多元线性回归模型常见问题及解决方法
多元线性回归操作方法
多元线性回归操作方法
多元线性回归是一种常用的回归分析方法，通过多个自变量对因变量进行预测。
其操作方法如下：
1. 收集数据：需要收集自变量和因变量的数据，并进行清洗和处理。
2. 建立回归模型：选择适当的自变量，并进行回归分析。
多元线性回归模型的一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + …+ βnXn + ε，其中Y是因变量，X1,X2,…,Xn是自变量，β0,β1,β2,…,βn是系数，ε是误差项。
可以使用统计软件如SPSS、R等进行建模。
3. 对模型进行评估：评估模型的准确性和有效性，比如用R方值、回归系数、t 值等进行评价。
4. 预测未知数据：使用建立好的模型进行预测未知数据的因变量的数值，可以通过输入自变量的值得到预测结果。
5. 模型的优化：可以通过添加或删除自变量、调整回归系数等手段来优化回归模型，提高其预测精度。
6. 模型的应用：将建立好的回归模型应用到实际问题中，比如预测股票价格、房价等。
多元回归分析总结
多元回归分析总结1、多元共线性问题产生的根源（可以从两方面考虑，各举一个50字左右的例子）①由变量性质引起:在进行多元统计分析时，作为自变量的某些变量高度相关，比如身高、体重和胸围，变量之间的相关性是由变量自身的性质决定的，此时不论数据以什么形式取得，样本含量是大是小，都会出现自变量的共线性问题。
因此，变量间自身的性质是导致多元共线性的重要原因。
②由数据问题引起：1、样本含量过小 2、出现强影响观测值 3、时序变量1、样本含量过小：假设只有两个自变量X1和X2，当n=2时两点总能连成一条直线，即使性质上原本并不存在线性关系的变量X1和X2由于样本含量问题产生了共线性。
样本含量较小时，自变量容易呈现线性关系。
如果研究的自变量个数大于2，设为X1，X2，...，XP，虽然各自变量之间没有线性关系，但如果样本含量n小于模型中自变量的个数，就可能导致多元共线性问题。
2、出现强影响观测值：进入20世纪80年代后期人们开始关注单个或几个样本点对多重共线性的影响。
研究表明存在两类这样的数据点或点群:1导致或加剧多重共线性 2掩盖存在着的多重共线性。
a中因异常观测值的出现而掩盖了共线性b中因异常观测值的出现而产生了共线性。
这样的异常观测值称为多元共线性强影响观测值。
显然这种观测值会对设计矩阵的性态产生很大影响从而影响参数估计。
3、时序变量：若建模所用的自变量是时序变量并且是高阶单整时序变量，这种时序变量之间高度相关必然导致多重共线性。
当所研究的经济问题涉及到时间序列资料时，由于经济变量随时间往往存在共同的变化趋势，使得它们之间容易出现共线性。
例如，我国近年来的经济增长态势很好，经济增长对各种经济现象都产生影响，使得多种经济指标相互密切关联。
比如研究我国居民消费状况，影响居民消费的因素很多，一般有职工平均工资、农民平均收入、银行利率、国债利率、货币发行量、储蓄额等，这些因素显然对居民消费产生影响，它们之间又有着很强的相关性。
多元线性回归中多重共线问题的解决方法综述
多元线性回归中多重共线问题的解决方法综述摘 要在回归分析中，当自变量之间出现多重共线性现象时，常会严重影响到参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳健性，因此消除多重共线性成为回归分析中参数估计的一个重要环节。
现在常用的解决多元线性回归中多重共线性的回归模型有岭回归（Ridge Regression ）、主成分回归(Principal Component Regression 简记为PCR)和偏最小二乘回归(Partial Least Square Regression 简记为PLS)。
关键词：多重共线性；岭回归；主成分回归；偏最小二乘回归引言在多元线性回归分析中，变量的多重相关性会严重影响到参数估计，增大模型误差，并破坏模型的稳健性 由于多重共线性问题在实际应用中普遍存在，并且危害严重，因此设法消除多重性的不良影响无疑具有巨大的价值常用的解决多元线性回归中多重共线问题的回归模型主要有主成分回归岭回归以及偏最小二乘回归。
1、 多元线性回归模型1.1 回归模型的建立设Y 是一个可观测的随机变量,它受m 个非随机因素X 1,X 2,…,X p-1和随机因素ε的影响, 若有如下线性关系我们对变量进行了n 次观察，得到n 组观察数据(如下)，对回归系数 进行估计一般要求n>P 。
于是回归关系可写为采用矩阵形式来表示0112211p p Y X X X ββββε--=+++++n i X X X Y p i i i i ,,1,,,,)1(2,1⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-1011121211(1)12012122212(1)2011221(1)p p p p n n n p n p n Y X X X Y X X X Y X X X ββββεββββεββββε------=+++++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=+++++⎩11121,(1)121222,(1)212,(1)111, 1 p p n n n n p n n pX X X Y X X X Y Y X Y X X X ---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦)1(10,,,p -⋅⋅⋅βββY 称为观测向量，X 称为设计矩阵，ε称为误差向量，β称为回归参数。
多元线性回归中多重共线问题的解决方法综述
多元线性回归中多重共线问题的解决方法综述摘 要在回归分析中，当自变量之间出现多重共线性现象时，常会严重影响到参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳健性，因此消除多重共线性成为回归分析中参数估计的一个重要环节。
现在常用的解决多元线性回归中多重共线性的回归模型有岭回归（Ridge Regression ）、主成分回归(Principal Component Regression 简记为PCR)和偏最小二乘回归(Partial Least Square Regression 简记为PLS)。
关键词：多重共线性；岭回归；主成分回归；偏最小二乘回归引言在多元线性回归分析中，变量的多重相关性会严重影响到参数估计，增大模型误差，并破坏模型的稳健性 由于多重共线性问题在实际应用中普遍存在，并且危害严重，因此设法消除多重性的不良影响无疑具有巨大的价值常用的解决多元线性回归中多重共线问题的回归模型主要有主成分回归岭回归以及偏最小二乘回归。
1、 多元线性回归模型1.1 回归模型的建立设Y 是一个可观测的随机变量,它受m 个非随机因素X 1,X 2,…,X p-1和随机因素ε的影响, 若有如下线性关系我们对变量进行了n 次观察，得到n 组观察数据(如下)，对回归系数 进行估计一般要求n>P 。
于是回归关系可写为采用矩阵形式来表示0112211p p Y X X X ββββε--=+++++n i X X X Y p i i i i ,,1,,,,)1(2,1⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-1011121211(1)12012122212(1)2011221(1)p p p p n n n p n p n Y X X X Y X X X Y X X X ββββεββββεββββε------=+++++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=+++++⎩11121,(1)121222,(1)212,(1)111, 1 p p n n n n p n n pX X X Y X X X Y Y X Y X X X ---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦)1(10,,,p -⋅⋅⋅βββY 称为观测向量，X 称为设计矩阵，ε称为误差向量，β称为回归参数。
线性回归解决什么问题
线性回归解决什么问题问题一：线性回归方程需要注意哪些问题，如何处理建立回归方程应注意以下几点：（1）讨论的问题要有意义，回归方程的选择要符合实际需要。
（2）拟合都是在一定范围内进行的，即在我们处理的数据的范围内。
不能把我们得到的回归方程任意扩大范围。
比如，我们处理人的身高和体重，其身高在1.6―1.9米。
它们的关系可以近似是一条直线，但是超出这个范围，例如身高2米以上，就可能就是一条曲线。
（3）由最小二乘法的解法，不难看出，x关于y的回归方程，与y关于x的回归方程不是互为反函数的关系。
这在中学无需讨论，但教师应该有所了解。
（4）得到了回归方程bxay??后，可以用它来作预报和控制。
预报是指给定x的值代入回归方程，得到y的预报值。
控制是指，要求y达到某一确定的值，利用回归方程确定x的值问题二：回归分析能解决哪些问题？找出各数据之间的不确定关系，大致预测事物发展，模拟各种因素对因变量的影响等等最重要的用途是：高考要考问题三：多元线性回归分析要解决的主要问题是什么主要解决的是两组变量之间的因果关系问题四：多元线性回归分析的优缺点问题五：统计学回归分析解决的问题有哪些回归分析研究的主要问题是：（1）确定Y与X间的定量关系表达式，这种表达式称为回归方程；（2）对求得的回归方程的可信度进行检验；（3）判断自变量X对因变量Y有无影响；（4）利用所求得的回归方程进行预测和控制。
回归分析的主要内容为：①从一组数据出发，确定某些变量之间的定量关系式，即建立数学模型并估计其中的未知参数。
估计参数的常用方法是最小二乘法。
②对这些关系式的可信程度进行检验。
③在许多自变量共同影响着一个因变量的关系中，判断哪个（或哪些）自变量的影响是显著的，哪些自变量的影响是不显著的，将影响显著的自变量入模型中，而剔除影响不显著的变量，通常用逐步回归、向前回归和向后回归等方法。
④利用所求的关系式对某一生产过程进行预测或控制。
回归分析的应用是非常广泛的，统计软件包使各种回归方法计算十分方便。
数学建模解多元线性回归问题
公司年销售额的分析摘 要公司年销售额通常和很多因素有关，但它们之间并不是确定性关系，所以我们用回归分析来处理，并建立了多元线性回归模型。
本文用最小二乘的方法给出了变量间相关关系的回归方程，针对各因素对公司年销售额的影响我们与偏回归平方和联系起来，并将各因素的影响程度进行了排序。
还通过F 检验和T 检验分别验证了回归方程的显著性和方程系数的显著性。
最后我们采用了逐个剔除的方法找出了影响年销售额的主要因素，并且建立了新的回归方程，再次进行检验，新回归方程高度显著，最后得到了个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。
第一问：我们首先对附表1的数据进行处理，利用MATLAB 对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。
然后建立起多元线性回归模型，采用最小二乘的方法来估计回归方程的参数i 。
我们引入偏回归平方和i Q 的概念来判定各因素对年销售额的影响程度，并对各因素的影响程度由深到浅进行了排序。
第二问：通过对回归平方和回S 和剩余平方和剩S 的分析，并且运用F 检验法来判定线性回归方程的显著性。
由于回归方程显著并不意味着每个自变量1x ，2x ，3x ,…8x 对因变量y 的影响都是重要的。
所以我们对方程系数的显著性用T 检验法进行了检验。
最后通过逐个剔除的方法找出了其中的主要因素,主要因素为：个人可支配的收入、价格、投资、广告费这四个方面。
第三问：通过逐个剔除的方法建立了新的回归方程，并对新的回归方程进行显著性检验，对方程系数进行显著性检验。
得到了公司的年销售额与个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。
关键词：多元线性回归 最小二乘法 F 检验 T 检验 偏回归平方和1 问题重述在经济流通领域中，某公司的年销售额（y ）与个人可支配的收入（1x ）；商人的回扣（2x ）；价格（3x ）；研究与发展费（4x ）；投资（5x ）；广告费（6x ）；销售费用（7x ）；总的工业广告预算（8x ）等有关。
多元线性回归模型常见问题及解决方法
特点
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适用于多个自变量对因 变量的影响研究；
适用于线性关系假设下 的数据；
可通过参数估计和模型 检验来评估模型的可靠 性和预测能力。
多元线性回归模型的应用场景
经济预测
用于预测股票价格、GDP等经济指标；
市场营销
用于分析消费者行为、预测销售额等；
医学研究
用于分析疾病风险因素、预测疾病发 病率等；
自相关问题
残差序列之间存在相关性，违 反了线性回归模型的独立性假 设。
异常值和离群点问题
异常值和离群点对回归模型的 拟合和预测精度产生影响。
解决方法的总结与评价
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多重共线性的解 决方法
异方差性的解决 方法
自相关问题的解 决方法
解释变量的选择 异常值和离群点
方法
处理方法
如逐步回归、主成分回归 、岭回归和套索回归等。 这些方法在处理多重共线 性问题时各有优缺点，需 要根据具体问题和数据特 点选择合适的方法。
2. 稳健标准误
使用稳健标准误来纠正异方差性 对模型估计的影响。
总结词
异方差性是指模型残差在不同观 测点上的方差不相等，导致模型 估计失真。
3. 模型诊断检验
使用如White检验、BP检验等异 方差性检验方法来诊断异方差性 问题。
自相关问题
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05
总结词
详细描述
1. 差分法
2. 广义最小二乘 3. 自相关图和偏
详细描述
例如，在时间序列数据中，如果一个观测值的残差 与前一个观测值的残差正相关，则会导致模型的预 测精度降低。
解决方法
多元线性回归模型的分析
多元线性回归模型的分析Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量，X1,X2,...,Xn表示自变量，β0,β1,...,βn表示参数，ε表示误差项。
通过最小二乘法对模型进行估计，可以得到参数的估计值：β̂0,β̂1,...,β̂n在进行多元线性回归模型分析时，需要进行以下步骤：1.收集数据：收集与研究主题相关的自变量和因变量的数据。
2.假设检验：对自变量进行假设检验，确定哪些自变量对因变量的影响是显著的。
3.多重共线性检验：在包含多个自变量的情况下，需要检验自变量之间是否存在多重共线性。
多重共线性会导致参数估计不准确，因此需要对其进行处理，可以通过剔除一些自变量或者进行主成分分析等方法来解决。
4.模型拟合度检验：使用相关系数、R方和调整R方等指标来检验回归模型的拟合度。
拟合度高的模型意味着因变量和自变量之间的线性关系较好。
5.模型解释和分析：通过模型参数的估计值，分析自变量对因变量的影响程度和方向。
可以通过参数的显著性检验和参数估计的符号来判断自变量对因变量的影响。
6.预测和验证：使用已建立的多元线性回归模型进行预测，并验证模型的准确性和可靠性。
然而，多元线性回归模型也存在一些局限性。
首先，模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，并且具有不变的方差和无自相关性。
如果数据不满足这些假设，模型的分析结果可能不准确。
其次，模型中的自变量需要是独立的，不存在多重共线性。
如果存在多重共线性，模型的参数估计可能不稳定。
另外，模型的拟合度可能不够高，无法完全解释因变量的变异。
因此，在进行多元线性回归模型的分析时，需要注意数据的选择和处理，以及对模型结果的解释和验证。
此外，还可以结合其他统计方法和模型进行综合分析，以获取更准确和全面的结论。
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Yi 0 1 X i1 2 X i 2
k X ik i ; i 1, 2, , n
基本假设 (1)随机扰动项ui数学期望（均值）为零。E(ui)=0 (2)随机扰动项ui的同方差性且无自相关Var(ui)=σ2 (3)解释变量X列线性无关。R(Xn×k)=K (4)随机扰动项ui与解释变量X不相关。cov(ui,X)=0
0 0 0 1 2 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
Yt 0 1 X t1
k X tk Yt 1 t
(4)回归模型含有截距项。 D.W.检验的原假设为：H0: ρ=0，即μt不存在一 阶自回归。
构造统计量：
DW . .
2 ( e e ) t t 1 t 2 2 e t t 1 n
n
该统计量的分布与给定样本中的X值有复杂关 系，其精确分布很难得到。
n1 n 2 2 n
其中，Ω为对称正定矩阵，故存在一可逆矩阵 D，使得 Ω=DD’ 用D-1左乘模型两边，得到新模型： D-1Y=D-1Xβ+D-1μ 即Y*=X*β+μ*
由于 E ( * * ') E[ D 1 '( D 1 ) '] D 1E ( ')( D 1 ) ' D 1 2( D 1 ) ' D 1 2 DD '( D 1 ) ' 2 I 故，可用普通最小二乘法估计新模型，记参数 ˆ * ，则 估计量为 ˆ * ( X * ' X * )1 X * ' Y * [ X '( D 1 ) ' D 1 X ]1 X '( D 1 ) ' D 1Y
实际经济问题中的异方差性
（1）研究居民家庭的储蓄行为 Yi=β 0+β 1Xi+ui Y-储蓄额 X-可支配收入 ui的方差单调递增 （2）居民消费函数 Ci=β 0+β 1Yi+ui 将居民收入等距离分成n组， 取组平均数作为样本观测值。 Y服从正态分布。人数多的组平均数误差小。 样本观测值的观测误差随解释变量观测值改变。
但可导出临界值的上限dU与下限dL，且上下限 只与样本容量n和解释变量的个数k有关，而与 解释变量的取值无关。 根据样本容量n和解释变量的个数k查D.W.分布 表，得到临界值dU和dL，按照下列准则判断模 型的自相关状态：
若0<D.W.<dL，则存在正自相关； 若dL<D.W.<dU，则不能确定； 若dU<D.W.<4-dU，则无自相关； 若4-dU<D.W.<4-dL，则不能确定； 若4-dL<D.W.<4，则存在负自相关。
在同方差性假设下，辅助回归的可决系数R2与 样本容量n的乘积，渐进地服从自由度为辅助 回归方程中解释变量个数的χ2分布，即 nR2~χ2 在大样本下，对统计量nR2进行相应的χ2检验。 若存在异方差性，表明 ei 2 与解释变量的某种 组合有显著的相关性，这时往往有较大的可决 系数R2，并且某一参数的t检验值较大。
在新模型中，
1 1 1 Var ( i ) Var i f ( X ji ) 2 2 f ( X ji ) f ( X ) f ( X ) ji ji
2
即满足同方差性，可用普通最小二乘法估计其 参数，得到参数β0,β1,…,βk的无偏、有效估计量。
序列相关性产生的原因
经济变量故有的惯性（物价指数，消费） 模型设定的偏误 数据的编造 （由已知数据生成）
(一)经济变量故有的惯性
消费函数模型：
Ct 0 1Yt t ; t 1, 2,
,n
消费习惯没有包括在解释变量中，其对消费的 影响包含在随机误差项中，产生序列相关性。
上述即为加权最小二乘法，其中权数 为 1 。
f ( X ji )
普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权数恒 取1的一种特例，加权最小二乘法具有比普通 最小二乘法更普遍的意义。 加权最小二乘法也称为广义最小二乘法 (Generalized Least Squares, GLS)。
加权最小二乘法的关键是寻找适当的权，或者 说是寻找随机误差项μ的方差与解释变量之间 适当的函数形式。如发现 Var(i X i1, X i 2 , , X ik ) 2 f ( X i1, X i 2 , , X ik )
加权最小二乘法(WLS)
加权最小二乘法(Weighted Least Squares, WLS) 是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异 方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计 其参数。 加权的基本思想：在采用普通最小二乘法时， 对较小的残差平方赋予较大的权数，对较大的 赋予较小的权数，从而对残差提供的信息的重 要程度作校正，提高参数估计的精度。
可以用 f ( X ji ) 去除原模型，使之变为如下形式 新模型：
1 1 1 1 Yi 0 1 X 1i 2 X 2i f ( X ji ) f ( X ji ) f ( X ji ) f ( X ji ) k 1 1 X ki i f ( X ji ) f ( X ji )
序列相关性的修正
（1）回归模型选用不当，改用适当的回 归模型。 （2）缺少重要的自变量，增加自变量。 （3）以上都不行，则采用广义最小二乘 法、广义差分法。
广义最小二乘法
广义最小二乘法是最具有普遍意义的最小二乘 法，普通最小二乘法和加权最小二乘法是它的 特例。 对于模型 Y=Xβ+μ 若存在序列相关性，同时存在异方差性，即有 12 12 1n 2 21 2 2n Cov( , ') E ( ') 2
如果存在完全一阶正相关，则ρ≈1，D.W.≈0； 如果存在完全一阶负相关，则ρ≈-1，D.W.≈4； 如果完全不相关，则ρ=0，D.W.=2； 从判断准则看，存在一个不能确定的D.W.值区 域，这是该检验方法的一个缺陷。 D.W.检验只能检验一阶自相关，且对存在滞后 被解释变量的模型无法检验。
加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和 实施普通最小二乘法。 记wi为权数，则加了权重的残差平方和为 2 ˆ ˆ X ˆ X )]2 w e w [ Y ( ii i i 0 1 1 k k
如在异方差检验过程中已知 Var(i ) E(i2 ) i2 f ( X ji ) 2 即随机误差项的方差 i2 与解释变量Xji之间存 在相关性。
则加权最小二乘法中的权即 为 1/ f ( X , X , , X ) 。
i1 i2 ik
序列相关性的定义
对于线性回归模型
Yi 0 1 X i1 2 X i 2 k X ik i ; i 1,2, , n
在其他假设仍成立的条件下，随机误差项序列 相关即Cov(μi,μj)=E(μiμj)≠0 序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模 型里。自相关现象是指一个变量前后期数值之 间存在的相关关系。μt=ρμt-1+εt
异方差性的定义
对于线性回归模型 Yi 0 1 X i1 2 X i 2 k X ik i ; i 1, 2, , n 同方差性假设为 2 Var(i X i1, X i 2 , , X ik ) ; i 1, 2, , n 如果出现 2 Var(i X i1, X i 2 , , X ik ) i ; i 1,2, , n 即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差 性(Heteroscedasticity)。
回归检验法
以 et 为被解释变量，以各种可能的相关量， 如 et 1 , et 2 , et2 等为解释变量，建立各种方程：
……
et et 1 t ; t 2, , n et 1et 1 2et 2 t ; t 3,
,n
对方程进行估计并进行显著性检验，如存在某 一种函数形式，使方程显著成立，则说明原模 型存在序列相关性。
i i i OLS
检验方法
（1）图示检验法—大概判断 （2）帕克检验与戈里瑟检验 （3）GQ检验 （4）怀特检验
怀特(White)检验
以两个解释变量的回归模型为例，说明怀特检 验的基本思想与步骤。 设回归模型为 Yi=β0+β1X1i+β2X2i+μi 2 先对模型作普通最小二乘回归，得到 ei ，然 后作辅助回归： 2 ei2 0 1 X1i 2 X 2i 3 X12i 4 X 2 i 5 X1i X 2i i
序列相关性检验的思路：首先采用普通最小二 乘法估计模型，以求得随机误差项的近似估计 量，用 et 表示： ˆ) et Yt (Y t OLS 然后通过分析这些近似估计量之间的相关性， 以达到判断随机误差项是否具有序列相关性的 目的。 序列相关性的检验方法有：回归检验法、D.W. 检验法、冯诺曼比检验法等。
(二)模型设定的偏误
模型设定偏误指所设定的模型不正确，表现为 遗漏了重要解释变量或模型函数形式有偏误。 如应估计模型
Yt 0 1 X t1 2 X t 2 3 1 X t1 2 X t 2 vt