大连市名校联考2021届高一数学上学期期末教学质量检测试题
大连市名校联考2021届高一数学上学期期末教学质量检测试题
一、选择题
1．记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222
363
x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩则max{||,||,||}
x y z 的最大值为（ ） A.
32
B.1
C.
7 D.
23
2．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo ，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
A.15
B.25
C.40
D.60
3．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r
u u u r u u u r
，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．11,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．21,92
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,94
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
4．已知将函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
向右平移12π
个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且2
(0)2
f =
，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()cos 54f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
B ．()sin 94f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．()cos 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．1
()cos 3
4f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
5．若集合A={
}
2
|10x ax ax φ-+<=，则实数a 的取值范围为 （ ） A.()0,5
B.[]1,2-
C.[]0,6
D.[]0,4
6．已知0a >且1a ≠，函数()()()
2360(0)x a x a x f x a x ⎧-+-≤=⎨>⎩
，满足对任意实数()1212,x x x x ≠，都有
()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.()2,3
B.(]2,3
C.72,3⎛⎫
⎪⎝⎭ D.72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
7．已知函数()22,?
52,x x a f x x x x a
+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的
取值范围是
A.[)1,1-
B.[)1,2-
C.[
)2,2- D.[]
0,2
8．若
11
0a b
<<，则下列结论不正确的是（ ） A.22a b <
B.2ab b <
C.
2211ab a b
< D.0a b +<
9．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )
A.8 km/h
B.6km/h
C.2
km/h
D.10 km/h
10．设a {1,∈-0，12
，1，2，3}，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）. A ．90︒ B ．60︒ C ．45︒
D ．30°
12．若函数为偶函数，则a=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，为直线
上在第一象限内的点，，以线段为直径的圆
（为圆心）与直线交于另一点.若，则直线
的方程为__________，圆的标准方程为
__________． 14．若不等式
与关于x 不等式
＜0的解集相同，则＝_____
15．若直线l 的方程为330x +=，则其倾斜角为____，直线l 在y 轴上的截距为_____. 16．若幂函数()()
22
2
33m m f x m m x
--=-+⋅的图象不过原点，则m 的值为___．
三、解答题
17．已知函数()1333
x x b f x +-+=+是奇函数．
()1求实数b 的值；
()2若对任意的[]1,2t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．
18．已知函数()2
1cos sin cos .2
f x x x x =+-
（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递减区间； (3)求函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值．
19．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
22sin 30cos 60sin 30cos 60︒+︒+︒︒； 22sin 15cos 45sin 15cos 45︒+︒+︒︒； 22sin 20cos 50sin 20cos 50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos 12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos 5-︒+︒+-︒︒. （Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
20．函数()sin()0,0,2f x A x A πωφωφ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的一段图象如右图所示：
（1）求函数()f x 的解析式及其最小正周期；
（2）求使函数取得最大值的自变量x 的集合及最大值； （3）求函数()f x 在[],x ππ∈-的单调递增区间.
21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3sin cos 20b A a B a --=. （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若7b =
，ABC ∆的面积为
3
2
，求a c +的值． 22．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，
，点E 在棱PB 上.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当且E 为PB 的中点时，求AE 与平面
所成的角的大小.
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C D D B C B B C
C
13．
14．
15．
6
π
16．1或2 三、解答题
17．（1）1b =；（2）(),1-∞． 18．（1）π；（2）5[,],8
8
k k k Z π
πππ++
∈；（3）min 1()2f x =-
19．（Ⅰ）
34 ;(Ⅱ) 223sin cos sin cos 664
π
παααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明略. 20．（1）()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，T π=；（2）()12x x x k k π
π⎧⎫
∈=
+∈⎨⎬⎩⎭
Z 时，()max 2f x =；（3）57,,121212ππππ⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 21．(1) 23
B π
=
;(2) 3a c +=. 22．(1)见解析 (2)
4
π。
2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研(二)数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（二）数学试题一、单选题1．已知集合{}|13A x x =≤≤，{}|24B x x =<<，U =R ，则()UA B =（ ）A ．{}|23x x <≤B ．{}|12x x ≤<C ．{|3x x ≤或}4x ≥D ．{}|24x x ≤<【答案】C【分析】根据并集与补集的概念求解即可 【详解】因为{}|24B x x =<<，U =R ， 所以{|2UB x x =≤或}4x ≥，所以{|3U A B x x ⋃=≤或}4x ≥． 故选：C ．2．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为 A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 3．若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【详解】试题分析：0,cos 0,02sin πααα-<∴<，故点Q 在第四象限.【解析】1.三角函数值得符号；2，点在平面直角坐标系中所在象限. 4．函数22812y x x =--的最大值是（ ） A ．7 B ．7-C ．9D ．9-【答案】B【分析】函数化简得2222881212y x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求解即可 【详解】由题意可得函数的定义域为{}0x x ≠，则20x >， 所以22222288812121227y x x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭， 当且仅当2282x x =，即2x =±时，取等号， 所以函数22812y x x=--的最大值是7-， 故选：B5．已知322,log 3,3a b c ===，则（ ） A ．b<c<a B ．b a c << C ．c<a<b D ．a b c <<【答案】A【分析】根据函数的图象，可得答案.【详解】在同一直角坐标系中画出22,,log xy y x y x ===的图象如下：所以33l 32og >>故选：A ．6．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.7．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是0e tλμμ-=，其中0,μλ是正常数．经检测，当2t =时，00.9=u μ，则当稳定性系数降为00.5μ时，该种汽车已使用的年数为（ ）(结果精确到1，参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈) A ．10年 B ．11年 C ．12年 D ．13年【答案】D【分析】根据0e tλμμ-=，当2t =时00.9=u μ，00.5μ，得0.5(0.9)t =即可解决.【详解】由()220000.9e e t λμμμ--==，得0.9e λ-=， 令()000.5e tλμμ-=，得0.5(0.9)t =， 两边取常用对数，得 lg 0.5lg 0.92t=，所以2lg 21312lg 3t =≈-． 故选:D.8．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数．A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④【答案】A【分析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【详解】画出函数f (x )=x −[x ]的图象，如下图所示．由图象得，函数f (x )的最大值小于1，故①不正确； 函数f (x )的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数()()12G x f x =-有无数个零点，故③正确；函数f (x )有增有减，故④不正确． 故答案为②③．【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．二、多选题9．若,,R a b c ∈，a b >，且0ab ≠，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．2211ab a b> C ．2211a bc c >++ D ．a c b c >【答案】BC【分析】取特殊值，可判断A 、D 项；根据不等式的性质可判断B 、C 项. 【详解】取1a =，2b =-，则11a=，112b =-，显然a b >，但是11a b >，A 项错误；因为0ab ≠，所以220a b >，2210a b>，又a b >，所以有222211a b a b a b ⋅>⋅，即2211ab a b >成立，B 项正确； 显然2101c >+，因为a b >，所以有221111a b c c ⋅>⋅++，即2211a b c c >++成立，C 项正确；取0c ，则a c b c =，D 项错误. 故选：BC.10．下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是（ ） A ．e e x x y -=- B ．22y x x =-C ．y ＝x ＋cos xD ．y【答案】AC【分析】判定e e x x y -=-的单调性判断选项A ；求得22y x x =-在(0，＋∞)上的减区间否定选项B ；利用导函数判定y ＝x ＋cos x 的单调性判断选项C ；求得y D. 【详解】∵e x y =与e x y -=-为R 上的增函数，∴e e x x y -=-为R 上的增函数，故A 正确；由2222,2022,02x x x x y x x x x x ⎧-≥≤=-=⎨-+<<⎩或，可得22y x x =-在(0，＋∞)上的减区间为()1,2，则22y x x =-在(0，＋∞)上不单调递增.故B 不正确；对于选项C ，y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝x ＋cos x 在R 上为增函数，故C 正确； y ＝22x x +-的定义域为(－∞，－2][1，＋∞)，故D 不正确． 故选：AC ．11．设函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[0,2]π内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．函数()1y f x =+在(0,2)π内没有零点B ．()1y f x =-在(0,2)π内有且仅有1个零点C ．()f x 在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是59,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BCD【分析】利用"五点法"画出草图，再结合图像逐项分析，即可判断. 【详解】如图，由函数()f x 的草图可知A 选项不正确，B 选项正确；若函数()f x 在[0,2]π有且有2个零点，则59244πππωω<，得5988ω<，当20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 2,,443442t x ππππππωω⎛⎫⎛⎫=-∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时函数单调递增，故CD 正确. 故选：BCD12．关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题，其中正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的图象关于原点对称 C ．()f x 的图象关于直线π2x =对称 D ．()f x 的图象关于点(π，0)对称【答案】BCD【分析】求得()f x 的奇偶性判断选项AB ；利用π()2f x -与π()2f x +是否相等判断选项C ；利用(2π)f x +与()f x --是否相等判断选项D.【详解】∵1()sin sin f x x x=+的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，()()11()sin sin ()sin sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称.故A 错误，B 正确； ∵ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫-=-+=+⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫+=++=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭∴ππ()()22f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线π2x =对称，故C 正确；又()()11(2π)sin 2πsin sin 2πsin f x x x x x+=++=++()()11()sin sin sin sin f x x x x x-=-+=-+--，∴(2π)()f x f x +=--，∴()f x 的图象关于点(π，0)对称，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题13．已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－2316【分析】由已知得tan 23tan 5αα-+＝－5，化简即得解.【详解】易知cos α≠0，由sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，得tan 23tan 5αα-+＝－5，解得tan α＝－2316. 故答案为：－2316【点睛】本题主要考查同角的商数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．方程()255log (21)log 2x x +=-的解为___________．【答案】3【分析】根据对数的运算及性质可得2212x x +=-，且2>02x -，21>0x +即可求解．【详解】由()255log (21)log 2x x +=-得2212x x +=-，且2>02x -，21>0x +，即2230x x --=，所以()()130x x +-=，解得=1x -或3x =， 检验：当=1x -，210202x x <+-<，，不满足真数大于0，故舍去， 当3x =，21>2>020x x +-，，所以方程()255log (21)log 2x x +=-的解为：3x =．故答案为：315．设a ，b ∈R ，则“220a b +=”的充要条件是__________. 【答案】0a b【分析】根据充要条件的概念求解即可.【详解】解：因为a ，b ∈R ，若220a b +=，则220a b ==，即0a b ； 若0a b ，则220a b +=，所以“220a b +=”的充要条件是“0a b ”. 故答案为：0a b16．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t 分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt .若常数k ＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1) 【答案】22【分析】解方程50＝30＋(90－30)e －0.05t 即得解. 【详解】解：由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50， ∴50＝30＋(90－30)e －0.05t ， ∴e －0.05t ＝13，∴－0.05t ＝ln 13，∴0.05t ＝ln 3， ∴t ＝ln 30.05＝20×ln 3≈22. 故答案为：22四、解答题17．已知集合{}12|M x x =<<，集合{}|34=<<N x x ． (1)求RR,N M N ⋂；(2)设{}|2=<<+A x a x a ，若R R A N ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){R 3N x x ≤，或}4x ≥，{}R 12M N x x ⋂=<< (2)[]2,3【分析】（1）根据集合的运算，画数轴解决即可；（2）根据集合的并集，画数轴解决即可. 【详解】（1）由题得，集合{}12|M x x =<<，集合{}|34=<<N x x 所以{R3N x x ≤或}4x ≥，所以{}R 12M N x x ⋂=<<.（2）由（1）得{R 3N x x =≤或}4x ≥ 由题得，{}|2=<<+A x a x a ， 因为R R A N ⋃=，所以324a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得23a ≤≤．所以实数a 的取值范围是[]2,3．18．（1）已知1sin cos 5αα+=，若α是第二象限角，求sin cos αα-的值；（2）计算：2log 5112-⎛⎫⎪⎝⎭．【答案】（1）7sin cos 5αα-=；（2）25 ．【分析】（1）将7sin cos 5αα-=平方求得242sin cos 25αα=-，再求2(sin cos )αα-的值，根据角所在象限可得结果；（2）直接利用指数与对数运算求解即可.【详解】（1）因为2221(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=， 所以242sin cos 25αα=-， 所以()2222449sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 12525αααααααα-=+-=-=+=， 所以7sin cos 5αα-=±．又因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，所以7sin cos 5αα-=． （2）2log 5112-⎛⎫ ⎪⎝⎭221log 5log 522225-===． 19．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式； （2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．【答案】（1）2()2f x x x =+；（2）1或1【分析】（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解；（2）0m >，有221m m -=，解方程即可得解.【详解】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞， 由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =.20．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b >>，问甲、乙谁的购物比较经济合算. 【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算 . 【分析】（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，再分别计算甲、乙的平均价格即可.（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m mm m+=+，乙两次购买这种物品平均价格为，224564nn n=+.（2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ， 所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a bm m ++=+，乙两次购买这种物品平均价格为22nabn n a b a b=++，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ++-+---===≥++++， 所以乙的购物比较经济合算.21．若不等式2(1)460a x x 的解集是{31}x x -<<． (1)解不等式22(2)0x a x a ；(2)b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ． 【答案】(1){1x x <-或}32x >(2)[]6,6-【分析】（1）由题意可得3-和1是方程2(1)460a x x 的两个根，则有43116311aa ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩，求出a 的值，然后解不等式22(2)0x a x a 即可，（2）由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ，从而可得0∆≤，进而可求出b 的取值范围【详解】（1）由题意得3-和1是方程2(1)460a x x 的两个根，则有43116311aa ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩，解得3a =，所以不等式22(2)0x a x a 化为2230x x -->，(1)(23)0x x +->， 解得1x <-或32x >， 所以不等式的解集为{1x x <-或}32x >（2）由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ， 所以24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤， 所以b 的取值范围为[]6,6-22．在①函数3f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数；②当3x π=时，()f x =③23π是函数()f x 的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.【答案】（1）选条件①②③任一个，均有()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）选条件①②③任一个，函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间均为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为π，得到ω；再选择一个条件求解出ϕ；（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.【详解】解： 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，22T ππω∴==，1ω∴=，()()2sin f x x ϕ∴=+.方案一：选条件①2sin 33f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3k πϕπ=+，Z k ∈.（1）02πϕ<<，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， ∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 方案二：选条件②2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2k ϕπ∴=，Z k ∈或23k πϕπ=+，Z k ∈， （1）02πϕ<<，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， ∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 方案三：选条件③ 23π是函数()f x 的一个零点，222sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23k πϕπ∴=-，Z k ∈. （1）02πϕ<<，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈ ∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤. ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解ω的值，即要找出周期，求ϕ常见方法是代入一个点即可.。
高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的值域为
D. 图象的一条对称轴方程为
12.定义：实数 满足 则称 比 远离 .已知函数 的定义域为 任取 等于 和 中远离0的那个值则（）
高一数学试卷
试卷120分钟满分：150分
一选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中周期为 的是（）
A. B.
C. D.
2.函数 的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
3.函数 的部分图象如图所示则 可能是（）
A B.
C. D.
4.已知角 的终边在射线 上则 的值为（）
17.已知复数 .
（1）若 是实数求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限且 求实数 的取值范围.
18 已知 .
（1）若 三点共线求 满足的等量关系；
（2）在（1）条件下求 的最小值.
19.问题：在 中内角A 所对的边分别为a .
（1）求A；
（2）若 的面积为 ________求 .
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在上面的横线上并完成解答.
20.某网红景区拟开辟一个平面示意图如图 五边形 观光步行道 为景点电瓶车专用道 .
（1）求 的长；
（2）请设计一个方案使得折线步行道 最长（即 最大）.
21.如图所示在 中 与 相交于点 . 的延长线与边 交于点 .
（1）试用 表示 ；
（2）设 求 的值.
22.已知 的内角 所对的边分别为 向量 .
2021-2022学年辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝（）A．〖﹣1，3〗B．〖﹣2，4〗C．〖﹣2，﹣1〗D．〖﹣1，4〗2．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（）A．86B．87C．88D．893．已知函数y＝f（x）在区间〖a，b〗上的图象是连续不断的，则“f（a）f（b）＜0”是“函数y＝f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，P、Q分别在AB，BC上，且＝，＝，若＝，＝，则＝（）A．+B．﹣+C．﹣D．﹣﹣5．我国古代数学名著《九章算术》中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱，每人出7钱，差3钱．问合伙人数、羊价各是多少．”由此可推算，羊价为（）A．24钱B．165钱C．21钱D．150钱6．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具，设事件A 为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则P（A+B）为（）A．B．C．D．7．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据：lg2＝0.3010．）A．10B．12C．14D．168．已知幂函数y＝x a与y＝x b的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝x a，y＝x b分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则m a+m b＝（）A．B．1C．D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．C．D．10．下列说法不正确的是（）A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B互相对立”的必要不充分条件B．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）C．若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1D．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B互相对立11．如果，是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（）A．可以表示平面α内的任意一个向量B．对于平面α内任意一个向量，使的实数对（λ，μ）有无穷多个C．若向量与（λ1，λ2，μ1，μ2∈R）共线，则有且只有一个实数λ，使得D．若存在实数λ，μ使得，则λ＝μ＝012．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯取整函数为y＝〖x〗，〖x〗表示不超过x的最大整数，例如〖﹣3.5〗＝﹣4，〖2.1〗＝2，已知函数，g（x）＝〖f（x）〗，则下列说法中正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上是增函数C．g（x）是偶函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡相应的位置上.13．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n ＝．14．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，7），其反函数y＝f﹣1（x）图象过点（4，0），则a的值为．15．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量，则λ+μ的最大值为．16．已知，若方程f（x）﹣a＝0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知不等式|x﹣4|≤2的解集为A，当m＞0时，关于x的不等式x2﹣4x﹣m2+4≤0的解集为B．（1）求A，B；（2）当m＞4时，求证：x∈A是x∈B的充分条件．18．（12分）（1）已知A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，求y的值；（2）在（1）的条件下求线段AC的两个三等分点的坐标．19．（12分）从学校随机抽取100名学生，测得它们的身高（单位：cm），按照区间〖160，165），〖165，170），〖170，175），〖175，180），〖180，185〗分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）估计该校学生身高的75%分位数．20．（12分）已知函数g（x）＝a x﹣1﹣1（a是常数，a＞0，且a≠1）的图象过定点（m，n），函数．（1）求证：函数f（x）在〖2，+∞）上单调递增；（2）解不等式f（x2﹣2x+4）+f（﹣7）≤0．21．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）求比赛四场结束且丙获胜的概率；（2）求甲最终获胜的概率．22．（12分）已知函数（a＞0且a≠1）．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＞1；（2）∀x∈〖2a，4a〗，f（x）≤1，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在α，β∈（a，+∞），使f（x）在区间〖α，β〗上的值域是〖log aβ，log aα〗？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求.1．A〖解析〗∵集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，∴A∩B＝〖﹣1，3〗．故选：A．2．C〖解析〗该组数据从小到大排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98．且15×70%＝10.5，所以这15人成绩的第70百分位数是88．故选：C．3．A〖解析〗函数y＝f（x）在〖a，b〗上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”⇒“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“，反之不成立，比如函数y＝x2，x∈〖﹣1，1〗，有零点x＝0，但f（﹣1）⋅f（1）＞0，∴“f（a）•f（b）＜0”是“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“的充分不必要条件．故选：A．4．A〖解析〗＝＝＝故选：A．5．D〖解析〗设合伙人为x人，由题意可得5x+45＝7x+3，解得x＝21．则羊价为7×21+3＝150钱．故选：D．6．D〖解析〗抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具，基本事件总数n＝6，设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，事件A+B包含的基本事件个数m＝5，则P（A+B）＝．故选：D．7．C〖解析〗设过滤的次数为n，原来水中杂质为1，则（1﹣20%）n＜5%，即，∴lg0.8n＜﹣lg20，∴n lg0.8＜﹣lg20，∴n＝＝≈13.4，又∵n∈N*，∴n的最小值为14，即至少需要过滤14次，故选：C．8．B〖解析〗由题意，|AB|＝（m2）a﹣（m2）b，|CD|＝m a﹣m b，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，（m2）a＞（m2）b，m a＞m b，∵|AB|＝|CD|，∴m2a﹣m2b＝（m a+m b）（m a﹣m b），∵m a﹣m b＞0，∴m a+m b＝1．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD〖解析〗对于A，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，故a2+b2≥2ab，故A正确，对于B，令a＝﹣1，b＝﹣1，满足ab＞0，但a+b＜2，故B错误，对于C，∵ab＞0，∴＞0，＞0，（a+）（b+）＝ab+++，∴＞0，＞0，∴+≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，故D正确，且ab+≥2＝2，当且仅当ab＝时，等号成立，∴（a+）（b+）＝ab+++≥2+2＝4，当且仅当ab＝，＝时，等号成立，故C对，故选：ACD．10．BCD〖解析〗对于A，A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B互相对立”的必要不充分条件，原因是对立事件一定是互斥事件，到互斥事件不一定是对立事件，故A正确；对于B，若A，B为两个互斥事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B），故B错误；对于C，若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）≤1，故C错误；对于D，若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B不一定互相对立，故D错误．故选：BCD．11．AD〖解析〗根据平面向量基本定理可知A、D选项正确，根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故B选项错误，当两向量的系数均为0，这样的λ有无数个，故C选项错误．故选：AD．12．AD〖解析〗∵函数，∴f（﹣x）+f（x）＝﹣+﹣＝﹣+﹣＝0，故f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，故A正确，C错误．∵函数＝﹣＝1﹣﹣＝﹣在R上单调第增，故B正确．再根据f（x）＝﹣∈（﹣，），故g（x）＝〖f（x）〗∈{﹣1，0}，即g（x）的值域是{﹣1，0}，故D正确，故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡相应的位置上.13．45〖解析〗∵某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，∴，解得n＝45．故〖答案〗为：45．14．4〖解析〗∵函数f（x）＝a x+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，7），∴a+b＝7 ①，∵反函数y＝f﹣1（x）图象过点（4，0），∴函数f（x）＝a x+b（a＞0且a≠1）的图象过点（0，4），∴1+b＝4②，联立①②解得a＝4．故〖答案〗为：4．15．3〖解析〗以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈〖0，2〗，∴＝（2，2），＝（2，﹣2），＝（x，2），∵，∴，∴，∴λ+μ＝，令f（x）＝，（0≤x≤2）∵f（x）在〖0，2〗上单调递减，∴f（x）max＝f（0）＝3．故〖答案〗为：3.16．（﹣2，〗〖解析〗由题意，作出函数，的图象，如图所示，因为方程f（x）﹣a＝0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由图象可知x1+x2＝﹣4，﹣log3x3＝log3x4，可得x3x4＝1，则x1+x2+x3+x4＝﹣4+x3+x4，设log3x3＝﹣t，log3x4＝t，所以x3+x4＝3﹣t+3t，因为0＜t≤2，所以1＜3t≤9，所以2＜3﹣t+3t≤，所以﹣2＜﹣4+3﹣t+3t≤，即﹣2＜x1+x2+x3+x4≤，即x1+x2+x3+x4的取值范围是（﹣2，〗．故〖答案〗为：（﹣2，〗．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）|x﹣4|≤2，解得2≤x≤6，∵x2﹣4x﹣m2+4≤0，m＞0，∴2﹣m≤x≤2+m，故A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2﹣m≤x≤2+m}．（2）证明：当m＞4时，，∴A⫋B，故x∈A是x∈B的充分条件．18．解：（1）已知A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，所以：，，所以8×（2﹣y）﹣88＝0，解得y＝﹣9．（2）由（1）得：设分点坐标D（x，y），利用分点坐标x＝，y＝，故D（4，﹣7）；或E（x，y），则，y＝；即E（5，﹣8）．故分点坐标为D（4，﹣7）和E（5，﹣8）．19．解：（1）由频率分布直方图可知5×（0.01+0.02+0.04+x+0.07）＝1，解之得x＝0.06；（2）＝5（162.5×0.01+167.5×0.07+172.5×0.06+177.5×0.04+182.5×0.02）＝172.25；（3）〖180，185〗的人数占比为5×0.02＝10%，〖175，180〗的人数占比为5×0.04＝20%，∴该校100名生学身高的75%分位数落在〖175，180〗，设该校100名生学身高的75%分位数为x，则0.04（180﹣x）+0.1＝25%，解得x＝176.25，故该校100名生学身高的75%分位数为176.25．20．解：∵函数g（x）＝a x﹣1﹣1的图象过定点（m，n），∴m﹣1＝0，n＝1﹣1＝0，故m＝1，n＝0；故f（x）＝x+；（1）证明：任取2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+（﹣）＝（x1﹣x2）•，∵2≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣4＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在〖2，+∞）上单调递增；（2）∵函数f（x）＝x+是奇函数，∴f（﹣7）＝﹣f（7），∴不等式f（x2﹣2x+4）+f（﹣7）≤0可化为f（x2﹣2x+4）≤f（7），又∵x2﹣2x+4≥3，且函数f（x）在〖2，+∞）上单调递增；故x2﹣2x+4≤7，解得﹣1≤x≤3，故不等式的解集为〖﹣1，3〗．21．解：（1）比赛四场结束且丙获胜的情况有2种：①甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，概率为：P1＝＝；②乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，丙胜乙，概率为：P2＝＝．∴比赛四场结束且丙获胜的概率P＝p1+p2＝＝．（2）甲最终获胜包含的情况有3种：①甲胜乙，甲胜丙，甲胜乙，甲胜丙，概率为P1＝＝；②甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，甲胜丙，概率为P2＝×＝；③乙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，甲胜丙，甲胜乙，概率为P4＝×＝．∴甲最终获胜的概率P＝p1+p2+p3＝＝．22．解：（1）当a＝2时，f（x）＝log2（x﹣1）+log2（x﹣2）＝log2（x﹣2）（x﹣1），由f（x）＝log2（x﹣2）（x﹣1）＞1得（x﹣2）（x﹣1）＞2且x﹣2＞0，x﹣1＞0，即x2﹣3x＞0，x＞2，解得x＞3，故不等式f（x）＞1的解集（3，+∞）；（2）因为∀x∈〖2a，4a〗，f（x）≤1，令t＝＝（x）2﹣，则t在〖2a，4a〗上为增函数，当0＜a＜1时，结合复合函数单调性可知，f（2a）≤1，则（2a）2﹣≥a，整理得a（﹣1）≥0，解得a或a≤0，因为0＜a＜1，所以，当a＞1时，则f（4a）＝（4a）2﹣≤a，整理得a（）≤0，解得0，因为a＞1，此时a不存在，综上，（3）假设存在α，β∈（a，+∞），使f（x）在区间〖α，β〗上的值域是〖log aβ，log aα〗，由（2）知f（x）在（a，+∞）上单调递减，则，即，即α，β是方程的大于a的两个不等根，设h（x）＝，对称轴x＝，由题意得，解，又，此时a不存在．。
辽宁省部分重点高中2021届高三第一学期联考数学试题及答案
高三考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各大题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量、数列、复数、不等式、立体几体、解析几何.第I卷一、选择题1.设集合A = {x∖-2<x≤∖}, B = {x∣-x2-3x + 4>θ},则ACB=（）2. "Λ∈Q"是^XeZ f9的(A. (-4J)B. (-2,1] D. (—2,1)A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3・复数的虚部为（（1 +万A.4.A.丄2λ C rιl Sin^-2cos^若tan6> = 3> 则-----------3 sin + cos4B. —一110B. C. 1・-I2D.D.1・-Z2310 5.已知向量α = (2,4), b= (l√ι) > 若Clllb则3a - Hb =()A. B.A. /(x)图象的对称中心为(——+ —^-,0∈ Z)7. 朱载境是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的 律学家，历学家、音乐家.朱载1育对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平 均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是2吉，如果12音阶中第一个音 的频率是F ,那么第二个音的频率就是2⅛F ,第三个单的频率就是2⅛y7 ,第四个音的频率是2⅛f .……， 第十二个音的频率是2詈尸，第十三个音的频率是2罟尸，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个 音，这十二个音的频率之和为( ).8 •如图，在四而体ABCD 中，AB = CD = 3, AC = BD = 皿 AD = BC = 2® ΛABC 的重心为0, 则 DO=( ).二. 选择题9.已知命题p ：Vx>0, InX>0,贝∣J ( A. rP 是真命题 -n/?:3x>0, lav≤O10.已知函数Z(X) = 2COS 2 6yχ + √3 sin 2ωx(ω > 0),若/⑴ 的最小正周期为G 则下列说法正确的有 B. 函数y = ∕(χ)-2在[O,刃上有且只有两个零点A. 2FC.——2π-lC."是真命题C./(X)的单调递增区间为一£ +炽,? +畑(ZceZ).3 6 」D.将函数y = 2sin2x+1的图象向左平移+个单位长度，可得到/(x)的图彖1厶11.已知正方体ABCD-A^CP X的棱长为2, E, F分别是AA , CCI的中点，过f, F的平而α与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平而Q截该正方体得到的截而为底而，以为顶点的棱锥记为棱锥 C，则( )A.正方体ABCD-A I B I C I D I的外接球的体积为4血4B.正方体ABCD-A I B I C i D l的内切球的表而积为一穴C.棱锥Q的体积为33D.棱锥G的体积为=22 212.已知双曲线C：二一二= l(α>O">O)与直线y = d交于A, B两点，点P为C上一动点，记直线Cr ∖yPA, PB的斜率分別为紡…kp li, C的左、右焦点分別为F^F2.若k pλ∙k pii=^t且C的焦点到渐近线的距离为1,则下列说法正确的是( )A. a = 2B.C的离心率为2C.若P斤丄PF2,则斤巧的而积为2D.若片佗的面积为2巧，则济竹为钝角三角形第II卷三、填空题[2v,x≤0. X13.已知函数/U) = 「,则/(6)= ________ .J (x-3),x >0214.已知直线/与直线x-y + 2 = 0平行，且与曲线y = ∖nx一一 + 1相切，则直线/的方程是_____ ・X15.若nι>Of n >0^ m+n = Smn-I > 贝∣J"7+"的最小值为__________16.已知直线x + 3y-7 = O 与椭圆—+ C = 1（O<∕9<3）相交于4〃两点•椭圆的两个焦点分别是F p F., 9 Ir线段AB 的中点为C(l,2),则△(?斤佗的面积为 _________ 四、解答题I — 1 1 /1 λ0_ 17. (1)化简：√82+ Iog 9 8XIog 2 27 + 0.064 3-164 + - 一扬T .7 >(2)已知T = 3 , 2" =5,求Iogi 2 20(用加皿表示)・18・在φa + c = y ∕3b 且 2sir√ B = 3sin AsinC ，® (SinA -SinC)2=sin 2B-SinASinC, (^)ΛABC 的 而积S = W -U这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.4问题：在AABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为gb,c,且 _____________ .（1）求 sinB ：（2）若a = 2c,且厶ABC 的而积为2√3>求厶ABC 的周长・ 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19 •设正项数列｛©｝的前刃项和为a l =l 9且S^=S tt +2y ∣S^ + ∖. （1）证明：数列｛、何］是等差数列并求数列｛©｝的通项公式;⑵已知化=詁「，数列｛$｝的前"项的和为人，若T n <λ LJn 求久的取值范用・20. 如图，在四棱锥P-ABCD 底而ABCD 是正方形，侧而PAD 是边长为2的正三角形，PD 丄CD •点E 为线段PC 的中点，点F 是43上的点.21. 已知函数/（x ） = （x-l ）e r（1）求/（x ）的最值：—+ 一js,）对一切 n ∈ N* 恒成立,（1）当F 为43中点时，证明：平而DEF 丄平而PCD(2)若/(x) +JnInX+ x + "对xw(0,+oo)恒成立，求"的取值范用.22.抛物线C-.x2 =2Py(P >0)的焦点为F ,过F且垂直于，轴的直线交抛物线C于M, N两点，。
辽宁省大连市高一数学上学期期中试题(2021年整理)
A． B. C． D．
8．设 ，则在下列区间中，使函数 有零点的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 在 是减函数，且关于 的函数 为偶函数,则0．函数 的函数值恒小于零，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．若函数 是 上的单调减函数,则实数 的取值范围是（ ）
20．(本小题满分12分）
若关于 的实系数方程 存在小于 的实数根，求实数 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数 , ，且 的最小值是 ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
(Ⅱ）求 在区间 的最小值．
22．(本小题满分12分）
已知定义域为 的函数 是奇函数．
(Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
2017—2018学年度第一学期期中高一数学试题
考试时间：120分钟 试题满分:150 分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
考查范围：必修1全册
考生注意:
1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名填写在试题、答题纸和答题卡上，考生要认真核对涂准答题卡上的相关信息。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。
(Ⅱ）[解法一]
由(Ⅰ）知 ，易知 在 上为减函数．
又因 是奇函数，从而不等式：
等价于 ，
因 为减函数，由上式推得： ．
即对一切 有: ， ………… 10分
从而判别式 …………12分
[解法二］由（Ⅰ）知 ．
又由题设条件得： ,
2023届辽宁省大连育明高级中学高一数学第一学期期末统考试题含解析
A.0个B.1个
C.2个D.3个
2．已知函数 的图像过点 和 ，则 在定义域上是
A.奇函数B.偶函数
C.减函数D.增函数
3．
A. B.
C. D.
4．函数 （ ， ）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把 图象上所有的点（）
【解析】（1）利用正弦函数的性质求解；
（2）由 正弦函数的性质求解.
【小问1详解】
解： 的最小正周期为 ，
由 ，得 ，
所以函数 的对称轴方程为 ；
A.向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
B.向右平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D.向右平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
故
设 ，则 ，
故
在 和 单调递减，在 单调递增；
【小问3详解】
由 可知， 有对称轴 ， .
又由上可知 在 单调递增，在 单调递减，
记 ，
当 时， ，又由 恒成立，
可得 ，即 ，解之得
当 时， ，又由 恒成立，
可得 ，即 ，解之得
综上可得实数t的取值范围为
【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
19．如图，边长为 的正方形 所在平面与正三角形 所在平面互相垂直， 分别为 的中点.
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设函数()f x =的定义域A ，函数()()ln 2g x x =-的定义域为B ，则集合A B 为（ ） A ．（2，3） B ．(]2,3C ．[)3,2-D ．（-3，2）【答案】C【解析】由函数的定义域，分别算出A 和B ，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.【详解】由290x -≥，得33x -≤≤，所以{|33}A x x =-≤≤， 又由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<， 所以{|32}A B x x ⋂=-≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题. 2．“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为（ ） A ．x A ∃∈，使得22250x x --< B ．x A ∃∈，使得22250x x --≤ C ．x A ∀∈，使得22250x x --≤ D ．x A ∀∈，使得22250x x -->【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为“x A ∀∈，使得22250x x --≤”． 故选：C3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由222a b >>可得1222a b >>，即1a b >>，可推出log 2log 2a b <， 当01a <<，1b >时，不等式log 2log 2a b <成立，但推不出222a b >>，根据充分和必要条件的定义可得“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的充分不必要条件， 故选：A.4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【详解】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5．函数()2x xe ef x x --=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由1(1)e e 0f -=->排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，排除A, 1(1)0f e e -=->，故排除D. ()()()()()243222,xx x x x x e x e xx e x e f x x e e x ---+---++=='，当2x >时，()0f x '>，所以()f x 在()2+∞，单调递增，所以排除C ； 故选：B.6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ，空气的温度是0θ，t 分钟后物体的温度θ可由公式()0.24010e tθθθθ-=+-（e 为自然对数的底数）求得．已知ln 20.693≈，把温度是100℃的物体放在10-℃的空气中冷却到45℃约需要（ ） A ．1.69分钟 B ．2.89分钟 C ．4.58分钟 D ．6.61分钟【答案】B【分析】根据题中的公式代入数据，根据指数与对数运算法则计算即可. 【详解】由题意得，()0.24451010010e t-=-++℃℃℃℃，化简得，0.241e2t-=， 即0.24ln 20.693t =≈， 所以()2.89min t ≈ 故选：B7．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在区间[)0,∞+上单调递增．若实数a 满足()()212log (log )22f a f a f +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．(]0,4C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据给定条件利用对数换底公式变形，再结合函数奇偶性、单调性求解不等式作答.【详解】函数()f x 是定义域为R 的偶函数，则1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，21222(log )(log )2(2)2(log )2(2)(|log |)(2)f a f a f f a f f a f +≤⇔≤⇔≤，函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，于是得：22|log |22log 2a a ≤⇔-≤≤22222log 2log log 2a -⇔≤≤，解得144a ≤≤，所以a 的取值范围是1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D8．已知5log 2a =，8log 3b =，0.012c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据给定条件利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较大小作答.【详解】函数5log y x =与函数8log y x =在(0,)+∞上都单调递增，238<<，则有58881log 2log log log 3log 812a =<==<=，即1a b <<， 函数2x y =在R 上单调递增，0.010>，则0.010221c =>=， 所以a b c <<. 故选：C 二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变C ．一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，则这组数据总和等于60 D ．数据1a ，2a ，…，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，…，2n a 的方差为22s 【答案】ABC【分析】根据平均数、极差、方差及标准差的概念即得.【详解】根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度，故A 正确， 根据平均数及方差的计算公式可得，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故B 正确；由一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，可知样本平均数为3，这组数据总和等于60，故C 正确；数据1a ，2a ，，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，，2n a 的方差为24s ，故D 错误.故选：ABC ．10．若a b >，则（ ） A ．22ac bc > B ．22a b --< C ．330a b -> D ．()ln 0a b ->【答案】BC【分析】由0c 判断A ；根据指数函数和幂函数的单调性判断BC ；由对数函数的性质判断D.【详解】0c 时，选项A 错误；利用()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可知22a b --<，选项B 正确；利用()3f x x =在R 上单调递增可知330a b ->，选项C 正确；若01a b <-<，则选项D 错误． 故选：BC11．已知函数()f x 在区间I 上连续，若对于任意1x ，2x I ∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为区间I 上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（ ） A ．1lny x= B ．23y x -= C ．231x y x +=+，()1,x ∈-+∞ D ．()121222x x y x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得. 【详解】对于A ，由1lny x=，可知()0,x ∈+∞，任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠， 则()()()()212121212ln ln ln ln 22222x x f x f x x x x x +⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-=->-1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B，23y x-==()(),00,x ∈-∞⋃+∞，函数在定义域上不连续，故B 错误；对于C ，231211x y x x +==+++，()1,x ∈-+∞，任意1x ，()21,x ∈-+∞，且12x x ≠， ∴()()1212112,2,11f x f x x x =+=+++12121212222212x x f x x x x +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭+， ∵()()()()121212121122112222211f x f x x x x x x x ++++++++==+++，∴()()121222211x x x x +++++12222x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭()()121212222112x x x x x x ++-++++ ()()()()()()()()()()22121212121212122411021122112x x x x x x x x x x x x x x ++-++-==>++++++++，即()()122f x f x +>122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()1212242222x x x x f x x x --⎛⎫=++=+⋅+ ⎪⎝⎭，可知R x ∈，任意1x ，2R x ∈，且12x x ≠，∵121224424x xx x ++>⋅，12122222242x x x x +⋅+⋅>⋅，()1212222x x x x +=+，∴()()121212121212224422222242222x x x x x x x x f x f x x x +++++⋅+⋅++=>+⋅()12122x x x x f +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD ．12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．()41ω=B ．()()2n n ωω=C ．()()231n n ωω+=+D ．()()4523n n ωω+=+【答案】ABD【分析】根据()n ω定义判断B 和D ，运用特殊值法判断A 和C 即可.【详解】对于选项A ，0124020212=⋅+⋅+⋅，()40011ω=++=，选项A 正确；对于选项B ，()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，12101122222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，所以()012k n a a a ω=+++ ()n ω=，选项B 正确；对于选项C ，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，所以()73ω=，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，选项C 错误；对于选项D ，23201452225k k n a a a ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+()01223201232010112021222212021222k k k k a a a a a a ++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()12101120101011452.2322231212222k k k k k n a a a n a a a a a a ω+++=+++⋅⋅⋅++=⋅+⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅()012101121222k k a a a +=⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()01232k n a a a ω+=+++⋅⋅⋅+，因此()()4523n n ωω+=+．选项D 正确.故选：ABD【点睛】数列新定义类的题目，往往有一定的难度，需要在认真分析题意的基础上巧妙运用赋值等方法进行判断，从而快速准确地判断一些选项. 三、填空题13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()()f x f x -=；③任取1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠且()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦．【答案】2x （答案不唯一）【分析】取()2f x x =，利用幂函数的性质逐一验证即可.【详解】取()2f x x =，函数()f x 为幂函数，满足①；()()2f x x f x -==，则函数()f x 为偶函数，满足②；③表示函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，由幂函数的性质可知()2f x x =满足③.故答案为：2x （答案不唯一） 14．函数f （x ）＝ln |x |11x --的零点的个数是 【答案】3【分析】由f （x ）＝0得ln |x |11x =-，然后分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：由f （x ）＝ln |x |11x -=-0得ln |x |11x =-，设函数y ＝ln |x |与y 11x =-，分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象如图： 由图象可知两个函数的交点个数为3个， 故函数的零点个数为3个， 故答案为3【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，则a 的取值范围是_________. 【答案】13[,]34【分析】根据分段函数在R 上单调递减可得01a << ，且二次函数在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，所以02ba-≥，且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（），从而可得答案．【详解】由题分段函数在R 上单调递减可得01a << 又因为二次函数图像开口向上，所以4302a --≥，解得34a ≤ 且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）， 将0x =代入可得31a ≥，解得13a ≥所以a 的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确01a <<且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）属于一般题．16．已知1a >，2a b ab +-=，则4a b -的最小值为______． 【答案】1【分析】由题可得21a b a -=-，进而可得44131a b a a -=-+--，利用基本不等式即得. 【详解】∵2a b ab +-=，1a >， ∴21111a b a a -==---， ∴44134311a b a a -=-+-≥-=-，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立，∴4a b -的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 17．计算下列各式：(1)()3122318642--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(2)552lg 4lg log log 48++．【答案】(1)312； (2)43. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质及换底公式计算即得.【详解】(1)()()()()331212433212323181864282216-----⎛⎫⎛⎫-++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32133128822⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．(2)285551lg 5lg 42lg 4lg log log 4lg 4882lg8lg 5⎛⎫++=⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭14133=+=．18．已知集合1282xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，()(){}210B x x a x a =---≤．(1)当2a =时，求A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}23A B x x ⋂=≤≤(2)a ≤【分析】（1）首先解指数不等式得到{}13A x x =-≤≤，再求A B 即可.（2）首先根据题意得到{}21B x a x a =≤≤+，再根据充分不必要条件求解即可.【详解】(1)，2a =时，{}25B x x =≤≤，{}23A B x x ⋂=≤≤(2){}2221310124a a a B x a x a ⎛⎫+-=-+>⇒=≤≤+ ⎪⎝⎭， p 是q 的充分不必要条件，则且A B ≠，所以2a ≤19．已知幂函数()()22722m f x m m x -=+-（m Z ∈）的定义域为R ，且在[)0,∞+上单调递增． (1)求m 的值；(2)[]1,2x ∀∈，不等式()320af x x -+>恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1m =或3m =- (2)98a >【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．再利用换元法求解即可.【详解】(1)22211m m m +-=⇒=或3m =-， 又因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1m =，()6f x x -=（舍），3m =-，()2f x x =.(2)[]1,2x ∀∈，2320ax x -+>恒成立，[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立． 令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()232g t t t =-，则()g t 在区间13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()max 3948g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故98a >． 20．已知函数()lg f x x =，若ab >，()()f a f b =，求证：2224a b a b+-≥-． 【答案】证明见解析 【分析】根据分段函数单调性及函数值相等，得到()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，利用对数运算得到1ab =，对不等式变形后利用基本不等式进行证明.【详解】证明：()[)()lg ,1,,lg ,0,1,x x f x x x ∞⎧∈+⎪=⎨-∈⎪⎩()f x 在()0,1单调递减：在[)1,+∞上单调递增，所以()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，()()()lg lg 0lg 01f a f b a b ab ab =⇒+=⇒=⇒=，()2222224a b ab a b a b a b a b a b-++++==-+---， ()4424a b a b a b a b-+≥-=--，当且仅当 4a b a b -=-即21a =+，21b =-时等号成立，所以2224a b a b ++≥-． 21．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）81.5,82.【分析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a ；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=，故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.020100.420.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0200.040100.820.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.020100.0400.50x ++⨯+=得2x =，故乙样本数据的中位数为80282+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5.22．已知函数()()log 1x a f x a kx =++（0a >且1a ≠，k ∈R ）是偶函数．(1)求k 的值：(2)若0a ∀>且1a ≠，函数()y f x =的图象与函数()12g x x b =+的图象都没有交点，求b 的值；(3)设函数()24log 3x a h x c a c ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数c 的取值范围．【答案】(1)12k =- (2)0(3){}()31,c ∈-⋃+∞【分析】（1）利用()()f x f x -=列方程，化简求得k 的值.（2）由()()f x g x =分离常数b ，结合对数函数的性质求得b 的值.（3）由()()f x h x =列方程，利用换元法，结合对c 分类讨论来求得c 的取值范围.【详解】(1)()()f x f x =-，即()(log 1log 1)x x a a a kx a kx -++=+-，()()2log 1log 1x x a a kx a a -=+-+，12log log 1x x a a x a kx a x a --⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭， 12k =-． (2)()11log 122x a a x x b +-=+，即()log 1x a b a x =+-， ()log 1log x x a a b a a =+-，11log log 1x a a x x a b a a ⎛⎫+⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为111xa +>， 所以()0,1a ∈，()1log 1,0a x y a⎛⎫=+∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,a ∈+∞，()1log 10,a x y a ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭， 所以0b =．(3)由题意得，()22411log log 1log 32x x x a a a x a c a c a x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一解， 222244033143x x x x x c a c c a a c a c a ⎧⎛⎫⋅-=⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩有唯一解． 令x t a =，()0,t ∈+∞，有唯一解，()241103c t ct ---=有唯一解． 设()()24113r t c t ct =---， 当1c =时，()413r t t =--，()0,t ∈+∞，()0r t <，所以不符合题意； 当1c >时，()010r =-<，4161616251039999r c c ⎛⎫=---=-< ⎪⎝⎭，所以恰好一个大于43的解：符合题意；当1c <时，()244103c c ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭， 解得3c =-或34， 3c =-，12t =符合题意； 34c =，2t =-不符合题意， 综上，{}()31,c ∈-⋃+∞.【点睛】求解方程根、函数图象的交点、函数零点等问题，可考虑分离常数法来进行求解.如本题中第（2）问，()f x 与()g x 有0个交点，转化为()()f x g x =有0个解，分离常数b 后，转化为b 与1log 1a x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象没有交点来进行求解.。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
辽宁省大连市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)
辽宁省大连市2020~2021学年高一第一学期期末考试数学试卷第 I 卷一､单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.(1)向量a =b 是|a |=|b |的()(A) 充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 (2)若A=(-1,3),则()R A B ⋂= (A){x|3≤x} (B){x|-1<x<2} (C){x|2≤x<3} (D){x|x<3}(3)若样本平均数为x ,总体平均数为μ,则() ()A x μ= (B)x μ≈ (C)μ是x 的估计值 ()D x 是μ的估计值(4)如图所示,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为CE 的中点,则AF =（）31()44A AB AD + 13()44B AB AD + 1()2C AB AD + 31()42D AB AD + (5)幂函数1y x −=及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),则幂函数12y x =的图象经过的“卦限”是()(A)①,⑦(B)④,⑧(C)③,⑦(D)①,⑤(6)从含有两件正品12,a a 和一件次品b 的3件产品中,按先后,顺序任意取出两件产品,每次取出后不放回,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是()3()4A 2()3B 1()2C 1()4D (7)基本再生数0R 与世代间隔T 是肺炎的流行病学基本参数｡基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间｡在肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:()rt I t e =描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r 与0,R T 近似满足01.R rT =+有学者基于已有数据估计出0 3.28,6R T ==据此,在肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(1n2≈0.69)()天(A)1.2 (B)1.8 (C)2.5 (D)3.5(8)已知函数,0,()lg(),0,x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨−<⎪⎩若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同 的实根,则t 的取值范围为()(A)(-∞,-2] (B)[1,+∞) 1()(,]4C −∞ (D)(-∞,-2]∪[1,+∞)多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡(9)设A,B,C 为三个事件,下列各式意义表述正确的是() (A)ABC 表示事件A 不发生且事件B 和事件C 同时发生 (B)A B C ++表示事件A,B,C 中至少有一个没发生(C)A+B 表示事件A, B 至少有一个发生 (D)ABC ABC ABC ++表示事件A,B,C 恰有一个发生(10)已知正数a,b,则下列不等式中恒成立的是()()A a b +≥ 11()()()4B a b a b ++≥222()()2()C a b a b +≥+ 2()ab D a b>+(11)下列结论正确的是()(A)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底(B)若1212(,,,ae be ce de a b c d +=+∈R ,12,e e 是单位向量),则a=c,b=d(C)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数12,,λλ使120λλ+=a b(D)已知A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若,OP xOA yOB =+则x+y=1(12)已知函数22|log |(02)(),813(2)x x f x x x x <<⎧⎪=⎨−+≥⎪⎩若f(x)=a 有四个解1234,,,x x x x 满足1234x x x x <<<，则下列命题正确的是()(A)0<a<112()2(3,)B x x +∈+∞ (C)123421(10,)2x x x x +++∈ 3()[2,)D x ∈+∞第II 卷 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)(13)2log 3lg 2lg52++的值为____.(14)设a ,b 是两个不共线的向量,2,4,,,AB BC k A B C =−=+a b a b 三点共线,则k=____.(15)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,估计这批米内所夹的谷有____石.(只要求写出运算式,不用化简)(16)已知定义在R 上函数2()ln(1)21x xx x e e f x x x x e e −−−=+−++++,已知定义在R 上函数y=g(x)满足g(x)+g(-x)=2,设函数f(x)与g(x)图像交点为11(,),x y22(,),,(,),n n x y x y 则f(2)+f(-2)的值为____的值为(用n 表示);1()ni ii x y =+∑的值为___. 三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)(17)(本小题满分10分)如图,已知M,N,P 是△ABC 三边BC,CA,AB 上的点,且11,,44BM BC CN CA ==1,4AP AB =如果,,AB AC ==a b 试用基底{a ,b }表示向量,.NP AM(18)(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图｡(I)求图中a 的值(II)假设同组中的每个数据都用该组区间的中值点代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.(19)(本小题满分12分)已知函数()x x f x e ae −=−的反函数1()f x −的图象经过点3(,ln 2).2P (I)求函数f(x)的解析式;(II)判断函数f(x)的奇偶性,并证明.(20)(本小题满分12分)某项选拔有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一､二､三､四轮的问题的概率分别为4321,,,,5555且各轮问题能否回答正确互不影响. (I)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;(II)求该选手至多进入第三轮考核的概率.(21)(本小题满分12分)定义满足性质“y=f(x)(x ∈D),对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()],22x y f f x f y +≥+当且仅当x=y 时等号成立”的函数叫M 函数.(I)下列函数2(1)()g x x =−;2(2)()m x x =;(3)()x h x e =;2(4)()log g x x =是M 函数是______(直接写出序号)(II)选择(I)中一个M 函数,加以证明;(III)试利用M 函数解决下列问题: 若实数m,n 满足221,m n +=求m+n 的最大值.(22)(本小题满分12分)已知函数()2log ()log a a f x mx b x =+−,其中b ∈R.(I)若m=b=2,且1[,2]4x ∈时,f(x)的最小值是-2,求实数a 的值; (II)若m=2,0<a<1,且1[,2]4x ∈时,f(x)≤0恒成立,求实数b 的取值范围; (III)若a=2,b=1,1[,1],2t ∀∈函数2()()log g x f x x =−在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不大于2,求正数m 的取值范围.。
2020-2021大连市高一数学上期末试题(带答案)
2020-2021大连市高一数学上期末试题(带答案)一、选择题1．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>3．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－14．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]5．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.96．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且RA B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >7．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 10．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1211．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}12．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 15．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 16．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．17．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________18．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．19．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()10()mf x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明； (3)若()1f a +≤，求实数a 的取值范围.23．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。