高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 1.1.2 讲义
第一章 §1.1 集合与集合的表示方法1.1.2 集合的表示方法
学习目标
1.掌握用列举法表示有限集.
2.理解描述法格式及其适用情形.
3.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
思考
知识点一 列举法
要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案
答案 把它们一一列举出来.
如果一个集合是 ，元素又不太多，常常把集合的所有元素
都
出来，写在花括号“{ }”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法.
梳理
有限集列举
思考
知识点二 描述法
能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案
答案 不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x ∈R |x ＞1}.
梳理
1.集合的特征性质
如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x ，而不属于集合A 的元素 ，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质.
2.特征性质描述法
集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为 ，它表示集合A 是由集
合I 中
的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.
都具有性质p (x )都不具有性质p (x ){x ∈I |p (x )}具有性质p (x
)
[思考辨析 判断正误]
×
×
答案√
√
题型探究
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
解 设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.
解 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.
反思与感悟
(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开. (2)列举法表示的集合的种类：①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.
跟踪训练1 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；解 满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.
(2)由1～20以内的所有素数组成的集合.
解 设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合.
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
解 设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 设大于10小于20的整数为x，
它满足条件x∈Z，且10<x<20.
因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}.
引申探究
函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合用描述法可表示为{(x，y)|y＝x2－2}
__________________.
反思与感悟
用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号.
(2)说明该集合中元素的性质.
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内.
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征性质，竖线不可省略.
跟踪训练2 用描述法表示下列集合.
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
解 方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.
(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.
解 “二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.
类型三 集合表示的综合应用
命题角度1 选择适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合.
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N 组成的集合；
解 列举法：{0,2,4}(或描述法：{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}).
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
解 列举法：{(0,0)，(2,0)}.
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.
解 描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.
反思与感悟
用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.
跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，
{2 000,2 001,2 004}
则用列举法表示集合B＝_________________.
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，
所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，
所以B＝{2 000,2 001,2 004}.
命题角度2 新定义的集合
例4 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”.
其中，正确结论的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由于[k]＝，对于①，2 016除以5等于403余1，
∴2 016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个.
反思与感悟
命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解此定义，通过给出新的数学概念或新的运算法则等，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.
跟踪训练4 定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，
6
B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为____.
解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.
达标检测
1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为
A.{1,1}
B.{1}
√
C.{x＝1}
D.{x2－2x＋1＝0}
2.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是
A.{1，－2}
B.{x＝1，y＝－2}
√
C.{(－2,1)}
D.{(1，－2)}
3.设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是
A.6∈A
B.0∈A
√
C.3∉A
D.3.5∉A
4.第一象限的点组成的集合可以表示为
A.{(x，y)|xy>0}
B.{(x，y)|xy≥0}
√
C.{(x，y)|x>0且y>0}
D.{(x，y)|x>0或y>0}
5.已知A＝，用列举法表示为
A＝___________________________________________________.
规律与方法1.在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可
表示有限集，也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.
2.在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对
(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素
具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.。
高中数学人教版(新教材)必修1学案1：1.2 集合间的基本关系
1.2 集合间的基本关系学习目标1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想.重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；难点：属于关系与包含关系的区别．知识梳理1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B (或B 包含A ).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B读作：A 等于B. 图示：2. 真子集 若集合A B ⊆,存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集不含有任何元素的集合称为空集,记作：∅.规定：空集是任何集合的子集.学习目标探究一子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：①A ={1,2,3},B ={1,2,3,4,5};②A 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合; ③A ={x |x ＞2},B ={x |x ＞1}.2.子集定义：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中都是集合B 中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A 为集合B 的.记作：(A B B A ⊆⊇或）读作：(或“”)符号语言：任意有则.3.韦恩图（Venn 图）：用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.牛刀小试1：图中A 是否为集合B 的子集？牛刀小试2：判断集合A 是否为集合B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:①A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6} ( )②A ={1,3,5}, B ={1,3,6,9} ( )③A ={0}, B={x | x 2+2=0} ( )④A ={a,b,c,d }, B ={d,b,c,a } ( )探究二集合相等BB A,A1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系（1）A ＝{x |x 是两条边相等的三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；2.定义：如果集合A 的都是集合B 的元素，同时集合B 都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作.牛刀小试3：()(){}{}12012A x x x B A B =++==--，，.集合与什么关系？探究三真子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：(1)A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6}；(2)A ={四边形}, B ={多边形}.2.定义：如果集合A ⊆B ,但存在元素，且，称集合A 是集合B 的真子集．记作：（或）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）.探究四空集1.我们把的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.即φB ，（B φ≠） 例如:方程x 2+1=0没有实数根,所以方程 x 2+1=0的实数根组成的集合为φ.问题：你还能举几个空集的例子吗？2.深化概念：（1）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别？（2）集合A B 与集合A B ⊆有什么区别？（3）0，{0}与 Φ三者之间有什么关系?3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即.（2）对于集合A 、B 、C ，若,,A B B C ⊆⊆则（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）. 例1.写出集合{a ，b }的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2.判断下列各题中集合A 是否为集合B 的子集，并说明理由.(1)A ={1,2,3},B ={x |x 是8的约数}；(2)A ={x |x 是长方形}，B ={x |x 是两条对角线相等的平行四边形}达标检测1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．已知集合M＝{x|－3<x<2，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤，x∈N}3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．44．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．——★ 参*考*答*案★——学习过程：探究一1.集合A的元素都属于集合B2.任何一个元素子集集合A含于集合B集合B包含集合Ax∈A，x∈BA⊆B牛刀小试1 集合A不是集合B的子集牛刀小试2 ①√ ②×③×④√探究二集合相等1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．2.任何一个元素任何一个元素A=B牛刀小试3 A=B探究三真子集1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A.2.x∈Bx AA BB A探究四空集1.不含任何元素2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.（2） A = B或A B（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.如Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}3.（1）（2）例1.解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}.集合{a，b}真子集：，{a},{b}.例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.三、达标检测1.『解析』根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.『答案』B2.『解析』集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.『答案』D3.『解析』①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.『答案』B4.『解析』由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．『答案』D5.『解』因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一学案：第1章 1.1 1.1.2 集合的表示方法 Word版含答案
1.1.2集合的表示方法学习目标：1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示]①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？[提示]不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．[基础自测]1．思考辨析(1)集合0∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)} C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，用列举法可表示为{(－1,2)}，故选C.] 3．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．][合 作 探 究·攻 重 难](1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路探究] (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示． (3)联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示.[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫75，25. [规律方法] 使用列举法表示集合时，需要注意以下几点1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．[跟踪训练]1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.(1)小于100的所有非负整数的集合．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合． (5)被5除余3的所有整数组成的集合．(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2或⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0.(5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．[规律方法] 利用描述法表示集合应关注五点1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．3．不能出现未被说明的字母．4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[跟踪训练]2．已知A ＝{x |3－2x >0}，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．32∈AD ．0∉AB [A ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，∴1∈A .]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．母题探究：(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．[规律方法]识别集合含义的两个步骤1．一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．2．二看条件：既看代表元素满足什么条件(公共特性)．[跟踪训练]4．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合．(2)大于1且小于7的有理数．(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3)，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．[当 堂 达 标·固 双 基]1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为( )A ．{x |2<x <5，x ∈N }B ．A ＝{2,3,4,5}C ．{2<x <5}D ．{3,4}D [大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．]2．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x |x －1＝0}D ．{x ＝1}D [选项A 、B 、C 都表示用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D 中元素为等式x ＝1.]3．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. {4,9,16} [由题意知，A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，∴B ＝{4,9,16}．]4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．{－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}．(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．。
人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章集合与常用逻辑用语 第2课时 补集与集合的综合运算
分析本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不
相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.
解 (1)∵A={x|0≤x≤2},∴∁RA={x|x<0或x>2}.设(∁RA)∪B=R,如图所示.
∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是
基础落实•必备知识全过关
知识点1 全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是
某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U 表示.
过关自诊
全集一定包含任何元素吗?
提示 不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研
究对象对应的集合一定为该全集的子集.
知识点2 补集
(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)若A∩B=A,则A⊆B,又A≠⌀,
≤ 0,
≤ 0,
则
得
即-1≤a≤0.
+ 3 ≥ 2,
≥ -1,
∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即(-∞,-1)∪(0,+∞).
方法点睛 有些数学问题,若直接从正面解决较为困难,或解题思路不明朗,
分析(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义
写出.
解 (1)∵A={x|-3<x<3},B={x|x<1}.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
∴∁UA={x|x≤-3或x≥3},∁UB={x|x≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3<x<1},如图阴影部分所示.
∴∁U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}.
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 1.2.2 第1课时 讲义
解析
答案
(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B. 解 如图，
由图知A∪B＝{x|－1<x<3}.
解答
反思与感悟
有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不 等式表示的，常借助数轴求并集.由于A∪B中的元素至少属于A，B之一， 所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集.
梳理
1.定义：对于两个给定的集合A，B， 由两个集合 的所有的元素组成的集 合，叫做A与B的并集，记作 A∪B，读作“A并B”. 2.并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B} . 3.图形语言： 、 阴影部分为A∪B.
4.性质：A∪B＝ B∪A ，A∪A＝ ，A A∪∅ ＝∅ ∪A＝A，如果A⊆B，则 A∪B＝B.
解答
反思与感悟
求集合A∩B的步骤 (1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么. (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式. (3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可.
跟踪训练1 (1)集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x≤0或x>5}，求A∩B； 解 A∩B＝{x|－2<x≤0}. (2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B； 解 A∩B＝{x|2<x<3或4<x<5}. (3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B. 解 A∩B＝∅ .
第一章 1.2.2 集合的运算
第1课时 交集与并集
学习目标
1.理解交集、并集的概念. 2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集. 3.会求简单集合的并集和交集.
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 1.2.2 第2课时 讲义
第一章 1.2.2 集合的运算第2课时 补集及综合应用学习目标1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ，那么称这个给定的集合为全集．2.记法：全集通常记作 . 子集U思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x ∈R |x ≤1}.文字语言如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作_____符号语言∁U A ＝________________图形语言梳理(1) 补集定义不属于A ∁U A {x |x ∈U ，且x ∉A }(2)运算性质A ∪∁U A ＝ ；A ∩∁U A ＝ ；∁U (∁U A )＝.U ∅A[思考辨析 判断正误]1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.( )2.存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( )√×答案××题型探究类型一 求补集例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A 等于A.{x∈R|0<x<2}B.{x∈R|0≤x<2}C.{x∈R|0<x≤2}D.{x∈R|0≤x≤2}解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x∈R|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.解 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}.(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).解 根据三角形的分类可知，A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________.(2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则∁U A ＝______________.(3)已知全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合A ＝{(x ，y )|xy >0}，则∁U A ＝______________.{3,4,5}{x |－1＜x ＜2}{(x ，y )|xy ≤0}类型二 补集性质的应用命题角度1 补集性质在集合运算中的应用例2 已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B .解 ∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}.反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A ＝∅，(∁U A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}________________.解析 A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}.命题角度2 补集思想的应用例3 关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题.(2)求解反面问题对应的参数的取值范围.(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集.跟踪训练3 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.解 假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，类型三 集合的综合运算例4 (1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅解析 ∵∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴∁U B＝{3,4}，{3}⊆B⊆{1,2,3}，(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实{a|a≥2}数a的取值范围是________.解析 ∵∁R B＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁R B)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁U B)＝{4,9}，则B等于A.{1,2,3,6,7}B.{2,5,6,8}C.{2,4,6,9}D.{2,4,5,6,8,9}解析 根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B).解 如图所示.∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}.A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，B)＝{x|2<x<3}.A∩(∁达标检测1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于A.UB.{1,3,5}√C.{3,5,6}D.{2,4,6}2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于A.{1,3,4}B.{3,4}√C.{3}D.{4}3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于A.{x|－2<x≤1}B.{x|x≤－4}√C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}4.设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是√A.Z∪∁U NB.N∩∁U NC.∁U(∁U∅)D.∁U Q5.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于√A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}规律与方法1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究的问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A ＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.。
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一学案：第1章 1.2 1.2.1 集合之间的关系 Word版含答案
1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系学习目标：1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．(难点)[自主预习·探新知]1．维恩(Venn)图用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图，其优点是可以形象地表示出集合之间的关系．2．集合间的关系思考1：如何理解子集、真子集的概念？[提示](1)子集与真子集的定义具有“判定”和“性质”的两重性．①A⊆B等价于对任意x∈A，都有x∈B；②A B等价于A⊆B，且至少有一个元素x∈B，但x∉A.(2)A⊆B包含A＝B和A B两种情况，真子集是子集的特殊情况．思考2：如何理解两集合相等？[提示](1)集合A中的元素与集合B中的元素相同，则集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征．(2)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这是从集合关系的角度表达，A与B相等，即对任意x∈A，都有x∈B；反之，对任意x∈B，都有x∈A，这说明集合A等于集合B.3．子集、真子集的性质(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(4)如果A B，B C，则A C.4．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有(1)若p(x)⇒q(x)，则A⊆B；反之，若A⊆B，则p(x)⇒q(x)．(2)若p(x)⇔q(x)，则A＝B；反之，若A＝B，则p(x)⇔q(x)．[基础自测]1．思考辨析(1){0}是∅.()(2)正整数集是自然数集的子集．()(3)空集是任何集合的子集．()[解析](1)×∅是不含任何元素的集合，而{0}表示由一个元素0构成的集合．(2)√由正整数集和自然数集的概念知此题正确．(3)√规定空集是任何集合的子集，故正确．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．－1 C [由元素的互异性知x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0， ∴2x ＋y ＝2.]3．已知集合M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{1,5}，则有( )A ．N ＜MB ．N MC ．N ∈MD ．N ＝MB [由题意知N 中任意元素都是M 中的元素，且M 中存在不属于N 的元素，所以N M .]4．集合{x |x 2＝2}含有的子集个数为________.4 [{x |x 2＝2}＝{－2，2}中含有两个元素，所以它的子集有22＝4个．][合 作 探 究·攻 重 难]( )A ．1∈AB ．{－1}∈AC ．∅⊆AD ．{1，－1}⊆A(2)已知集合M ＝{x |y ＝x 2－2}，集合N ＝{y |y ＝x 2－2}，则集合M ，N 之间的关系是________．(3)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n 2，n ∈Z ，N ＝xx ＝12＋n ，n ∈Z ，则集合M ，N 之间的关系是________．[思路探究] 由元素关系⇒集合关系．[解析] (1)A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，元素与集合之间是“∈”、“∉”关系，集合与集合之间是“⊆”“”“＝”关系，由选项可知A、C、D正确，选项B中应为{－1}A.(2)M＝{x|y＝x2－2}＝{x|x∈R}，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以N M.(3)N＝xx＝12＋n，n∈Z＝xx＝2n＋12，n∈Z,2n＋1为奇数，而集合M中，M＝xx＝n2，n∈Z，所以N M.[答案](1)B(2)N M(3)N M母题探究：(变条件)本例(2)中，若P＝{(x，y)|y＝x2－2}，其他条件不变，则P与M，N之间有什么关系？[解]P＝{(x，y)|y＝x2－2}表示二次函数y＝x2－2上的点构成的集合，而M，N都是数集，故P与M，N之间不具有子集关系．[规律方法]判断两集合关系的关键及方法1．关键：明确集合中的元素及其属性．2．方法：(1)列举法：将集合中的元素一一列举出来；(2)元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，然后做出判断；(3) 直观图法：利用数轴或Venn图直观判断．提醒：(1)用描述法表示集合时，即使表示代表元素的字母不同，但是如果特征性质的本质相同，表示的仍是同一个集合．(2)用描述法表示集合时，如果特征性质相同，但是代表元素的属性不同，那么表示的是不同的集合．[跟踪训练]1．下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号)．①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{(0,1)}⊆{0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x |x >1}{x |x ≥2}．①③ [根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x |x 2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x |x >1}{x |x ≥2}． 因此正确的是①、③，错误的是②、④、⑤、⑥.]集合⎩⎨⎭⎬1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1[思路探究] 根据集合相等的定义求出字母a 与b 的值，注意集合中元素互异性的应用．[解析] ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0，∴b a ＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 017＋b 2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.[答案] C[规律方法] 1.若两集合相等，则集合中的元素完全相同．2．本题以“0”为着眼点，b a 中a 不为0为突破口进行解题．3．解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中a ＝1舍去)．[跟踪训练]2．设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.4 [因为A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝ab ，a ＝2，解得a ＝2，b ＝2，所以a ＋b ＝4.][1．设集合A ＝{1,2}，若B ⊆A ，则集合B 可能是什么？设集合A ＝{1,2,3}，若B ⊆A ，则集合B 共有几个？设集合A ＝{1,2,3，…，n }，若B ⊆A ，则集合B 共有几个？提示：∅，{1}，{2}，{1,2}；8个；2n 个．2．“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，正确吗？提示：正确．3．设集合A ＝{x |ax ＋1＝0}，B ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，C ＝{x |a ＋1<x <2a }，那么集合A ，B ，C 可能是空集吗？若可能是空集，实数a 的值或范围分别是什么？提示：集合A ，B ，C 可能是空集．当a ＝0时，集合A 是空集，当a >14时，集合B 是空集，当a ≤1时，集合C 是空集．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}, 已知B ⊆A .求实数m 的取值范围．[思路探究] 1.讨论B 是否为∅⇒m 的取值范围．2．数集⇒数轴⇒取值范围．[解] ①当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅符合题意；②当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅.由B ⊆A ，借助数轴如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.所以0≤m ≤52. 综合①②可知，实数m 的取值范围为mm <－2或0≤m ≤52.[规律方法]已知集合间的关系求字母的值或范围的解题策略1．若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程.2．若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3．此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集．[跟踪训练]3．(1)将例3中集合A ＝{x |－1≤x ≤6}改为A ＝{x |－1<x <6}，其他条件不变，结果如何？(2)将例3中B ⊆A 改为A ⊆B ，这样的实数m 是否存在？(3)若将例3中B ⊆A 改为B A ，结果有变化吗？[解] (1)由例题可知，m <－2，即B ＝∅，符合题意；当A ＝{x |－1<x <6}且B ≠∅时，要使B ⊆A ，则需⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤2m ＋1m －1>－12m ＋1<6解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－2m >0m <52，即0<m <52所以，实数m 的取值范围为mm <－2或0<m <52.(2)要使A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －1<2m ＋1m －1≤－12m ＋1≥6即⎩⎨⎧ m >－2m ≤0m ≥52，∴m ∈∅.即这样的m 不存在．(3)由例题可知m <－2时满足题意当m ≥－2即B ≠∅时，要使B A ，则需⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－2m －1>－12m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－2m －1≥－12m ＋1<6解得0<m ≤52或0≤m <52.即0≤m ≤52.综上可知，0≤m ≤52或m <－2.所以结果没变化．[当 堂 达 标·固 双 基]1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个B [根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.]2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}D[集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.] 3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4B[①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]4．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是() A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}D[由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．]5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．[解]因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 1.1.1 讲义
第一章 §1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一 集合的概念元素与集合的概念(1)集合：把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的构成的集合(或集).集合通常用英语大写字母A ，B ，C ，…来表示.(2)元素：构成集合的 叫做这个集合的元素(或成员).元素通常用英语小写字母a ，b ，c ，…来表示.确定的不同的全体每个对象思考 知识点二 元素与集合的关系1是整数吗？ 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案答案 1是整数； 不是整数.没有.关系语言描述记法读法属于a 是集合A 的元素a A a 属于集合A 不属于a 不是集合A 的元素a A a 不属于集合A梳理元素与集合的关系∈∉思考 知识点三 元素的三个特性某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？答案答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.梳理集合元素的三个特性元素意义确定性元素与集合的关系是的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性集合中的元素 ，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b 无序性集合中的元素是没有顺序的确定互不相同空集：不含任何元素，记作 .：含有有限个元素；：含有无限个元素.1.集合的分类∅知识点四 集合的分类及常用数集集合非空集合有限集无限集2.常用数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_______________N ＋或N *N Z Q R[思考辨析 判断正误]1.若y ＝x ＋1上的所有点构成集合A ，则点(1，2)∈A .( )2.0∈N 但0∉N ＋.( )3.由形如2k －1，其中k ∈Z 的数组成集合A ，则4k －1∉A .( )√√×题型探究类型一 判断给定的对象能否构成集合例1 考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；解 对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；解 能构成集合；(3)某班的所有高个子同学；解 “高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4) 的近似值的全体.解 “ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数解析 A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合.类型二 元素与集合的关系命题角度1 判定元素与集合的关系例2 给出下列关系：① ∈R；②∉Q；③|－3|∉N；④|－ |∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为A.1B.2C.3D.4故选B.反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空.－ _____R ；－3____Q ；－1____N ；π____Z .∈∈∉∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理0,1,2例3 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为______.∴0≤x≤2且x∈N.反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的.②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则A.a>－4 B.a≤－2C.－4<a<－2D.－4<a≤－2解析 ∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.类型三 元素的三个特性的应用例4 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a 的值；解 由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求.∴a＝0或－1.(2)若x2∈B，求实数x的值；解 当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？解 显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练4 已知集合A ＝{a ＋1，a 2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为___.解析 ∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意.当a 2－1＝0时，a ＝±1.a ＝－1(舍)，∴a ＝1.此时，A ＝{2,0}，符合题意.1达标检测1.下列给出的对象中，能组成集合的是A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩√D.方程x2－1＝0的实数根2.下面说法正确的是A.所有在N中的元素都在N＋中B.所有不在N＋中的数都在Z中√C.所有不在Q中的实数都在R中D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为A.1B.2√C.3D.44.下列结论不正确的是A.0∈NB. ∉Q√C.0∉QD.－1∈Z5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为√A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.规律与方法1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3.集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的。
人教B版高中数学必修一第一章1.1.2集合的概念之集合的含义及表示教案新部编本
精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan1.1.2 会合的观点及其表示（二）教课目：掌握表示会合方法；认识空集的观点及其特别性，浸透抽象、归纳思想。
教课要点：会合的表示方法教课点：正确表示一些会合型：新教课手段：授教课程：一、情境复提：会合元素的特点有哪些？怎理解，例明，会合与元素关系是什么？怎样用数不符号表示？那么定一个详细的会合，我怎样表示它呢？就是今日我学的内容—会合的表示 (板 )我能够用自然言来描绘一个会合，但将我来好多不便，除此以外常用列法和描绘法来表示会合二、新解1、列法：把会合中的元素一一列出来，写在大括号内表示会合的方法。
例 : “中国的直市”组成的会合，写成{ 北京 , 天津 , 上海 , 重 } 由“ maths 中的字母” 组成的会合，写成 {m,a,t,h,s}由“ book 中的字母”组成的会合，写成{b,o,k}注：（ 1）有些会合亦可以下表示：从51 到 100 的全部整数成的会合：{51 ， 52， 53，⋯， 100} 全部正奇数成的会合：{1 ， 3， 5， 7，⋯ }（ 2） a 与{a} 不一样： a 表示一个元素，{a} 表示一个会合，会合只有一个元素。
比方：与不一样，∈（3）会合中的元素拥有无序性，因此用列法表示会合不用考元素的序。
例 1（ P4）2、描绘法：用确立的条件表示某些象能否属于个会合，并把个条件写在大括号内表示会合的方法。
格式： {x ∈A| P （ x） }含：在会合 A 中足条件P（ x）的 x 的会合。
例 : 不等式 x 1 2 的解集能够表示：{ x R | x 12} 或 { x | x3,x R}“中国的直市”组成的会合，写成{ x x中国的直市} ；“ maths 中的字母”组成的会合，写成{ x x maths 中的字母 } ；“平面直角坐系中第二象限的点”{ （ x,y ） | x<0且y>0}“方程 x2+5x-6=0 的数解”{x∈ R| x2+5x-6=0}={-6，1}注：（ 1）在不致混杂的状况下，能够省去及左部分。
人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 第1课时 集合
过关自诊
1.集合{3,x,x2-2x}中实数x满足的条件是
.
答案 x≠0且x≠-1且x≠3
2 -2 ≠ 3,
解析 由集合中元素的互异性,可得 2 -2 ≠ ,解得 x≠0 且 x≠-1 且 x≠3.
≠ 3,
2.(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180 cm的
或抽屉里的书是集合的元素.
知识点2 元素与集合的关系
知识点
元素与
关系
属于
集合的
关系
不属于
概
念
记法
读法
a∈A
a属于A
a∉A
a不属于A
如果a是集合A的元素,就说a属
于A
如果a不是集合A的元素,就说a
不属于A
名师点睛
概念
概念上的区别
符号上的区别
元素
研究对象
英文小写字母a,b,c,…
集合
一些对象组成的整体 英文大写字母A,B,C,…
集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的
一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是
模棱两可的,则不能构成一个集合.
变式训练1
下列各组对象能否构成集合:
(1)世界上最高的山峰;(2)中国国旗的颜色;(3)充分小的负数的全体;(4)立方
等于本身的实数.
组成集合.
(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例
如:组成集合{good中的字母}的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个
单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根
据互异性,正确的说法应为集合{good中的字母}的元素有3个,分别为g,o,d.
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 章末复习
{(4,4)} 由 x－y＝0， 2x－3y＋4＝0， 得 x＝4， y＝4. ∴A∩B＝{(4,4)}．
集合间的基本关系
若集合 P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且 S⊆P，求由 a 的可能取值组成的集
当 a＝0 时，S＝∅，满足 S⊆P； 1 当 a≠0 时，方程 ax＋1＝0 的解为 x＝－ ， a 1 1 为满足 S⊆P，可使－ ＝－3 或－ ＝2， a a
点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否． 跟踪训练 3 ( ) B．{3,6} D．{1,3,4,5,6} 已知集合 U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3，6}，B＝{1,4,5}，则 A∩(∁ UB)等于
A．{1} C．{4,5}
答案 解析
B ∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，
B 选项中 M，N 均为含有 1,2 两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得 M＝N； C 选项中 M，N 均为数集，显然有 NM； D 选项中 M 为点集，即抛物线 y＝x2－1 上所有点的集合，而 N 为数集，即抛物线 y＝x2－1 的值域，故选 B. 反思与感悟 集等． 跟踪训练 1 答案 解析 类型二 例2 合． 解 由题意得，P＝{－3,2}． 设集合 A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则 A∩B＝________. 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点
1 1 即 a＝ 或 a＝－ . 3 2 1 1 0， ，－ 故所求集合为 3 2 . 反思与感悟 解答． (2)对于两集合 A，B，当 A⊆B 时，不要忽略 A＝∅的情况． 跟踪训练 2 下列说法中不正确的是________．(填序号) (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的