2012-2013第1学期《数理经济学》课程期中试卷

1

一、叙述并证明含不等式约束的非线性规划问题的Kuhn-Tucker 充分和必要条件（必要条件的证明需包含对Fritz-John 条件的证明，其中可直接利用二择一等引理）。

二、求以下非线性规划问题的最优解。

2

12m in :-2x x

22

12113..:

2

2

s t x x x +-

≤-≤

三、考虑一个竞争厂商，两种投入12,x x 的价格分别为12,w w ，厂商的生产技术以科布道格拉斯函数表示：()1212,f x x x x α

β

=，其中+<1,>0,>0αβαβ。

（1）证明：()12,f x x 是严格凹函数。

（2）求出条件投入需求函数(),,=1,2i x w y i 、成本函数(),c w y 。

（3）利用包络定理证明

()(),=,,1,2i i

c w y x w y i w ?=?，并结合（2）的结论验证。

四、 两个生产同质产品的寡头垄断企业的成本函数为,=1,2i i i C c q i =，其中i c 为企业i 的边际成本，市场需求曲线为p Q θ=-，其中12Q q q =+，

（1）求出古诺（Cournot ）均衡情况下的产量、价格和利润；

（2）为获得两个厂商进行生产的内点解（即两个厂商都生产正的产量），需要对参数12,,c c θ施加何种约束？其中1,c θ变化对均衡产量有何影响？

（3）假定厂商1先行动，求出该斯塔克伯格（Stackelberg ）均衡情况下的产量、价格和利润；并与（1）的结果进行比较。

五、以下任选一题

1. 根据教材例题，用数理模型说明刚性工资的存在。

2. 根据课堂例题，用数理模型讨论逆向选择问题，说明信息不对称对效率的影响。