竖曲线几何要素计算式
竖曲线运算步骤及公式讲解
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竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2
ωR 4、竖曲线的外距： E =R T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22
= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤
如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。
（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y
某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y
-----精心整理，希望对您有所帮助!。
竖曲线计算公式
桩号
至起点或终点距离
xi
标高改正值
Yi
坡道高成
竖曲线高成
备注
1+638.3
48.95
48.95
竖曲线起点
1+650
X1=11.7
Y1=0.01
48.82
48.83
i1=－1.114％
1+660
X2=21.7
Y2=0.05
T=1/2*R*(i1-i2)
L=R(i1-i2)
E=T2/2*R
yi=x2i/2R (yi在凹形曲线中为正号，凸型曲线中为负号)
例：设i1=－1.114％，i2=+0.154％，为凹型曲线，变坡点的桩号为1+670，高成为48.60m，预设置R=5000m的曲线，求各测设元素、起点、终点的桩号和高成，曲线上每10m间距里程的标高改正数和设计高成。
48.71
48.76
1+670
X3=31.7
E=0.10
48.60
48.70
变坡点
1+680
X4=21.7
Y2=0.05
48.62
48.67
i2=+0.154％
1+690
X5=11.7
Y1=0.01
48.63
48.64
1+701.7
48.65
48.65
竖曲线终点
按上列公式求得T=31.70m，L=63.40m, E=0.10m,竖曲线起点、终点的桩号和高成为
起点桩号= 1+(670－31.70)=1+638.30
竖曲线运算步骤及公式讲解
竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2ωR
4、竖曲线的外距： E =R
T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。
（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y。
平曲线要素计算公式
（2）曲线主点桩号计算：ZH(桩号)=JD(桩号)-T HY(桩号)=ZH(桩号)+ls QZ(桩号)=HZ(桩号)-L/2 YH(桩号)=HY(桩号)+L y HZ(桩30-3 336629-3 4028)-(3 )(227-3 2sec )(26-3 225-3 2ls 180)2(m 18024)-(3 2)(23)-(3 9022)-(3 23842421)-(3 )( 24023420230034223m Rl R l y m R l l x m L T J m R p R E m l L L R l R L m q tg p R T Rl m R l R l p m R l l q s s sss Y s s s s s s -=-=-=-⋅+=-=+⋅⋅-=+⋅⋅=+⋅+=︒⋅︒=-=-=απβααπαπβ第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。
可采用抛物线或圆曲线。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：[例1]、某山岭区二级公路，变坡点桩号为K5+030.00，高程为427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
试计算竖曲线诸要素以及桩号为K5+000.00和K5+100.00处的设计高程。
解：1.计算竖曲线要素ω= |i2-i1|= |-0.04-0.05| =0.09，为凸型。
曲线长L=Rω=2000×0.09=180m切线长T=L/2=180/2=90m外距E=T2/2R=902/2×2000=2.03m2.计算设计高程竖曲线起点桩号=（K5+030.00）-90=K4+940.00竖曲线起点高程=427.68-90×0.05=423.18竖曲线终点桩号=（K5+030.00）+90=K5+120.00竖曲线终点高程=427.68-90×0.04=424.08桩号K5+000.00处：横距K5x 1=（K5+ 000.00）-（K4+940.00）=60m 竖距h 1=x 12/2R=602/2×2000=0.90m 切线高程=427.68-（90-60）×0.05=426.18m 423.18+60×0.05=426.18设计高程=426.18-0.90=425.28m 桩号K5+100.00处：横距x 2=(K5+120.00)-(K5+100.00)=20m 竖距h 2=x 22/2R=202/2×2000=0.1m切线高程=427.68-（90-20）×0.04=424.88m 设计高程=424.88-0.1=424.78m 横距x 2=(K5+100.00)-(K4+940.00)=160m 竖距h 2=x 22/2R=1602/2×2000=6.4m 切线高程=423.18+160×0.05=431.18m 设计高程=431.18-6.40=424.78m[例2]平原区某二级公路有一弯道，偏角α右=15°28′30″，半径R=600m ，缓和曲线长度Ls=70m ， JD=K2+536.48。
竖曲线计算方法
竖曲线一、有关规定线路大中修纵断设计有关规定。
1. 设计坡长一般不短于该区段到发线有效长的一半，个别困难地段，应不短于200m。
2. 采用抛物线形竖曲线时，凡相邻坡段的坡段代数差大于2‰时，须设计竖曲线，竖曲线长度每20m的变坡率，凸形应不大于1‰，凹形应不大于0.5‰。
抛物线形竖曲线最好设计在平面曲线两端缓和曲线之外，仅在困难条件下，允许冲迭而不受缓和曲线的限制。
抛物线形竖曲线不能设计在无碴桥梁上。
3. 采用圆曲线形竖曲线时，凡相邻坡段的坡度代数差大于3‰时，须设计竖曲线。
竖曲线半径应根据运营条件采用20000-10000m；困难条件下不小于5000m。
圆曲线形竖曲线不应侵入缓和曲线、道岔及无碴桥梁上。
二、圆曲线形竖曲线的计算竖曲线的几何要素（如下图）及标高的近似计算式如下：切线长度： T=R/2000 ⊿i(m)竖曲线长度： C≈2T(m)竖曲线纵距： y≈x2/2R(m) 式中x——竖曲线横距（m）竖曲线外矢距 E=T2/2R（m）竖曲线标高 H=h±y(m) 式中 h——计算点的路肩设计标高（m）；y——竖曲线上计算点的纵距，凹形竖曲线取“+”，凸竖曲线取“-”形。
不同半径的竖曲线纵距如表竖曲线纵距表y(m)不同半径的竖曲线要素如表竖曲线要素表（m）三、抛物线形竖曲线的计算抛物线形竖曲线在作为竖曲线使用的范围内，曲率变化非常小，在工程实施上与圆曲线形竖曲线无甚差别，即实质上是大半径的圆曲线形竖曲线，其换算半径：R=1000⊿l/r(m)式中 ⊿l ——抛物线形竖曲线的短坡段长度（m ），一般采用20m ； r ——每一短坡段的变坡率（‰）。
⊿l 为20m ，R 与γ的对应关系如表3。
抛物线形竖曲线的几何要素及标高可沿用下列公式计算：⊿i=i 1+i 2 C ’=20⊿i/γ T ≈C ’/2 y ≈γ/40000x 2 E 0≈γ/40000T 2式中 i 1 i 2 ——坡度，用千分率表示； ⊿i ——两相邻坡段的坡度，代数差；y E 0 ——根据表3换算；C ——抛物线形竖曲线长度，取整至m 。
竖曲线计算原理
式中： 式中：R——抛物线顶点 抛物线顶点 处的曲率半径
A
B
一、竖曲线要素的计算公式 竖曲线的基本方程式： 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i 抛物线竖曲线有两种可能的形式： 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： 包含抛物线底（ （1）包含抛物线底（顶）部； 不含抛物线底（ （2）不含抛物线底（顶）部。
2．时间行程不过短 ．时间行程不过短 最短应满足3 行程。 最短应满足3s行程。
Lmin V V = t= 3.6 1.2 则 Rmin V = = ω 1.2ω L min
3．满足视距的要求： 满足视距的要求： 凸形竖曲线： 凸形竖曲线：坡顶视线受阻 凹形竖曲线： 凹形竖曲线：下穿立交 4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
1 2 y= x + i1 x 2k 式中： 式中：k——抛物线顶点 抛物线顶点 处的曲率半径 ；
B
i1——竖曲线顶 竖曲线顶 点处切线的坡度。 （底）点处切线的坡度。
A
对竖曲线上任一点P 其切线的斜率（纵坡） 对竖曲线上任一点P，其切线的斜率（纵坡）为
iP = dy x = + i1 dx k
当x=0时，ip=i1； 时 当x=L时， i = L + i = i 时 p 1 2
T2 Lω Tω E= ，E上任一点竖距 ： ）竖曲线上任一点竖距h：
x2 x2 h = PQ = y P − yQ = + i1 x − i1 x = 2R 2R
下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’ 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 ’为：
竖曲线要素计算公式
竖曲线要素计算公式
竖曲线的要素计算公式包括以下几个要素：
1. 半径（R）：竖曲线的曲线半径，可以通过以下公式计算：
R = (L^2) / (24 * A)
其中，L为曲线的长度，A为需满足的标准偏差值。
2. 起点切线长（T1）：即曲线前切线的长度，可以通过以下
公式计算：
T1 = L * (1 - ((2 * R) / (3 * A)))
其中，L为曲线的长度，R为曲线半径，A为需满足的标准
偏差值。
3. 终点切线长（T2）：即曲线后切线的长度，可以通过以下
公式计算：
T2 = L * (1 - ((2 * R) / (3 * A)))
其中，L为曲线的长度，R为曲线半径，A为需满足的标准
偏差值。
4. 铁路曲线中心角（θ）：即曲线的转角，可以通过以下公式
计算：
θ = (L / R) * 30°
其中，L为曲线的长度，R为曲线半径。
5. 切线长（T）：即曲线的切线长度，可以通过以下公式计算： T = T1 + T2
6. 过渡曲线长度（Lg）：即曲线的过渡段长度，可以通过以
下公式计算：
Lg = (R / A) * 100
其中，R为曲线半径，A为需满足的标准偏差值。
需要注意的是，以上公式仅适用于标准的竖曲线计算，实际情况中可能会有一些修正或调整。
竖曲线运算步骤及公式讲解
竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2ωR
4、竖曲线的外距： E =R
T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。
（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y。