2019-2020学年哈尔滨市工大附中九年级(上)开学数学试卷(附解析)
哈尔滨市2019-2020学年九年级上月考数学试卷(10月)含解析
哈尔滨市2019-2020学年九年级上月考数学试卷(10月)含解析（解析版）一、选择题：1．﹣2的倒数的相反数是（）A．B．C．2 D．﹣22．下列运算正确的是（）A．（a2）5=a7B．a2•a4=a6C．3a2b﹣3ab2=0 D．（）2=3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．已知反比例函数y=的图象的两支分别在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k＞C．k＜﹣D．k＜5．下列命题：①圆上任意两点间的部分叫弧②圆心角相等则它们所对的弧相等③等弧的所对的弦相等④直径是圆的对称轴⑤顶点在圆上，两边和圆相交的角是圆周角．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m7．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）A．∠AEF=∠DEC B．FA：CD=AE：BC C．FA：AB=FE：EC D．AB=DC 8．小李将1000元钱存入银行，年利率为x，第二年他把本息和全部存入银行，两年后不计利息税，他得到本息共a元，则依题意可列方程为（）A．1000（x+x）=a B．1000（1﹣2x）=a C．1000（1+x）2=a D．1000（1+2x）2=a10．如图，点P沿半圆弧AB从A向B匀速运动，若运动时间为t，扇形OAP的面积为s，则s与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．将456 000 000用科学记数法表示为．12．在函数y=中，自变量x的取值范围是．13．化简计算：2﹣4=．14．分解因式：ax2﹣a=．15．一个扇形的半径为2cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为．16．不等式组的解集为．17．松雷中学举行捐书活动，其中A班和B班共捐书200本，A班捐书数量是B班捐书数量2倍还多14本，则A班捐书有本．18．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为．19．纸片△ABC中，∠B=60°，AB=8cm，AC=7cm，将它折叠，使A与B重合，则折痕长为cm．20．如图，AB∥CD，∠CBE=∠CAD=90°．AC=AD=6，DE=4，则BD长为．三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．先化简，再求值：，其中a=tan60°﹣tan45°．22．如图，在所给网格图（•哈尔滨模拟）为迎接年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（2）若该中学九年级共有l 000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？24．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）观察图形，写出图中与△ABM全等三角形；（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．25．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇．（1）若第一次用资金17400元，第二次用资金22500元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？26．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，弦CD⊥AB于点M，F为DC延长线上一点，连接CE、AD、AF，AF交⊙O于E，连接ED交AB于N．（1）求证：∠AED=∠CEF；（2）当∠F=45°，且BM=MN时，求证：AD=ED；（3）在（2）的条件下，若MN=1，求FC的长．27．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O 为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．（1）已知抛物线y=2x2+bx+c经过B、D两点，求此抛物线的解析式；（2）点P为线段CE上的动点，连接AP，当△PAE的面积为时，求tan∠APE的值；（3）将抛物线y=2x2+bx+c平移，使其经过点C，设抛物线与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点Q，使得△CMQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；并直接写出满足（2）的P点是否在此时的抛物线上．-学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：1．﹣2的倒数的相反数是（）A．B．C．2 D．﹣2【考点】倒数；相反数．【分析】首先找到：﹣2的倒数是﹣，再找到﹣的相反数即可．【解答】解：﹣2的倒数是﹣，﹣的相反数是，故选：A．【点评】此题主要考查了倒数与相反数的定义，关键是熟练掌握倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．下列运算正确的是（）A．（a2）5=a7B．a2•a4=a6C．3a2b﹣3ab2=0 D．（）2=【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并计算即可．【解答】解：A、（a2）5=a10，错误；B、a2•a4=a6，正确；C、3a2b与3ab2不能合并，错误；D、（）2=，错误；故选B．【点评】此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并，关键是根据法则进行计算．3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：（A）、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；（B）、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；（C）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；（D）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题．4．已知反比例函数y=的图象的两支分别在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k＞C．k＜﹣D．k＜【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据函数y=的图象分别位于第二、四象限列出关于k的不等式，求出k 的取值范围即可．【解答】解：∵函数y=的图象分别位于第二、四象限，∴3k+1＜0，解得k＜﹣故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．5．下列命题：①圆上任意两点间的部分叫弧②圆心角相等则它们所对的弧相等③等弧的所对的弦相等④直径是圆的对称轴⑤顶点在圆上，两边和圆相交的角是圆周角．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题与定理．【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①圆上任意两点间的部分叫弧，正确；②在同圆或等圆中，圆心角相等则它们所对的弧相等，错误；③等弧的所对的弦相等，正确；④直径所在直线是圆的对称轴，故错误；⑤顶点在圆上，两边和圆相交的角是圆周角，正确．正确的有3个，故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．6．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先根据图示，可得∠ABC=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以sin30°，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可．【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，∴AB==，即飞机A与指挥台B的距离为2400m．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．7．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）A．∠AEF=∠DEC B．FA：CD=AE：BC C．FA：AB=FE：EC D．AB=DC【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质即可得到答案．【解答】解：A、根据对顶角相等，此结论正确；B、根据平行线分线段成比例定理，得FA：FB=AE：BC，所以此结论错误；C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确；D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确．故选B．【点评】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理．8．小李将1000元钱存入银行，年利率为x，第二年他把本息和全部存入银行，两年后不计利息税，他得到本息共a元，则依题意可列方程为（）A．1000（x+x）=a B．1000（1﹣2x）=a C．1000（1+x）2=a D．1000（1+2x）2=a【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】首先表示出一年后的本息和，然后表示出第二年的本息和即可．【解答】解：∵1000元钱存入银行，年利率为x，∴方程为：1000（1+x）2=a，故选C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度不大．10．如图，点P沿半圆弧AB从A向B匀速运动，若运动时间为t，扇形OAP的面积为s，则s与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可以写出s与t的函数函数解析式，从而可以得到s与t的函数图象，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，设半圆的半径为r，，（t≥0）即s与t的函数图象是射线，故选C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，知道相应的函数图象是什么．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．将456 000 000用科学记数法表示为．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于456 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．【解答】解：456 000 000=4.56×108．故答案为：4.56×108．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．12．在函数y=中，自变量x的取值范围是．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≠0，解得x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．化简计算：2﹣4=．【考点】二次根式的加减法．【分析】首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案．【解答】解：原式=2×2﹣4×=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．14．分解因式：ax2﹣a=．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：ax2﹣a，=a（x2﹣1），=a（x+1）（x﹣1）．【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．15．一个扇形的半径为2cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为．【考点】扇形面积的计算．【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．【解答】解：设扇形的圆心角是n°，根据题意可知：S==π，解得n=90°．故答案为：90°．【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式S=是解题的关键，此题难度不大．16．不等式组的解集为．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞﹣1，由②得x≤2，故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．故答案为：﹣1＜x≤2．【点评】本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．17．松雷中学举行捐书活动，其中A班和B班共捐书200本，A班捐书数量是B班捐书数量2倍还多14本，则A班捐书有本．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设B班捐书x本，由A班捐书数量是B班捐书数量2倍还多14本得出A班捐书（2x+14）本，根据A班和B班共捐书200本列出方程，解方程即可．【解答】解：设B班捐书x本，则A班捐书（2x+14）本，根据题意得（2x+14）+x=200，解得x=62．2x+14=2×62+14=138．答：A班捐书138本．故答案为138．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．18．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．纸片△ABC中，∠B=60°，AB=8cm，AC=7cm，将它折叠，使A与B重合，则折痕长为cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】当△ABC是锐角三角形时，如图1中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，再求出BH、CH，在RT△BCM中QC BM、CM，再根据EF∥CM得=，由此即可解决．当△ABC是钝角三角形时，如图2中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，方法同上．【解答】解：当△ABC 是锐角三角形时，如图1中，EF 是折痕，作CM ⊥AB 垂足为M ，作AH ⊥BC 于H ，在RT △ABH 中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=8，∴BH=AB=4，AH=BH=4，在RT △AHC 中，∠AHC=90°，AH=4，AC=7，∴HC===1， ∴BC=5， 在RT △BCM 中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=5，∴BM==，MC=，∵EF ∥CM ，AE=EB=4，∴=，∴=，∴EF=．当△ABC 是钝角三角形时，如图2中，EF 是折痕，作CM ⊥AB 垂足为M ，作AH ⊥BC 于H ，由（1）可知，BH=4，AH=4，CH=1，∴BC=BH ﹣CH=3，在RT △BCM 中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=3，∴BM==，MC=， ∵EF ∥CM ，AE=EB=4，∴=，∴=，∴EF=．故答案为或【点评】本题考查翻折变换、30度直角三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会应用平行线分线段成比例定理求线段的长，属于中考常考题型．20．如图，AB∥CD，∠CBE=∠CAD=90°．AC=AD=6，DE=4，则BD长为．【考点】四点共圆；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】先求出CE，再由∠CBE=∠CAE=90°，判断出点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，借助∠BAC=∠ACD=45°，得出∠BOC是直角，求出BC，另为判断出三角形DEH是等腰直角三角形，求出EH，再用平行线分线段成比例求出AM，即可得出BG，用勾股定理求出CG，进而求出DG，最后勾股定理即可得出BD．【解答】解：如图，在Rt△ACD中，AC=AD=6，∴CD=6，∠ACD=∠ADC=45°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=45°，连接CE，在Rt△ACE中，AC=6，AE=AD﹣DE=2．∴CE==2，取CE的中点O，连接OB，∵∠CBE=∠CAE=90°，∴点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，∴∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC=CE=∵OB=OC，∴BC=OB=2，过点E作EH⊥CD，∵∠ADC=45°，∴△DEH是等腰直角三角形，∵DE=4，∴EH=DH=DE=2，过点A作AM⊥CD，∴EH∥AM，∴=，∴AM=EH=3，过点B作BG⊥CD，∴四边形ABGH是矩形，∴BG=AM=3，在Rt△BCG中，BC=2，BG=3，∴CG==，∴DG=CD﹣CG=6﹣=5，在Rt△BDG中，BG=3，DG=5，∴BD==2．故答案为：2．【点评】此题是四点共圆题目，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，圆周角的性质，矩形的判定，解本题的关键是得出∠BOC=90°，作出辅助线是解本题的难点．三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．先化简，再求值：，其中a=tan60°﹣tan45°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当a=tan60°﹣tan45°=﹣1时，原式===1+．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．如图，在所给网格图（3）△A2B1C2中A2B1=4，在直角△MA2C2中，A2M=MC2=2，A2C2=2，同理B1C2=A2C2=2∴△A2B1C2的周长为4+4．（6分）【点评】注意，作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．23．为迎接年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（2）若该中学九年级共有l 000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）先根据成绩类别为“差”的人数和所占的百分比计算出样本容量为50，然后用成绩类别为“中”的人数所占百分比乘以50即可，再将条形统计图补充完整；（2）先计算出成绩类别为“中”的人数所占的百分比，然后乘以2000即可．【解答】解：（1）样本容量为8÷16%=50，所以成绩类别为“中”的人数等于50×20%=10（人）；如图；（2）1000××100%=200，所以估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体和扇形统计图．24．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）观察图形，写出图中与△ABM全等三角形；（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定．【分析】（1）先证明△ABM≌△DEN，同理得出△ABM≌△FEM≌△CBN，（2）选择△ABM≌△DEN证明，根据正六边形得出∠ABM=∠DEN，AB=DE，∠BAM=∠EDN，证明全等即可．【解答】解：（1）与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM≌△CBN；（2）证明△ABM≌△DEN，证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB=DE，∠BAF=120°，∴∠ABM=30°，∴∠BAM=90°，同理∠DEN=30°，∠EDN=90°，∴∠ABM=∠DEN，∠BAM=∠EDN，在△ABM和△DEN中，，∴△ABM≌△DEN（ASA）．【点评】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定，掌握正多边形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．25．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇．（1）若第一次用资金17400元，第二次用资金22500元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，根据采购价格=单价×数量，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设再购进空调a台，则购进风扇（70﹣a）台，根据采购价格=单价×数量，可列出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，根据题意，得，解．答：挂式空调每台的采购价是1800元，电风扇每台的采购价是150元．（2）设再购进空调a台，则购进风扇（70﹣a）台，由已知，得1800a+150（70﹣a）≤30000，解得：a≤11，故该经营业主最多可再购进空调11台．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）列出关于a的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或不等式）是关键．26．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，弦CD⊥AB于点M，F为DC延长线上一点，连接CE、AD、AF，AF交⊙O于E，连接ED交AB于N．（1）求证：∠AED=∠CEF；（2）当∠F=45°，且BM=MN时，求证：AD=ED；（3）在（2）的条件下，若MN=1，求FC的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AEB=∠BEF=90°，又由AB⊥CD于，可得：，继而证得∠CMB=∠BMD，则可证得结论；（2）连接AD，BD，根据已知条件得到∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，证得CD垂直平分BN，得到BD=ND，由等腰三角形的性质得到∠DBN=∠DNB，推出△AEN∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠ANE=∠DAE，等量代换得到∠DAE=∠AED，于是得到结论；（3）设AB=2R，根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=R，求得AN=AE=R，得到R=2+，解得BE=2+2，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）连结BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠BEF=90°，又∵AB⊥CD于M，∴，∴∠CEB=∠BED，∴∠AED=∠AEB﹣∠BED=∠BEF﹣∠CEB=∠CEF，即：∠AED=∠FEC；（2）连接AD，BD，∵AB为⊙O直径，∴AE⊥BE，∵∠F=45°，∴∠EHF=45°，∴∠BHM=∠EHF=45°，∵AB⊥CD，∴∠EBA=45°，∴∠EAB=45°，∴∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，∵BM=MN，∴CD垂直平分BN，∴BD=ND，∴∠DBN=∠DNB，∴∠AED=∠ABD=∠ANE=∠BND，∵∠EAB=∠ADE=45°，∠AEN=∠AED，∴△AEN∽△ADE，∴∠ANE=∠DAE，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE；（3）由（2）知，△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形，∵MN=1，∴BN=2，BH=，设AB=2R，∴AE=BE=R，∵∠AEN=∠ANE，∴AN=AE=R，∴R+2=2R，∴R=2+，∴BE=2+2，∴EF=EH=BE﹣BH=2+，∵∠AED=∠FEC，∵∠FCE=∠EAD，∴∠FEC=∠FCE，∴CF=EF=2+．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证得△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形是解题的关键．27．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O 为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．（1）已知抛物线y=2x2+bx+c经过B、D两点，求此抛物线的解析式；（2）点P为线段CE上的动点，连接AP，当△PAE的面积为时，求tan∠APE的值；（3）将抛物线y=2x2+bx+c平移，使其经过点C，设抛物线与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点Q，使得△CMQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；并直接写出满足（2）的P点是否在此时的抛物线上．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先在RT△CDO中求出CO，设BE=DE=x，在RT△ADE中利用勾股定理求出x，即可得到B、D两点坐标代入抛物线解析式即可．（2）如图1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．，先求出PM，再利用=，求出EM，PE，由△PME∽△ANE得==，求出EN、AN即可解决问题．（3）如图2中，设平移后的抛物线为y=2x2+bx+4，因为△CMQ是等边三角形，所以点Q只能是顶点，顶点Q（﹣，），根据HQ=CH，列出方程即可解决问题．【解答】解（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AO=5，CO=AB，∠CBA=∠BAO=∠BCO=90°，∵△CED是由△CEB翻折，∴CD=AB=5，DE=BE，在RT△CDO中，∵OD=3，CD=5，∴CO==4，设BE=ED=x，在RT△AED中，∵DE2=AE2+AD2，∴x2=（4﹣x）2+22，∵x=，∴点B（5，4），把D（3，0），B（5，4）代入y=2x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y=2x2﹣14x+24．（2）如图1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．由（1）可知AE=，BE=∴×AE×PM=，∴PM=，∵PM∥BC，∴=，∴，∴EM=，∴PE==，∵∠PME=∠ANE，∠PEM=∠AEN，∴△PME∽△ANE，∴==，∴==，∴EN=，AN=，PN=PE+EN=，∴tan∠APE==．（3）如图2中，设平移后的抛物线为y=2x2+bx+4，∵△CMQ是等边三角形，∴点Q只能是顶点，顶点Q（﹣，），∴HQ=CH，∴•|（﹣）|=4﹣，∴b=±，∴满足条件的点Q为：Q1（，），Q2（﹣，），此时抛物线为y=2x2x+4，∵点P坐标（，），显然点P不在其抛物线上．【点评】本题考查二次函数性质、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形或相似三角形，第三个问题记住抛物线平移a相同，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．。
黑龙江省哈尔滨市工大附中2020-2021学年九年级上学期数学开学考试试卷
黑龙江省哈尔滨市工大附中2020-2021学年九年级上学期数学开学考试试卷一、单选题1.﹣5的倒数是（）A. ﹣5B. 5C. 15D. −152.下列计算，正确的是（）A. a2⋅a3=a6B. 2a2−a=aC. a6÷a2=a3D. (a2)3=a63.下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A. B. C. D.5.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35∘，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（）A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘6.一块面积为900平方米的矩形绿地，长比宽多10米，设绿地的长为x米，根据题意，可列方程为（）A. x(x−10)=900B. x(x+10)=900C. 10(x+10)=900D. 2[x+(x+10)]=9007.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A. 83√3m B. 4 m C. 4 √3m D. 8 m8.⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（）A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点9.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A. √33B. √55C. 2√33D. 2√5510.如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE⁄⁄BC，DF⁄⁄AC，联结BE，BE与DF相交于点G，则下列结论一定正确的是（）A. ADDB=DEBC B.AEAC=BFBC C.BDAD=BFDE D.DGGF=BFFC二、填空题11.地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为________km．12.若式子x+ √x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．13.计算√7−√28的结果是 .14.分解因式：3x2−27= ．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB,OD,∠BOD=136°．延长BC至点E，则∠DCE的度数为．16.不等式组{x2⩽−1−x+7>4的解集是________.17.某扇形的圆心角是45°，面积为18π，该扇形的半径是________．18.如图，AB是半⊙O的直径，点C,D均在半⊙O上，OD⊥AC于点E，若BC=3DE，则ACDE的值为．19.矩形ABCD中，连接BD,cos∠ADB=2√55，点E为AD中点，点F为BC上一点，连接EF，若CD=2,EF=√5，EF与BD交于点G，则BG的长为．20.如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE=2BE，点F为对角线BD上一点，且BF=2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，若HG=2cm，则正方形ABCD的边长为 cm．三、解答题21.先化简，再求代数式(1−3x+2)÷x2−1x+2的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．22.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．（1）.在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为15 2；（2）.在方格纸中画出以AB为一边的菱形ABDE，点D、E均在小正方形的顶点上，且菱形ABDE的面积为3；（3）.连接CE，请直接写出线段CE的长．23.为评估九年级学生的学习状况，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）.求该中学抽取了多少名学生的成绩进行调查；（2）.求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（3）.该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的成绩达到优秀？24.已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF.（1）.如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）.如图2，若AB=AC，∠A=36°，不添加辅助线，请你直接写出与DE相等的所有线段（AF除外）. 25.禹驰商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需950元；若购进A 种纪念品5件，B种纪念品6件，需800元。
哈尔滨市20192020学年九年级上期中考试数学试题及
哈尔滨市2019-2020 学年九年级上期中考试数学试题及答案一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1.-2 的绝对值是 ()A．1B ．2C ．2D ．1 222.以下运算正确的选项是（）A. x2x6x8B. x4x x4C.x2 x4x8D.( x2 )3x63.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标记中, 是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4．以下图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的俯视图是（.）5. 把抛物线y x2向左平移 1 个单位，而后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的表达式为（）A．C．y(x 1)23B． y( x 1)23 y( x 1)23D． y( x 1)236 ．对于反比例函数y ＝ 2 图象的性质，下列结论不正确的是（）xA．经过点（ 1，2）B．y 随 x 的增大而减小C．在一、三象限内D．若 x＞ 1，则 y＜27．如图，在△ABC中，点D、 E 分别在AB、 AC边上， DE∥ BC，若 AD∶ AB=3∶ 4， AE=6，则AC等于 ( )A． 3B． 4C． 6D． 88.如图， CD为⊙ O的直径，且 CD⊥弦 AB，∠ AOC=50°，则∠ B 大小为 ( )A.25 °°°°AD EB C7题图8题图9题图10题图9．在自习课上，小芳同学将一张长方形纸片ABCD按如下图的方式折叠起来，她发现D、 B 两点均落在了对角线AC的中点 O处，且四边形AECF是菱形 . 若 AB＝ 3cm，则暗影部分的面积为（）A． 1cm2B． 2cm2C． 2 cm2 D ． 3 cm210.为鼓舞市民节俭用水，我市自来水企业按分段收费标准收费，右图反应的是每个月收取水费 y（元）与用水量 x( 吨 ) 之间的函数关系．以下结论中：①小聪家五月份用水7 吨，应交水费15.4 元；② 10 吨以上每吨花费比10 吨以下每吨花费多；③ 10 吨以上对应的函数分析式为y=3.5x-13 ；④小聪家三、四月份分别交水费29 元和19.8 元，则四月份比三月份节俭用水 3 吨，此中正确的有（）个A ． 1B． 2C．3D． 4二、填空题 ( 每题 3 分．合计30 分 )11.南海是的固有领海，面积约 3600000km2，将 3600000 用科学记数法可表示为．12.计算 2712 的结果是.13．分解因式：3a26ab 3b2=．14.袋中有相同大小的 5 个球，此中 3 个红球， 2 个白球，从袋中随意地摸出一个球，这个球是红色的概率是．15.如图，路灯距离地面8 米，身高米的小明站在距离灯的底部（点O） 20 米的 A 处，则小明的影子AM长为米．15题图16题图16.如图，⊙ O的半径为 4cm，正六边形 ABCDEF内接于⊙ O，则图中暗影部分面积为2cm ．（结果保存π）17．一套夏装的进价为200 元，若按标价的八折销售，可赢利72 元，则标价为每套__________元 .18．△ ABC中， DF 是 AB 的垂直均分线，交BC 于 D， EG是 AC的垂直均分线，交BC于 E，若∠ DAE=20°，则∠ BAC等于°19.等腰△ ABC中， AB=AC，点 O 为高线 AD上一点，⊙ O与 AB、 AC相切于点 E、 F，交 BC于点 G、 H，连结 EG，若 BG=EG=7， AE： BE=2:5，则 GH的长为.S△DEC1， BC=______ 20. △ ABC中， AB=AC， AD⊥ BC，∠ BAC=∠ACG=4∠ EDC， CG=AD=4，S△ACG4三、解答题 ( 此中 21～ 22题各 7 分， 23～24 题各 8 分， 25～ 27 题各 10 分，合计60 分 )21. 先化简，再求值13x21的值，此中 x 4 sin 45 2cos60 .x 2x222.在正方形网格图①、图②、图③中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个极点为格点 A，其他极点从格点 B． C． D．E． F． G． H 中选用，而且所画的三角形均不全等．图①图②图③23.为了响应国家提出的“每日锻炼1 小时”的呼吁，某校踊跃展开了形式多样的“阳光体育”运动，小明对该班同学参加锻炼的状况进行了统计，（每人只好选此中一项）并绘制了下边的图 1 和图 2，请依据图中供给的信息解答以下问题：⑴小明此次一共检查了多少名学生？⑵经过计算补全条形统计图 .⑶若该校有 2000 名学生，请预计该校喜爱足球的学生约有多少人？24. 在△ ABC和△ EDC中， AC=CE=CB=CD，∠ ACB=∠ ECD=90°， AB与 CE交于 F， ED与 AB、 BC 分别交于 M,H(1)求证： CF=CH(2)如图（ 2）△ ABC不动，将△ EDC绕点 C 旋转到∠ BCE=45°时，试判断四边形ACDM的形状并证明 .25.某玩具厂接到 600 件玩具的订单后，决定由甲、乙两车间共同达成生产任务，已知甲车间工作效率是乙车间的 1.5 倍，乙车间独自达成此项生产任务比甲车间独自达成多用 5 天 .（1）求甲、乙两车间均匀每日各能制作多少件玩具？（2）两车间同时动工 2 天后，暂时又增添了100 件的玩具生产任务，为了不超出7 天达成任务，两车间从第 3 天起各自调整工作效率，提升工作效率后甲车间的工作效率是乙车间工作效率的 2 倍少 2 件，求乙车间调整工作效率后每日起码生产多少件玩具.26. 如图，△ ABC 中， AC=AB ，以 AB 为直径的⊙ O 分别交直线 AC 、 BC 于 D 、 E 两点 .（ 1）如图 1，若∠ C=60°，求证： AD=BE ；（ 2）如图 2，过点 A 作 AF 平行 BC ，交⊙ O 于点 F ，点 G 为 AF 上一点，连结 OG 、 OF ，若∠ GOF=90°3∠ ABC ，求证 AC=2AG ；2（3）在（ 2）的条件下 , 在 AB 的延伸线上取点 M,连结 GM ，使∠ M=2∠ GOF,若 AD ： CD=1:3，BC=2 6 , 求 BM 的长 .27. 已知：抛物线yx 2 bx c 与 x 轴交点 A(-1 ， 0) 和点 B(3 ， 0) ，与 y 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2） P 为直线 BC 上方抛物线上一点，过点 P 作 PH ⊥x 轴于点 H ，交 BC 于点 D ，连结 PC 、PB ，设△ PBC 的面积长为 S ，点 P 的横坐标为 t ，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围；（3）如图在（ 2）的条件下，在线段OC上取点 M，使 CM=2DH，在第一象限的抛物线上取点N，连结 DM、 DN ，过点 M作 MG⊥ DN交直线 PD于点 G，连结 NG，∠ MDC=∠NDG，∠CMG=∠ NGM，求线段 NG的长 .参照答案11.3.6 × 20612. 3 13.3(a-b)214. 315.5 16.° 19.106521. 原式 = 1， x=2 2 -1, 将 x=2 2 -1 代入得：2 .22.1 x423. 解：（ 1） 20÷ 40%=50（人），因此，此次一共检查了 50 名学生；（ 2） 50-20-10-15=5 （人），补全统计图如图； （3）10× 100%=20%， 2000× 20%=400（人），答：预计该校喜爱足球的学生约有 400 人．5024.1 ，∵ AC=CE=CB=CD 且∠ ACB=∠ ECD=90°∴∠ A=∠ D=45° ∠ACB-∠ ECB=∠ ECD-∠ ECB 即∠ 1=∠ 2 又∵ AC=CD ∴△ ACF ≌△ DCH ∴ FC=HC 2，假定四边形 ACDM 是平行四边形 ∵四边形 ACDM 是平行四边形∴∠ A=∠D ，∠ AMD=∠ ACD ∵∠ AMD=∠E+∠ B+∠ECB ∠ACD=∠ 1+∠ 2+∠ ECB ∴∠ E+∠ B=∠ 1+∠ 2 又∵∠ E=∠B=45°，∠ 1=∠ 2 ∴∠ 1=∠ 2=45° 则当△ EDC 旋转 45°时四边形 ACDM 是平行四边形 . 25. （ 1）设乙工效为 x 件 / 天，则甲工效为 件 / 天 . 600 600 件 / 天；乙工效为 40 件 / 天 .5，解之得： x=40. 因此甲工效为 60x（ 2）设乙调整后工效为 a 件/ 天，则甲工效为 (2a-2) 件 / 天；(40+60) × 2+5(2a-2)+5a ≥ 600+100, 解之得： a ≥34. 因此乙车间每日起码生产 34 件玩具 .26. （ 1）证明：由于 AC=AB,∠C=60°，因此△ ABD 为等边三角形因此∠ A=∠B, 因此弧 AE=弧 BD.由于弧 AE=弧 AD+弧 DE ，弧 BD=弧 BE+弧 DE.因此弧 AD=弧 BE. 因此 AD=BE.（ 2）证明：设∠ ABC=ɑ，由于 AC=AB,因此∠ B=∠ C,由于 AF//BC, 因此∠ OAF=∠ B,由于 OA=OF,因此∠ A=∠ B=ɑ, 因此∠ AOF=180° -2 ɑ，由于∠ FOG=90° - 3，因此∠ AOG=∠2 AOF-∠ FOG=90° - 1.2由于∠ AGO=∠ F+∠ FOG=90° - 1, 因此∠ AOG=∠ AGO ，因此 OA=AG,因此 AB=2AG.因此2AC=2AG.27.(2)作 PH⊥x 轴于 H，交 BC于点 F，P(m， -t 2+2t+3) ， F(t,-t+3)PF=-t 2+3t ，S△PBC=S△PCF+S△PBFS=1(t 2t t1(t 2t t)1 t23 t(0<t<3)2 3 )2 3 ) (322。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨九年级上第一次月考数学试卷及答案解析
【解答】解：下列实数0， ， ，π，其中，无理数有 ，π，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样无限不循环小数．
2．下列各个式子运算的结果是8a5的是（ ）
A．2a2+6a3B．（2a2）3C．8a7﹣8a2D．2a•4a4
10．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（ ）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：6
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为万元．
12．函数y＝ 中，自变量x的取值范围为．
17．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧 上一点（不与A，B重合），则tanC的值为．
18．扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于cm2．
19．⊙O的直径为2，弦AB的长为1，弦BC的长为 ，则∠ABC的度数为．
20．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么 的值是．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式（1﹣ ）÷ 的值，其中x＝2sin60°﹣tan45°．
22．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点A（2，2），B（4，1），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个等腰△PAB，使点P的横坐标大于点A的横坐标．
2019~2020年度哈尔滨南岗区上学期九年数学试卷答案
11
则 MQ=NQ，CR= AC= AD=AT
22
∵FM=EN ∴MQ-FM=NQ-EN 即 FQ=EQ
∴OE=OF.............................................1 分
∵AC=AD AH⊥CD
∴∠CAH=∠DAH，CH=DH ∴OT=OR ∴Rt△EOT≌Rt△FOR................1
4或8
5 13
11
三、解答题（其中 21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分） 21.（本题 7 分） 解：
原式
x 1
x2
2x
1
..................................
..............................2
分
x
x
x 1 x x （x 1）2
1 ............................................................................2 分 x 1
∵ x 2 2 1 .........................................................................1 分 2
解得 m≤32...............................................................................2 分 ∴m 最多取 32.............................................................................1 分 答：最多可购买篮球 32 个. 26.（本题 10 分） （1）证明：如图 1 连接 CO，DO
2020-2021学年哈尔滨工大附中九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年哈尔滨工大附中九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列实数中，为无理数的是()C. √3D. −5A. 0.1B. 152.下列计算正确的是()A. a+2a=3a2B. (−a3)2=a6C. a3⋅a2=a6D. a8÷a4=a23.下列两个电子数字成中心对称的是()A. B. C. D.4.如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连接EG并延长交BC于点M.若AB=√13，EF=1，则GM的长为()A. 2√25B. 2√23C. 3√24D. 4√255.已知点A(x,y)是反比例函数y=6图象上的一点，若x>3，则y的取值范围是()xA. 2<y<6B. 0<y<2C. y<2D. y>26.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得抛物线的解析式是()A. y=(x−1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=x2+1D. y=x2+38.已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则GFEG =13．则结论正确个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，l1//l2//l3，若ABBC =32，DF=6，则DE等于()A. 3B. 3.2C. 3.6D. 410.如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为()A. 6B. 8C. 16D. 不能确定二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.中海油集团成立29年来，发展异常迅猛，到2020年在深水地区实现新的突破，建设一个五千万吨的大油田．“五千万”用科学记数法可表示为______ ．12.在函数y=21−x中，自变量x的取值范围为______ ．13.若√4x2−4x+1=1−2x，则x的取值范围是______．14.把多项式a3−6a2b+9ab2分解因式的结果是______．15.不等式组{2+3x≤5x+12>−1的解集为______．16.如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是______ ．17.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，∠P=60°，△PEF的周长为6，则⊙O的半径为______．18.在一次函数y=−x+1图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围是______．19.如图，点A，B，C均在正方形网格点上，则tanC=______．20.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E.若AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=______cm．三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）21. (1)计算：√8−4sin45°+(3−π)0+| −4 |；(2)先化简，再求值：(x +1−15x−1)÷x−4x−1，其中x =5√2−4．22. (1)如图在10 10的网格中，有一矩形ABCD ，请你在AD 上找一点E ，在BC 上找一点F ，使得将矩形ABCD 沿EF 折叠后，点B 与点D 重合，并画出这条折痕．(2)在(1)中，判断四边形DFBE 的形状，并证明．四、解答题（本大题共5小题，共45.0分）23. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0,a)，B(b,0)，C(b,c)三点，其中a 、b 、c 满足关系式：(a −2)2+√b −3+|c −4|=0．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)如果在第二象限内有一点P(m,12)，若四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等，求点P 的坐标．24. 自2011年4月1日起广州市施行《广州市城市生活垃圾分类管理暂行规定》，城市生活垃圾分为“可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾”四类．某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调查选项分为“A ：非常了解，B ：比较了解，C ：了解较少，D ：不了解”四种，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)求该校本次随机调查的学生人数；(2)若该校学生有1200名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有多少名？25. 某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．26. 如图，点B在数轴上对应的数是−2，以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tan∠AOB=√3，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．=______(大于半圆的扇形)；(1)S扇形AOB(2)点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为______°；(3)在(2)的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP<180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，将△OPD顺时针旋转α(0°≤α≤360°)①连接CP，AD.在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；②当PD//AO时，求AD2的值；③直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．27. 如图1，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C．(1)填空：抛物线的解析式为______，点C的坐标为______；(2)如图2，设E是抛物线上位于直线AC上方的一点，当△ACE的面积最大时，求出点E的坐标；(3)设P是线段AC上的动点，求OP+BP的最小值；(4)设Q是直线AC上的动点，若△CQB是以CB为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的所有点Q的坐标．参考答案及解析1.答案：C解析：解：0.1是有限小数，属于有理数，故选项A不合题意；1是分数，属于有理数，故选项B不合题意；5√3是无理数，故选项C符合题意；−5是整数，属于有理数，故选项A不合题意．故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：B解析：解：A、原式不能合并，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a5，错误；D、原式=a4，错误，故选B原式各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.答案：A解析：解：B、C、和D选项中的两个电子数字旋转180度后的图形不能和原图形完全重合，故不是中心对称图形；只有A选项中的两个电子数字所组成的图形是中心对称图形．故选：A．根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合，再结合各个选项的图形特点即可得出答案．本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，属于基础题，比较容易解答．4.答案：D解析：解：由图可知∠AEB =90°，EF =1，AB =√13， ∵大正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成， 故AE =BF =GC =DH ，设AE =x ，则在Rt △AEB 中，有AB 2=AE 2+BE 2，即13=x 2+(1+x)2，解得：x 1=2，x 2=−3(舍去)．过点M 作MN ⊥FC 于点N ，如图所示．∵四边形EFGH 为正方形，EG 为对角线，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EGF =∠NGM =45°，故△GNM 为等腰直角三角形．设GN =NM =a ，则NC =GC −GN =2−a ，∵tan∠FCB =BF CF =23=NM CN =a 2−a ， 解得：a =45．∴GM =√GN 2+NM 2=√(45)2+(45)2=4√25． 故选：D ．由大正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，在直角三角形AEB 中使用勾股定理可求出BF =AE =GC =DH =2，过点M 作MN ⊥FC 于点N ，由三角形EFG 为等腰直角三角形可证得三角形GNM 也为等腰直角三角形，设GN =NM =a ，则NC =GC −GN =2−a ，由tan∠FCB =BF CF =23=NMCN =a 2−a ，可解得a =45.进而可得GM =√2NC =4√25． 本题考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：∵y =6x ，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∴当x>3时，0<y<2，故选：B．比例系数k>0时，函数在每个象限内，y随x的增大而减小，根据性质即可求解．本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象特点，牢记图象在每个象限内的变化是解题的关键．6.答案：C解析：解析：观察图形，应用勾股定理，得AB=，BC=，AC=，∴两个边长都是无理数；故选C．7.答案：C解析：本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先利用二次函数的性质得到抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2)，再根据点平移的规律得到点(0,2)平移后所得对应点的坐标为(0,1)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．解：抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2)，点(0,2)向下平移1个单位长度所得对应点的坐标为(0,1)，所以平移后的抛物线的解析式为y=x2+1，故选：C．8.答案：D解析：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，属于较难题．①证明△ABC为等边三角形，根据SAS证明△BEC≌△AFC，正确；②由△BEC≌△AFC，得CE=CF，可得△CEF是等边三角形，正确；③可得∠AGE=∠AFC，正确；④过点E作EM//BC交AC于点M，易证△AEM是等边三角形，则EM=AE=3，由AF//EM，则GFEG =AFEM=13，正确．解：①∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴AB =BC ，∠EBC =∠FAC =60°， ∴△ABC 为等边三角形，∴BC =AC ，在△BEC 与△AFC 中，{BE =AF ∠EBC =∠FAC BC =AC, ∴△BEC≌△AFC (SAS)，正确； ②∵△BEC ≌△AFC ，∴CE =CF ，∠BCE =∠ACF ，∵∠BCE +∠ECA =∠BCA =60°， ∴∠ACF +∠ECA =60°，∴△CEF 是等边三角形，故②正确；③∵∠AGE =∠CAF +∠AFG =60°+∠AFG ； ∠AFC =∠CFG +∠AFG =60°+∠AFG ， ∴∠AGE =∠AFC ，故③正确；④过点E 作EM//BC 交AC 于点M ，由△ABC 为等边三角形，可得△AEM 是等边三角形，若AF =1，则EM =AE =3，∵AF//EM，∴GFEG =AFEM=13．故④正确，故①②③④都正确．故选D．9.答案：C解析：解：设DE=x，则EF=6−x．∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF=32，∴x6−x =32，∴x=3.6，经检验：x=3.6是分式方程的解．故选：C．根据平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题．本题考查平行线分线段成比例定理，分式方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．10.答案：B解析：解：S阴影=12⋅S正方形ABCD=12×4×4=8cm．故选：B．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会于转化的思想思考问题．11.答案：5×107解析：解：五千万=50000000=5×107．故答案为：5×107．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于五千万有8位，所以可以确定n=8−1=7．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．12.答案：x≠1解析：解：∵1−x≠0，∴x≠1，故答案为x≠1．根据分式有意义的条件：分母不为0解不等式即可．本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．13.答案：x≤12解析：解：已知等式变形得：√(2x−1)2=|2x−1|=1−2x，∴2x−1≤0，解得：x≤1．2．故答案为：x≤12已知等式变形后，利用二次根式性质及绝对值的代数意义判断即可求出x的范围．此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：a(a−3b)2解析：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．解：a3−6a2b+9ab2=a(a2−6ab+9b2)=a(a−3b)2．故答案为：a(a−3b)2．15.答案：−3<x≤1解析：解：解不等式2+3x≤5，得：x≤1，>−1，得：x>−3，解不等式x+12则不等式组的解集为−3<x≤1，故答案为：−3<x≤1．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16.答案：√3−π3解析：解：如图，连接DF、DB、FB、OB，∵⊙O的半径为1，∴OB=BD=BF=1，∴DF=√3，∴S弓形ODF =S扇形BDF−S△BDF=120π×12360−12×√3×12=π3−√34，∴S阴影部分=S⊙O−4S弓形ODF =π−4×(π3−√34)=√3−π3．故答案为：√3−π3．阴影部分的面积等于⊙O的面积减去4个弓形ODF的面积即可．本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是明确不规则的阴影部分的面积如何转化为规则的几何图形的面积．17.答案：√3解析：解：∵EA，EC都是圆O的切线，∴EC=EA，同理FC=FB，PA=PB，∴△PEF的周长=PF+PE+EF=PF+PE+EA+FB=PA+PB=2PA=6，∴PA=3；连接PO，OA，∵∠APB=60°，∴∠APO=30°，∴AO=AP×tan∠APO=3×√33=√3，故答案为：√3．可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB=6，又因为PA= PB，所以可求出PA的长，然后解直角三角形求得OA即可．本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长=PA+PB．18.答案：x<1解析：解：∵一次函数y=−x+1中，k=−1<0，b=1>0，∴此函数的图象经过一二四象限．∵当y=0时，x=1，∴位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围是x<1．故答案为：x<1．先判断出函数图象所经过的象限，再求出直线与x轴的交点即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．19.答案：12解析：解：连接AD，如图，易得∠ADC=90°，而CD=2AD，所以tanC=ADCD =12．故答案为12．连接AD，如图，利用网格特点得到∠ADC=90°，CD=2AD，然后根据正切的定义求解．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义．20.答案：0.8解析：解：∵∠ACB=90°，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，∴∠ACB=∠E=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠ECB=90°，∠ECB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠BAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴BE=CD，AD=EC，∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，∴BE=CD=EC−DE=0.8cm，故答案为0.8．只要证明△ADC≌△CEB(AAS)即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．21.答案：解：(1)原式=2√2−4×√22+1+4=5；(2)原式=(x+1)(x−1)−15x−1⋅x−1x−4=(x+4)(x−4)x−1⋅x−1x−4=x+4，当x=5√2−4时，原式=5√2−4+4=5√2．解析：(1)原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.答案：(1)(2)四边形DFBE的形状是菱形，理由：连接DE，BF，∵EF垂直平分BD，∴BO=DO，DE=BF，又∵BC平行于AD，∴∠DAC=∠BDA，∠EFB=∠DEF∴≌.∴四边形BEDF为平行四边形∵∴四边形BEDF为菱形解析：(1)(2)四边形DFBE的形状是菱形，理由：连接DE，BF，∵EF垂直平分BD，∴BO=DO，DE=BF，又∵BC平行于AD，∴∠DAC=∠BDA，∠EFB=∠DEF ∴≌.∴四边形BEDF为平行四边形∵∴四边形BEDF为菱形23.答案：解：(1)由已知(a−2)2+√b−3+|c−4|=0，可得：a−2=0，b−3=0，c−4=0，解得a=2，b=3，c=4；可得：A(0,2)，B(3,0)，C(3,4)；(2)∵S△ABO=12×2×3=3，S△APO=12×2×(−m)=−m，∴S四边形ABOP=S△ABO+S△APO=3+(−m)=3−m；∵S△ABC=12×4×3=6，又∵S四边形ABOP=S△ABC，∴3−m=6，解得m=−3，∴存在点P(−3,12)使S四边形ABOP=S△ABC．解析：本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，解题时注意：当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0．(1)用非负数的性质求解可得a，b，c的值；(2)把四边形ABOP的面积看成两个三角形面积和，用m来表示；依据四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等，列方程即可．24.答案：解：(1)本次共调查的学生数是：21÷42%=50(名)；(2)1200×4+21=600(名)，50答：估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有600名．解析：(1)根据选择B的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生数；(2)根据条形统计图中的数据，可以计算出该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有多少名．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.答案：解：设估计行驶x千米后油箱中的油少于20L.依题意，得60−0.08x<20，解得，x>500．答：估计行驶500千米后油箱中的油少于20L．解析：读出题意，根据关系式，剩余油量=总油量−耗油量，列出关系式解答即可．本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．26.答案：(1)10π；3(2)30；(3)①结论：AD=2PC．理由：如图2中，连接AB，AC．∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵BC=OC，∴AC⊥OB，∵∠AOC=∠DOP=60°，∴∠COP=∠AOD，∵AOOC =ODOP=2，∴△COP∽△AOD，∴ADPC =AOOC=2，∴AD=2PC．②如图3中，当PD//OA时，设OD交⊙O于K，连接PK交OC于H．∵OP=OK，∠POK=60°，∴△OPK是等边三角形，∵PD//OA，∴∠AOP=∠OPD=90°，∴∠POH+∠AOC=90°，∵∠AOC=60°，∴∠POH=30°，∴PH=12OP=1，OH=√3PH=√3，∴PC=√PH2+CH2=√12+(1+√3)2=√5+2√3，∵AD=2PC，∴AD2=4(5+2√3)=20+8√3．如图④中，当PA//OA时，作PK⊥OB于K，同法可得：PC2=12+(√3−1)2=5−2√3，AD2= 4PC2=20−8√3．③由题意1≤PC≤3，∴在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3．解析：解：(1)∵tan∠AOB=√3，∴∠AOB=60°，∴S扇形AOB =300⋅π⋅22360=10π3(大于半圆的扇形)，故答案为10π3．(2)如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∴∠OPD=90°，∵sin∠PDO=OPOD =24=12，∴∠PDB=30°，同法当DP′与⊙O相切时，∠BDP′=30°，∴∠PDB的最大值为30°．故答案为30．(3)①见答案；②见答案；③见答案．(1)利用扇形的面积公式计算即可．(2)如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．解直角三角形即可解决问题．(3)①结论：AD=2PC.如图2中，连接AB，AC.证明△COP∽△AOD，即可解决问题．②分两种情形：如图3中，当PD//OA时，设OD交⊙O于K，连接PK交OC于H.求出PC即可．如图④中，当PA//OA时，作PK⊥OB于K，同法可得．③判断出PC的取值范围即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．27.答案：(1)y=−12x2+x+4，(0,4)；(2)如图2，作EF//y轴交AC于F，易得直线AC的解析式为y=x+4，设E(x,−12x2−x+4)(−4<x<0)，则F(x,x+4)，∴EF=−12x2−x+4−(x+4)=−12x2−2x，∴S△AEC=S△AEF+S△CEF=12⋅4⋅EF=−x2−4x=−(x+2)2+4，当x=−2时，△AEC的面积最大，此时E点坐标为(−2,4)；(3)如图3，作AQ⊥AO且AQ=AO=4，连接BQ交AC于P，∴△AOQ为等腰直角三角形，∵OA=OC，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，∴AC垂直平分OQ，∴PQ=PO，∴PO+PB=PQ+PB=BQ，此时PO+PB的值最小，∵BQ=√42+62=2√13，∴OP+BP的最小值为2√13；(4)BC=√22+42=2√5，设Q(t,t+4)，当CQ=CB=2√5时，则t2+(t+4−4)2=(2√5)2，解得t=±√10，此时Q点的坐标为(√10,4+√10)或(−√10,4−√10)，当BQ=BC=2√5时，则(t−2)2+(t+4)2=(2√5)2，解得t1=0(舍去)，t2=−2，此时Q点的坐标为(−2,2)，综上所述，Q点坐标为(√10,4+√10)或(−√10,4−√10)或(−2,2)．解析：解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−2)，即y=ax2+2ax−8a，∴−8a=4，解得a=−1，2x2−x+4，∴抛物线解析式为y=−12当x=0时，y=−1x2+x+4=4，则C(0,4)，2x2−x+4，(0,4)；故答案为：y=−12(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．(1)设交点式y=a(x+4)(x−2)，展开后得到−8a=4，解得a=−1，从而得到抛物线解析式为y=2x2−x+4；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；−12x2−x+4)(−4<x< (2)如图2，作EF//y轴交AC于F，易得直线AC的解析式为y=x+4，设E(x,−12x2−2x，则根据三角形面积公式，利用0)，则F(x,x+4)，所以EF=−12⋅4⋅EF=−x2−4x，然后利用二次函数的性质解决问题；∴S△AEC=S△AEF+S△CEF得到S△AEC=12(3)如图3，作AQ⊥AO且AQ=AO=4，连接BQ交AC于P，证明AC垂直平分OQ，则PQ=PO，根据两点之间线段最短证明此时PO+PB的值最小，然后利用勾股定理计算BQ的长即可；(4)BC=2√5，设Q(t,t+4)，讨论：当CQ=CB=2√5时，利用两点距离公式得到t2+(t+4−4)2= (2√5)2；当BQ=BC=2√5时，利用两点距离公式得到(t−2)2+(t+4)2=(2√5)2，然后分别解关于t的方程可得到对应Q点的坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题，运用两点之间线段最短解决最短路径问题．。
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年九年级数学中考模拟试卷含答案
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年九年级数学中考模拟试卷考生须知：1.本试卷满分120分，时间为120分钟2.答题前,考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚,将“条形码”准确粘贴在条形码区域内3.请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答,超出答题区域的答案无效，在草稿纸上,试题纸上答案无效4.选择题必领使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚5.保持卡面整洁,不要折叠、不要弄脏、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀 一、选择题:(每小题3分,共计30分) 1.下列各数中,小于-2的数是（） A. B.-π C.-1 D.1 2.下列运算中,正确的是()A. B. C. D.3.下列四个图形中既是轴对称图形,又是中心称图形的是()A B C D 4.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,则它的俯视图为()21-623a a a =∙()633xx=1055x x x =+448-a a a -=÷5.关于二次函数y=-2(x-3)+5的最大值,下列说法正确的是()A.最大值是3B.最大值是-3C.最大值是5D.最大值是-56.反比例函数y=图象上的两个点为()、(),且,则下列式子一定成立的是()A. B. C. D.不能确定7.如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100m,点A、D、B在同一直线上,CD⊥AB,则A、B两点的距离是(）A.200mB.200mC.mD.8.如图,点F是矩形ABCD的边CD上一点,射线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是（）第7题第8题第9题A. B. C. D.9.如图,四边形ABCD内接于⊙0,ABCO是平行四边形,则∠ADC=(）A.45°B.50°C.60°D.75°40.小颖家到学校1200米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟。
黑龙江省哈尔滨工大附中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(9月份) 解析版
2019-2020学年工大附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）一．选择题（共10小题）1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．tan A＝C．cos B＝D．tan B＝3．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝8，则tan∠ACB的值等于（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而增大时，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＞4D．k≥45．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．4m B．2m C．m D．8m7．一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象如图所示，则有（）A．k＞0，b＞0，a＞0B．k＜0，b＞0，a＜0C．k＜0，b＞0，a＞0D．k＜0，b＜0，a＞08．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A．3B．4C．5D．69．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP•AD＝CF•CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共10小题）11．函数中，自变量x的取值范围是．12．已知点M（a﹣1，2a+3）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是．13．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的外心和内心之间的距离为．15．如图，已知AB是半圆的直径，且AB＝10，弦AC＝6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为．16．如图，AB切⊙O与点A，BE切⊙O于点E，连接AO并延长交⊙O于点C，交BE的延长线于点D，连接EC，若AD＝8，tan∠DEC＝，则CD＝．17．如图，等边三角形ABC内有一点D，连接BD、CD，将△BDC绕点B旋转至△BEA位置，若∠AEC＝50°，则∠DCE＝°．18．如图，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连结OB1、OB2、OB3，那么图中阴影部分的面积之和为．19．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH＝AC，则∠ABC所对的弧长等于（长度单位）．20．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在AC、AB上，且AD＝BE，连接BD、CE 交于点P，在△ABC外部作∠ABF＝∠ABD，过点A作AF⊥BF于点F，若∠ADB＝∠ABF+90°，BF﹣AF＝3，则BP＝．三．解答题（共4小题）21．先化简，再求值：（）÷，其中a＝2sin60°﹣2tan45°．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△A2B2C2；（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．23．在改革开放30年纪念活动中，某校学生会就同学们对我国改革开放30年所取得的辉煌成就的了解程度进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图的一部分．根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是．调查中“了解很少”的学生占%；（2）补全条形统计图；（3）若全校共有学生1300人，那么该校约有多少名学生“很了解”我国改革开放30年来取得的辉煌成就？24．已知：正方形ABCD绕点A顺时针旋转至正方形AEFG，连接CE、DF．（1）如图1，求证：CE＝DF；（2）如图2，延长CB交EF于M，延长FG交CD于N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．tan A＝C．cos B＝D．tan B＝【分析】根据三角函数的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2．∴AC＝＝＝，∴sin A＝＝，tan A＝＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝．故选：D．3．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB＝8，则tan∠ACB的值等于（）A．B．C．D．【分析】作直径BD，连接AD，根据勾股定理求出AD，根据圆周角定理求出∠D＝∠ACB，∠DAB＝90°，解直角三角形求出tan∠ADB即可．【解答】解：作直径BD，连接AD，则BD＝2×5＝10，则∠ACB＝∠D，∠DAB＝90°，在Rt△DAB中由勾股定理得：AD＝＝＝6，∵⊙O的半径为5，AB＝8，∴tan∠ACB＝tan∠ADB＝＝＝，故选：C．4．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而增大时，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＞4D．k≥4【分析】由点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，且△ABO的面积随点B 的横坐标增大而增大，得到图象在第二象限，得出不等式4﹣k＜0，求出答案即可．【解答】解：∵点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝（y＞0）的图象上一个动点，∵△ABO的面积随点B的横坐标增大而增大，∴图象在第二象限，∴4﹣k＜0，∴k＞4，故选：C．5．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】先根据平行线的性质得∠DCA＝∠CAB＝65°，再根据旋转的性质得∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠DCA＝65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠DCA＝50°，于是有∠BAE＝50°．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝65°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，∴∠ADC＝∠DCA＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠DCA＝50°，∴∠BAE＝50°．故选：C．6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．4m B．2m C．m D．8m【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB，得到答案．【解答】解：如图，∵AB的坡度为1：2，∴＝，即＝，解得，AC＝2，由勾股定理得，AB＝＝＝2（m），故选：B．7．一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象如图所示，则有（）A．k＞0，b＞0，a＞0B．k＜0，b＞0，a＜0C．k＜0，b＞0，a＞0D．k＜0，b＜0，a＞0【分析】根据一次函数的性质判断出k、b的大小，再根据反比例函数的性质判断出a的取值即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过二、一、四象限，∴k＜0，b＞0，而反比例函数y＝的图象在一、三象限，∴＞0，∴a＜0，故选：B．8．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A．3B．4C．5D．6【分析】先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：设P（0，b），∵直线AB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y＝﹣的图象上，∴当y＝b，x＝﹣，即A点坐标为（﹣，b），又∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴当y＝b，x＝，即B点坐标为（，b），∴AB＝﹣（﹣）＝，∴S△ABC＝•AB•OP＝•b＝3．故选：A．9．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC交GA于点E，∴，，，A，B，D正确，故选：C．10．如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP•AD＝CF•CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH ＝．正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据已知条件得到∠H＝∠ABC，∠C+∠ABC＝90°，于是得到∠H+∠C＝90°，求得DH⊥BC，故①正确；根据＝，得到∠CBD＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠BFD+∠DBF＝90°，得到∠C＝∠CFP，于是求得CP＝PF，故②正确；根据垂径定理得到＝＝，求得＝，于是得到CH＝AD；故③正确；连接AC，BH，得到∠ACH＝∠CAD，求得AP＝CP，根据垂径定理得到＝，求得BC＝BH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵C为弧AD的中点，∴＝，∴∠H＝∠ABC，∵CH⊥AB，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠H+∠C＝90°，∴DH⊥BC，故①正确；∵＝，∴∠CBD＝∠ABC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BFD+∠DBF＝90°，∴∠C＝∠BFD，∵∠CFP＝∠DFB，∴∠C＝∠CFP，∴CP＝PF，故②正确；∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，∴＝＝，∴＝，∴CH＝AD；故③正确；连接AC，BH，则∠ACH＝∠CAD，∴AP＝CP，∵CH⊥AB，∴＝，∴BC＝BH，∴∠BCH＝∠BHC，∴∠CFP＝∠BHC，∵∠PCF＝∠BCH，∴△CPF∽△CBH，∴，∴PC•CH＝CF•CB，∵PC＝AP，CH＝AD，∴AP•AD＝CF•CB，故④正确；∵∠CAF＝∠ABC，又∵∠ACF＝∠BCA，∴△CAF∽△CBA，∴＝＝＝．又∵AB＝10，∴AC＝6，BC＝8．根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CE，∴6×8＝10CE．∴CE＝．又∵CH＝HE，∴CH＝2CE＝．故⑤错误，故选：C．二．填空题（共10小题）11．函数中，自变量x的取值范围是x≠﹣1．【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x+1≠0，解得x的范围．【解答】解：根据分式有意义的条件得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．12．已知点M（a﹣1，2a+3）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是﹣＜a ＜1．【分析】直接利用关于原点对称点的性质以及第四象限内点的坐标特点得出关于a的不等式组进而得出答案．【解答】解：∵点M（a﹣1，2a+3）关于原点对称的点为：（1﹣a，﹣2a﹣3）在第四象限，∴，解得：﹣＜a＜1．故答案为：﹣＜a＜1．13．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为cm．【分析】根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：作OE垂直AB于E，交⊙O于D，设OB＝r，根据垂径定理，BE＝AB＝×6＝3cm，根据题意列方程得：（r﹣2）2+9＝r2，解得r＝，∴该圆的半径为cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的外心和内心之间的距离为．【分析】作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB＝10，得到△ABC的外接圆半径AO＝5，再证明四边形MECD 是正方形，根据内心的性质和切线长定理，求出⊙M的半径r＝2，则ON＝1，然后在Rt△OMN中，运用勾股定理即可求解．【解答】解：设△ABC的内切圆⊙M，O为△ACB的外接圆的圆心，过点M作MD⊥BC 于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵点O为△ABC的外心，∴AO为外接圆半径，AO＝AB＝5，设⊙M的半径为r，则MD＝ME＝r，又∵∠MDC＝∠MEC＝∠C＝90°，∴四边形IECD是正方形，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，∵AB＝10，解得：r＝2，∴MN＝r＝2，AN＝AE＝6﹣r＝6﹣2＝4，在Rt△OMN中，∵∠MNO＝90°，ON＝AO﹣AN＝5﹣4＝1，∴OM＝＝＝，故答案为：．15．如图，已知AB是半圆的直径，且AB＝10，弦AC＝6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为4．【分析】如图，作辅助线，首先求出BC的长度，进而求出DE、BE的长度；运用勾股定理求出BD的长度，进而求出AD的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC、BD、OD；∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC2＝AB2﹣AC2＝100﹣36＝64，BC＝8；由题意得：∠CAD＝∠BAD，∴，∴OD⊥BC，BE＝CE＝＝4；∴OE＝＝3，DE＝5﹣3＝2，由勾股定理得：BD2＝22+42＝20；∵AD2＝102﹣20，∴．16．如图，AB切⊙O与点A，BE切⊙O于点E，连接AO并延长交⊙O于点C，交BE的延长线于点D，连接EC，若AD＝8，tan∠DEC＝，则CD＝2．【分析】连接OB，OE，根据切线的性质得到AB＝EB，根据全等三角形的性质得到∠AOB ＝∠EOB，推出CE∥OB，得到∠DEC＝∠EBO，求得∠DEC＝∠ABO，得到tan∠ABO ＝＝，设OA＝x，AB＝2x，根据相似三角形的性质得到DE＝4，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OB，OE，∵AB切⊙O与点A，BE切⊙O于点E，∴AB＝EB，在△ABO与△EBO中，∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠AOB＝∠EOB，∴∠AOB＝AOE，∵AOE，∴∠AOB＝∠ACE，∴CE∥OB，∴∠DEC＝∠EBO，∴∠DEC＝∠ABO，∵tan∠DEC＝，∴tan∠ABO＝＝，设OA＝x，AB＝2x，∴OE＝x，∵∠OED＝∠A＝90°，∠D＝∠D，∴△DEO∽△DAB，∴＝，∵AD＝8，∴DE＝4，∵OE2+DE2＝OD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CD＝8﹣6＝2．故答案为：2．17．如图，等边三角形ABC内有一点D，连接BD、CD，将△BDC绕点B旋转至△BEA位置，若∠AEC＝50°，则∠DCE＝10°．【分析】由旋转的性质可得∠EAB＝∠BCD，由三角形内角和定理和等边三角形的性质可求∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝10°．【解答】解：∵将△BDC绕点B旋转至△BEA位置，∴∠EAB＝∠BCD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠BCD，在△AEC中，∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAC＝180°﹣50°﹣60°﹣∠BAE＝70°﹣∠BCD，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝10°，故答案为：10．18．如图，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连结OB1、OB2、OB3，那么图中阴影部分的面积之和为．【分析】先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|，得到S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3＝|k|＝2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．【解答】解：根据题意可知S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3＝|k|＝2，∵OA1＝A1A2＝A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3则s1＝|k|＝2，∵OA1＝A1A2＝A2A3，∴s2：S△OB2C2＝1：4，s3：S△OB3C3＝1：9，∴图中阴影部分的面积分别是s1＝2，s2＝，s3＝，∴图中阴影部分的面积之和＝2++＝2．故答案为：2．19．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH＝AC，则∠ABC所对的弧长等于πr 或r（长度单位）．【分析】作出图形，根据同角或等角的余角相等求出∠H＝∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角三角函数求出∠ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解．【解答】解：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠H+∠DBH＝90°，∠C+∠DBH＝90°，∴∠H＝∠C，又∵∠BDH＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△BHD，∴＝，∵BH＝AC，∴＝，∴∠ABC＝30°，∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2＝60°，∴∠ABC所对的弧长＝＝πr．如图2，当∠ABC＝150°时，则∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，∴∠ABC所对的弧长＝＝πr．故答案为：πr或r．20．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在AC、AB上，且AD＝BE，连接BD、CE 交于点P，在△ABC外部作∠ABF＝∠ABD，过点A作AF⊥BF于点F，若∠ADB＝∠ABF+90°，BF﹣AF＝3，则BP＝3﹣．【分析】如图，在FB上取一点G，使得FG＝F A，作GF⊥AB于F，在FB上取一点H，使得GH＝HB，连接GH，在FB上取一点K，使得∠BAK＝45°，连接AK．证明△CBE ≌△BAD（SAS），推出∠ABE＝∠BCE，推出∠DPC＝∠PCB+∠PBC＝∠PBC+∠ABD＝60°，由∠ADB＝∠ABF+90°＝∠DCB+∠DBC＝60°+60°﹣∠BCP＝120°﹣∠ABF，可得∠ABF＝15°，解直角三角形求出AK，再证明BP＝AK即可解决问题．【解答】解：如图，在FB上取一点G，使得FG＝F A，作GT⊥AB于T，在FB上取一点H，使得GH＝HB，连接GH，在FB上取一点K，使得∠BAK＝45°，连接AK．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CBE＝∠BAD＝60°，∵AD＝BE，∴△CBE≌△BAD（SAS），∴∠ABE＝∠BCE，∴∠DPC＝∠PCB+∠PBC＝∠PBC+∠ABD＝60°∵∠ADB＝∠ABF+90°＝∠DCB+∠DBC＝60°+60°﹣∠BCP＝120°﹣∠ABF，∴∠ABF＝15°，∵HG＝HB，∴∠HGB＝∠HBG＝15°，∴∠GHT＝∠HGB+∠HBG＝30°，设GT＝a，则GH＝BH＝2a，TH＝a，∵BF﹣AF＝3，F A＝FG，∴BG＝3，在Rt△BGT中，∵BG2＝GT2+BT2，∴a2+（2a+a）2＝9，解得a＝，∴TG＝，AG＝2TG＝，∴AF＝FG＝，∴AK＝＝＝3﹣，∵∠BCP＝∠ABK，BC＝BA，∠CBP＝45°＝∠BAK，∴△BCP≌△BAK（ASA），∴BP＝CK＝3﹣．故答案为3﹣三．解答题（共4小题）21．先化简，再求值：（）÷，其中a＝2sin60°﹣2tan45°．【分析】先把sin60°、tan45°的值代入a＝2sin60°﹣2tan45°求出a的值，再把原式的分子分母进行因式分解，从而把原式进行化简，再把a的值代入求解即可．【解答】解：∵a＝2sin60°﹣2tan45°，∴a＝2×﹣2×1＝﹣2，原式＝（﹣）÷＝×＝×＝，当a＝﹣2时，原式＝＝＝．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△A2B2C2；（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．【解答】解：（1）△A1B1C如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．23．在改革开放30年纪念活动中，某校学生会就同学们对我国改革开放30年所取得的辉煌成就的了解程度进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图的一部分．根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是50．调查中“了解很少”的学生占50%；（2）补全条形统计图；（3）若全校共有学生1300人，那么该校约有多少名学生“很了解”我国改革开放30年来取得的辉煌成就？【分析】（1）由扇形统计图可知，“了解很少”的学生占1﹣10%﹣10%﹣30%＝50%，再由条形统计图知，“了解很少”的学生有25人，所以本次抽样调查的样本容量是25÷50%＝50；（2）由样本容量是50，知基本了解的学生有50×30%＝15，在条形统计图中的“基本了解”对应画出高为15的长方形即可；（3）利用样本估计总体的方法知，该校约有1300×10%＝130名学生“很了解”我国改革开放30年来取得的辉煌成就．【解答】解：（1）5÷10%＝50，1﹣10%﹣10%﹣30%＝50%，故答案为：50；50；（2）基本了解的人数：50×30%＝15（人），如图所示：（3）1300×10%＝130人．答：该校约有130名学生很了解我国改革开放30年来所取得的辉煌成就．24．已知：正方形ABCD绕点A顺时针旋转至正方形AEFG，连接CE、DF．（1）如图1，求证：CE＝DF；（2）如图2，延长CB交EF于M，延长FG交CD于N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角．【分析】（1）连接AF，AC，证明△EAC≌△DAF即可；（2）根据旋转角的定义即可求解．【解答】证明：（1）如图1，连接AF，AC，∵正方形ABCD旋转至正方形AEFG，∴∠DAG＝∠BAE，∠BAC＝∠GAF＝45°∴∠BAE+∠BAC＝∠DAG+∠GAF∴∠EAC＝∠DAF在△EAC和△DAF中∴△EAC≌△DAF（SAS）．∴CE＝DF．（2）根据旋转角的定义可得：∠DAG，∠BAE，∠CNF，∠FMC25.某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5种和B种商品4件需300元，购进A种商品6件和B种商品8件需440元．（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利超过344元，则至少购进多少件A商品？【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A种进价为x元，B种进价为y元．由购进A种商品5件和B种商品4件需300元和购进A种商品6件和B种商品8件需440元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（50﹣a）件．根据获得的利润不低于344元，建立不等式求出其解就可以了．【解答】解：（1）设A种进价为x元，B种进价为y元．由题意，得，解得：答：A种进价为40元，B种进价为25元．（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（50﹣a）件．由题意，得8a+6（50﹣a）＞344，解得：a＞22∴a的最小整数为23，答：至少购进A种商品23件．26.如图1，△ABC内接于⊙O，点D在BC上，∠CAD＝∠OBA．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）如图2，点M在弧AC上，连接OA、OC、OM、BM，当S△AOB＝S△COM时，求证：BM⊥AC；（3）在（2）的条件下，BM交AD、AC于点E、F，点G在AE上，E是GD中点，G 是AD中点，连接OG，延长AO交BC于点H，若tan∠ACB＝，OG＝，求CH 的长．【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MR：圆的综合题；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【专题】152：几何综合题；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；559：圆的有关概念及性质；55D：图形的相似；55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力．【分析】（1）作直径BN，连接AN，由圆周角定理得出∠BAN＝90°，∠C＝∠N，由直角三角形的性质得出∠ABO+∠N＝90°，证出∠CAD+∠C＝90°，即可得出∠ADC＝90°；（2）作BP⊥AO于P，CQ⊥OM于Q，设BM交AC于T，由三角形面积得出BP＝CQ，证明Rt△BOP≌Rt△COQ（HL），得出∠BOP＝∠COQ，由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CBM＝∠OAB＝∠CAD，由（1）得出∠CAD+∠ACD＝90°，得出∠CBM+∠ACD＝90°，证出∠BTC＝90°，即可得出结论；（3）由三角函数定义得出tan∠ACB＝＝，设AD＝20x（x＞0），则CD＝15x，得出DG＝AG＝10x，DE＝GE＝5x，证出∠BED＝∠ACD，由三角函数定义得出BD＝DE ＝x，由勾股定理得出AB＝＝x，作OR⊥AD于R，延长AD交⊙O 于K，延长AH交⊙O于W，连接BW，则OR∥CD，AR＝KR＝AK，AW是直径，得出∠ABW＝90°，由相交线定理求出DK＝5x，得出AK＝AD+DK＝25x，AR＝x，求出GR＝AR﹣AG＝x，由三角函数定义求出AW＝AB＝x，由勾股定理得出KW ＝＝x，由三角形中位线定理得出OR＝KW＝x，在Rt△OGR中，由勾股定理得出方程，解方程得出得：（x）2+（x）2＝（）2，解方程得出OR ＝，AR＝，CD＝15x＝9，AD＝20x＝12，证明△AOR∽△AHD，得出＝，得出DH＝4，即可得出CH的长．【解答】（1）证明：作直径BN，连接AN，如图1所示：则∠BAN＝90°，∠C＝∠N，∴∠ABO+∠N＝90°，∵∠CAD＝∠OBA，∴∠CAD+∠C＝90°，∴∠ADC＝90°；（2）证明：作BP⊥AO于P，CQ⊥OM于Q，设BM交AC于T，如图2所示：∵S△AOB＝S△COM，S△AOB＝OA×BP，S△COM＝OM×CQ，OA＝OM，∴BP＝CQ，在Rt△BOP和Rt△COQ中，，∴Rt△BOP≌Rt△COQ（HL），∴∠BOP＝∠COQ，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝∠CAD，∵∠OAB＝∠BOP，∠CBM＝∠COM，∴∠CBM＝∠OAB＝∠CAD，由（1）得：∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CBM+∠ACD＝90°，∴∠BTC＝90°，∴BM⊥AC；（3）解：如图3所示：由（1）得：∠ADC＝90°，∵tan∠ACB＝＝，∴设AD＝20x（x＞0），则CD＝15x，∵E是GD中点，G是AD中点，∴DG＝AG＝10x，DE＝GE＝5x，由（2）得：BM⊥AC，∴∠CBF+∠AD＝∠CBF+∠BED＝90°，∴∠BED＝∠ACD，∴tan∠BED＝＝，∴BD＝DE＝x，∴AB＝＝＝x，作OR⊥AD于R，延长AD交⊙O于K，延长AH交⊙O于W，连接BW，则OR∥CD，AR＝KR＝AK，AW是直径，∴∠ABW＝90°，由相交线定理得：AD×DK＝BD×CD，∴DK＝＝＝5x，∴AK＝AD+DK＝25x，AR＝x，∴GR＝AR﹣AG＝x，∵∠ABW＝90°，∠W＝∠ACB，tan∠ACB＝，∴sin W＝＝，∴AW＝AB＝x，∴KW＝＝＝x，∵AR＝KR，OA＝OW，∴OR是△AKW的中位线，∴OR＝KW＝x，在Rt△OGR中，由勾股定理得：（x）2+（x）2＝（）2，解得：x＝，∴OR＝，AR＝，CD＝15x＝9，AD＝20x＝12，∵OR∥CD，∴△AOR∽△AHD，∴＝，即＝，解得：DH＝4，∴CH＝CD﹣DH＝9﹣4＝5．27.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣3x+6k与y轴的正半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B．（1）求tan∠ABO的值；（2）点C在x轴的负半轴上，CD⊥AB于点D，交y轴于点E，设线段AE的长为d，当DE＝BD时，求d与k之间的函数关系式（不必写出自变量k的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AC，点P在x轴的负半轴上，连接PE，交线段AC于点F，点G在线段BD上，连接PG，交CD于点H，连接FH，若PF＝EF，DG：GB＝4：5，FH＝，求k的值及点P的坐标．【考点】FI：一次函数综合题．【专题】533：一次函数及其应用；66：运算能力．【分析】（1）由已知A（0，6k），B（2k，0），则tan∠ABO＝；（2）由已知可求DE＝d，EO＝6k﹣d，CO＝3EO＝18k﹣3d，所以BC＝2k+18k﹣3d ＝20k﹣3d，则有（20﹣3d）＝3×d，可求得d＝k；（3）由（2）可得：C（﹣8k，0），E（0，k），D（k，k），则直线AC的解析式为y ＝x+6k，直线CD的解析式为y＝x+k，由F是P与E的中点，设F（m，m+6k），所以m+6k＝k，求出m＝﹣k，F（﹣k，k），P（﹣k，0），因为BD＝k，DG：GB＝4：5，求得GB＝k，G（k，k），PG的直线解析式为y＝x+k，可得H（﹣k，k），由FH＝k＝，可求k与P点坐标．【解答】解：（1）由已知A（0，6k），B（2k，0），∴tan∠ABO＝；（2）∵CD⊥AB，∴∠DCB＝∠BAO，∴DE＝d，EO＝6k﹣d，CO＝3EO＝18k﹣3d，∴BC＝2k+18k﹣3d＝20k﹣3d，∵DE＝BD，∴（20﹣3d）＝3×d，∴d＝k；（3）由（2）可得：C（﹣8k，0），E（0，k），D（k，k），则直线AC的解析式为y＝x+6k，直线CD的解析式为y＝x+k，∵PF＝EF，∴F是P与E的中点，∴F点纵坐标为k，设F（m，m+6k），∴m+6k＝k，∴m＝﹣k，∴F（﹣k，k），∴P（﹣k，0），∵BD＝k，DG：GB＝4：5，∴GB＝k，∴G（k，k），∴PG的直线解析式为y＝x+k，∴H（﹣k，k），∴FH＝k＝，∴k＝，∴P（﹣14，0）．。
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2020年哈尔滨市工大附中九年级（上）
数学试卷（附解析）
一．选择题（共10小题）
1．已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）
A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能
2．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin A的值为（）A．B．C．D．
3．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）
A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米
4．如图，AB是⊙○的直径，CD是⊙○的弦．若∠BAD＝21°，则∠ACD的大小为（）
A．21°B．59°C．69°D．79°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°
6．如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为A，若∠OEA＝40°，则∠DCF等于（）
A．100°B．50°C．40°D．25°
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则AC的长为（）
A．4B．C．D．
8．下列说法正确的是（）
A．经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等
D．90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径
9．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
10．已知如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC ＝45°，给出以下结论：
①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍．
其中正确结论的序号是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共10小题）
11．已知tanα＝，α是锐角，则sinα＝．
12．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是．
13．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为cm．14．在△ABC中，若cos A是方程2x2﹣5x+2＝0的一个根，则∠A＝．
15．在阳光下，身高1.5m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m．则旗杆的高度为m．
16．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠A的值为．
17．如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD 于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为．
18．在△ABC中，若AB＝，tan∠B＝，AC＝，则BC＝．
19．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则
DE＝．
20．如图，在△ABC中，点Q、D分别在边AC、AB上，CD、BQ相交于点H，若点Q为AC中点，BD＝DH＝2，AD＝AC，tan∠ADC＝，则HQ的长为．
三．解答题（共4小题）
21．先化简再求值；，其中a＝6tan60°﹣cos45°．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点在小正方形的顶点上．（1）在图中画一个以AB为腰的等腰三角形△ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE 的面积为；
（2）在图中画一个等腰三角形△ABF，点F在小正方形的顶点上，且tan∠AFB＝，连接EF，请直接写出线段EF的长．
23．我市城市规划期间，欲拆除沿江路的一根电线杆AB（如图），已知堤坝D距电线杆AB 水平距离BD＝14米，背水坡CD的坡度i＝2：1，坝高CF＝2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上，请说明理由（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区城为危验区城）．
24．如图，在平行四边形ABCD中，延长BA至点E，使AE＝AB，点F、P在边AD所在的直线上，EF∥CP．
（1）求证：DF﹣DP＝BC；
（2）的条件下，若CD＝15，EF＝20，tan∠AFE＝，BC＝14，求DF的长．
25.某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化
工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如果施工总费用不超过10万元，那么乙工程队至少需施工多少天？
26.已知：四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD相交于点E，AB＝AC．
（1）如图1，求证：2∠ACB+∠BDC＝180°；
（2）如图2，连接BO并延长交⊙O于点H，若AC⊥BD，求证：AH＝CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接HE，若BE：DE＝9：4；AB＝30，求HE长．
27.如图，直线与x、y轴交于点A、B，过点B作x轴的平行线交直线y＝x+b于点
D，直线y＝x+b交x、y轴于点E、K，且DK＝．
（1）如图1，求直线DE的解析式；
（2）如图2，点P为AB廷长线上一点，把线段BP绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF，若点F刚好落在直线DE上，求点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M为ED延长线上一点，连接PM和AM，AM交线段BD于点N，若PM+MN＝AN，求线段PM的长．。