c。
a
∟
A
邻边 b
C
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的 值和它对应，所以sinA是∠A的函数， 同样地，cosA，tanA也是∠A的函数。
—— 城 关 镇 中 学
学前热身
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦函数
ÐA的对边 a sinA = = 斜边 c
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
学前热身
1. 在Rt △ABC中，∠C＝90°，求sinA.
① b=9, c=12
② a=9, b=12
2. 在Rt △ABC中，∠C＝90°， ∠B＝30°,求sinA.
3 2 1 3. sin30°=____, 2 2 sin60°=____. 2 sin45°=____,
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
学前热身
1. sinA是∠A的函数,自变量是∠A, 0°<∠A<90°； 2. 0＜sinA＜1；若∠A＞ ∠B，则sinA＞sinB； 3. sinA是一个比值（无单位）； 4. sinA的大小只与∠A的大小有关，而与所在三角形 的形状及角的边长无关。 5. sinA是在直角三角形中定义的，注意数形结合， 构造直角三角形.
2. sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3. sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有 关，而与所在三角形及角的边长无关。
作 者： 郭 春 港
作业
1.作业本：课本P82，习题28.1 第1题（只求余弦、正切值）； 2.北大绿卡 相关习题
作 者： 郭 春 港
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐 角三角函数。
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
例 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，应用举例
3 sinA= ，求cosA，tanB的值。 5
BC 解：∵sinA= AB ， BC ∴AB= sinA =6×
B 6
5 =10， 3
A C
又 AC=
A的对边 a tan A A的邻边 b
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
B
问题探究
当直角三角形的一 个锐角的大小确定 时，其任意两边的 比值都是唯一确定 的吗？为什么？
斜边c
∟
对 边 a
C
A
邻边b
ÐA的对边 a sin A = = 斜边 c
ÐA的邻边 b cos A = = 斜边 c
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
B 斜边c 对边a ∟ A
定义揭示
邻边b
C
我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦， 记作cosA，即
A的邻边 b cos A 斜边 c
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
B 斜边c 对边a ∟ A
定义揭示
邻边b
C
我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作tanA，即
AB2 BC2 102 62 = 8，
AC 4 BC 3
AC 4 ，tanB= ∴cosA= AB 5
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
巩固训练
1.在Rt △ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。
① a=9 b=12
② a=9 c=12
2.在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函 数值。